专题1.1 探索勾股定理（知识梳理与考点分类讲解）-2024-2025学年八年级数学上册基础知识专项突破讲与练（北师大版）

专题1.1 探索勾股定理（知识梳理与考点分类讲解） 第一部分【知识点归纳】 【知识点一】勾股定理 文字语言 符号语言 变式 直角三角形两条直角边a、b的平方和等于斜边c的平方，即 在Rt∆ABC中， 的对边分别为a、b、c，则有 特别注意： （1） 使用勾股定理时切记不能忽视前提条件是在直角三角形中； （2） 运用勾股定理时要注意：在∆ABC中，的对边分别为a，b，c，若，； 【知识点二】勾股定理的验证 【证法1】做8个全等的直角三角形，设它们的两条直角 边长分别为a、b，斜边长为c，再做三个边长 分别为a、b、c的正方形，把它们像上图那样 拼成两个正方形，如右图： 从图上可以看到，这两个正方形的边长都是 a + b，所以面积相等. 即 ， 整理得 . 【证法2】以a、b 为直角边（b>a）， 以c为斜边作四个全等的直角三角形，则每个直角三角形的面积等于. 把这四个直角三角形拼成如图所示形状. ∵ RtΔDAH ≌ RtΔABE, ∴ ∠HDA = ∠EAB. ∵ ∠HAD +∠HAD = 90º， ∴ ∠EAB +∠HAD = 90º， ∴ ABCD是一个边长为c的正方形，它的面积等于. ∵ EF = FG =GH =HE = b-a , ∠HEF = 90º. ∴ EFGH是一个边长为b―a的正方形，它的面积等于. ∴ . ∴ . 第二部分【题型展示与方法点拨】 【题型1】利用勾股定理求边长 【例1】（23-24八年级下·河南·阶段练习）我国古典数学著作中有一道计算秋千绳索长度的题目．翻译成现代文为：如图，秋千静止的时候，踏板离地高一尺（尺），将它往前推进两步（尺，于），此时踏板升高离地五尺（尺），求秋千绳索（或）的长度． 【变式1】（23-24八年级下·河南·阶段练习）如图，直线，垂足为，线段，，以点为圆心，的长为半径画弧，交直线于点．则的长为（    ） A．8 B．6 C．4 D．2 【变式2】（23-24七年级下·江苏南京·期末）如图，在线段上取一点，分别以、为直角边作等腰直角三角形、等腰直角三角形．若这两个等腰直角三角形的面积和为11，的面积为3.5，则的长为 ． 【题型2】利用勾股定理求面积 【例2】（23-24八年级下·甘肃陇南·期中）已知：在中，，于，，．求：   （1）求的面积； （2）求线段的长：（3）求高的长． 【变式1】（23-24八年级下·安徽芜湖·阶段练习）如图，在中，，，则（    ）    A． B． C． D． 【变式2】（23-24八年级下·宁夏吴忠·阶段练习）如图，小明从A点出发向西走8m到达岸边，从A点出发向北走6m到达岸边，那么小明到达岸边的最短距离为 m．    【题型3】勾股树 【例3】（23-24八年级上·陕西西安·阶段练习）数形结合是解决数学问题的一种重要的思想方法，借助这种方法可将抽象的数学知识变得直观，从而可以帮助我们快速解题，初中数学里的一些代数公式，很多都可以通过表示几何图形面积的方法进行直观推导和解释．  （1）如图①，在中，，，，，以的三边长向外作正方形的面积分别为，，，请直接写出，，之间存在的等量关系为______； （2）如图②，如果以的三边长，，为直径向外作半圆，那么（1）中的结论是否成立？请说明理由； （3）如图③，在中，，三边长分别为5，12，13，分别以它的三边长为直径向上作半圆，求图（3）中阴影部分的面积． 【变式1】（23-24八年级下·四川泸州·期中）如图，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中最大的正方形的边长为5，则正方形A，B，C，D的面积的和为（    ） A．4 B．5 C．10 D．25 【变式2】（23-24八年级下·内蒙古呼和浩特·期中）如图，四边形中，，分别以为直径作半圆，已知各半圆面积为，，则 ． 【题型4】勾股定理的验证 【例4】（23-24八年级下·河南平顶山·期中）数与形是数学中的两个最古老，也是最基本的研究对象．数与形也是有联系的，这种联系称为“数形结合”．利用“数形结合”思想可以直观地帮助我们解决一些数学验证或运算． （1）我国是最早了解勾股定理的国家之一，该定理阐明了直角三角形的三边关系．请你利用如图对勾股定理（即下列命题）进行验证，从中体会“数形结合”的思想： 已知：如图，在和中，，（点，，在一条直线上），，，． 证明：； （2）请利用“数形结合”思想，画图并推算出的结果． 【变式1】下面各图中，不能证明勾股定理正确性的是（    ） A． B． C． D． 【变式2】（2023·陕西西安·模拟预测）“赵爽弦图”是我国古代数学的骄傲，它巧妙利用面积关系证明了勾股定理，如图所示的“弦图”，是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形，设直角三角形较短直角边长为，较长直角边长为，若小正方形的面积为，大正方形的面积为，那么为 ．    【题型5】利用勾股定理解决折叠问题 【例5】（23-24八年级下·湖北武汉·阶段练习）把一张长方形的纸片沿对角线折叠，折叠后，边的对应边交于． （1）求证：长方形各内角均为； （2）若，，求的长． 【变式1】（2024·山东烟台·二模）如图，三角形纸片中，，沿和将纸片折叠，使点B和点C都落在边上的点P处，则的长是（　　） A． B． C． D． 【变式2】（2024·河北邯郸·模拟预测）如图，在中，，D、E分别为，上一点，将，分别沿、折叠，点A、B恰好重合于点处．则 °．若，，则 第三部分【中考链接与拓展延伸】 1、直通中考 【例1】（2024·四川眉山·中考真题）如图，图1是北京国际数学家大会的会标，它取材于我国古代数学家赵爽的“弦图”，是由四个全等的直角三角形拼成．若图1中大正方形的面积为24，小正方形的面积为4，现将这四个直角三角形拼成图2，则图2中大正方形的面积为（    ） A．24 B．36 C．40 D．44 【例2】（2023·江苏南通·中考真题）勾股数是指能成为直角三角形三条边长的三个正整数，世界上第一次给出勾股数公式的是中国古代数学著作《九章算术》．现有勾股数a，b，c，其中，均小于，，，是大于1的奇数，则 （用含的式子表示）． 2、拓展延伸 【例1】在△ABC中，BC=a，AC=b，AB=c，若∠C=90°，如图1，则有；若△ABC为锐角三角形时，小明猜想：，理由如下：如图2，过点A作AD⊥CB于点D，设CD=x．在Rt△ADC中，，在Rt△ADB中，，∴． ∵a＞0，x＞0，∴2ax＞0，∴，∴当△ABC为锐角三角形时． 所以小明的猜想是正确的． （1）请你猜想，当△ABC为钝角三角形时， 与的大小关系． （2）温馨提示：在图3中，作BC边上的高． （3）证明你猜想的结论是否正确． 【例2】（23-24八年级下·湖北孝感·期中）如图1，中，，D，E是直线上两动点，且．探究线段、、三条线段之间的数量关系：小明的思路是：如图2，将沿折叠，得，连接，看能否将三条线段转化到一个三角形中，…请你参照小明的思路，探究并解决下列问题： （1）猜想、、三条线段之间的数量关系，并证明； （2）如图3，当动点在线段上，动点运动在线段延长线上时，其他条件不变，（1）中探究的结论是否发生改变？请说明你的猜想并给予证明． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题1.1 探索勾股定理（知识梳理与考点分类讲解） 第一部分【知识点归纳】 【知识点一】勾股定理 文字语言 符号语言 变式 直角三角形两条直角边a、b的平方和等于斜边c的平方，即 在Rt∆ABC中， 的对边分别为a、b、c，则有 特别注意： （1） 使用勾股定理时切记不能忽视前提条件是在直角三角形中； （2） 运用勾股定理时要注意：在∆ABC中，的对边分别为a，b，c，若，； 【知识点二】勾股定理的验证 【证法1】做8个全等的直角三角形，设它们的两条直角 边长分别为a、b，斜边长为c，再做三个边长 分别为a、b、c的正方形，把它们像上图那样 拼成两个正方形，如右图： 从图上可以看到，这两个正方形的边长都是 a + b，所以面积相等. 即 ， 整理得 . 【证法2】以a、b 为直角边（b>a）， 以c为斜边作四个全等的直角三角形，则每个直角三角形的面积等于. 把这四个直角三角形拼成如图所示形状. ∵ RtΔDAH ≌ RtΔABE, ∴ ∠HDA = ∠EAB. ∵ ∠HAD +∠HAD = 90º， ∴ ∠EAB +∠HAD = 90º， ∴ ABCD是一个边长为c的正方形，它的面积等于. ∵ EF = FG =GH =HE = b-a , ∠HEF = 90º. ∴ EFGH是一个边长为b―a的正方形，它的面积等于. ∴ . ∴ . 第二部分【题型展示与方法点拨】 【题型1】利用勾股定理求边长 【例1】（23-24八年级下·河南·阶段练习）我国古典数学著作中有一道计算秋千绳索长度的题目．翻译成现代文为：如图，秋千静止的时候，踏板离地高一尺（尺），将它往前推进两步（尺，于），此时踏板升高离地五尺（尺），求秋千绳索（或）的长度． 【答案】14.5尺 【分析】此题考查了勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理是解本题的关键． 设尺，表示出的长，在直角三角形中，利用勾股定理列出关于x的方程，求出方程的解即可得到结果． 解：由题意得：，， 设尺， 尺，尺， （尺），尺， 在中，尺，尺，尺， 根据勾股定理得：， 解得：， 则秋千绳索的长度为14.5尺． 【变式1】（23-24八年级下·河南·阶段练习）如图，直线，垂足为，线段，，以点为圆心，的长为半径画弧，交直线于点．则的长为（    ） A．8 B．6 C．4 D．2 【答案】D 【分析】本题主要考查了勾股定理以及圆的性质，根据勾股定理求出，再根据半径相等可得出，最后利用线段的和差关系即可得出答案． 解：∵， ∴， ∵，， ∴， ∴AC=10 ∵以点为圆心，的长为半径画弧，交直线于点． ∴， ∴， 故选：D． 【变式2】（23-24七年级下·江苏南京·期末）如图，在线段上取一点，分别以、为直角边作等腰直角三角形、等腰直角三角形．若这两个等腰直角三角形的面积和为11，的面积为3.5，则的长为 ． 【答案】6 【分析】本题主要考查了勾股定理．由等腰直角三角形、等腰直角三角形的面积和为11，的面积为3.5，设，，得，，得，即可得． 解：由等腰直角三角形、等腰直角三角形的面积和为11，的面积为3.5， 设，， 得，， 得， 得． 故答案为：6． 【题型2】利用勾股定理求面积 【例2】（23-24八年级下·甘肃陇南·期中）已知：在中，，于，，．求：   （1）求的面积； （2）求线段的长：（3）求高的长． 【答案】(1)；(2)；(3)． 【分析】（）利用直角三角形的面积公式计算即可求解；（）根据勾股定理计算即可求解；（）利用三角形面积即可求解；本题考查了直角三角形的面积，勾股定理，掌握勾股定理及三角形面积计算公式是解题的关键． （1）解：∵，，， ∴； （2）∵，，， ； （3）解：∵， ∴， ∴， ∴． 【变式1】（23-24八年级下·安徽芜湖·阶段练习）如图，在中，，，则（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了三角形内角和定理、勾股定理等知识点，掌握运用等面积法求线段长度成为解题的关键， 先根据三角形内角和定理得到,再运用勾股定理求出，然后利用等面积法求出，最后再利用勾股定理求解即可． 解：∵， ∴， ∵， ∴，即，解得：， ∵， ． 故选：B． 【变式2】（23-24八年级下·宁夏吴忠·阶段练习）如图，小明从A点出发向西走8m到达岸边，从A点出发向北走6m到达岸边，那么小明到达岸边的最短距离为 m．    【答案】 【分析】本题考查了勾股定理的应用，过点A作，根据勾股定理求出斜边BC长，再利用面积法求出． 解：如图，过点A作， 依题意得，，，，      ∴， ∵， ∴， 小明到达岸边的最短距离为． 故答案为：． 【题型3】勾股树 【例3】（23-24八年级上·陕西西安·阶段练习）数形结合是解决数学问题的一种重要的思想方法，借助这种方法可将抽象的数学知识变得直观，从而可以帮助我们快速解题，初中数学里的一些代数公式，很多都可以通过表示几何图形面积的方法进行直观推导和解释．    （1）如图①，在中，，，，，以的三边长向外作正方形的面积分别为，，，请直接写出，，之间存在的等量关系为______； （2）如图②，如果以的三边长，，为直径向外作半圆，那么（1）中的结论是否成立？请说明理由； （3）如图③，在中，，三边长分别为5，12，13，分别以它的三边长为直径向上作半圆，求图（3）中阴影部分的面积． 【答案】(1) (2)成立，理由见解答 (3)30 【分析】（1）先分别列式表示出，，，再运用勾股定理可得； （2）先分别列式表示出，，，再运用勾股定理可得； （3）先分别求得三个半圆和的面积，且由勾股定理可得两个小半圆面积的和等于大半圆的面积，再根据图中阴影部分的面积等于两个小半圆和的面积的和减去大半圆的面积进行计算即可． （1）解：在中，，，，，由勾股定理得： ， 由正方形面积公式可得：， ∴； 故答案为； （2）解：成立，理由如下： 在中，由勾股定理得：， 根据圆的面积公式可得：， ∴； （3）解：如图，    根据（2）的结论，两个以直角边为直径的半圆面积等于斜边为直径的半圆面积． 阴影部分的面积两个半圆的面积的和减去①和②的面积之和大半圆的面积减去①和②的面积之和直角三角形的面积， 阴影部分的面积． 【点拨】本题主要考查勾股定理，熟练掌握勾股定理是解题的关键． 【变式1】（23-24八年级下·四川泸州·期中）如图，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中最大的正方形的边长为5，则正方形A，B，C，D的面积的和为（    ） A．4 B．5 C．10 D．25 【答案】D 【分析】本题考查了勾股定理的应用．理解以直角三角形两直角边为边长的正方形面积之和等于以斜边为边长的正方形面积是解决此题的关键．能够发现正方形A，B，C，D的边长正好是两个直角三角形的四条直角边，根据勾股定理最终能够证明正方形A，B，C，D的面积和即是最大正方形的面积． 解：如图 根据勾股定理得到：正方形C与D的面积的和是正方形P的面积；正方形A与B的面积的和是正方形Q的面积；而正方形P，Q的面积的和是正方形M的面积． 正方形M的面积为， 正方形A，B，C，D的面积的和为25． 故选：D． 【变式2】（23-24八年级下·内蒙古呼和浩特·期中）如图，四边形中，，分别以为直径作半圆，已知各半圆面积为，，则 ． 【答案】3 【分析】本题考查的是勾股定理及其应用，根据圆的面积公式得到，，根据勾股定理得到，，计算即可． 解：连接，如图， 由题意得，， ， ， ， ∴，， ∵， ∴，， ∴ ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， 故答案为：3． 【题型4】勾股定理的验证 【例4】（23-24八年级下·河南平顶山·期中）数与形是数学中的两个最古老，也是最基本的研究对象．数与形也是有联系的，这种联系称为“数形结合”．利用“数形结合”思想可以直观地帮助我们解决一些数学验证或运算． （1）我国是最早了解勾股定理的国家之一，该定理阐明了直角三角形的三边关系．请你利用如图对勾股定理（即下列命题）进行验证，从中体会“数形结合”的思想： 已知：如图，在和中，，（点，，在一条直线上），，，． 证明：； （2）请利用“数形结合”思想，画图并推算出的结果． 【答案】(1)见解析 (2)见解析， 【分析】本题考查了勾股定理的证明及完全平方公式，熟练掌握数形相结合的思想是解题的关键． （）利用面积法证明即可；（）利用面积法计算即可． （1）证明：梯形的面积， 梯形的面积， ∴， 化简可得：； （2）解：如图所示： 大正方形的面积； 大正方形的面积， ∴． 【变式1】下面各图中，不能证明勾股定理正确性的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了勾股定理的证明，先表示出图形中各个部分的面积，再判断即可． 解：把斜边定为c， A、∵， ∴整理得：，即能证明勾股定理，故本选项不符合题意； B、∵， ∴整理得：，即能证明勾股定理，故本选项不符合题意； C、根据图形只能说明，不能证明勾股定理，故本选项符合题意； D、∵， ∴整理得：，即能证明勾股定理，故本选项不符合题意； 故选C． 【变式2】（2023·陕西西安·模拟预测）“赵爽弦图”是我国古代数学的骄傲，它巧妙利用面积关系证明了勾股定理，如图所示的“弦图”，是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形，设直角三角形较短直角边长为，较长直角边长为，若小正方形的面积为，大正方形的面积为，那么为 ．    【答案】1 【分析】结合图形，求出的值，再利用完全平方公式计算即可得出． 解：根据题意得：，，即， 则， 故答案为：． 【点拨】本题主要考查了勾股定理的证明，完全平方公式的应用，采用数形结合的方法是解题的关键． 【题型5】利用勾股定理解决折叠问题 【例5】（23-24八年级下·湖北武汉·阶段练习）把一张长方形的纸片沿对角线折叠，折叠后，边的对应边交于． （1）求证：长方形各内角均为； （2）若，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了折叠问题，全等三角形的性质与判定，勾股定理； （1）由折叠的性质知，，，进而证明，根据全等三角形的性质，即可得证； （2）勾股定理求得，由（）知，根据得出，即可求解． （1）证明：由折叠的性质知，，． 四边形是长方形， ∴， 在和中， ， ， ； （2）解：四边形是长方形， ，， ， 由（）知， ， ， ， ∴． 【变式1】（2024·山东烟台·二模）如图，三角形纸片中，，沿和将纸片折叠，使点B和点C都落在边上的点P处，则的长是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了折叠的性质，勾股定理，掌握折叠的性质以及勾股定理是解题的关键． 根据题意可得，，，可得，继而设，则，根据勾股定理即可求解． 解：∵沿过点A的直线将纸片折叠，使点B落在边上的点P处， ∴，， ∵折叠纸片，使点C与点P重合， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 设， 则， ∴， 解得， 即， 故选：A． 【变式2】（2024·河北邯郸·模拟预测）如图，在中，，D、E分别为，上一点，将，分别沿、折叠，点A、B恰好重合于点处．则 °．若，，则 【答案】 /90度 【分析】本题考查了翻折的性质，勾股定理，解题的关键是：熟练掌握翻折的性质与勾股定理解三角形．根据翻折的性质得到，，由，即可得到，由折叠的性质可得：，，设，在中，根据勾股定理即可求出， 解：由折叠的性质可得，，， ∵， ∴， ∴， 由折叠的性质可得：，， 设，则， 在中，， 即：， 解得：， ∴， 故答案为：；． 第三部分【中考链接与拓展延伸】 1、直通中考 【例1】（2024·四川眉山·中考真题）如图，图1是北京国际数学家大会的会标，它取材于我国古代数学家赵爽的“弦图”，是由四个全等的直角三角形拼成．若图1中大正方形的面积为24，小正方形的面积为4，现将这四个直角三角形拼成图2，则图2中大正方形的面积为（    ） A．24 B．36 C．40 D．44 【答案】D 【分析】本题考查勾股定理，设直角三角形的两直角边为 ， ，斜边为 ，根据图1，结合已知条件得到，，进而求出的值，再进一步求解即可. 解：如图，直角三角形的两直角边为，，斜边为， 图1中大正方形的面积是24， ， 小正方形的面积是4， ， ， 图2中最大的正方形的面积； 故选：D． 【例2】（2023·江苏南通·中考真题）勾股数是指能成为直角三角形三条边长的三个正整数，世界上第一次给出勾股数公式的是中国古代数学著作《九章算术》．现有勾股数a，b，c，其中，均小于，，，是大于1的奇数，则 （用含的式子表示）． 【答案】 【分析】根据直角三角形的性质，直角边小于斜边得到，为直角边，为斜边，根据勾股定理即可得到的值． 解：由于现有勾股数a，b，c，其中，均小于， ，为直角边，为斜边， ， ， 得到， ， ， 是大于1的奇数， ． 故答案为：． 【点拨】本题考查勾股定理的应用，分清楚，为直角边，为斜边是解题的关键． 2、拓展延伸 【例1】在△ABC中，BC=a，AC=b，AB=c，若∠C=90°，如图1，则有；若△ABC为锐角三角形时，小明猜想：，理由如下：如图2，过点A作AD⊥CB于点D，设CD=x．在Rt△ADC中，，在Rt△ADB中，，∴． ∵a＞0，x＞0，∴2ax＞0，∴，∴当△ABC为锐角三角形时． 所以小明的猜想是正确的． （1）请你猜想，当△ABC为钝角三角形时， 与的大小关系． （2）温馨提示：在图3中，作BC边上的高． （3）证明你猜想的结论是否正确． 【答案】（1）；（2）作图见解析；（3）正确． 【分析】（1）根据题意可猜测：当△ABC为钝角三角形时，与的大小关系为：； （2）根据题意可作辅助线：过点A作AD⊥BC于点D； （3）然后设CD=x，分别在Rt△ADC与Rt△ADB中，表示出AD2，即可证得结论． 解：（1）当△ABC为钝角三角形时，与的大小关系为：； （2）如图3，过点A作AD⊥BC于点D； （3）证明：如图3，设CD=x．在Rt△ADC中，，在Rt△ADB中，， ∴． ∵a＞0，x＞0， ∴2ax＞0， ∴， ∴当△ABC为钝角三角形时，． 考点：三角形综合题；勾股定理． 【例2】（23-24八年级下·湖北孝感·期中）如图1，中，，D，E是直线上两动点，且．探究线段、、三条线段之间的数量关系：小明的思路是：如图2，将沿折叠，得，连接，看能否将三条线段转化到一个三角形中，…请你参照小明的思路，探究并解决下列问题： （1）猜想、、三条线段之间的数量关系，并证明； （2）如图3，当动点在线段上，动点运动在线段延长线上时，其他条件不变，（1）中探究的结论是否发生改变？请说明你的猜想并给予证明． 【答案】(1) (2)不变，，证明见详解 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，勾股定理，正确添加辅助线是解题的关键． （1）通过证明，得到，在中，有，即； （2）作，且截取，连接，连接，先证明，再证明，则，在 中，，即． （1）解：， ∵中，， ∴， 将沿折叠，得，连接 ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴在中，有，即． （2）解：结论不变， 作，且截取，连接，连接， ∵ ， ∴，， 又， ， ， ， ， 又， ， ，， ， ， 在 中，，即． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$