人教版数学八年级上暑假自学课专题训练专题十四 等腰三角形

人教版数学八年级上暑假自学课专题训练 专题十四 等腰三角形 一、专题导航 2、 知识点梳理 知识点1 等腰三角形的定义及性质 等腰三角形的概念 有两边相等的三角形是等腰三角形。 等腰三角形的性质 1、等腰三角形的性质： （1）等腰三角形的两个底角相等（简写成“等边对等角”）． （2）等腰三角形的顶角平分线，底边上的中线、�底边上的高互相重合（通常称作“三线合一”）． 2、解题方法：设辅助未知数法与拼凑法． 3、重要的数学思想方法：方程思想、整体思想和转化思想． 在解决等腰三角形边长的问题时，如果不明确底和腰时，要进行分类讨论，同时要养成检验三边长能否组成三角形的好习惯，把不符合题意的舍去。 典例剖析1 例1-1．如图，AB=AE，AB∥DE，∠DAB=70°，∠E=40°． （1）求∠DAE的度数； （2）若∠B=30°，求证：AD=BC． 例1-2．已知：如图，在等腰△ABC中，AB=AC．求作：在BC边上找一点D，使得AD=CD． 小李同学在学习了尺规作图的相关知识后，设计作图步骤如下： ①分别以点A，C为圆心，大于AC长为半径作弧，两弧相交于M，N两点； ②连接MN，交BC于点D，连接AD； ③点D即为所求． （1）请根据上述的设计方案，补全作图痕迹，并分析小李同学的作图依据是 _____； （2）补充下面的证明过程： 证明：设MN交AC于点E， ∵MN垂直平分AC， ∴∠AED=∠CED=90°，_____，DE=DE， ∴△AED≌△CED， ∴AD=_____．（ _____）（填推理依据）． 知识点2等腰三角形的判定 判定定理 如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等．【简称：等角对等边】 说明：①等腰三角形是一个轴对称图形，它的定义既作为性质，又可作为判定办法． ②等腰三角形的判定和性质互逆； ③在判定定理的证明中，可以作未来底边的高线也可以作未来顶角的角平分线，但不能作未来底边的中线； ④判定定理在同一个三角形中才能适用 典例剖析2 例2-1．已知：如图，中，是中点，垂足为，垂足为，且，求证：是等腰三角形 例2-2．如图，在△ABC中，点O是AC边上一个动点，过点O作直线MNBC，设MN交∠BCA的平分线于点E，交∠BCA的外角平分线于点F． （1）探究OE与OF的数量关系并加以证明； （2）当点O运动到AC上的什么位置时，四边形AECF是矩形，请说明理由； （3）在（2）的基础上，△ABC满足什么条件时，四边形AECF是正方形？为什么？ 例2-3．如图，在△ABC中，∠BAC=90°，∠ABC=35°，请用尺规作图法在边CB上求作一点D，使得AD将△ABC分为两个等腰三角形．（不写作法，保留作图痕迹） 知识点3 等腰三角形的性质、判定的综合 等腰三角形的性质的作用 性质1证明同一个三角形中的两角相等.是证明角相等的一个重要依据． 性质2用来证明线段相等，角相等，垂直关系等． 等腰三角形的判定是证明两条线段_相等_的重要定理，是将三角形中的角的相等关系转化为边的相等关系的重要依据.等腰三角形的性质定理和判定定理是互逆定理 典例剖析3 例3-1．如图，△ABC中，∠ABC与∠ACB的平分线交于点F，过点F作DE∥BC交AB于点．D，交AC于点E，那么下列结论：①△BDF和△CEF都是等腰三角形；②DE=BD+CE；③BC=BD+CE；④△ADE的周长=AB+AC；⑤BF=CF．其中正确的有（　　） A. ①②③ B. ①②④ C. ①②④⑤ D. ②④⑤ 例3-2．如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，BD⊥AD于点D，过点D作DE∥AC，交AB于点E，若AB=6，则DE的长为（　　） A. 2.5 B. 3 C. 3.5 D. 4 例3-3．一次函数y=2x-4的图象与x轴交于点A，且经过点B（m,4）． （1）求点A和点B的坐标； （2）直接在图的平面直角坐标系中画出一次函数y=2x-4的图象； （3）点P在x轴的正半轴上，若△ABP是以AB为腰的等腰三角形，请直接写出所有符合条件的P点坐标． 三、变式训练 变式1 等腰三角形的性质 1．如图，在△ABC中，∠B=∠C，D，E分别是线段BC、AC上的一点，且AD=AE． （1）如图1，若∠BAC=90°，D为BC中点，则∠2的度数为_____； （2）如图2，用等式表示∠1与∠2之间的数量关系，并给予证明． 2．如图，在中，，D是上的一点，且，点E是的中点，连接．求证：． 3．如图，平行四边形的对角线交于点O，E为中点，过点C作交的延长线于F，连接． （1）求证： （2）当满足什么条件时，四边形为矩形？请说明理由． 4．如图，在中，. ⑴已知线段AB的垂直平分线与BC边交于点P，连结AP，求证：； ⑵以点B为圆心，线段AB的长为半径画弧，与BC边交于点Q，连结AQ，若，求的度数. 变式2 等腰三角形的判定 1．如图，∠AOB=90°，线段OA=18cm,OB=6m,一机器人Q在点B处． （1）若BC=AC，求线段BC的长； （2）在（1）的条件下，机器人Q从点B出发，以3m/min的速度沿着△OBC的三条边逆时针走一圈后回到点B，设行走的时间为t min,则t=_____时，△OBQ是以OB为腰的等腰三角形. 2．如图在△ABC中，∠BAC=75°，∠ACB=35°，∠ABC的平分线BD交边AC于点D． 求证：△BCD为等腰三角形． 3．如图△ABC是等边三角形，BD是角平分线，延长BC至E，使CE=CD．求证△BED是等腰三角形． 变式3等腰三角形的判定性质综合 1．如图，． （1）写出与的数量关系 （2）延长到，使，延长到，使，连接．求证：． （3）在（2）的条件下，作的平分线，交于点，求证：． 2．如图，在中，，，点在线段上，于点，连接，．已知，． （1）求证：． （2）若，求线段的长． 3．定义：至少有一组对边相等的四边形为“等对边四边形”． （1）请写出一个你学过的特殊四边形中是“等对边四边形”的名称； （2）如图1，四边形ABCD是“等对边四边形”，其中AB=CD，边BA与CD的延长线交于点M，点E、F是对角线AC、BD的中点，若∠M=60°，求证：EFAB； （3）如图2．在△ABC中，点D、E分别在边AC、AB上，且满足∠DBC=∠ECB∠A，线段CE、BD交于点O． ①求证：∠BDC=∠AEC； ②请在图中找到一个“等对边四边形”，并给出证明． 4．(1)发现：如图，点是线段上的一点，分别以，为边向外作等边三角形和等边三角形，连接，，相交于点． ①线段与的数量关系为：　 　；的度数为　 　． ②可看作经过怎样的变换得到的？　 　． (2)应用：如图2，若点，，不在一条直线上，中的结论①还成立吗？请说明理由； (3)拓展：在四边形中，，，，若，，请直接写出，两点之间的距离． 四、能力提升 提升1 等腰三角形的性质 1．如图所示，D是等边三角形ABC外一点，DB＝DC，∠BDC＝120°，点E，F分别在AB，AC上． （1）求证：AD是BC的垂直平分线． （2）若ED平分∠BEF，求证：FD平分∠EFC． （3）在（2）的条件下，求∠EDF的度数． 2．如图，已知等边 的边长为，现有两点 M、N 分别从点 A、点 B 同时出发，沿三角形的边运动，运动时间为，已知点 M的速度，点 N的速度为．当点 N 第一次到达 B 点时，M、N 同时停止运动． （1）当点 N 第一次到达 B 点时，点M的位置在      ；当 M、N运动        秒时，点N追上点M； （2）当点 M、N 在 边上运动时，能否得到以为底边的等腰三角形？如存在，请求出此时 M、N 运动的时间． （3）当为直角三角形时，运动时间t的值是                提升2 等腰三角形的判定 1．如图，点D、E在△ABC的边BC上，AD=AE，BD=CE． （1）求证：AB=AC； （2）若∠BAC=108°，∠DAE=36°，直接写出图中除△ABC与△ADE外所有的等腰三角形． 2．如图，点O是等边△ABC内一点，D是△ABC外的一点，∠AOB=110°，∠BOC=α，△BOC≌△ADC，∠OCD=60°，连接OD． （1）求证：△OCD是等边三角形； （2）当α=150°时，试判断△AOD的形状，并说明理由； （3）探究：当α为多少度时，△AOD是等腰三角形． 3．如图，已知AB=AC，∠A=36°，AB的中垂线MN交AC于点D，交AB于点M，有下面4个结论： ①BD是∠ABC的角平分线； ②△BCD是等腰三角形； ③△ABC∽△BCD； ④△AMD≌△BCD． （1）判断其中正确的结论是哪几个？ （2）从你认为是正确的结论中选一个加以证明． 提升3等腰三角形的判定性质综合 1．（1）如图1，在中，，D是边的中点，E、F分别是、边上的点．若B、E、F在一条直线上，且，探究与的数量之间有何等量关系，并证明你的结论． （2）为了丰富学生的业余生活，增强学生的身体素质，某体育课上老师组织学生进行传球训练．如图2所示，体育老师在地面画了一块场地，已知米，米，D为的中点，测得的长为15米，受训练的两名同学E和F分别在和边上移动，老师站在C点位置给同学传球，先把球传给E同学，E同学再传给F同学，请求出所传球的运动路径最小值（即的最小值）． 2．在中，，点O是所在平面内一点，连接OA，延长OA到点E，使得，连接OC，过点B作BD与OC平行，并使，且，连接DE．若，且，，则的大小为______． 3．如图，是等腰直角三角形，，动点从点出发，沿以每秒个单位的速度向终点运动，过点作交于点点不与点、重合，点绕点沿逆时针方向旋转至点，连结，，设点的运动时间为秒． （1）______，______用含代数式表示 （2）当点落在线段上时，求的值； （3）设与重叠部分面积为，用含的代数式表示； （4）当线段的垂直平分线经过一边中点时，直接写出的值． 4．已知两个等腰有公共顶点C，，连接是的中点，连接． （1）如图1，当与在同一直线上时，求证：； （2）如图2，当时，求证：． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 人教版数学八年级上暑假自学课专题训练 专题十四 等腰三角形（解析版） 一、专题导航 2、 知识点梳理 知识点1 等腰三角形的定义及性质 等腰三角形的概念 有两边相等的三角形是等腰三角形。 等腰三角形的性质 1、等腰三角形的性质： （1）等腰三角形的两个底角相等（简写成“等边对等角”）． （2）等腰三角形的顶角平分线，底边上的中线、�底边上的高互相重合（通常称作“三线合一”）． 2、解题方法：设辅助未知数法与拼凑法． 3、重要的数学思想方法：方程思想、整体思想和转化思想． 在解决等腰三角形边长的问题时，如果不明确底和腰时，要进行分类讨论，同时要养成检验三边长能否组成三角形的好习惯，把不符合题意的舍去。 典例剖析1 例1-1．如图，AB=AE，AB∥DE，∠DAB=70°，∠E=40°． （1）求∠DAE的度数； （2）若∠B=30°，求证：AD=BC． 【解析】（1）根据平行线的性质可得∠EAB，再根据角的和差关系即可求解； （2）根据ASA可证△ADE≌△BCA，再根据全等三角形的性质即可求解． 解（1）∵AB∥DE，∠E=40°， ∴∠EAB=∠E=40°， ∵∠DAB=70°， ∴∠DAE=30°； （2）证明：在△ADE与△BCA中， ， ∴△ADE≌△BCA（ASA）， ∴AD=BC． 例1-2．已知：如图，在等腰△ABC中，AB=AC．求作：在BC边上找一点D，使得AD=CD． 小李同学在学习了尺规作图的相关知识后，设计作图步骤如下： ①分别以点A，C为圆心，大于AC长为半径作弧，两弧相交于M，N两点； ②连接MN，交BC于点D，连接AD； ③点D即为所求． （1）请根据上述的设计方案，补全作图痕迹，并分析小李同学的作图依据是 _____； （2）补充下面的证明过程： 证明：设MN交AC于点E， ∵MN垂直平分AC， ∴∠AED=∠CED=90°，_____，DE=DE， ∴△AED≌△CED， ∴AD=_____．（ _____）（填推理依据）． 【答案】(1)线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等;(2)垂直的定义;(3)CD;(4)线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等; 【解析】（1）根据线段垂直平分线的性质作出图形即可； （2）根据线段垂直平分线的性质即可得到结论． 解：（1）如图所示， 作图依据是线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等； 故答案为：线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等； （2）证明：设MN交AC于点E， ∵MN垂直平分AC， ∴∠AED=∠CED=90°，（垂直的定义）DE=DE， ∴△AED≌△CED， ∴AD=CD．（ 线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等）（填推理依据）． 故答案为：垂直的定义，CD，线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等． 知识点2等腰三角形的判定 判定定理 如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等．【简称：等角对等边】 说明：①等腰三角形是一个轴对称图形，它的定义既作为性质，又可作为判定办法． ②等腰三角形的判定和性质互逆； ③在判定定理的证明中，可以作未来底边的高线也可以作未来顶角的角平分线，但不能作未来底边的中线； ④判定定理在同一个三角形中才能适用 典例剖析2 例2-1．已知：如图，中，是中点，垂足为，垂足为，且，求证：是等腰三角形 【答案】见解析 【解析】由是中点可得，再证明可得，然后根据等角对等边可得即可证明结论． 解：∵是中点 ∴ 在和中 ∴ ∴ ∴,即是等腰三角形． 【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定和性质、等腰三角形的判定等知识点，证得是解答本题的关键． 例2-2．如图，在△ABC中，点O是AC边上一个动点，过点O作直线MNBC，设MN交∠BCA的平分线于点E，交∠BCA的外角平分线于点F． （1）探究OE与OF的数量关系并加以证明； （2）当点O运动到AC上的什么位置时，四边形AECF是矩形，请说明理由； （3）在（2）的基础上，△ABC满足什么条件时，四边形AECF是正方形？为什么？ 【答案】（1）OE=OF，证明见解析 （2）当点O运动到AC的中点处时，四边形AECF是矩形，理由见解析 （3）∠ACB=90°，理由见解析 【解析】（1）由平行线的性质和角平分线定义得出∠OEC＝∠OCE，∠OFC＝∠OCF，根据“等角对等边”得出OE＝OC，OF＝OC，即可得出结论； （2）由（1）得出的OE＝OC＝OF，点O运动到AC的中点时，则由OE＝OC＝OF＝OA，证出四边形AECF是平行四边形，再证出∠ECF＝90°即可； （3）由已知和（2）得到的结论，点O运动到AC的中点时，且△ABC满足∠ACB为直角的直角三角形时，则推出四边形AECF是矩形且对角线垂直，得出四边形AECF是正方形． 【小问1详解】 OE=OF ， 理由：∵CE平分∠ACB， ∴∠ACE=∠BCE， ∴MNBC， ∴∠BCE=∠NEC， ∴∠ACE=∠NEC， ∴OE=OC， ∵CF平分∠ACD， ∴∠ACF=∠DCF， ∴MNBC， ∴∠MFC=∠DCF， ∴∠ACF=∠MFC， ∴OF=OC， ∴OE=OF； 【小问2详解】 当点O运动到AC的中点处时，四边形AECF是矩形， 理由：∵AO=OC，OE=OF ， ∴四边形AECF是平行四边形 ， ∵CE、CF分别是∠ACB、∠ACD平分线 ， ∴∠ECF=∠BCA +∠ACD =∠BCD=90°， ∴平行四边形AECF是矩形． 【小问3详解】 在（2）的条件下，当△ABC满足条件∠ACB=90°时，四边形AECF是正方形， 理由：∴MNBC，∠ACB=90°， ∴∠AOE=90° ， 即AC⊥EF，而平行四边形AECF是矩形． ∴矩形AECF是正方形． 【点睛】此题是四边形综合题目，考查了正方形和矩形的判定、平行四边形的判定、等腰三角形的判定、平行线的性质以及角平分线的定义等知识；本题综合性强，属于探究条件型题． 例2-3．如图，在△ABC中，∠BAC=90°，∠ABC=35°，请用尺规作图法在边CB上求作一点D，使得AD将△ABC分为两个等腰三角形．（不写作法，保留作图痕迹） 【解析】根据“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”，作线段BC的垂直平分线，交BC于点D，连接AD，则△ACD与△ABD即为两个等腰三角形． 解：如图，作线段BC的垂直平分线，交BC于点D，连接AD， 可得AD=CD=BD， 则△ACD与△ABD即为两个等腰三角形． ∴点D即为所求． 知识点3 等腰三角形的性质、判定的综合 等腰三角形的性质的作用 性质1证明同一个三角形中的两角相等.是证明角相等的一个重要依据． 性质2用来证明线段相等，角相等，垂直关系等． 等腰三角形的判定是证明两条线段_相等_的重要定理，是将三角形中的角的相等关系转化为边的相等关系的重要依据.等腰三角形的性质定理和判定定理是互逆定理 典例剖析3 例3-1．如图，△ABC中，∠ABC与∠ACB的平分线交于点F，过点F作DE∥BC交AB于点．D，交AC于点E，那么下列结论：①△BDF和△CEF都是等腰三角形；②DE=BD+CE；③BC=BD+CE；④△ADE的周长=AB+AC；⑤BF=CF．其中正确的有（　　） A. ①②③ B. ①②④ C. ①②④⑤ D. ②④⑤ 【答案】B 【解析】由平行线得到角相等，由角平分线得角相等，根据平行线的性质及等腰三角形的判定和性质． 解：∵DE∥BC， ∴∠DFB=∠FBC，∠EFC=∠FCB， ∵BF是∠ABC的平分线，CF是∠ACB的平分线， ∴∠FBC=∠DFB，∠FCE=∠FCB， ∵∠DBF=∠DFB，∠EFC=∠ECF， ∴△DFB，△FEC都是等腰三角形． ∴DF=DB，FE=EC，即有DE=DF+FE=DB+EC， ∴△ADE的周长AD+AE+DE=AD+AE+DB+EC=AB+AC， ①②④正确， 故选：B． 例3-2．如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，BD⊥AD于点D，过点D作DE∥AC，交AB于点E，若AB=6，则DE的长为（　　） A. 2.5 B. 3 C. 3.5 D. 4 【答案】B 【解析】求出∠CAD=∠BAD=∠EDA，推出AE=DE，求出∠ABD=∠EDB，推出BE=DE，求出AE=BE，根据直角三角形斜边上中线性质求出即可． 解：∵AD平分∠BAC， ∴∠BAD=∠CAD， ∵DE∥AC， ∴∠CAD=∠ADE， ∴∠BAD=∠ADE， ∴AE=DE， ∵AD⊥DB， ∴∠ADB=90°， ∴∠EAD+∠ABD=90°，∠ADE+∠BDE=∠ADB=90°． ∴∠ABD=∠BDE． ∴DE=BE． ∵AB=6， ∴DE=BE=AE=AB=3， 故选：B． 例3-3．一次函数y=2x-4的图象与x轴交于点A，且经过点B（m,4）． （1）求点A和点B的坐标； （2）直接在图的平面直角坐标系中画出一次函数y=2x-4的图象； （3）点P在x轴的正半轴上，若△ABP是以AB为腰的等腰三角形，请直接写出所有符合条件的P点坐标． 【解析】（1）把y=0和4分别代入函数解析式，即可求得相应的x和m的值，即可得点A、B的坐标； （2）利用描点法画图象即可； （3）根据等腰三角形的性质即可得出答案． 解：（1）∵一次函数 y=2x-4 的图象与x轴交于点A， ∴令y=0，2x-4=0， 解得x=2， ∴点A的坐标是（2，0）， ∵点B（m,4）在一次函数y=2x-4 的图象上， 把B（m,4）代入y=2x-4，得2m-4=4， ∴m=4， ∴点B的坐标是（4，4）； （2）图象过点A的坐标是（2，0），点B的坐标是（4，4），如图： （3）∵A（2，0），B（4，4）， ∴AB==2， ∵点P在x轴的正半轴上，△ABP是以AB为腰的等腰三角形， ∴P的坐标为（6，0）或（2+2，0）． 三、变式训练 变式1 等腰三角形的性质 1．如图，在△ABC中，∠B=∠C，D，E分别是线段BC、AC上的一点，且AD=AE． （1）如图1，若∠BAC=90°，D为BC中点，则∠2的度数为_____； （2）如图2，用等式表示∠1与∠2之间的数量关系，并给予证明． 【答案】22.5° 【解析】（1）根据三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和，∠AED=∠EDC+∠C，∠ADC=∠B+∠BAD，再根据等边对等角的性质∠B=∠C，∠ADE=∠AED，进而得出∠BAD=2∠CDE． （2）根据三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和，∠AED=∠EDC+∠C，∠ADC=∠B+∠BAD，再根据等边对等角的性质∠B=∠C，∠ADE=∠AED，进而得出∠BAD=2∠CDE． 解：（1）∠AED=∠CDE+∠C，∠ADC=∠B+∠BAD， ∵AD=AE， ∴∠AED=∠ADE， ∵∠B=∠C，∠BAC=90°，D是BC中点， ∴∠BAD=45°， ∴∠B+∠BAD=∠EDC+∠C+∠CDE， 即∠BAD=2∠CDE， ∴∠2=22.5°； 故答案为：22.5°． （2）∠AED=∠CDE+∠C，∠ADC=∠B+∠BAD， ∵AD=AE， ∴∠AED=∠ADE， ∵AB=AC， ∴∠B=∠C， ∴∠B+∠BAD=∠EDC+∠C+∠CDE， 即∠BAD=2∠CDE，∠1=2∠2． 2．如图，在中，，D是上的一点，且，点E是的中点，连接．求证：． 【答案】见解析 【解析】根据直角三角形斜边上中线的性质得出，根据等腰三角形性质得出，根据三角形外角性质得出，再根据已知条件即可证明结论． 证明：∵， ∴为直角三角形． 又∵点E是的中点， ∴， 又∵， ∴， ∴， 又∵， ∴． 又∵， ∴． 【点睛】本题主要考查了直角三角形斜边上的中线，等腰三角形的性质，三角形外角的性质，解题的关键是熟练掌握直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半． 3．如图，平行四边形的对角线交于点O，E为中点，过点C作交的延长线于F，连接． （1）求证： （2）当满足什么条件时，四边形为矩形？请说明理由． 【答案】（1）见解析 （2）当满足时，四边形为矩形，理由见解析 【解析】（1）由证明即可； （2）先证四边形为平行四边形，再由等腰三角形的性质得，则，即可得出平行四边形为矩形． 【小问1详解】 ∵， ∴， ∵E是的中点， ∴， 在和中， ， ∴； 小问2详解】 当满足时，四边形为矩形，理由如下： ∵， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∵， ∴四边形为平行四边形， ∵， ∴， ∴， ∴平行四边形为矩形． 【点睛】本题考查了矩形的判定、全等三角形的判定与性质、平行四边形的判定与性质、等腰三角形的性质等知识，熟练掌握平行四边形的判定与性质，证明是解题的关键． 4．如图，在中，. ⑴已知线段AB的垂直平分线与BC边交于点P，连结AP，求证：； ⑵以点B为圆心，线段AB的长为半径画弧，与BC边交于点Q，连结AQ，若，求的度数. 【答案】（1）见解析；（2）∠B=36°. 【解析】（1）根据垂直平分线的性质，得到PA=PB，再由等腰三角形的性质得到∠PAB=∠B，从而得到答案； （2）根据等腰三角形的性质得到∠BAQ=∠BQA，设∠B=x，由题意得到等式∠AQC=∠B+∠BAQ=3x，即可得到答案. （1）证明：因为点P在AB的垂直平分线上， 所以PA=PB， 所以∠PAB=∠B， 所以∠APC=∠PAB+∠B=2∠B. （2）根据题意，得BQ=BA， 所以∠BAQ=∠BQA， 设∠B=x， 所以∠AQC=∠B+∠BAQ=3x， 所以∠BAQ=∠BQA=2x， 在△ABQ中，x+2x+2x=180°， 解得x=36°，即∠B=36°. 【点睛】本题考查垂直平分线的性质、等腰三角形的性质，解题的关键是掌握垂直平分线的性质、等腰三角形的性质. 变式2 等腰三角形的判定 1．如图，∠AOB=90°，线段OA=18cm,OB=6m,一机器人Q在点B处． （1）若BC=AC，求线段BC的长； （2）在（1）的条件下，机器人Q从点B出发，以3m/min的速度沿着△OBC的三条边逆时针走一圈后回到点B，设行走的时间为t min,则t=_____时，△OBQ是以OB为腰的等腰三角形. 【答案】4或6 【解析】（1）设BC=x m,则OC=（18-x）m,利用直角三角形的勾股定理得出x的值即可； （2）根据等腰三角形的定义，分两种情况进行讨论，列出关于t的方程解答即可． 解：（1）设BC=x m, ∵BC=AC， ∴OC=OA-CA=OA-BC=（18-x）m, 在Rt△OBC中，OB2+OC2=BC2， 即62+（18-x）2=x2， 解得：x=10， 即线段BC的长为10m； （2）当点Q在OC上时，OB=OQ=6， 此时3t=6+6=12， 解得t=4， 当点Q在BC上时，OB=BQ=6， 此时6+8+10-3t=6， 解得t=6， 综上所述，当t=4s或6s时，△OBQ是以OB为腰的等腰三角形． 故答案为：4或6． 2．如图在△ABC中，∠BAC=75°，∠ACB=35°，∠ABC的平分线BD交边AC于点D． 求证：△BCD为等腰三角形． 【解析】先利用三角形的内角和求出∠ABC=70°，再利用角平分线的定义求出∠DBC=35°，最后利用等边对等角即可解答． 证明：∵∠BAC=75°，∠ACB=35°， ∴∠ABC=180°-∠BAC-∠ACB=70°， ∵BD平分∠ABC， ∴∠DBC=∠ABC=35°， ∴∠DBC=∠ACB=35°， ∴DB=DC， ∴△BCD为等腰三角形． 3．如图△ABC是等边三角形，BD是角平分线，延长BC至E，使CE=CD．求证△BED是等腰三角形． 【解析】根据等边三角形的性质及等腰三角形的判定可得结论． 证明：∵△ABC是等边三角形， ∴∠ABC=∠ACB=60°， ∵BD是角平分线， ∴∠DBC=∠ABC=30°．（三线合一） ∵CD=CE， ∴∠E=∠CDE， ∵∠ACB=∠E+∠CDE， ∴∠E=∠CDE=∠ACB=30°， ∴∠DBC=∠E， ∴BD=DE， ∴△BED是等腰三角形． 变式3等腰三角形的判定性质综合 1．如图，． （1）写出与的数量关系 （2）延长到，使，延长到，使，连接．求证：． （3）在（2）的条件下，作的平分线，交于点，求证：． 【答案】（1）， （2）见解析 （3）见解析 【解析】（1）勾股定理求得，结合已知条件即可求解； （2）根据题意画出图形，证明，得出，则，即可得证； （3）延长交于点，延长交于点，根据角平分线以及平行线的性质证明，进而证明，即可得证． 【小问1详解】 解：∵ ∴， ∵ ∴ 即； 【小问2详解】 证明：如图所示， ∴ ∴， ∵， ∴ ∵，, ∴ ∴ ∴ ∴ 【小问3详解】 证明：如图所示，延长交于点，延长交于点， ∵，， ∴， ∴ ∵是的角平分线， ∴， ∴ ∴ ∵， ∴，， ∴， 又∵， ∴， 即， ∴， 又，则， 在中， ， ∴， ∴ 【点睛】本题考查了全等三角形的性质与判定，等腰三角形的性质与判定，勾股定理，平行线的性质与判定，熟练掌握全等三角形的性质与判定是解题的关键． 2．如图，在中，，，点在线段上，于点，连接，．已知，． （1）求证：． （2）若，求线段的长． 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】（1）先根据三角形内角和定理求出，进而求出，再根据三角形内角和定理得到，进而根据等边对等角和三角形外角的性质推出，即可证明； （2）先求出，得到，在中根据勾股定理和含30度角的直角三角形的性质求出的长即可 ． 【小问1详解】 证明：∵， ∴， ∵，， ∴， ∴； ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 在中，， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查了三角形内角和定理，三角形外角的性质，等腰三角形的性质与判定，勾股定理，含30度角的直角三角形的性质，灵活运用所学知识是解题的关键． 3．定义：至少有一组对边相等的四边形为“等对边四边形”． （1）请写出一个你学过的特殊四边形中是“等对边四边形”的名称； （2）如图1，四边形ABCD是“等对边四边形”，其中AB=CD，边BA与CD的延长线交于点M，点E、F是对角线AC、BD的中点，若∠M=60°，求证：EFAB； （3）如图2．在△ABC中，点D、E分别在边AC、AB上，且满足∠DBC=∠ECB∠A，线段CE、BD交于点O． ①求证：∠BDC=∠AEC； ②请在图中找到一个“等对边四边形”，并给出证明． 【答案】（1）如：平行四边形、矩形、菱形、等腰梯形等；（2）证明见解析；（3）①证明见解析；②四边形EBCD是等对边四边形．证明见解析． 【解析】（1）理解等对边四边形的图形的定义，有平行四边形、矩形、菱形、等腰梯形等，可得出答案． （2）取BC的中点N，连接EN，FN，由中位线定理可得EN＝12CD，FN＝12AB，可证明△EFN为等边三角形，则结论得证； （3）①证明∠EOB＝∠A，利用四边形内角和可证明∠BDC＝∠AEC； ②作CG⊥BD于G点，作BF⊥CE交CE延长线于F点．根据AAS可证明△BCF≌△CBG，则BF＝CG，证明△BEF≌△CDG，可得BE＝CD，则四边形EBCD是“等对边四边形”． （1）如：平行四边形、矩形、菱形、等腰梯形等． （2）如图1，取BC的中点N，连接EN，FN， ∴ENCD，FNAB， ∴EN=FN． ∵∠M=60°， ∴∠MBC+∠MCB=120°． ∵FN∥AB，EN∥MC， ∴∠FNC=∠MBC，∠ENB=∠MCB， ∴∠ENF=180°﹣120°=60°， ∴△EFN为等边三角形， ∴EF=FNAB． （3）①证明：∵∠BOE=∠BCE+∠DBC，∠DBC=∠ECB∠A， ∴∠BOE=2∠DBC=∠A． ∵∠A+∠AEC+∠ADB+∠EOD=360°，∠BOE+∠EOD=180°， ∴∠AEC+∠ADB=180°． ∵∠ADB+∠BDC=180°， ∴∠BDC=∠AEC； ②解：此时存在等对边四边形，是四边形EBCD． 如图2，作CG⊥BD于G点，作BF⊥CE交CE延长线于F点． ∵∠DBC=∠ECB∠A，BC=CB，∠BFC=∠BGC=90°， ∴△BCF≌△CBG(AAS)， ∴BF=CG． ∵∠BEF=∠ABD+∠DBC+∠ECB，∠BDC=∠ABD+∠A， ∴∠BEF=∠BDC， ∴△BEF≌△CDG(AAS)， ∴BE=CD， ∴四边形EBCD是等对边四边形． 【点睛】本题是四边形综合题，考查了全等三角形的判定与性质，中位线定理，等腰三角形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，四边形内角和等知识，解决本题的关键是理解等对边四边形的定义． 4．(1)发现：如图，点是线段上的一点，分别以，为边向外作等边三角形和等边三角形，连接，，相交于点． ①线段与的数量关系为：　 　；的度数为　 　． ②可看作经过怎样的变换得到的？　 　． (2)应用：如图2，若点，，不在一条直线上，中的结论①还成立吗？请说明理由； (3)拓展：在四边形中，，，，若，，请直接写出，两点之间的距离． 【答案】(1)①，；②可看作绕点顺时针旋转得到的；(2)(1)中的结论①依然成立；理由见解析；(3) 【解析】（1）①证明，得出，，，根据，即可得出结论； ②由①知：，且，则可看作绕点顺时针旋转得到的； （2）同（1）的方法证明，得出，，，根据，即可得出结论； （3）过点作于，过点作，交延长线于，得出是等腰直角三角形，证明，则，进而得出，勾股定理即可求解． 解：（1）①、都为等边三角形， ，，， ， 在和中，， ， ，， ， ， 故答案为：，； ②由①知：， ，，， ， 可看作绕点顺时针旋转得到的， 故答案为：可看作绕点顺时针旋转得到的； （2）若点，，不在一条直线上，（1）中的结论①依然成立；理由如下： 、都为等边三角形， ，，， ， 在和中，， ， ，， ， ； （3）过点作于，过点作，交延长线于，如图所示： ， 是等腰直角三角形， ， ， ， ， 在和中，， ， ， ， ． 【点睛】本题考查了旋转变换，全等三角形的综合，勾股定理，等腰三角形的性质与判定，正确的添加辅助线是解题的关键． 四、能力提升 提升1 等腰三角形的性质 1．如图所示，D是等边三角形ABC外一点，DB＝DC，∠BDC＝120°，点E，F分别在AB，AC上． （1）求证：AD是BC的垂直平分线． （2）若ED平分∠BEF，求证：FD平分∠EFC． （3）在（2）的条件下，求∠EDF的度数． 【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）∠EDF＝60°． 【解析】（1）求出AB=AC，BD=DC，根据线段垂直平分线性质求出即可； （2）过D作DM⊥EF，连接AD，求出AD平分∠BAC，求出∠ABC=∠ACB=60°，求出BD=DM，BD=DC，推出DM=DC即可； （3）求出DB=DM，DM=DC，∠EBD=∠EMD=90°，证出△EBD≌△EMD，推出∠BDE=∠EDM，同理∠CDF=∠FDM，进而得出2∠EDF=∠BDC=120°． （1）∵△ABC是等边三角形， ∴AB＝AC， ∴A在BC的垂直平分线上， ∵BD＝DC， ∴D在BC的垂直平分线上， ∴AD是BC的垂直平分线 （2）过D作DM⊥EF，连接AD， ∵AD是BC的垂直平分线， ∴AD平分∠BAC， ∵△ABC是等边三角形， ∴∠ABC＝∠ACB＝60°， ∵BD＝DC，∠BDC＝120°， ∴∠DBC＝∠DCB＝30°， ∴∠ABD＝∠ACD＝90°， ∴DB⊥AB，DC⊥AC， ∵DM⊥EF，ED平分∠BEF，AD平分∠BAC， ∴BD＝DM，BD＝DC， ∴DM＝DC， ∴FD平分∠EFC； （3）如图， ∵DE平分∠BEF，DB⊥AB，DM⊥EF，DF平分∠CFE， ∴DB＝DM，DM＝DC，∠EBD＝∠EMD＝90°， 在△EBD和△EMD中 ， ∴△EBD≌△EMD， ∴∠BDE＝∠EDM， 同理∠CDF＝∠FDM， ∴2∠EDF＝∠BDC＝180°﹣30°﹣30°＝120°， ∴∠EDF＝60°． 【点睛】此题考查了等边三角形，直角三角形，等腰三角形的性质以及全等三角形的判定与性质等知识．此题综合性很强，难度较大，解题的关键是注意数形结合思想的应用与辅助线的作法. 2．如图，已知等边 的边长为，现有两点 M、N 分别从点 A、点 B 同时出发，沿三角形的边运动，运动时间为，已知点 M的速度，点 N的速度为．当点 N 第一次到达 B 点时，M、N 同时停止运动． （1）当点 N 第一次到达 B 点时，点M的位置在      ；当 M、N运动        秒时，点N追上点M； （2）当点 M、N 在 边上运动时，能否得到以为底边的等腰三角形？如存在，请求出此时 M、N 运动的时间． （3）当为直角三角形时，运动时间t的值是                【答案】（1）线段的中点，6 （2）存在，当M、N运动8秒时，能得到以为底的等腰三角形 （3），，，9 【解析】（1）先求解N第一次到达B的时间，可得M的位置，再点M、N运动x秒后，M、N两点重合，可得，再解方程即可； （2）先证明，可得，再建立方程，即可得到答案； （3）当点N在上运动时，如图3，若，如图4，当，再利用含的直角三角形的性质列方程即可，当点N在上运动时，点M也在AC上，此时A，M，N不能构成三角形：当点N在上运动时，如图5，当点N位于中点处时，由为等边三角形知，如图6，当点M位于中点处时，由时等边三角形知，即是直角三角形，再列方程求解即可． 【小问1详解】 解：当点 N 第一次到达 B 点时，， 此时运动了， ∴点M的位置在线段BC的中点， 设点M、N运动x秒后，M、N两点重合，， 解得：， 即当M、N运动6秒时，点N追上点M． 【小问2详解】 当点M、N在边上运动时，可以得到以为底边的等腰三角形， 由（1）知6秒时M、N两点重合，恰好在C处， 如图2，假设是等腰三角形， ∴， ∴． ∴， ∵是等边三角形， ∴，AB=AC， 在和中， ∵，， ∴ ∴， ∴， 解得，符合题意． 所以假设成立，当M、N运动8秒时，能得到以为底的等腰三角形． 【小问3详解】 当点N在上运动时，如图3， 若， ∵，， ∴， ∵， ∴，即，解得． 如图4，当， 同理可得：由得，解得； 当点N在上运动时，点M也在AC上，此时A，M，N不能构成三角形： 当点N在上运动时， 如图5，当点N位于中点处时，由为等边三角形知， 即是直角三角形， 则，解得． 如图6，当点M位于中点处时，由时等边三角形知，即是直角三角形， 则； 综上，当，，，9时，可得到直角三角形． 【点睛】本题考查的是动态几何问题，等边三角形的性质，等腰三角形的定义，含的直角三角形的性质，一元一次方程的应用，清晰的分类讨论是解本题的关键． 提升2 等腰三角形的判定 1．如图，点D、E在△ABC的边BC上，AD=AE，BD=CE． （1）求证：AB=AC； （2）若∠BAC=108°，∠DAE=36°，直接写出图中除△ABC与△ADE外所有的等腰三角形． 【解析】（1）首先过点A作AF⊥BC于点F，由AD=AE，根据三线合一的性质，可得DF=EF，又由BD=CE，可得BF=CF，然后由线段垂直平分线的性质，可证得AB=AC． （2）根据等腰三角形的判定解答即可． 证明：（1）过点A作AF⊥BC于点F， ∵AD=AE， ∴DF=EF， ∵BD=CE， ∴BF=CF， ∴AB=AC． （2）∵∠B=∠BAD，∠C=∠EAC，∠BAE=∠BEA，∠ADC=∠DAC， ∴除△ABC与△ADE外所有的等腰三角形为：△ABD、△AEC、△ABE、△ADC， 2．如图，点O是等边△ABC内一点，D是△ABC外的一点，∠AOB=110°，∠BOC=α，△BOC≌△ADC，∠OCD=60°，连接OD． （1）求证：△OCD是等边三角形； （2）当α=150°时，试判断△AOD的形状，并说明理由； （3）探究：当α为多少度时，△AOD是等腰三角形． 【解析】（1）根据有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形可得证； （2）根据全等易得∠ADC=∠BOC=α=150°，结合（1）中的结论可得∠ADO为90°，那么可得所求三角形的形状； （3）根据题中所给的全等及∠AOB的度数可得∠AOD的度数，根据等腰三角形的两底角相等分类探讨即可． 证明：（1）∵△BOC≌△ADC， ∴OC=DC， ∵∠OCD=60°， ∴△OCD是等边三角形． 解： （2）△AOD是直角三角形． 理由如下： ∵△OCD是等边三角形， ∴∠ODC=60°， ∵△BOC≌△ADC，α=150°， ∴∠ADC=∠BOC=α=150°， ∴∠ADO=∠ADC-∠ODC=150°-60°=90°， ∴△AOD是直角三角形． （3）∵△OCD是等边三角形， ∴∠COD=∠ODC=60°． ∵∠AOB=110°，∠ADC=∠BOC=α， ∴∠AOD=360°-∠AOB-∠BOC-∠COD=360°-110°-α-60°=190°-α， ∠ADO=∠ADC-∠ODC=α-60°， ∴∠OAD=180°-∠AOD-∠ADO=180°-（190°-α）-（α-60°）=50°． ①当∠AOD=∠ADO时，190°-α=α-60°， ∴α=125°． ②当∠AOD=∠OAD时，190°-α=50°， ∴α=140°． ③当∠ADO=∠OAD时， α-60°=50°， ∴α=110°． 综上所述：当α=110°或125°或140°时，△AOD是等腰三角形． 3．如图，已知AB=AC，∠A=36°，AB的中垂线MN交AC于点D，交AB于点M，有下面4个结论： ①BD是∠ABC的角平分线； ②△BCD是等腰三角形； ③△ABC∽△BCD； ④△AMD≌△BCD． （1）判断其中正确的结论是哪几个？ （2）从你认为是正确的结论中选一个加以证明． 【解析】（1）利用等腰三角形和线段垂直平分线的性质分析． （2）先①根据等腰三角形的性质证明∠ABC=∠ACB，再根据中垂线的性质证明． 解：（1）连接BD， ①∵AB=AC，∠A=36° ∴△ABC是等腰三角形，∠ABC=∠ACB==72°， ∵AB垂直平分线交AC于D，交AB于M， ∴根据中垂线的性质，中垂线上的点到线段的两个端点的距离相等． 有AD=BD，∴∠A=∠ABD=36°， ∴∠DBC=∠ABC-∠ABD=72°-36°=36°， ∴BD平分∠ABC，故正确； ②∴∠BDC=180°-∠C-∠DBC=180°-72°-36°=72°， ∴BD=BC， ∴△BCD是等腰三角形．故正确； ③∠ABC=∠ACB=∠BDC=∠C， ∴△ABC∽△BCD，故正确； ④∵∠AMD=90°≠∠C=72°， ∴△AMD与△BCD不是全等三角形．故不正确． ∴①、②、③命题都正确．正确的结论是①、②、③； （2）证明：BD平分∠ABC， ∵AB=AC，∠A=36° ∴△ABC是等腰三角形，∠ABC=∠ACB==72°， ∵AB垂直平分线交AC于D，交AB于M， ∴根据中垂线的性质，中垂线上的点到线段的两个端点的距离相等．有AD=BD， ∴∠A=∠ABD=36°， ∴∠DBC=∠ABC-∠ABD=72°-36°=36°， ∴BD平分∠ABC． 提升3等腰三角形的判定性质综合 1．（1）如图1，在中，，D是边的中点，E、F分别是、边上的点．若B、E、F在一条直线上，且，探究与的数量之间有何等量关系，并证明你的结论． （2）为了丰富学生的业余生活，增强学生的身体素质，某体育课上老师组织学生进行传球训练．如图2所示，体育老师在地面画了一块场地，已知米，米，D为的中点，测得的长为15米，受训练的两名同学E和F分别在和边上移动，老师站在C点位置给同学传球，先把球传给E同学，E同学再传给F同学，请求出所传球的运动路径最小值（即的最小值）． 【答案】（1），证明见解析； （2）米． 【解析】（1）根据等角对等边，可知是等腰三角形，易证，证明≌，进而结论得证； （2）根据垂线段最短可知当B，E，F三点共线，且垂直时，有最小值为，根据等体积法求解即可． 【小问1详解】 解：． 理由如下：∵， ∴，． ∵，D是边的中点， ∴，， ∴． ∵， ∴． 在和中 ∵ ∴≌， ∴， ∴． 【小问2详解】 解：解：如图，连接 ∵，， ∴， ∴， ∴当B，E，F三点共线，且垂直时，有最小值为． 由等面积法可得， 解得米， ∴所传球的运动路径最小值为米． 【点睛】本题考查了等腰三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，等体积法，垂线段最短．解题的关键在于对知识的灵活运用． 2．在中，，点O是所在平面内一点，连接OA，延长OA到点E，使得，连接OC，过点B作BD与OC平行，并使，且，连接DE．若，且，，则的大小为______． 【答案】或 【解析】分点O在内部和点O在外部两种情况，分别画出图形，利用全等三角形的判定和性质，结合中位线性质，等腰三角形的判定和性质，求出即可． 解：当点O在内部时，连接交于点F，连接，延长交于点M，连接，如图所示： ∵，，， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴为垂直平分线， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∵为的中点，A为的中点， ∴， ∴； 当点O在外部时，连接交于点F，连接，延长交于点M，连接，如图所示： 同理可得：， ∴， ∵，， ∴，垂直平分， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴、A、O、M四点共圆， ∴， ∵为的中点，A为的中点， ∴， ∴； 综上分析可知，或． 故答案为：或． 【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，三角形中位线性质，垂直平分线性质，等腰三角形的判定和性质，平行线的性质，解题的关键是分类讨论，作出图形，构造全等三角形解决问题． 3．如图，是等腰直角三角形，，动点从点出发，沿以每秒个单位的速度向终点运动，过点作交于点点不与点、重合，点绕点沿逆时针方向旋转至点，连结，，设点的运动时间为秒． （1）______，______用含代数式表示 （2）当点落在线段上时，求的值； （3）设与重叠部分面积为，用含的代数式表示； （4）当线段的垂直平分线经过一边中点时，直接写出的值． 【答案】（1） ， （2） （3） （4）或或 【解析】（1）利用等腰直角三角形的判定和性质解决问题即可； （2）如图中，当点落在线段上时，； （3）当时，如图中，重叠部分是，当时，如图中，重叠部分是四边形，分别求解即可； （4）分三种情形，分别画出图形，构建方程求解． 【小问1详解】 解：，， ， ， ， ， ， ， 故答案为：，； 【小问2详解】 如图中，当点落在线段上时，， ， ． 【小问3详解】 当时，如图中，重叠部分是，． 当时，如图中，重叠部分是四边形，． 综上所述，． 【小问4详解】 如图中，当垂直平分线经过的中点时，， ， ． 如图中，当的垂直平分线经过的中点时，，此时， 如图中，当的垂直平分线经过的中点时， ， ， ， 综上所述，满足条件的的值为或或． 【点睛】本题属于三角形综合题，考查了等腰直角三角形的判定和性质，线段的垂直平分线的性质等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考常考题型． 4．已知两个等腰有公共顶点C，，连接是的中点，连接． （1）如图1，当与在同一直线上时，求证：； （2）如图2，当时，求证：． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 【解析】（1）法一：延长交于点，易证为等腰直角三角形，得到，进而得到为的中位线，即可得证；法二：延长交于，证明，进而推出是等腰直角三角形，得到，进而得到，即可得证； （2）法一：延长交于点D，连接，易得，，证明，得到，即可得证；法二：延长交于D，连接、，分别证明，推出是等腰直角三角形，进而得证． 【小问1详解】 解：法一： 如图：延长交于点， ∵等腰有公共顶点C，， ∴，，， ∴， ∴， ∴点为线段的中点， 又∵点为线段的中点， ∴为的中位线， ∴； 法二： 如图，延长交于， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵是的中点， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵在等腰直角中，， ∴， ∴；． 【小问2详解】 法一： 如图，延长交于点D，连接，则：， ∵， ∴， ∴， ∵为等腰直角三角形， ∴， ∴，， ∴点B为中点，又点M为中点， ∴． 延长与交于点G，连接， 同法可得：，， ∴点E为中点，又点M为中点， ∴． 在与中， ， ∴， ∴， ∴． 法二： 如图，延长交于D，连接、， ∵为等腰直角三角形，为等腰直角三角形， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵是的中点， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴， ∴是等腰直角三角形， 又∵， ∴， ∴． 【点睛】本题考查等腰三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，三角形的中位线定理，以及斜边上的中线等于斜边的一半．解题的关键是添加合适的辅助线，证明三角形全等． 学科网（北京）股份有限公司 $$