第1章 三角形的初步知识 单元检测【暑假自学课】-2024年新八年级数学暑假提升精品讲义（浙教版）

三角形的初步知识 单元检测 一、单选题 1．下列各组线段的长，能组成三角形的是（　　） A．6，7，14 B．5，6，10 C．4，4，8 D．3，4，8 2．下列图形具有稳定性的是（    ） A．   B．   C．   D．   3．下列语句中，不是命题的是（    ） A．如果，那么 B．直角都相等 C．垂线段最短 D．反向延长射线 4．公元前6世纪，古希腊哲学家泰勒斯这样测得轮船到海岸的距离：如图所示，在海边灯塔上进行测量，直立一根可以原地转动的竖竿（垂直于地面），在其上一点A处连接一个可以绕A转动并固定在任意位置上的横杆，先转动横杆使其转向船的位置B，再转动竖竿，使横杆对准岸上的一点C，然后测量D，C的距离，即得D，B的距离，哲学家得到的依据是（　　）    A． B． C． D． 5．如图，，过点作，垂足为，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 6．如图，在中，、分别足边、上的点，是的一条角平分线．再添加一个条件仍不能证明的是（      ） A． B． C． D． 7．如图，的三边，，长分别是20，30，40，其三条角平分线将分为三个三角形，则等于（       ）．    A． B． C． D． 8．如图，在四边形中，，，，，点在线段上以的速度由点向点运动，同时点在线段上由点向点匀速运动，若与在某一时刻全等，则点运动速度为（     ） A． B． C．或 D．或 9．如图1，用尺规作图的方法“过直线外一点作直线的平行线”，现有如图2中的甲、乙两种方法，下列说法正确的是（    ） A．甲错乙对 B．甲对乙错 C．甲、乙都对 D．甲、乙都错 10．如图，在和中，与相交于点，与相交于点，与相交于点，，，．给出下列结论：①；②；③；④．其中正确的结论是（   ）    A．①③④ B．①②③④ C．①②③ D．①②④ 二、填空题 11．在△ABC和△DEF中，∠A＝∠D，∠B＝∠E，要使△ABC≌△DEF，需添加的条件是 12．已知直线 ，将含角的直角三角板按如图所示摆放．若，则= ．    13．如图，已知，E为的中点，若，则 ． 14．如图，已知的周长为20，，分别以点A和点C为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于点M，N，作直线，交于点D，连接，则的周长为 ． 15．在如图所示的正方形网格中，等于 ．    16．如图，在中，和的平分线，相交于点，交于，交于过点作于，下列四个结论：①；②当时，；③若，，则．其中正确的是 ．（填写正确的序号） 三、解答题 17．沿着图中的虚线，请将如图的图形分割成4个全等的图形，并能拼成一个正方形．    18．已知的三边分别为a,b,c． (1)若为整数，求的周长． (2)化简：． 19．如图，一块三角板，D是边上一点，现要求在边上确定点E，使． (1)通过尺规作图确定点E．（不写作法，留下作图痕迹，要有结论） (2)请直接写出（1）中的作图理论依据． 20．如图，，，，，．    (1)试说明：； (2)求的长度． 21．在和中，，，，求证：． 22．如图，在和中，点在边上，边交边于点，若，，．求证：． 23．【阅读理解】 课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题：如图1，中，若，，求边上的中线的取值范围．小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长到点，使，请根据小明的方法思考： （1）由已知和作图能得到≌的理由是______． （2）求得的取值范围是______． 【感悟】 解题时，条件中若出现“中点”“中线”字样，可以考虑延长中线构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论集合到同一个三角形中． 【问题解决】 （3）如图2，在中，点是的中点，点在边上，点在边上，若，求证：． 24．【初步探索】（1）如图1，在四边形中，，，，、分别是、上的点，且，探究图中、、之间的数量关系．小芮同学探究此问题的方法是：延长到点，使，连接，先证明：，再证明，可得出结论，他的结论应是 ； 【灵活运用】（2）如图2，若在四边形中，，，，、分别是、上的点，且，（1）中的结论是否仍然成立，说明理由． 【拓展延伸】（3）如图3，在四边形中，，，若点在的延长线上，点在的延长线上，满足，请判断与的数量关系．并证明你的结论． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！10 学科网（北京）股份有限公司 $$ 三角形的初步知识 单元检测 一、单选题 1．下列各组线段的长，能组成三角形的是（　　） A．6，7，14 B．5，6，10 C．4，4，8 D．3，4，8 【答案】B 【分析】本题考查了三角形的三边的关系，根据三角形的三边关系：任意两边的和一定大于第三边，即两个短边的和大于最长的边，即可进行判断． 【详解】解：A、，故不能构成三角形，故此选项不符合题意； B、，故能构成三角形，故此选项符合题意； C、，故不能构成三角形，故此选项不符合题意； D、，故不能构成三角形，故此选项不符合题意． 故选：B． 2．下列图形具有稳定性的是（    ） A．   B．   C．   D．   【答案】D 【分析】本题考查三角形的性质，根据三角形具有稳定性的特点逐项判定即可得到答案． 【详解】解：具有稳定性的图形是三角形构成的， 故选：D． 3．下列语句中，不是命题的是（    ） A．如果，那么 B．直角都相等 C．垂线段最短 D．反向延长射线 【答案】D 【分析】本题考查了命题的概念；根据判断一件事情的语句，叫做命题，根据命题的概念逐项进行判断即可． 【详解】解：A、如果，那么，是命题，本选项不符合题意； B、直角都相等，是命题，本选项不符合题意； C、垂线段最短，是命题，本选项不符合题意； D、反向延长射线，不是命题，本选项符合题意； 故选：D． 4．公元前6世纪，古希腊哲学家泰勒斯这样测得轮船到海岸的距离：如图所示，在海边灯塔上进行测量，直立一根可以原地转动的竖竿（垂直于地面），在其上一点A处连接一个可以绕A转动并固定在任意位置上的横杆，先转动横杆使其转向船的位置B，再转动竖竿，使横杆对准岸上的一点C，然后测量D，C的距离，即得D，B的距离，哲学家得到的依据是（　　）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了全等三角形的判定，根据题意知，，，可用证明两三角形全等． 【详解】由题意知，， 在和中， ， ∴． 故选：B 5．如图，，过点作，垂足为，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据全等三角形的性质可得，则有，然后根据三角形内角和可进行求解． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； 故选B． 【点睛】本题主要考查全等三角形的性质及三角形内角和，熟练掌握全等三角形的性质及三角形内角和是解题的关键． 6．如图，在中，、分别足边、上的点，是的一条角平分线．再添加一个条件仍不能证明的是（      ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据全等三角形的判定方法逐项分析即可． 【详解】解：∵是的一条角平分线， ∴∠ABD=∠EBD， A.在△ADB和△EDB中 ， ∴△ADB≌△EDB，故A不符合题意； B.在△ADB和△EDB中 ， ∴△ADB≌△EDB，故不符合题意； C.在△ADB和△EDB中 ， ∴△ADB≌△EDB，故不符合题意； D.在△ADB和△EDB中，若添加，符合“SSA”，此方法不能判断△ADB≌△EDB，故符合题意； 故选D． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定，掌握全等三角形的判定方法（即SSS、SAS、ASA、AAS和HL）是解题的关键．注意：AAA、SSA不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角相等时，角必须是两边的夹角． 7．如图，的三边，，长分别是20，30，40，其三条角平分线将分为三个三角形，则等于（       ）．    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】过点分别作，，的垂线，可得，从而可证 ，即可求解． 【详解】解：如图，过点分别作，，的垂线，垂足分别为点，，，    由角平分线的性质定理得：， 的三边，，长分别是20，30，40， ． 故选：C． 【点睛】本题考查了角平分线的性质定理，掌握定理是解题的关键． 8．如图，在四边形中，，，，，点在线段上以的速度由点向点运动，同时点在线段上由点向点匀速运动，若与在某一时刻全等，则点运动速度为（     ） A． B． C．或 D．或 【答案】D 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质，设点P运动时间为t秒，点运动速度为，则，，根据，可得或，再根据全等三角形的性质，即可求解． 【详解】解：设点P运动时间为t秒，点运动速度为，则，， ∴， ∵， ∴或， 当时，，， ∴，解得：， ∴， 解得：； 当时，， ∴，解得：； 综上所述，点运动速度为或． 故选：D． 9．如图1，用尺规作图的方法“过直线外一点作直线的平行线”，现有如图2中的甲、乙两种方法，下列说法正确的是（    ） A．甲错乙对 B．甲对乙错 C．甲、乙都对 D．甲、乙都错 【答案】C 【分析】利用基本作图，平行线的判定定理，等腰三角形的性质；利用同位角相等，两直线平行可判断甲学作法正确；利用等腰三角形的性质和角平分线的定义可判断乙同学的作法正确． 【详解】解：利用平行线的判定方法可判断甲同学的作图正确． 根据作图可得，则 利用等腰三角形的性质和角平分线的定义可判断乙同学的作图正确； ∵ ∴， ∵是角平分线， ∴ 又∵ ∴ ∴ 故选：C． 10．如图，在和中，与相交于点，与相交于点，与相交于点，，，．给出下列结论：①；②；③；④．其中正确的结论是（   ）    A．①③④ B．①②③④ C．①②③ D．①②④ 【答案】A 【分析】本题考查了两个全等三角形的判定及性质，根据已知条件判定两个三角形全等，可得到对应边及对应角相等，据此可判断①③，再结合条件证明两个三角形全等，可得到④，即可求得结果，灵活运用两个全等三角形的条件及性质是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴①③都正确， 在中， ， ∴， 故④正确， 根据已知条件无法证明②是否正确， 故①③④正确， 故选：A． 二、填空题 11．在△ABC和△DEF中，∠A＝∠D，∠B＝∠E，要使△ABC≌△DEF，需添加的条件是 【答案】或或 【分析】要使△ABC≌△DEF，现有两角分别对应相等，还少一个条件，可结合图形选择利用，于是答案可得． 【详解】解：如图， ∵∠A＝∠D，∠B＝∠E， ∴添加，利用ASA可以证明△ABC≌△DEF； 添加，利用AAS可以证明△ABC≌△DEF； 添加，利用AAS可以证明△ABC≌△DEF 故答案为：或或 【点睛】本题考查三角形全等的判定方法；判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL．添加时注意：AAA、SSA不能判定两个三角形全等，不能添加，根据已知结合图形及判定方法选择条件是正确解答本题的关键． 12．已知直线 ，将含角的直角三角板按如图所示摆放．若，则= ．    【答案】/110度 【分析】本题考查的是平行线的性质和外角和定理，对顶角角度相等，根据题意可知三角板的为，，再根据外角和定理及同位角和对顶角定理，即可得到答案． 【详解】解：∵角的直角三角板，， ∴， 又∵，根据平行线同位角相等得：， ∵与为对顶角， ∴， 故答案为：．    13．如图，已知，E为的中点，若，则 ． 【答案】5 【分析】根据，可得，再由E为的中点，可证得，从而得到，即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∵E为的中点， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 故答案为：5 【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质定理是解题的关键． 14．如图，已知的周长为20，，分别以点A和点C为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于点M，N，作直线，交于点D，连接，则的周长为 ． 【答案】12 【分析】本题主要考查了垂直平分线的作图以及性质，由作图过程可知，直线为线段的垂直平分线，进而得出，结合已知条件可得出，问题得解． 【详解】解：由作图过程可知，直线为线段的垂直平分线， ∴． ∵的周长为20，， ∴． ∴的周长为． 故答案为：12． 15．在如图所示的正方形网格中，等于 ．    【答案】/225度 【分析】根据图形和正方形的性质可知，，，再把它们相加可得的度数． 【详解】解：观察图形可知与所在的三角形全等，二角互余，与所在的三角形全等，二角互余，， ∴，，， ∴． 故答案为：． 【点睛】此题结合网格的特点考查了余角，注意本题中，，是解题的关键． 16．如图，在中，和的平分线，相交于点，交于，交于过点作于，下列四个结论：①；②当时，；③若，，则．其中正确的是 ．（填写正确的序号） 【答案】①②③ 【分析】根据三角形的内角和定理及角平分线的性质可知①正确；根据全等三角形的性质与判定可知②正确；根据角平分线的性质及三角形的面积可知③正确． 【详解】解：∵在中，， ∴， ∵和是和的平分线， ∴， ∴， 故①正确； 在上截取， ∵是的角平分线， ∴， ∴在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， 故②正确； 作于于， ∵和的平分线，相交于点，， ∴， ∵， ∴， 故③正确； ∴正确的序号为①②③； 故答案为①②③． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，角平分线的性质及定义，三角形的内角和定理，掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键． 三、解答题 17．沿着图中的虚线，请将如图的图形分割成4个全等的图形，并能拼成一个正方形．    【答案】见解析 【分析】如图所示，按图中实线部分即可将原图形划分为4个全等的图形，且能拼成一个正方形．（答案不唯一） 【详解】    【点睛】本题考查全等图形，解题的关键是掌握全等图形的定义，学会利用数形结合的思想解决问题，属于中考常考题型． 18．已知的三边分别为a,b,c． (1)若为整数，求的周长． (2)化简：． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了三角形的三边关系、化简绝对值、整式的加减运算等知识点，理解三角形的三边关系成为解题的关键． （1）根据三角形的三边关系确定c的取值范围，进而c的值，最后求周长即可； （2）先根据三角形的三边关系确定、、的正负，再化简绝对值，然后再合并同类项即可解答． 【详解】（1）解：∵， ，即， ∵c为整数， ∴，的周长为． （2）解：的三边长为a，b，c， ， ． 19．如图，一块三角板，D是边上一点，现要求在边上确定点E，使． (1)通过尺规作图确定点E．（不写作法，留下作图痕迹，要有结论） (2)请直接写出（1）中的作图理论依据． 【答案】(1)见解析 (2)同位角相等，两直线平行． 【分析】本题考查作一个角等于圆周角、平行线的判定； （1）过点作，交于点，则点即为所求． （2）结合平行线的判定可得答案． 【详解】（1）解：如图，过点作，交于点， 则， 则点E即为所求． （2）作图理论依据为：同位角相等，两直线平行． 20．如图，，，，，．    (1)试说明：； (2)求的长度． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查全等三角形的性质，属于基础题型： （1）根据，得到，再根据线段的和差关系即可得出结论； （2）根据（1）中的结论，求出的长，进而求出的长度即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴， ∴； （2）∵，， ∴， ∴． 21．在和中，，，，求证：． 【答案】见解析 【分析】证明，根据全等三角形的性质得出，即可得证． 【详解】证明：， ，即， 在和中， ， ， ． 【点睛】本题考查了全等三角形的性质与判定，掌握全等三角形的性质与判定是解题的关键． 22．如图，在和中，点在边上，边交边于点，若，，．求证：． 【答案】见解析 【分析】先根据SSS定理得出（SSS），故，再根据是的外角，可知，可得出，故可得出答案． 【详解】解：在和中， ∴（SSS） ∴； ∵， ∴ 【点睛】此题考查全等三角形的判定和性质，同时涉及三角形外角和定理，掌握相关定理知识是解题的关键． 23．【阅读理解】 课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题：如图1，中，若，，求边上的中线的取值范围．小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长到点，使，请根据小明的方法思考： （1）由已知和作图能得到≌的理由是______． （2）求得的取值范围是______． 【感悟】 解题时，条件中若出现“中点”“中线”字样，可以考虑延长中线构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论集合到同一个三角形中． 【问题解决】 （3）如图2，在中，点是的中点，点在边上，点在边上，若，求证：． 【答案】（1）；（2）；（3）见解析 【分析】（1）根据AD=DE，∠ADC=∠BDE，BD=DC推出△ADC和△EDB全等即可； （2）根据全等得出BE=AC=6，AE=2AD，由三角形三边关系定理得出8-6＜2AD＜8+6，求出即可； （3）延长至点，使，连接、，证明≌，得到，根据三角形三边关系解答即可． 【详解】（1）解：∵在△ADC和△EDB中， ， ∴△ADC≌△EDB（SAS）， 故答案为：SAS； （2）解：∵由（1）知：△ADC≌△EDB， ∴BE=AC=6，AE=2AD， ∵在△ABE中，AB=8，由三角形三边关系定理得：8-6＜2AD＜8+6， ∴1＜AD＜7， 故答案为：1＜AD＜7． （3）证明：延长至点，使，连接、， 如图所示： ∵点是的中点，∴． 在和中， ， ∴≌， ∴， ∵，， ∴， 在中，由三角形的三边关系得：， ∴． 【点睛】本题是三角形综合题，主要考查了三角形的中线，三角形的三边关系定理，全等三角形的性质和判定等知识点，主要考查学生运用定理进行推理的能力． 24．【初步探索】（1）如图1，在四边形中，，，，、分别是、上的点，且，探究图中、、之间的数量关系．小芮同学探究此问题的方法是：延长到点，使，连接，先证明：，再证明，可得出结论，他的结论应是 ； 【灵活运用】（2）如图2，若在四边形中，，，，、分别是、上的点，且，（1）中的结论是否仍然成立，说明理由． 【拓展延伸】（3）如图3，在四边形中，，，若点在的延长线上，点在的延长线上，满足，请判断与的数量关系．并证明你的结论． 【答案】（1）；（2）（1）中的结论仍成立，理由见解答过程；（3）．理由见解答过程． 证明见解析 【分析】本题属于四边形综合题，主要考查了全等三角形的判定以及全等三角形的性质的综合应用，解决问题的关键是作辅助线构造全等三角形，根据全等三角形的对应角相等进行推导变形．解题时注意：同角的补角相等． （1）根据可判定，进而得出，，再根据判定，可得出，据此得出结论； （2）延长到点，使，连接，先根据判定，进而得出，，再根据判定，可得出； （3）在延长线上取一点，使得，连接，先根据判定，再根据判定，得出，最后根据，推导得到，即可得出结论． 【详解】解：（1）．理由如下： 如图1，延长到点，使，连接， ， ， 又， ， 在与中， ， ， ，， ，， ， ， 即， ； 在与中， ， ， ， ， ， 故答案为：； （2）（1）中的结论仍成立，理由如下： 如图2，延长到点，使，连接， ，， ， 又， ， ，， ，， ， ， ， 又， ， ； （3）． 证明：如图3，延长到点，使，连接， ，， ， 在与中， ， ， ，， ， ， ， 在与中， ， ， ， ， ， ， 即， ． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！10 学科网（北京）股份有限公司 $$