第2章 特殊三角形单元检测卷【暑假自学课】-2024年新八年级数学暑假提升精品讲义（浙教版）

特殊三角形 单元检测 一、单选题 1．下列四个图案中，不是轴对称图形的是（    ） A． B． C． D． 2．已知等腰三角形的一个外角等于，则它的顶角是（    ） A． B． C． D．或 3．已知分别是等腰的高线与角平分线，且相交于点F，若，则的度数不会是（　　） A． B． C． D． 4．如图，中，，，是上一点，且于点，连接，若 ，则（    ）    A． B． C． D． 5．如图，是等边三角形，，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 6．某社区为了让居民享受更多“开窗见景，推门见绿”的空间，决定将一块四边形区域改造为儿童游乐场．图1是该区域的设计图，图2是该四边形区域的几何示意图，，，，，，按照计划要先在该区域铺设塑胶，已知铺设1平方米塑胶需要200元，则铺满该区域需要的费用是（    ） A．40800元 B．91600元 C．60800元 D．48000元 7．如图，在中，，是上一点，于点，，连接，若，则等于（    ） A． B． C． D． 8．一张三角形纸片部分如图所示，将折叠，为折痕，A点落在位置，若，则（    ）    A． B． C． D． 9．如图，在中，，，为的中点，为上一点，为延长线上一点，且．有下列结论：①；② 为等边三角形；③；④，其中正确的结论是（    ） A．①②③④ B．①②③ C．①②④ D．②③④ 10．我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一幅“弦图”，后人称其为“赵爽弦图”，如图由“赵爽弦图”变化得到，它是用八个全等的直角三角形拼接而成，记图中正方形，正方形，正方形的面积分别为，，．若，则的值是（    ） A．12 B．10 C．9 D．8 二、填空题 11．如图所示，相交于点，命题“若，则”的逆命题是 命题．（填“真”或“假”）．    12．如图，在中，，，的垂直平分线交于点，交于点，，则的长等于 ． 13．如图，中，，，点是边上的一个动点，则线段的最小值为 ． 14．如图，在中，，于，平分交于，交于，，，下列结论：①；②；③；④，其中正确的结论有 ． (填序号) 15．如图，一辆小汽车在一条城市街路上直道行驶，某一时刻刚好行驶到路对面车速检测仪处的正前方的处，过了后，测得小汽车与车速检测仪间的距离为，则这辆小汽车的速度是 ．    16．已知在中，，，将沿边进行对折使得点落在点处，过点作垂直于点，点是直线上一动点，当的最大值是时， 度． 三、解答题 17．如图，已知，、在线段上，与交于点，且，．求证：． 18．如图，在的正方形网格中，每个小正方形的边长都为1，网格中有一个格点（即三角形的顶点都在格子上） (1)在图中作出关于直线l对称的（A与，B与，C与对应）； (2)在（1）问的结果下，连接，，求四边形的面积． 19．如图，琪琪在离水面高度的岸边C处，用绳子拉停在B处的小船靠岸，开始时绳子的长为．    (1)开始时，小船距岸A的距离为_______； (2)若琪琪收绳后，船到达D处，求小船向岸A移动的距离的长． 20．如图，长方体的长为，宽为，高为，点与点之间的距离为，一只蚂蚁要沿着长方体的表面从点爬到点去吃一滴蜜糖． (1)求点到点的距离； (2)蚂蚁从点爬到点的最短路程是多少？ 21．已知：如图，点D，E 分别是等边三角形的两边上的点，且. (1)求证：； (2)求的度数. 22．如图，在中，，点、分别在边、上，且，与相交于点． 求证： (1)是等腰三角形； (2) 23．如图，和均为等边三角形，且点，在同一直线上，连结，交和分别于点，连结．    (1)请说出的理由； (2)试说出的理由； (3)试猜想是什么特殊的三角形，并加以证明． 24．（1）数学活动课上，李老师给出了一个问题，如图1，在中，平分，．求证：． ①如图2，小明同学从结论的角度出发给出如下解题思路：在上截取，连接，将线段，，之间的数量关系转化为与的数量关系． ②如图3，小强同学从这个条件出发给出另一种解题思路：延长至点E，使，连接，将转化为与之间的数量关系． 请你选择一名同学的解题思路，写出证明过程 （2）李老师发现两名同学都运用了转化思想，将证明三条线段的关系转化为证明两条线段的关系，为了帮助学生更好地感悟转化思想，李老师将图1进行变化并提出了下面问题，请你回答： 如图4，在中，，点D在的延长线上，，过点D作交的延长线于点E．求证：． （3）如图5，在中，，垂足为D，，，，平分交于点E，那么的长为 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！10 学科网（北京）股份有限公司 $$ 特殊三角形 单元检测 一、单选题 1．下列四个图案中，不是轴对称图形的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了轴对称图形的定义，根据轴对称图形的定义；平面内，一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形，就叫做轴对称图形，据此即可作答． 【详解】解：A、是轴对称图形，不符合题意； B、是轴对称图形，不符合题意； C、不是轴对称图形，符合题意； D、是轴对称图形，不符合题意； 故选：C． 2．已知等腰三角形的一个外角等于，则它的顶角是（    ） A． B． C． D．或 【答案】D 【分析】本题考查等腰三角形的性质，三角形内角和性质，解题的关键是要分情况讨论．根据题意外角可能是顶角的外角，也可能是底角的外角，分情况讨论，再结合三角形的内角和，可求出顶角的度数． 【详解】解：依题意，等腰三角形的一个外角等于 ∴①若是顶角的外角， 则顶角； ∴②若是底角的外角， 则底角， 即顶角． 故选：D． 3．已知分别是等腰的高线与角平分线，且相交于点F，若，则的度数不会是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，角平分线，三角形内角和定理．根据题意分类讨论是解题的关键． 由题意知，等腰分；；；三种情况，利用等腰三角形的性质，角平分线，三角形内角和定理计算求解即可． 【详解】解：由题意知，等腰分；；；三种情况求解； 如图1，当时， ∴，， ∵分别是等腰的高线与角平分线， ∴，， ∴； 如图2，当时， ∴， 同理，，， ∴； 如图3，当时， ∴， 同理，，， ∴； 综上所述，的度数为或或； 故选：C． 4．如图，中，，，是上一点，且于点，连接，若 ，则（    ）    A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查三角形中求角度，涉及直角三角形性质、角平分线的判断与性质等知识，熟记“到角两边的距离相等的点在角的平分线上”是解决问题的关键． 【详解】解： 中，，， ， ，，且 ， 平分， ， 故选：A． 5．如图，是等边三角形，，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了等边三角形的性质、平行线的性质等知识点，灵活运用相关性质成为解题的关键． 根据等边三角形的性质可得，即，再根据平行线的性质可得，最后根据角的和差即可解得． 【详解】解：∵是等边三角形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 故选A． 6．某社区为了让居民享受更多“开窗见景，推门见绿”的空间，决定将一块四边形区域改造为儿童游乐场．图1是该区域的设计图，图2是该四边形区域的几何示意图，，，，，，按照计划要先在该区域铺设塑胶，已知铺设1平方米塑胶需要200元，则铺满该区域需要的费用是（    ） A．40800元 B．91600元 C．60800元 D．48000元 【答案】A 【分析】本题考查勾股定理及其逆定理的运算．连接，先由勾股定理求出长，再由勾股定理的逆定理判定是直角三角形，然且由直角三角形的面积公式计算出四边形面积，然后用面积乘以单价即可． 【详解】解：连接，如图2， ∵，，， ∴ ∵，， ∴， ∴ ∴， ∴铺满该区域需要的费用为：（元）， 故选：A． 7．如图，在中，，是上一点，于点，，连接，若，则等于（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，证明，由全等三角形的性质得出，则可得出答案，熟练掌握全等三角形的判定方法是解题的关键． 【详解】∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， 故选：． 8．一张三角形纸片部分如图所示，将折叠，为折痕，A点落在位置，若，则（    ）    A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据折叠性质可得，，，再根据即可求解． 【详解】解：由折叠性质可得：，，， ∴，， ∵， ∴， 故选：A． 【点睛】本题考查了折叠性质和三角形内角和，灵活运用所学知识是关键． 9．如图，在中，，，为的中点，为上一点，为延长线上一点，且．有下列结论：①；② 为等边三角形；③；④，其中正确的结论是（    ） A．①②③④ B．①②③ C．①②④ D．②③④ 【答案】A 【分析】连接，由等腰三角形的性质和线段的中垂线性质即可判断①；由三角形内角和定理可求，可判断②；过点作，在上截取，证明，，即可判断③；由三角形的面积的和差关系可判断④． 【详解】解：如图，连接， ∵，，为的中点， ∴，，， ∴是的中垂线，， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴，故结论①正确； ∵， ∴， ∵， ∴， ∴是等边三角形，故结论②正确； 过点作，在上截取， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴，故结论③正确； ∵，， ∴， ∵， ∴，故结论④正确， ∴其中正确的结论是①②③④． 故选：A． 【点睛】本题考查全等三角形的判定，线段中垂线的性质，等腰三角形的性质，等边三角形的判定和性质，角的直角三角形的性质等知识点，添加恰当辅助线构造等腰三角形、全等三角形和直角三角形是解题的关键． 10．我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一幅“弦图”，后人称其为“赵爽弦图”，如图由“赵爽弦图”变化得到，它是用八个全等的直角三角形拼接而成，记图中正方形，正方形，正方形的面积分别为，，．若，则的值是（    ） A．12 B．10 C．9 D．8 【答案】B 【分析】分析已知条件，图形由八个全等的直角三角形拼接而成，可设直角三角形的长直角边为a，短直角边为b，用含a、b的式子把正方形，正方形，正方形的面积，，表示出来，得出根据，，，最后根据，代入求解即可． 【详解】解：该图形由用八个全等的直角三角形拼接而成，设直角三角形较长直角边为a，较短直角边为b， ∴， ， ， ∵， ∴， ∴． 故选：B． 【点睛】本题主要考查了图形面积关系，弄清图形的意义，熟练掌握勾股定理以及完全平方公式是解决问题的关键． 二、填空题 11．如图所示，相交于点，命题“若，则”的逆命题是 命题．（填“真”或“假”）．    【答案】真 【分析】本题考查的是真假命题的判定，全等三角形的判定与性质，熟记全等三角形的判定与性质是解本题的关键． 【详解】解：“若，则”的逆命题是： 若，则； ∵， ∴， ∴该逆命题是真命题； 故答案为：真． 12．如图，在中，，，的垂直平分线交于点，交于点，，则的长等于 ． 【答案】 【分析】本题考查了垂直平分线的性质，勾股定理，根据垂直平分线的性质可得，进而在中，勾股定理，即可求解． 【详解】解：如图所示，连接， ∵是的垂直平分线， ∴ 在中，， ∴， 故答案为：． 13．如图，中，，，点是边上的一个动点，则线段的最小值为 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了等腰三角形三线合一，勾股定理，以及三角形的面积．先利用三线合一求出，再利用勾股定理求出，然后利用三角形的面积公式计算即可． 【详解】如图，作于点H， ∵，， ∴， ∴． 由垂线段最短可知，当时，线段的值最小． ∵， ∴， ∴． 故答案为：． 14．如图，在中，，于，平分交于，交于，，，下列结论：①；②；③；④，其中正确的结论有 ． (填序号) 【答案】①②③④ 【分析】只要证明∠AFE＝∠AEF，四边形FGCH是平行四边形，△FBA≌△FBH即可解决问题． 【详解】∵∠FBD＝∠ABF，∠FBD＋∠BFD＝90°，∠ABF＋∠AEB＝90° ∴∠BFD＝∠AEB ∴∠AFE＝∠AEB ∴AF＝AE,故①正确 ∵FG∥BC，FH∥AC ∴四边形FGCH是平行四边形 ∴FH＝CG，FG＝CH，∠FHD＝∠C ∵∠BAD＋∠DAC＝90°，∠DAC＋∠C＝90° ∴∠BAF＝∠BHF ∵BF＝BF，∠FBA＝∠FBH ∴△FBA≌△FBH（AAS） ∴FA＝FH，AB＝BH，故②正确 ∵AF＝AE，FH＝CG ∴AE＝CG ∴AG＝CE，故③正确 ∵BC＝BH＋HC，BH＝BA，CH＝FG ∴BC＝AB＋FG，故④正确 故答案为：①②③④ 【点睛】本题主要考查全等三角形的判定和性质，关键是选择恰当的判定条件，同时要注意利用公共边、公共角进行全等三角形的判定． 15．如图，一辆小汽车在一条城市街路上直道行驶，某一时刻刚好行驶到路对面车速检测仪处的正前方的处，过了后，测得小汽车与车速检测仪间的距离为，则这辆小汽车的速度是 ．    【答案】 【分析】本题考查了勾股定理的应用，在中，根据题意，勾股定理求得，再根据路程除以时间等于速度，即可求解． 【详解】解：依题意，在中，，； 据勾股定理可得： ， 故小汽车的速度为 s． 故答案为：． 16．已知在中，，，将沿边进行对折使得点落在点处，过点作垂直于点，点是直线上一动点，当的最大值是时， 度． 【答案】 【分析】本题考查了轴对称的性质，等边三角形的性质与判定，三角形的内角和等知识，综合性强．作点B关于的对称点H，连接．可以得到，，即可得到当点P、H、D在同一直线上时，有最大值，此时，进而得到．求出，根据和关于对称，求出，进而求出，，根据即可求出． 【详解】解：如图，作点B关于的对称点H，连接． 则，， 此时， ∴当点P、H、D在同一直线上时，有最大值，此时， ∵当的最大值是时， ∴． ∵，， ∴， 由题意得和关于对称， ∴，，，， ∴，，， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴． 故答案为：90 三、解答题 17．如图，已知，、在线段上，与交于点，且，．求证：． 【答案】见解析． 【分析】此题考查了直角三角形全等的判定，解题关键是由推出，利用进行判定． 【详解】证明：， ，即， ， 与都为直角三角形， 在和中， ． 18．如图，在的正方形网格中，每个小正方形的边长都为1，网格中有一个格点（即三角形的顶点都在格子上） (1)在图中作出关于直线l对称的（A与，B与，C与对应）； (2)在（1）问的结果下，连接，，求四边形的面积． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查轴对称作图，利用成轴对称的性质求解： （1）根据成轴对称的性质，作图即可； （2）利用成轴对称的性质求解即可． 【详解】（1）解：如图，是关于直线l的对称图形． （2）由图可知，四边形是等腰梯形，，，高， ∴． 19．如图，琪琪在离水面高度的岸边C处，用绳子拉停在B处的小船靠岸，开始时绳子的长为．    (1)开始时，小船距岸A的距离为_______； (2)若琪琪收绳后，船到达D处，求小船向岸A移动的距离的长． 【答案】(1)12 (2) 【分析】此题主要考查了勾股定理的应用，关键是学握从题中抽象出勾股定理这一数学模型，画出准确的示意图．领会数形结合的思想的应用． （1）在中，利用勾股定理计算出长； （2）根据题意可得长，然后再次利用勾股定理计算出长，再利用可得长． 【详解】（1）解：在中，， ， 故答案为：12； （2）∵琪琪收绳后，船到达处， ， ， ． 20．如图，长方体的长为，宽为，高为，点与点之间的距离为，一只蚂蚁要沿着长方体的表面从点爬到点去吃一滴蜜糖． (1)求点到点的距离； (2)蚂蚁从点爬到点的最短路程是多少？ 【答案】(1)点到点的距离为 (2) 【分析】考查平面展开-最短路径问题，勾股定理，解题的关键是注意分类讨论，画出示意图． （1）过点B作长方体宽的垂线，垂足为H，连接，根据勾股定理求解即可； （2）分三种情况讨论：把左侧面展开到水平面上，连接，如图1 ；把右侧展开到正面上，连接，如图2 ；把向上的面展开到正面上，连接，如图3，然后利用勾股定理分别计算各情况下的，比较即可． 【详解】（1）解：如图，过点B作长方体宽的垂线，垂足为H，连接， 由长方体的性质得到：， ， ， 点到点的距离为； （2）解：如图1，把左侧面展开到水平面上，连接， 由题意可得：， ， 在中，根据勾股定理得：， 如图2，把右侧展开到正面上，连接， 由题意得：， 在中，根据勾股定理得： 则需要爬行的最短距离是； 如图3，把向上的面展开到正面上，连接， 由题意可得：， 在中，根据勾股定理得：； 同理，把向上的面展开到后面时，； ∵， ∴则需要爬行的最短距离是． 21．已知：如图，点D，E 分别是等边三角形的两边上的点，且. (1)求证：； (2)求的度数. 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】此题考查了等边三角形的性质、全等三角形的判定和性质等知识，证明是解题的关键. （1）根据等边三角形的性质和已知即可证明； （2）根据全等三角形的性质得到．利用三角形内角和定理进行解答即可. 【详解】（1）证明：∵是等边三角形， ∴，． 又∵， ∴． （2）∵ ∴． ∴ ． 22．如图，在中，，点、分别在边、上，且，与相交于点． 求证： (1)是等腰三角形； (2) 【答案】(1)详见解析 (2)详见解析 【分析】本题考查了等腰三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，解题的关键是掌握等腰三角形的判定与性质． （1）由可得，结合，可推出，进而得到，即可证明； （2）由（1）知，，可证明，根据全等三角形的性质即可证明． 【详解】（1）证明： ， ， ， ， ， 是等腰三角形； （2）由（1）知，， ，， ， ． 23．如图，和均为等边三角形，且点，在同一直线上，连结，交和分别于点，连结．    (1)请说出的理由； (2)试说出的理由； (3)试猜想是什么特殊的三角形，并加以证明． 【答案】(1)见解析； (2)见解析； (3)是等边三角形，证明见解析． 【分析】（1）利用证明即可得出答案； （2）根据，推出，由，点、、在同一条直线上，得出，根据即可证明； （3）由，推出，根据即可证明． 【详解】（1）解：∵和均为等边三角形， ∴，，， ∵， ∴， ∴， ∴； （2）解：∵， ∴， ∵，点、、在同一条直线上， ∴， 又∵， ∴ ； （3）解：是等边三角形，理由如下： ∵， ∴（全等三角形的对应边相等）， 又∵， ∴是等边三角形（有一内角为度的等腰三角形为等边三角形）． 【点睛】本题考查了等边三角形的判定与性质、邻补角定义、全等三角形的判定与性质，关键是利用好全等三角形以及等边三角形的性质． 24．（1）数学活动课上，李老师给出了一个问题，如图1，在中，平分，．求证：． ①如图2，小明同学从结论的角度出发给出如下解题思路：在上截取，连接，将线段，，之间的数量关系转化为与的数量关系． ②如图3，小强同学从这个条件出发给出另一种解题思路：延长至点E，使，连接，将转化为与之间的数量关系． 请你选择一名同学的解题思路，写出证明过程 （2）李老师发现两名同学都运用了转化思想，将证明三条线段的关系转化为证明两条线段的关系，为了帮助学生更好地感悟转化思想，李老师将图1进行变化并提出了下面问题，请你回答： 如图4，在中，，点D在的延长线上，，过点D作交的延长线于点E．求证：． （3）如图5，在中，，垂足为D，，，，平分交于点E，那么的长为 【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3） 【分析】（1）①证，得，，再证，则，即可得出结论；②证，再证，得，即可得出结论； （2）延长至F，使，连接，证，再证，得，即可得出结论； （3）延长至F，使，连接，过C作于点H，证，得，，设，则，再由勾股定理求出，则，进而证是等腰直角三角形，得，然后由三角形面积求出，则，最后由勾股定理得，即可解决问题． 【详解】（1）证明：①平分， ， 在和中， ， ， ，， ， ， ， ， ； ②， ， ，， ， 在和中， ， ， ， ， ； （2）证明：如图，延长至F，使，连接， 则， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， ， ； （3）解：延长至F，使，连接，过C作于点H，如图， 则， ， ， 设，则，，， ， ， 在和中， ， ， ，， 在中，， ， 设，则， 在中，由勾股定理得：， 即， 解得：， ， ， 平分， ， ， 是等腰直角三角形， ， ， 即， 解得：， ， ， ， 故答案为：． 【点睛】本题是三角形综合题，考查了全等三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质、三角形的外角性质、等腰直角三角形的判定与性质、勾股定理以及三角形面积等知识，本题综合性强，熟练掌握等腰三角形的判定与性质和勾股定理，正确作出辅助线构造全等三角形是解题的关键． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！10 学科网（北京）股份有限公司 $$