4.1.2 无理数指数幂及其运算性质课件-2023-2024学年高一上学期数学人教A版（2019）必修第一册

4.1.2 无理数指数幂及其运算性质 安徽淮南第四中学 2023.11 教学目标： 教学重点： 教学难点： 无理数指数幂的概念及其运算性质. 1.掌握分数指数幂与根式的互化； 2.理解无理数指数幂的概念， 3.掌握无理数指数幂的运算性质，并能对代数式进行化简或求值． 无理数指数幂的运算 上节，我们将ax中的指数x的取值范围从整数拓展到了有理数.那么，指数x为无理数时，ax的几何意义是什么？它是一个确定的数吗？如果是，它有什么运算性质？ 新课导入 在初中的学习中，我们通过整数认识有理数，通过有理数认识到一些无理数. 实数 有理数 无理数 整数 分数 正分数 0 负分数 类似的，是否可将指数幂的范围由有理数进一步推广到无理数呢？ 1.4 1.41 1.414 1.414 2 1.414 21 1.414 213 1.414 213 5 1.414 213 56 1.414 213 562 ... 9.672 669 973 9.735 171 039 9.518 269 694 9.738 305 174 9.738 461 907 9.738 508 928 9.738 516 575 9.738 517 705 9.738 517 736 ... 1.5 1.42 1.415 1.414 3 1.414 22 1.414 214 1.414 213 6 1.414 213 57 1.414 213 563 ... 11.180 339 89 9.829 635 328 9.750 851 808 9.739 872 620 9.738 618 643 9.738 524 602 9.738 518 332 9. 738 517 662 9. 738 517 752 ... 可以由有理数指数幂无限逼近无理数指数幂 能用数轴表示上述过程吗？ 9.5 11.5 无限逼近思想 参照以上过程，你能再给出一个无理数指数幂，如 ，说明它也是一个确定的实数吗？ 总结：（1）无理数可以作为指数； （2）无理数指数幂的近似值可以利用逼近的方式得到. 知识点一 无理数指数幂 一般地，无理数指数幂aα(a>0，α是无理数)是一个确定的实数． 知识点二 实数指数幂的运算性质 一般地，在指数幂ax中,为了保证对x取所有情况有意义，通常规定底数a>0. 但在具体问题中，只需使指数幂ax有意义即可。 题型一 无理数指数幂的运算 例1.　化简下列各式: (1)π4-π·ππ-2; π4-π·ππ-2＝π4-π＋π-2＝π2. 关于无理数指数幂的运算技巧 (1)无理数指数幂的运算性质与有理数指数幂的运算性质相同; (2)若式子中含有根式,一般把底数中的根式化为指数式,指数中的根式可以保留直接运算. 计算下列各式的值(式中字母均是正数): 题型二 实际问题中的指数运算 例2　从盛满2升纯酒精的容器里倒出1升,然后加满水,再倒出1升混合溶液后又用水加满,以此继续下去,则至少应倒 　　　　⁠次后才能使酒精的浓度低于10%.  由题意,得第n次操作后溶液的浓度为 验证可得n≥4.所以至少应倒4次后才能使酒精的浓度低于10%. 　如果在某种细菌培养过程中,细菌每10分钟分裂一次(1个分裂成2个),那么经过1小时,一个这种细菌可以分裂成 　　　⁠个.  解析:经过1小时可分裂6次,可分裂成26＝64(个). 指数运算在实际问题中的应用 　　在成倍数递增(递减)、固定增长率等问题中,常常用到指数运算,用来计算增减的次数、增减前后的数量等. 题型二 指数幂运算的综合应用 例 2 利用整体代换法求分数指数幂的和(差) (1)整体代换法是数学变形与计算常用的技巧方法,分析观察条件与结论的结构特点,灵活运用恒等式是关键; (2)利用整体代换法解决分数指数幂的计算问题,常常运用完全平方公式及其变形公式. 原式. =( 2×2 ) =( 2 ) 1 2 1 3 3 2 1 3 ars arbr 已知a eq \s\up4(\f(1,2)) ＋a－ eq \s\up4(\f(1,2)) ＝3，求下列各式的值． (1)a＋a－1；(2)a2＋a－2；(3)4(\f(3,2)) eq \f(a－a－ eq \s\up4(\f(3,2)) ,a eq \s\up4(\f(1,2)) －a－ eq \s\up4(\f(1,2)) ) . $$