1.2集合的基本关系讲义-2023-2024学年高一上学期数学北师大版（2019）必修第一册

授课主题 集合的基本关系 年 级 高一 知 识 梳 理 一．子集、真子集、集合相等 1．子集、真子集、集合相等的相关概念 （1）集合A是集合B的部分元素构成的集合，我们说集合B包含集合A； （2）子集：如果集合A的任何一个元素都是集合B的元素，我们说这两个集合有包含关系，称集合A是集合B的子集.记作：，当集合A不包含于集合B时，记作AB，用Venn图表示两个集合间的“包含”关系： 注：①“是的子集”的含义是：的任何一个元素都是的元素，即由任意的，能推出． ②当不是的子集时，我们记作“(或)”，读作：“A不包含于B”（或“不包含”）． （3）真子集：若集合，存在元素xB且，则称集合A是集合B的真子集.记作：AB(或BA) 规定：空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集. （4）集合与集合之间的“相等”关系 ，则A与B中的元素是一样的，因此A=B 2．Venn图：用平面上封闭曲线的内部代表集合，这种图称为Venn图． 3．子集的性质 (1)任何一个集合是它本身的子集，即. (2)对于集合A，B，C，如果A⊆B，且B⊆C，那么A⊆C. 4.子集的个数 假设集合A中含有n个元素，则有：(1)A的子集有2n个；(2)A的非空子集有(2n－1)个； (3)A的真子集有(2n－1)个；(4)A的非空真子集有(2n－2)个. 二．空集 1.定义：不含任何元素的集合叫做空集 2.记作：∅ 3.规定:空集是任何集合的子集，即∅⊆A 4.特性：(1)空集只有一个子集，即它的本身；(2)若A≠∅，则∅A 5.区分：0，{0}，∅与{∅}之间的关系 ∅与0 ∅与{0} ∅与{∅} 相同点 都表示无的意思 都是集合 都是集合 不同点 ∅是集合；0是实数 ∅不含任何元素；{0}含一个元素0 ∅不含任何元素；{∅}含一个元素，该元素是∅ 关系 0∉∅ ∅{0} ∅{∅}或∅∈{∅} 例题讲解 知识点一、集合间的关系 例1、设集合，，则下列关系正确的是(    ) A． B． C． D． 【解析】因为，，则.故选：D. 例2、已知集合，则下列关系正确的是(       ) A． B． C． D． 【解析】因为集合，所以根据子集的定义可知，故选：D. 例3、 集合，集合，那么A,B间的关系是（ ）. A. B. C. = D.以上都不对 【解析】先用列举法表示集合、，再判断它们之间的关系.由题意可知，集合是非负偶数集， 即.集合中的元素. 而（为正奇数时）表示0或正偶数，但不是表示所有的正偶数，即. 由依次得0,2,6,12，，即.综上知，，应选.  练习： 1．已知集合，，则(    ) A．⫋ B． C． D． 【解析】，，则⫋.故选：A. 2．已知集合，则下列关系中，正确的是(     ). A． B． C． D． 【解析】集合，对于A，因为，故选项A错误；对于B，是一个集合，且，故选项B错误；对于C，因为集合，所以集合与集合不存在包含关系，故选项C错误；对于D，因为集合，任何集合都是它本身的子集，所以，故选项D正确 3．下列集合关系中错误的是(    ) A． B． C． D． 【解析】对于A：集合为点集，含有元素，集合含有两个元素，，所以不包含于，故A错误；对于B：，故B正确；对于C：，故C正确；对于D：因为，所以，故D正确；故选：A 4．若集合，则（ ）. A. B. C. = 【答案】C 5．用适当的符号填空： (1) {x||x|≤1} {x|x2≤1}； (2){y|y=2x2} {y|y=3x2-1}； (3){x||x|>1} {x|x>1}； (4){(x，y)|-2≤x≤2} {(x，y)|-1<x≤2}． 【答案】 (1)= (2) (3) (4) 6．集合A={x|y=x2+1}，B={y|y=x2+1}，C={(x,y)|y=x2+1}，D={y=x2+1}是否表示同一集合？ 【解析】集合A={x|y=x2+1}的代表元素为x，故集合A表示的是函数y=x2+1中自变量x的取值范围，即函数的定义域A=；集合B={y|y=x2+1}的代表元素为y，故集合B表示的是函数y=x2+1中函数值y的取值范围，即函数的值域B=；集合C={(x,y)|y=x2+1}的代表元素为点（x，y），故集合C表示的是抛物线y=x2+1上的所有点组成的集合；集合D={y=x2+1}是用列举法表示的集合，该集合中只有一个元素：方程y=x2+1．故以上四个集合都不相同 知识点二、空集 例1、下列集合中为的是(    ) A． B． C． D． 【解析】对于A中，由集合中有一个元素，不符合题意； 对于B中，由集合中有一个元素，不符合题意； 对于C中，由方程，即，此时方程无解，可得，符合题意； 对于D中，不等式，解得，，不符合题意.故选：C. 例2、下列命题中正确的是(    ) A．空集没有子集 B．空集是任何一个集合的真子集 C．任何一个集合必有两个或两个以上的子集 D．设集合，那么，若，则 【解析】A选项，空集是其本身的子集，A错；B选项，空集是任一非空集合的真子集，B错；C选项，空集只有一个子集，即是空集本身；C错；D选项，若，则中元素都在中，中没有的元素，则中也没有；故D正确.故选：D. 例3、请判断①0{0} ；②；③；④；⑤；⑥；⑦；⑧，正确的有哪些？ 【答案】②③④⑧ 【解析】①错误，因为0是集合中的元素，应是；②③中都是元素与集合的关系，正确；④⑧正确，因为是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集，而④中的为非空集合；⑤⑥⑦错误，是没有任何元素的集合． 练习： 1．下列四个说法中，正确的有(    ) ①空集没有子集； ②空集是任何集合的真子集；③若，则；④任何集合至少有两个子集． A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【解析】①空集是任何集合的子集，所以①错；②空集是任何非空集合的真子集，所以②错；③空集是任何集合的子集，集合不一定等于空集，所以③错；④空集只有自己本身一个子集，所以④错.故选：A. 2．已知六个关系式①；②；③；④；⑤；⑥，它们中关系表达正确的个数为(    ) A．3 B．4 C．5 D．6 【解析】根据元素与集合、集合与集合关系：是的一个元素，故，①正确；是任何非空集合的真子集，故、，②③正确；没有元素，故，④正确；且、，⑤错误，⑥正确；所以①②③④⑥正确.故选：C 3．下列四个命题：①空集没有子集；②空集是任何一个集合的真子集；③∅＝{0}；④任何一个集合必有两个或两个以上的子集．其中正确命题的个数为(    ) A．0 B．1 C．2 D．3 【解析】因为空集是其本身的子集，故①错误；空集只有本身一个子集，故②④错误；空集没有元素，而集合{0}含有一个元素0，故③错误．故正确命题个数为0.答案：A. 知识点三、 (真)子集的个数 例1、写出集合{a，b，c}的所有不同的子集. 【解析】不含任何元素子集为，只含1个元素的子集为{a}，{b}，{c}，含有2个元素的子集有{a，b}，{a，c}，{b，c}，含有3个元素的子集为{a，b，c}，即含有3个元素的集合共有23=8个不同的子集.如果集合增加第4个元素d，则以上8个子集仍是新集合的子集，再将第4个元素d放入这8个子集中，会得到新的8个子集，即含有4个元素的集合共有24=16个不同子集，由此可推测，含有n个元素的集合共有2n个不同的子集. 例2、已知集合，则集合的真子集个数为(    ) A．8 B．7 C．6 D．5 【解析】集合，所以集合的真子集个数为：.故选：B. 例3、若集合A满足，则集合A所有可能的情形有(    ) A．3种 B．5种 C．7种 D．9种 【解析】由，可知集合A必有元素，即至少有两个元素，至多有四个元素， 依次有以下可能：七种可能. 故选：C 练习： 1．集合的子集个数为(    ) A．2 B．4 C．8 D．16 【解析】，故子集个数为.故选：B 2．已知集合满足，那么这样的集合的个数为(    ) A．1 B．2 C．3 D．4 【解析】∵，∴要确定集合M,只需确定1和4是否放置在其中， 共有4种情况，，故选：D 3．已知集合，，则集合B的真子集个数是(    ) A．3 B．4 C．7 D．8 【解析】由题意得，所以集合的真子集个数为.故选：C. 4．已知，则这样的集合有 个. 【答案】7个 5．已知集合A={1，2，3}，平面内以（x，y）为坐标的点集合B={（x，y）｜x∈A，y∈A，x+y∈A}，则B的子集个数为（ ） A．3 B．4 C．7 D．8 【解析】∵ 集合A={1，2，3}，平面内以（x，y）为坐标的点集合B={（x，y）｜x∈A，y∈A，x+y∈A}， ∴B={（1，1），（1，2），（2，1）}∴B的子集个数为：23=8个．故选D． 知识点四、已知集合关系求参数 例1、设集合，，若，则(    )． A．2 B．1 C． D． 【解析】因为，则有：若，解得，此时，，不符合题意； 若，解得，此时，，符合题意；综上所述：.故选：B. 例2、已知集合，若，则实数a的取值集合为(    ) A． B． C． D． 【解析】由于，故时，则且， 若中只有一个元素，①中的方程为一元二次方程，则，此时,不合题意，舍去；②中的方程为一元一次方程，则，则，则，此时不符合，舍去，当时，则符合题意，综上可知：或，故选：D. 例3、已知集合没有非空真子集，则实数a构成的集合为______. 【解析】因为集合没有非空真子集，所以集合中元素的个数为1或0个，当集合中元素的个数为1个时，若，则有，解得，符合题意，若， 则有，解得，当集合中元素的个数为0个时，则， 解得，综上或，即实数a构成的集合为.故答案为：. 例4、已知集合. (1)若，求实数的取值范围； (2)若，求实数的取值范围. 【解析】(1)解：①当时，即，解得，此时满足； ②当时，要使得，则满足，解得，故实数的取值范围是. (2)解：由题意，要使得，则满足，此时不等式组无解， 所以实数不存在，即不存在实数使得. 练习： 1． (多选)已知集合A＝，B＝{x|ax＋1＝0}，且B⊆A，则实数a的取值可能为(　　) A．－3 B．－2 C．0 D．3 【解析】由题知B⊆A，B＝{x|ax＋1＝0}，A＝.所以B＝，，，. 当 B＝时，此种情况不可能，所以舍去；当B＝时，，解得a＝3； 当B＝时，，解得a＝－2；当B＝时，a＝0.故实数a的可能取值为3，0，－2.故选：BCD. 2．集合或，若，则实数的取值范围是(    ) A． B． C． D． 【解析】，①当时，即无解，此时，满足题意． ②当时，即有解，当时，可得，要使，则需要，解得． 当时，可得，要使，则需要，解得，综上，实数的取值范围是． 故选：A． 3．若集合，，且，求实数m的值. 【解析】，当时，，当时，， 因为，所以或，所以或，综上所述，或或. 4．已知集合． (1)若，，求实数的取值范围； (2)若，，求实数的取值范围． 【解析】(1)解：由题可知，，， ①若，则，即；②若，则，解得：； 综合①②，得实数的取值范围是． (2)解：已知，，，则，解得：， 所以实数的取值范围是． 5.已知集合，. (1)若，求的值； (2)若，求的值. 【解析】(1)由题集合最多两个元素，，，则，所以集合中的方程两根为-4,0，，即，由根与系数的关系，，解得：； (2)由题，中最多两个元素，对于方程， 当集合时：，即时，方程无解，，符合题意； 当集合中只有一个元素时：，即时，方程的解为，，符合题意； 当中有两个元素时：，即时，方程有两个不同实根，集合有两个元素， 此时则，所以集合中的方程两根为，由根与系数的关系，，解得：； 综上所述：或. 举一反三 1．数集的非空真子集个数为(    ) A．32 B．31 C．30 D．29 【解析】因为集合中含有个元素，所以集合的非空真子集个数为.故选：C 2．集合，则的子集的个数为(    ) A．4 B．8 C．15 D．16 【解析】集合，,， 故有个子集.故选：D． 3．设集合，且，若，，则集合M的非空真子集的个数为(    ) A．4 B．6 C．7 D．15 【解析】根据题意知，集合且，其非空真子集的个数为.故选：B 4．已知集合且，则(    ) A． B． C． D． 【解析】由，又且,所以，故选：B 5．已知非空集合满足:对任意，总有，且.若，则满足条件的的个数是(    ) A．11 B．12 C．15 D．16 【解析】当中有元素时，，当中有元素时，， 所以，所以集合是集合的非空子集，且去掉元素2，4同时出现的集合， 故满足题意的集合有，共11个.故选：A. 6．已知集合M⊆{2，3，5}，且M中至少有一个奇数，则这样的集合M共有(　　) A．5个 B．6个 C．7个 D．8个 【解析】若M有一个元素，则；若M有两个元素，则； 若M有三个元素，则∴满足题意的集合M的个数为6个.故选：B. 7．已知集合，，若，则实数m的取值范围是(    )． A． B． C． D． 【解析】由题设，，又且，所以，即.故选：C 8．已知集合，，若，则的取值范围为(    ) A． B． C． D． 【解析】因为，，且，所以.故选：B 9．集合或，，若，则实数的取值范围是(    ) A． B． C． D． 【解析】因为或，，当时，此时，符合题意； 当时，若则，因为，所以，解得，又，所以， 若则，因为，所以，解得，又，所以， 综上可得，即实数的取值范围是.故选：C 10．已知集合，，若，则实数a组成的集合为(     ) A． B． C． D． 【解析】∵，则：或，得：或或，∴实数a组成的集合为. 11．下列集合是空集的是(    ) A．或 B． C． D． 【解析】A、B、C选项的集合中均含有元素，均不为空集； 对D，因为，所以不存在实数，使得，所以.故选：D 12．非空集合P满足下列两个条件：(1)，(2)若元素，则，则集合P个数是(    ) A．4 B．5 C．6 D．7 【解析】由题得, 若元素，则,可以推导出集合中1,5要同时存在,2,4要同时存在,3可存在于中也可以不存在,故可以考虑集合等价于由元素,,组成的集合，又,故本题相当于求集合的非空真子集个数.即个.故选：C 13． (多选)下列集合是空集的是(    ) A． B． C． D． 【解析】，无解，为空集，A符合题意；，，∴ 方程解为空集，B符合题意；由得，故C不符合题意；由得， 即，故D不符合题意．故选：AB． 14． (多选)已知集合，，则下列命题中正确的是(    ) A．若，则 B．若，则 C．若，则或 D．若时，则或 【解析】，若，则，且，故A正确.时，，故D不正确.若，则且，解得，故B正确.当时，，解得或，故C正确.故选：ABC． 15． (多选)已知集合恰有4个子集，则的值可能为(    ) A． B． C．0 D．1 【解析】因为集合恰有4个子集，所以集合有2个元素，则有两个不相等的实数解，则，解得.故选：ABC. 16． (多选)若集合，，且，则实数的值为(   ) A． B． C． D． 【解析】由，解得或，故，因为，，所以当时，；当时，，则或，所以或； 综上：或或，故ABC正确.故选：ABC. 17．已知集合，，若使成立的实数a的取值集合为M，则M的一个真子集可以是(    ) A． B． C． D． 【解析】由题意集合，，因为，所以当时，，即 ；当时，有 ，解得，故,则M的一个真子集可以是或，故选：BC. 18．已知集合，，则满足条件的集合C的个数为 （ ） A．1 B．2 C．3 D．4 19．设集合，且，则的值为________. 【解析】由，可得或，解得或， 当时，，此时满足，符合题意； 当时，，此时满足，符合题意， 所以实数的值为或.故答案为：或. 20．已知集合，且，则实数m的取值范围是________. 【解析】由集合，若时，可得，此时满足；若时，要是得到，则满足，解得，综上可得，实数的取值范围是.故答案为：. 21．已知集合，若，则 m 的取值范围为__________． 【解析】∵，∴当时，，所以， 当时，，解得，综上所述，的取值范围是．故答案为：. 22．已知集合，若，则实数a的取值组成的集合是___________． 【解析】集合，，当，即时，显然满足条件； 当时，即，则，因为，所以或，即或，解得或，综上，实数a的取值组成的集合是．故答案为：． 23．已知集合，若，则实数a的取值范围为___． 【解析】当时，方程化为，解得，此时，满足题意， 当时，要使，则，解得且， 所以使的实数a的取值范围为．故答案为：． 24．已知. (1)若，求a的值； (2)若，求实数a的取值范围. 【解析】(1)由方程，解得或所以，又，， 所以，即方程的两根为或，由韦达定理得：，即； (2)由已知得，又，所以时，则，即，解得或； 当时，若B中仅有一个元素，则，即，解得， 当时，，满足条件；当时，，不满足条件； 若B中有两个元素，则，利用韦达定理得到，，解得，满足条件. 综上，实数a的取值范围是或或. 25．已知集合，.若，求实数的取值范围. 【解析】由，则.，为方程的解集. ①若，则，或或， 当时有两个相等实根，即不合题意，同理， 当时，符合题意； ②若则，即，综上所述，实数的取值范围为或 26．已知. (1)若是的子集，求实数的值； (2)若是的子集，求实数的取值范围. 【解析】(1)解：由题得.若是的子集，则，所以. (2)解：若是的子集，则. ①若为空集，则，解得； ②若为单元素集合，则，解得. 将代入方程，得，即，符合要求； ③若为双元素集合，，则.综上所述，或. 课 后 作 业 1．若集合，，则集合，之间的关系表示最准确的为(    ) A． B． C． D．与互不包含 【解析】对于集合，当时，，当时，，所以.故选：C. 2．若，，，则这三个集合间的关系是(    ) A． B． C． D． 【解析】依题意，，， ，而，{偶数}， 因此集合中的任意元素都是集合中的元素，即有，集合中的每一个元素都是集合中的元素，即，所以.故选：C 3．已知集合，对它的非空子集，可将中的每一个元素都乘以再求和(如，可求得和为：)，则对的所有非空子集执行上述求和操作，则这些和的总和是(    ) A．18 B．16 C．-18 D．-16 【解析】由已知，因为，那么每个元素在集合的所有非空子集分别出现个，则对于的所有非空子集执行乘以再求和的操作，则这些数总和为：.故选D. 4．设集合，，，，其中a，，下列说法正确的是(    ) A．对任意a，是的子集，对任意的b，不是的子集 B．对任意a，是的子集，存在b，使得是的子集 C．存在a，使得不是的真子集，对任意的b，是的子集 D．存在a，使得不是的子集，存在b，使得是的子集 【解析】对于集合， 可得当，即，可得，即有，可得对任意a，是的子集； 当时，，，可得是的子集； 当时，，且，可得不是的子集； 综上有，对任意a，是的子集，存在b，使得是的子集.故选：B. 5．已知集合，若，是的两个非空子集，则所有满足中的最大数小于中的最小数的集合对的个数为(    ) A．47 B．48 C．49 D．50 【解析】P的所有子集个数为个，(1)中的最大数为1，则，故B只需不包含1即可，则B为的非空子集，即个，故的个数为15；(2)中的最大数为2，或，故B只需不包含1、2即可，则B为的非空子集，即个，故的个数为；(3)中的最大数为3，，故B只需不包含1、2、3即可，则B为的非空子集，即个，故的个数为；(4)中的最大数为4，则包含4，其余元素为的子集，即个，故B只需不包含1、2、3、4即可，则 ，故的个数为8；综上，的个数为. 故选：C 6． (多选)已知集合，非空集合，下列条件能够使得的是(    ) A． B． C． D．且 【解析】对于选项A，方程，因式分解得，解得，所以，满足，所以选项A正确；对于选项B，方程，因式分解得，解得 或，所以，不满足，所以选项B错误；对于选项C，方程，因式分解得，解得，所以，满足，所以选项C正确；对于选项D，因为，所以是方程的解，所以方程变形为，因为，所以方程无解，所以方程有唯一解，所以，满足，所以选项D正确；故选：ACD. 7．设非空集合，当中所有元素和为偶数时(集合为单元素时和为元素本身)，称是的偶子集，若集合，则其偶子集的个数为___________. 【解析】集合中只有个奇数时，则集合的可能情况为：、、、、、，共种，若集合中只有个奇数时，则集合，只有一种情况，若集合中只含个偶数，共种情况；若集合中只含个偶数，则集合可能的情况为、、，共种情况；若集合中只含个偶数，则集合，只有种情况.因为是的偶子集，分以下几种情况讨论：若集合中的元素全为偶数，则满足条件的集合的个数为；若集合中的元素全为奇数，则奇数的个数为偶数，共种； 若集合中的元素是个奇数个偶数，共种；若集合中的元素为个奇数个偶数，共种； 若集合中的元素为个奇数个偶数，共种；若集合中的元素为个奇数个偶数，共种； 若集合中的元素为个奇数个偶数，共种；若集合中的元素为个奇数个偶数，共种. 综上所述，满足条件的集合的个数为.故答案为：. 8．已知集合. (1)判断8，9，10是否属于集合A； (2)集合,证明：B是A的真子集. 【解析】(1)∵，，∴，，假设，m，，则，且，∵，或，显然均无整数解，∴， ∴，，. (2)∵集合，则恒有，∴，∴即一切奇数都属于A，故B是A的子集.又∵，，所以B是A的真子集. 9．设集合，若X是的子集，把X中所有元素的和称为X的“容量”(规定空集的容量为0)，若X的容量为奇(偶)数，则称X为的奇(偶)子集. (1)写出的所有子集､所有偶子集： (2)写出的所有奇子集； (3)求证：的奇子集与偶子集个数相等. 【解析】(1)，则的所有子集为： 、、、、、、、; 的所有偶子集为：、、、; (2)由题意可知, 当 时, , 的容量为奇数, 则 为 的奇子集, . 所有的奇子集应为为 、、 、、、 、 、. (3)对于 的每个奇子集 ,当 时, 取 ,当 时, 取 , 则 为 的偶子集.反之，若 为 的偶子集,当 时, 取 , 当 时, 取 ,则 为 的奇子集. 的奇子集与偶子集之间建立了一个一一对应关系 所以 的奇子集与偶子集的个数相等. 10．设A是正实数集的非空子集，称集合为集合A的孪生集． (1)当时，写出集合A的孪生集B； (2)若A是由5个正实数构成的集合，求其孪生集B的子集个数的最小值； (3)判断是否存在4个正实数构成的集合A，使其孪生集，并说明理由． 【解析】(1)∵，∴； (2)设，不妨设， 因为，所以B中元素个数大于等于7， 取，则，此时B中元素共7个， 所以孪生集B中元素个数的最小值为7，B的子集个数的最小值为； (3)不存在，理由如下： 假设存在4个正实数构成的集合，其孪生集， 不妨设，则集合A的孪生集， 则，， 则必有，，其4个正实数的乘积； 同时，也必有，，其4个正实数的乘积，矛盾． 所以假设不成立，故不存在4个正实数构成的集合A，使其孪生集． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 授课主题 集合的基本关系 年 级 高一 知 识 梳 理 一．子集、真子集、集合相等 1．子集、真子集、集合相等的相关概念 （1）集合A是集合B的部分元素构成的集合，我们说集合B包含集合A； （2）子集：如果集合A的任何一个元素都是集合B的元素，我们说这两个集合有包含关系，称集合A是集合B的子集.记作：，当集合A不包含于集合B时，记作AB，用Venn图表示两个集合间的“包含”关系： 注：①“是的子集”的含义是：的任何一个元素都是的元素，即由任意的，能推出． ②当不是的子集时，我们记作“(或)”，读作：“A不包含于B”（或“不包含”）． （3）真子集：若集合，存在元素xB且，则称集合A是集合B的真子集.记作：AB(或BA) 规定：空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集. （4）集合与集合之间的“相等”关系 ，则A与B中的元素是一样的，因此A=B 2．Venn图：用平面上封闭曲线的内部代表集合，这种图称为Venn图． 3．子集的性质 (1)任何一个集合是它本身的子集，即. (2)对于集合A，B，C，如果A⊆B，且B⊆C，那么A⊆C. 4.子集的个数 假设集合A中含有n个元素，则有：(1)A的子集有2n个；(2)A的非空子集有(2n－1)个； (3)A的真子集有(2n－1)个；(4)A的非空真子集有(2n－2)个. 二．空集 1.定义：不含任何元素的集合叫做空集 2.记作：∅ 3.规定:空集是任何集合的子集，即∅⊆A 4.特性：(1)空集只有一个子集，即它的本身；(2)若A≠∅，则∅A 5.区分：0，{0}，∅与{∅}之间的关系 ∅与0 ∅与{0} ∅与{∅} 相同点 都表示无的意思 都是集合 都是集合 不同点 ∅是集合；0是实数 ∅不含任何元素；{0}含一个元素0 ∅不含任何元素；{∅}含一个元素，该元素是∅ 关系 0∉∅ ∅{0} ∅{∅}或∅∈{∅} 例题讲解 知识点一、集合间的关系 例1、设集合，，则下列关系正确的是(    ) A． B． C． D． 例2、已知集合，则下列关系正确的是(       ) A． B． C． D． 例3、 集合，集合，那么A,B间的关系是（ ）. A. B. C. = D.以上都不对 练习： 1．已知集合，，则(    ) A．⫋ B． C． D． 2．已知集合，则下列关系中，正确的是(     ). A． B． C． D． 3．下列集合关系中错误的是(    ) A． B． C． D． 4．若集合，则（ ）. A. B. C. = 5．用适当的符号填空： (1) {x||x|≤1} {x|x2≤1}； (2){y|y=2x2} {y|y=3x2-1}； (3){x||x|>1} {x|x>1}； (4){(x，y)|-2≤x≤2} {(x，y)|-1<x≤2}． 6．集合A={x|y=x2+1}，B={y|y=x2+1}，C={(x,y)|y=x2+1}，D={y=x2+1}是否表示同一集合？ 知识点二、空集 例1、下列集合中为的是(    ) A． B． C． D． 例2、下列命题中正确的是(    ) A．空集没有子集 B．空集是任何一个集合的真子集 C．任何一个集合必有两个或两个以上的子集 D．设集合，那么，若，则 例3、请判断①0{0} ；②；③；④；⑤；⑥；⑦；⑧，正确的有哪些？ 练习： 1．下列四个说法中，正确的有(    ) ①空集没有子集； ②空集是任何集合的真子集；③若，则；④任何集合至少有两个子集． A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 2．已知六个关系式①；②；③；④；⑤；⑥，它们中关系表达正确的个数为(    ) A．3 B．4 C．5 D．6 3．下列四个命题：①空集没有子集；②空集是任何一个集合的真子集；③∅＝{0}；④任何一个集合必有两个或两个以上的子集．其中正确命题的个数为(    ) A．0 B．1 C．2 D．3 知识点三、 (真)子集的个数 例1、写出集合{a，b，c}的所有不同的子集. 例2、已知集合，则集合的真子集个数为(    ) A．8 B．7 C．6 D．5 例3、若集合A满足，则集合A所有可能的情形有(    ) A．3种 B．5种 C．7种 D．9种 练习： 1．集合的子集个数为(    ) A．2 B．4 C．8 D．16 2．已知集合满足，那么这样的集合的个数为(    ) A．1 B．2 C．3 D．4 3．已知集合，，则集合B的真子集个数是(    ) A．3 B．4 C．7 D．8 4．已知，则这样的集合有 个. 5．已知集合A={1，2，3}，平面内以（x，y）为坐标的点集合B={（x，y）｜x∈A，y∈A，x+y∈A}，则B的子集个数为（ ） A．3 B．4 C．7 D．8 知识点四、已知集合关系求参数 例1、设集合，，若，则(    )． A．2 B．1 C． D． 例2、已知集合，若，则实数a的取值集合为(    ) A． B． C． D． 例3、已知集合没有非空真子集，则实数a构成的集合为______. . 例4、已知集合. (1)若，求实数的取值范围； (2)若，求实数的取值范围. 练习： 1． (多选)已知集合A＝，B＝{x|ax＋1＝0}，且B⊆A，则实数a的取值可能为(　　) A．－3 B．－2 C．0 D．3 2．集合或，若，则实数的取值范围是(    ) A． B． C． D． 3．若集合，，且，求实数m的值. 4．已知集合． (1)若，，求实数的取值范围； (2)若，，求实数的取值范围． 5.已知集合，. (1)若，求的值； (2)若，求的值. 举一反三 1．数集的非空真子集个数为(    ) A．32 B．31 C．30 D．29 2．集合，则的子集的个数为(    ) A．4 B．8 C．15 D．16 3．设集合，且，若，，则集合M的非空真子集的个数为(    ) A．4 B．6 C．7 D．15 4．已知集合且，则(    ) A． B． C． D． 5．已知非空集合满足:对任意，总有，且.若，则满足条件的的个数是(    ) A．11 B．12 C．15 D．16 6．已知集合M⊆{2，3，5}，且M中至少有一个奇数，则这样的集合M共有(　　) A．5个 B．6个 C．7个 D．8个 7．已知集合，，若，则实数m的取值范围是(    )． A． B． C． D． 8．已知集合，，若，则的取值范围为(    ) A． B． C． D． 9．集合或，，若，则实数的取值范围是(    ) A． B． C． D． 10．已知集合，，若，则实数a组成的集合为(     ) A． B． C． D． 11．下列集合是空集的是(    ) A．或 B． C． D． 12．非空集合P满足下列两个条件：(1)，(2)若元素，则，则集合P个数是(    ) A．4 B．5 C．6 D．7 13． (多选)下列集合是空集的是(    ) A． B． C． D． 14． (多选)已知集合，，则下列命题中正确的是(    ) A．若，则 B．若，则 C．若，则或 D．若时，则或 15． (多选)已知集合恰有4个子集，则的值可能为(    ) A． B． C．0 D．1 16． (多选)若集合，，且，则实数的值为(   ) A． B． C． D． 17．已知集合，，若使成立的实数a的取值集合为M，则M的一个真子集可以是(    ) A． B． C． D． 18．已知集合，，则满足条件的集合C的个数为 （ ） A．1 B．2 C．3 D．4 19．设集合，且，则的值为________. 20．已知集合，且，则实数m的取值范围是________. 21．已知集合，若，则 m 的取值范围为__________． 22．已知集合，若，则实数a的取值组成的集合是___________． 23．已知集合，若，则实数a的取值范围为___． 24．已知. (1)若，求a的值； (2)若，求实数a的取值范围. 25．已知集合，.若，求实数的取值范围. 26．已知. (1)若是的子集，求实数的值； (2)若是的子集，求实数的取值范围. 课 后 作 业 1．若集合，，则集合，之间的关系表示最准确的为(    ) A． B． C． D．与互不包含 2．若，，，则这三个集合间的关系是(    ) A． B． C． D． 3．已知集合，对它的非空子集，可将中的每一个元素都乘以再求和(如，可求得和为：)，则对的所有非空子集执行上述求和操作，则这些和的总和是(    ) A．18 B．16 C．-18 D．-16 4．设集合，，，，其中a，，下列说法正确的是(    ) A．对任意a，是的子集，对任意的b，不是的子集 B．对任意a，是的子集，存在b，使得是的子集 C．存在a，使得不是的真子集，对任意的b，是的子集 D．存在a，使得不是的子集，存在b，使得是的子集 5．已知集合，若，是的两个非空子集，则所有满足中的最大数小于中的最小数的集合对的个数为(    ) A．47 B．48 C．49 D．50 6． (多选)已知集合，非空集合，下列条件能够使得的是(    ) A． B． C． D．且 7．设非空集合，当中所有元素和为偶数时(集合为单元素时和为元素本身)，称是的偶子集，若集合，则其偶子集的个数为___________. 8．已知集合. (1)判断8，9，10是否属于集合A； (2)集合,证明：B是A的真子集. 9．设集合，若X是的子集，把X中所有元素的和称为X的“容量”(规定空集的容量为0)，若X的容量为奇(偶)数，则称X为的奇(偶)子集. (1)写出的所有子集､所有偶子集： (2)写出的所有奇子集； (3)求证：的奇子集与偶子集个数相等. 10．设A是正实数集的非空子集，称集合为集合A的孪生集． (1)当时，写出集合A的孪生集B； (2)若A是由5个正实数构成的集合，求其孪生集B的子集个数的最小值； (3)判断是否存在4个正实数构成的集合A，使其孪生集，并说明理由． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$