4.1.1 n次方根与分数指数幂课件-2023-2024学年高一上学期数学人教A版（2019）必修第一册

4.1.1 n次方根与分数指数幂 安徽淮南第四中学 2024.6 教学目标： 教学重点： 教学难点： 理解n次方根、n次根式的概念,能正确运用根式运算性质化简求值 1.理解n次方根及根式的概念，掌握根式的性质； 2.能运用根式的性质对根式进行运算； 3.理解分数指数幂的含义，掌握根式与分数指数幂的互化及化简求值 了解指数幂的拓展过程,掌握指数幂的运算性质 温故知新 1.整数指数幂 2、整数指数幂的运算性质： an 指数 底数 幂 在学习幂函数时，我们把正方形场地的边长c关于面积S的函数 记作 像这样的以分数为指数的幂，其意义是什么？ 知识点一　n次方根 下面从已知的平方根、立方根的意义入手展开研究 我们知道，如果x2=a，那么x叫做a的平方根. 如果x3=a，那么x叫做a的立方根. ① (±2)2＝４，则称±2为4的　　　； ② 23=8，则称2为8的　　　　； 平方根 立方根 类似地，由于(±2)4=16，所以±2叫做16的 ； 4次方根 由于 25=32，所以2叫做32的 . 5次方根 定义1：一般地，如果xn=a，那么x叫做a的n次方根.其中n>1，且n∈N*. 1.当n是奇数时,正数的n次方根是一个正数,负数的n次方根是一个负数. 什么是方根的性质？ 这时，a的n次方根用符号 表示. 2. 当n是偶数时，正数的n次方根有两个，这两个数互为相反数. 正的n次方根用 表示，负的n次方根用 表示. 3. 负数没有偶次方根. 4.0的任何次方根都是0.记作： 什么是根式？ 定义2：式子 叫做根式，其中n叫做根指数，a叫做被开方数. 根指数 被开方数 根式的性质 ⑴当n为任意正整数时，( )n= a. (2)当n为奇数时， =a； 　当n为偶数时， =|a|= 例1. 根式的化简(求值) = -8 = 10 = π-3 = |a-b| 知识点二　分数指数幂 (1).观察以下式子,你总结出什么规律呢？(a > 0) 当根式的被开方数(看成幂的形式)的指数能被根指数整除时，根式可以表示成分数指数幂的形式. 当根式的被开方数的指数不能被根指数整除时，根式也能表示为分数指数幂的形式 1.分数指数幂的概念 规 定 正数的正分数指数幂： 正数的负分数指数幂： 0的正分数指数幂等于0，0的负分数指数幂没意义 可以理解为 个a相乘吗？ 不可以！ 分数指数幂能约分吗？ 不可以！ 结论：①分数指数幂是根式的另一种表示,分数指数幂与根式可以互化. ②分数指数幂不可随意约分.约分之后可能会改变根式有意义的条件. 规定了分数指数幂的意义以后，幂ax 中指数x的取值范围就从整数拓展到了有理数． 2.分数指数幂的运算性质 我们规定了分数指数幂的意义以后，指数的概念就从整数指数幂推广到有理数指数幂. 关于整数指数幂的运算性质，对于有理指数幂也同样适用，即对任意有理数r，s，均有下面的性质： 同底数幂相乘，底数不变，指数相加 幂的乘方，底数不变，指数相乘 积的乘方，等于积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘 例2：求值 把底数化成幂的形式， 有负指数幂，可以去负号，同时将底数分子与分母对调 例3 用分数指数幂的形式表示下列各式(其中a>0) 把根式化成分数指数幂 当有多重根式时,要由里向外层层转化 [归纳提升]　幂的运算的常规方法 (1)化负指数幂为正指数幂或化分母为负指数； (2)化根式为分数指数幂； (3)化小数为分数． $$