3.3 幂函数课件-2023-2024学年高一上学期数学人教A版（2019）必修第一册

3.3 幂函数 安徽淮南第四中学 2024.6 1.理解幂函数的概念，会画幂函数y=x，y=x2，y=x3， 的图象； 教学目标 2.结合这几个幂函数的图象，理解幂函数图象的变化情况和性质； 3.通过观察、总结幂函数的性质，培养学生概括抽象和识图能力，发展直观想象，数学抽象的素养. 重点：理解幂函数的概念，会画幂函数y=x，y=x2，y=x3， 的图象； 难点：结合这几个幂函数的图象，理解幂函数图象的变化情况和性质； 情 境 导 入 数学史上很早就借用“幂”字，起先用于表示面积，后来扩充为表示平方或立方.1859年中国清末大数学家李善兰(1811～1882)译成《代微积拾级》一书，创设了不少数学专有名词，如函数、极限、微分、积分等，并把“Power”这个词译为“幂”．这样“幂”就转译为若干个相同数之积． 高一年级运动会即将到来，在此期间有如下问题： (1)如果某同学参加引体向上比赛，每秒钟可以做一个标准的引体向上，那么他做的引体向上数量P(个)是关于时间ω(秒)的函数吗？函数解析式为 . P=ω,ω＞0 (2)如果跳远场地为正方形，边长为a，那么场地占地面积S是关于边长a的函数吗？函数解析式为 . S=a2,a＞0 (3)如果新建的医务室为正方体，棱长为b，那么医务室的体积V是关于棱长b的函数吗？函数解析式为 . V=b2,b＞0 (4)如果游泳馆正方形场地的面积为S，那么该场地的边长c是关于面积S的函数吗？函数解析式为 . (5)如果1km田径比赛中某同学用时ts，那么他的平均速度v(km/s)是关于时间t(s)的函数吗？函数解析式为 . t＞0 观察上述函数解析式，它们在形式上有什么共同特征? 这些函数的解析式都有幂的形式，而且都是以幂的底数为自变量； 幂的指数都是常数，分别是1,2,3， ，-1； 它们都是形如y=xα的函数. 知识点一 ：幂函数的概念 一般地，我们把形如 y=xα的函数叫做幂函数，其中x为自变量，α 为常数。 (1).具有幂的形式且系数为1； (2).幂的底数x是自变量； (3).幂的指数α 是常数. xα 前面的系数是1， 例1.已知函数y＝(m2＋2m－2)xm＋2＋2n－3是幂函数，求m，n的值． 练：在函数① y = ② y = 3x3 ③ y = 2x+1 ④ y = 2 ⑤ x3 ⑥ 中，是幂函数的是（ ） . ①⑤⑥ 3 知识点二 ：幂函数的图像及性质 幂函数的图像 x y o y＝x2 y＝x3 y＝x 【总结】①只有α =1时图像才是直线； ②图像一定会出现在第一象限， 一定不会出现在第四象限； ③图像一定经过 (1,1) 这个定点； ④α >0 时，图像在定义域内上升； ⑤ α <0时，图像在第一象限下降； 定义域 值 域 单调性 公共点 R上 R上 y = x y= x3 y = x2 R R R R R [0，+∞) [0，+∞) [0，+∞) 奇偶性 奇函数 偶函数 奇函数 非奇非偶函数 奇函数 在（－∞,0]上 在(0, +∞） 上 在(0，+∞)上 在( －∞,0)，(0, +∞）上 （1，1） 幂函数性质： 1)定点：所有的幂函数在（0，+∞）都有定义，并且图象都过点（1，1）； 当α ＞0时，幂函数的图象都通过原点 2)单调性：当α ＞0时，在区间[0，+∞)上是增函数 当α＜0时，幂函数在区间(0，+∞)上是减函数. 3)奇偶性： 当α为奇数时,幂函数为奇函数, 当α为偶数时,幂函数为偶函数 题型一 幂函数的概念 例1(1)在函数y＝x-2,y＝2x2,y＝(x＋1)2,y＝3x中,幂函数的个数为(　　) A.0 B.1 C.2 D.3 根据幂函数定义可知,只有y＝x-2是幂函数 因为f(x)是幂函数,所以m2-4m-4＝1,即m2-4m-5＝0,解得m＝5或m＝-1 题型二 幂函数的图像及应用 例2　如图是幂函数y＝xn的部分图象,已知n取 ,2,-2,- 这四个值,则与曲线C1,C2,C3,C4相对应的n依次为(　　) A.2, ，- ，-2 B.-2, - , ,2 C. - ,-2,2, D.2, ,-2,- x y o 1 1 C1 C2 C3 C4 α＞1时向上凹，0＜α＜1时向下凹， x y o x y o x y o x y o A B C D 二、四 题型三 幂函数简单性质的应用 角度1　比较幂的大小 幂函数y=xα在(0，+∞)上单调性与α 有什么关系？ 例3.比较下列各组中幂值的大小:　 角度二　由幂函数的大小求字母的取值范围 ∵函数在(0，＋∞)上递减，∴m2－2m－3＜0，解得－1＜m＜3. ∵m∈N*，∴m＝1，2.又函数的图象关于y轴对称， ∴m2－2m－3是偶数， ∴m＝1. ∴3-2a＜a+1＜0或a+1＞3-2a＞0或a+1＜0＜3-2a 设幂函数为f(x)＝xα,因为其图象过点(2,8),所以2α＝8,解得α＝3,所以f(x)＝x3. 因为f(x)＝x3在R上为增函数,所以由f(a-3)＞f(1-a),得a-3＞1-a,解得a＞2. 所以满足不等式f(a-3)＞f(1-a)的实数a的取值范围是(2,＋∞). 利用幂函数的性质解不等式的步骤 (1)确定可以利用的幂函数; (2)借助相应的幂函数的单调性,将不等式的大小关系转化为自变量的大小关系; (3)解不等式(组)求参数范围时,注意分类讨论思想的应用. 巩固练习 1.若f(x)＝ ,则函数f(4x-3)的定义域为(　　) 易知f(x)＝ 的定义域为(0,＋∞),则4x-3∈(0,＋∞), 即x∈ , 2.函数f(x)＝xa＋b,不论a为何值,f(x)的图象均过点(m,0),则实数b的值为(　　) A.-1 B.1 C.2 D.3 ∵幂函数y＝xa过定点(1,1), ∴f(x)＝xa＋b过定点(1,1＋b), 结合已知条件可知1＋b＝0,则b＝-1. 3.(多选)已知幂函数f(x)＝xn,n∈{-2,-1,1,3}的图象关于y轴对称,则下列说法正确的是(　　) A.f(-2)＞f(1) B.f(-2)＜f(1) C.f(-2)＝f(-1) D.若｜a｜＞｜b｜＞0,则f(a)＜f(b) 幂函数f(x)＝xn,n∈{-2,-1,1,3}的图象关于y轴对称,则n＝-2,则f(x) f(-x)＝f(x),且 f(x)在(0,＋∞)上单调递减, 于是有f(-2)＝f(2)＜f(1)＝f(-1),则A错误,B正确,C错误; 若｜a｜＞｜b｜＞0,则f(｜a｜)＜f(｜b｜),即f(a)＜f(b)成立,故D正确. 4.有四个幂函数:①f(x)＝x-1;②f(x)＝x-2;③f(x)＝x3;④f(x)＝ .某同学研究了其中的一个函数,并给出这个函数的三个性质: (1)是偶函数;(2)值域是{y｜y∈R,且y≠0};(3)在(-∞,0)上单调递增. 对于函数①,f(x)＝x-1是一个奇函数,值域是{y｜y∈R,且y≠0},在(-∞,0)上单调递减,所以三个性质中有两个不正确; 对于函数②,f(x)＝x-2是一个偶函数,其值域是{y｜y∈R,且y＞0},在(-∞,0)上单调递增,所以三个性质中有两个正确,符合条件; 同理可判断③④中函数不符合条件. ② 提示：当α>0时，幂函数y＝xα在(0，＋∞)上单调递增；当α<0时，幂函数y＝xα在(0，＋∞)上单调递减． 2．2.3－0.2和2.2－0.2可以看作哪一个函数的两个函数值？二者的大小关系如何？ 提示：可以看作幂函数f(x)＝x－0.2的两个函数值，因为函数 f(x)＝x－0.2在(0，＋∞)上单调递减，所以2.3－0.2＜2.2－0.2. $$