精品解析：上海市上海中学2023-2024学年高一下学期期终数学考试

上海中学2023学年第二学期期终考试 数学试题 高一______班 学号______ 姓名______ 成绩______ 一、填空题（每小题3分） 1. 如果一条直线和两条异面直线中的一条平行，那么它和另一条直线的位置关系是______． 2. 已知为虚数单位，若复数满足：，则复数在复平面内所对应的点在第_____象限． 3. 设平面向量，，若，不能组成平面上的一个基，则_____. 4. 已知平面与平面将空间分成3部分，若空间中还有一个平面，那么这三个平面可以将空间分成______．部分． 5. 若复数满足：，则______． 6. 在正方体ABCD－A1B1C1D1中，P为B1D1的中点，则直线PB与AD1所成的角为____ 7. 如图，在四边形ABCD中，G为对角线AC与BD中点连线的中点，为对角线与的交点，用的线性组合表示向量为：______． 8. 已知向量，满足：，，，则在上的数量投影为______． 9. 已知复数和复数满足：，则______． 10. 已知非零向量，，满足：，则的最大值为______． 11. 已知复数的模长都为1，且复数的实部为，则的最大值为______． 12. 已知平面向量，满足：．若对区间内的三个任意实数，都有，则向量与夹角的最大值的余弦值为______． 二、选择题（每小题4分） 13. 已知向量，，则“”是“和夹角是锐角”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分又不必要条件 14. 已知，则下列命题中正确个数为（ ） ①若，则 ②若为虚数，则中至少有一个为虚数． ③在复平面上所对应点一定在虚轴上． A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 15. 如图已知正方体，M，N分别是，的中点，则（ ） A. 直线与直线垂直，直线平面 B. 直线与直线平行，直线平面 C. 直线与直线相交，直线平面 D. 直线与直线异面，直线平面 16. 正方体中，为正方形内一点（不含边界），记为正方形的中心，直线与平面所成角分别为，．若，则点在（ ） A. 线段上 B. 线段上 C. 线段上 D. 线段上 三、解答题 17. 如图，正方体中，分别为的中点． （1）证明：平面； （2）求异面直线与所成角的大小． 18. 如图，已知正三角形的边长为2，点为边上一点，且． （1）若，求实数的值． （2）计算的值． 19. 设复数满足： （1）若，求与． （2）若是实系数一元二次方程的两个根，求实数的值． 20. 如图，在四棱锥中，底面是边长为2正方形，且，，点分别为的中点. （1）求证：平面； （2）求点到平面的距离. 21. 已知为等腰直角三角形，且，．点是的内部（包括的三条边）不同的点．记集合，若集合是集合的一个非空子集，向量表示集合中所有元素的和． （1）若点是斜边等分点，试求（用含的式子表示） （2）证明对于任意的集合，存在的两个非空子集满足以下条件：①，；②且. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 上海中学2023学年第二学期期终考试 数学试题 高一______班 学号______ 姓名______ 成绩______ 一、填空题（每小题3分） 1. 如果一条直线和两条异面直线中的一条平行，那么它和另一条直线的位置关系是______． 【答案】异面或相交 【解析】 【分析】根据空间中线线的位置关系得解. 【详解】如果一条直线和两条异面直线中的一条平行， 那么它和另一条直线的位置关系是异面或相交. 故答案为：异面或相交 2. 已知为虚数单位，若复数满足：，则复数在复平面内所对应的点在第_____象限． 【答案】二 【解析】 【分析】先根据复数的乘方及除法运算求出复数，再根据复数的几何意义即可得解. 【详解】由，得， 所以复数在复平面内所对应的点为，在第二象限. 故答案：二. 3. 设平面向量，，若，不能组成平面上的一个基，则_____. 【答案】## 【解析】 【分析】根据平面的基的概念，判断，利用向量共线的坐标公式计算即得. 【详解】由题意可知，，，， 则，解得. 故答案为：. 4. 已知平面与平面将空间分成3部分，若空间中还有一个平面，那么这三个平面可以将空间分成______．部分． 【答案】或 【解析】 【分析】由题意可得，再分分别与相交时，时两种情况讨论即可. 【详解】因为平面与平面将空间分成3部分， 所以， 当分别与相交时，这三个平面可以将空间分成部分； 当时，这三个平面可以将空间分成部分， 综上所述这三个平面可以将空间分成或部分. 故答案为：或. 5. 若复数满足：，则______． 【答案】 【解析】 【分析】根据复数模的性质求模. 【详解】因为，所以. 故答案为： 6. 在正方体ABCD－A1B1C1D1中，P为B1D1的中点，则直线PB与AD1所成的角为____ 【答案】## 【解析】 【分析】根据正方体性质有，则直线PB与AD1所成的角为，进而计算其正弦值得大小. 【详解】由，连接，故直线PB与AD1所成的角为， 若正方体棱长为2，则， 所以，故，则， 故. 故答案为： 7. 如图，在四边形ABCD中，G为对角线AC与BD中点连线的中点，为对角线与的交点，用的线性组合表示向量为：______． 【答案】 【解析】 【分析】根据题意利用中点的性质结合向量的加法运算法则分析求解. 【详解】因为G为的中点，则， 又因为分别为BD，AC的中点，则， 所以 故答案为：. 8. 已知向量，满足：，，，则在上的数量投影为______． 【答案】## 【解析】 【分析】先根据求出，再根据数量投影定义求解即可. 【详解】由， 得，即， 所以， 所以在上的数量投影为. 故答案为：. 9. 已知复数和复数满足：，则______． 【答案】 【解析】 【分析】设，根据题意结合共轭复数的概念可得和，进而可得，再结合复数的乘法运算求解即可. 【详解】设，则， 因为，可得； 且，可得， 由，可得， 由，可得， 则， ， 可得， ， 所以. 故答案为：. 10. 已知非零向量，，满足：，则的最大值为______． 【答案】## 【解析】 【分析】由题可得，化简得，利用不等式求出取最大值，即可求解. 【详解】由，可得，所以， 要使取最大值，则取最大值，由于，所以，当且仅当时等号成立，所以的最大值为， 故答案为： 11. 已知复数的模长都为1，且复数的实部为，则的最大值为______． 【答案】 【解析】 【分析】根据不等式求解. 【详解】因为，，的模长都为1，所以， 又的实部为，所以的虚部可能为， 所以，所以. 所以. 故答案为： 12. 已知平面向量，满足：．若对区间内的三个任意实数，都有，则向量与夹角的最大值的余弦值为______． 【答案】 【解析】 【分析】设，如图，不妨设，设为AB的中点，为OC的中点，为BD的中点，为AD的中点. 设，，分析得到，，求出，再求出的值即得解. 【详解】设，如图， 不妨设. 设为AB的中点，为OC的中点，为BD的中点，为AD的中点. 则，则， 设，，点在平行四边形内（含边界）， 所以，由题知恒成立. 为了使最大，则为钝角，即点在第一或第四象限. 不小于到直线的距离，所以为点到直线的距离， 所以. 即，即 即， 可得.所以. 所以 所以向量与夹角的最大值的余弦值为. 故答案为：. 【点睛】关键点点睛：利用坐标处理向量问题，结合向量的几何意义分析可得为了使最大， 则，进而运算求解即可. 二、选择题（每小题4分） 13. 已知向量，，则“”是“和的夹角是锐角”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分又不必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】根据两向量夹角为锐角得到不等式，求出且，结合包含关系得到答案. 【详解】和的夹角是锐角，则且和不同向共线， 故且， 解得且， 由推不出且，故充分性不成立， 由且推得出，故必要性成立， 所以是和的夹角是锐角的必要不充分条件. 故选：B 14. 已知，则下列命题中正确的个数为（ ） ①若，则 ②若为虚数，则中至少有一个为虚数． ③在复平面上所对应点一定在虚轴上． A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 【答案】C 【解析】 【分析】特例验证①的真假，用复数减法运算及共轭复数的概念判断②③的真假. 【详解】对①：因为，但，所以①错误； 对②：根据虚数减法的运算法则，可知②是正确的； 对③：设，则，所对应的点为,一定在虚轴上，故③正确. 故选：C 15. 如图已知正方体，M，N分别是，的中点，则（ ） A. 直线与直线垂直，直线平面 B. 直线与直线平行，直线平面 C. 直线与直线相交，直线平面 D. 直线与直线异面，直线平面 【答案】A 【解析】 【分析】由正方体间的垂直、平行关系，可证平面，即可得出结论. 【详解】 连，在正方体中， M是的中点，所以为中点， 又N是的中点，所以， 平面平面， 所以平面. 因为不垂直，所以不垂直 则不垂直平面，所以选项B,D不正确； 在正方体中，， 平面，所以， ，所以平面， 平面，所以， 且直线是异面直线， 所以选项C错误，选项A正确. 故选：A. 【点睛】关键点点睛：熟练掌握正方体中的垂直、平行关系是解题的关键，如两条棱平行或垂直，同一个面对角线互相垂直，正方体的对角线与面的对角线是相交但不垂直或异面垂直关系. 16. 正方体中，为正方形内一点（不含边界），记为正方形的中心，直线与平面所成角分别为，．若，则点在（ ） A. 线段上 B. 线段上 C. 线段上 D. 线段上 【答案】B 【解析】 【分析】根据线面角的定义可得直线与直线所成角大小关系，再根据判断即可. 【详解】直线与平面所成角大小分别为， 等价于直线与直线成角大小分别为， 由，可知P在线段上，又，则与所成角更小， 则点P在线段上. 故选：B. 三、解答题 17. 如图，正方体中，分别为的中点． （1）证明：平面； （2）求异面直线与所成角的大小． 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）连接，证明，再根据线面平行的判定定理即可得证； （2）先说明或其补角即异面直线与所成角，进而可得出答案. 【小问1详解】 连接， 因为分别为的中点，所以， 又平面，平面， 所以平面； 【小问2详解】 因为且， 所以四边形是平行四边形，所以， 又， 所以或其补角即为异面直线与所成角平面角， 因为，所以， 即异面直线与所成角的大小为． 18. 如图，已知正三角形的边长为2，点为边上一点，且． （1）若，求实数的值． （2）计算的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）结合图形，根据向量的线性运算即可得到答案； （2）根据（1）中结论结合向量数量积的运算律和定义即可得到答案. 【小问1详解】 由题意得， 则. 【小问2详解】 由（1）知 . 19. 设复数满足： （1）若，求与． （2）若是实系数一元二次方程的两个根，求实数的值． 【答案】（1）或 （2）或 【解析】 【分析】（1）先设，代入运算即可； （2）由题意可设，则，代入运算即可. 【小问1详解】 设，由得到， 因为， 则， 整理得， 可得，解得或， 所以或； 【小问2详解】 若，是实系数一元二次方程的两个虚根， 则，且，互共轭复数， 设，则，可得，， 因为，即 解得或， 所以或. 20. 如图，在四棱锥中，底面是边长为2的正方形，且，，点分别为的中点. （1）求证：平面； （2）求点到平面的距离. 【答案】（1）证明见解析； （2）. 【解析】 【分析】（1）根据给定条件，利用线面垂直的判定、性质推理即得. （2）利用等体积法求出点到平面的距离. 【小问1详解】 由底面为正方形，得，又平面， 于是平面，而平面，则，同理， 又平面， 所以平面. 【小问2详解】 由（1）得，点为的中点，在中，，点为的中点，同理， 在中，，因此， 在直角中，， 由（1）知平面，则平面，于是点到平面的距离为 设点到平面的距离为，由，得，解得， 所以点到平面的距离为. 21. 已知为等腰直角三角形，且，．点是的内部（包括的三条边）不同的点．记集合，若集合是集合的一个非空子集，向量表示集合中所有元素的和． （1）若点是斜边的等分点，试求（用含的式子表示） （2）证明对于任意的集合，存在的两个非空子集满足以下条件：①，；②且. 【答案】（1） （2）证明见解析 【解析】 【分析】（1）直接使用等分点的向量性质即可； （2）设，然后分和两种情况证明结论. 【小问1详解】 记的中点为，则由已知有. 所以. 【小问2详解】 对，设，则，. 同时，由于，. 故，. 若，取，，则，. 若，不妨设. 由于，， 故我们可以找到正整数，使得，. （换言之，是满足的正整数的最大值） 由于，故. 取，，则 ，且 . 综上，结论成立. 【点睛】关键点点睛：本题的关键在于对数量积的运算律的运用. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$