人教版数学八年级上暑假自学课专题训练专题十三 轴对称

人教版数学八年级上暑假自学课专题训练 专题十三 轴对称 一、专题导航 2、 知识点梳理 知识点1 轴对称和轴对称图形 （1）轴对称图形 　　如果一个图形沿着某一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形，这条直线就是它的对称轴.轴对称图形的性质：轴对称图形的对称轴，是任何一对对应点所连线段的垂直平分线. （2）轴对称 定义：把一个图形沿着某一条直线折叠，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这条直线对称，这条直线叫做对称轴.成轴对称的两个图形的性质： ①关于某条直线对称的两个图形形状相同，大小相等，是全等形； ②如果两个图形关于某条直线对称，则对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线； ③两个图形关于某条直线对称，如果它们的对应线段或延长线相交，那么它们的交点在对称轴上. （3）轴对称图形与轴对称的区别和联系 区别: 轴对称是指两个图形的位置关系，轴对称图形是指具有特殊形状的一个图形；轴对称涉及两个图形，而轴对称图形是对一个图形来说的.联系：如果把一个轴对称图形沿对称轴分成两个图形，那么这两个图形关于这条轴对称；如果把成轴对称的两个图形看成一个整体，那么它就是一个轴对称图形． 典例剖析1 例1-1．下列说法正确的是（    ） A．轴对称图形是由两个图形组成的 B．等边三角形有三条对称轴 C．两个等面积的图形一定轴对称 D．直角三角形一定是轴对称图形 例1-2．如图所示，它们都是对称图形，请观察并指出哪些是轴对称图形，哪些图形成轴对称． 知识点2 线段的垂直平分线 线段的垂直平分线的性质： 线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等。 线段的垂直平分线的判定 与一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上. 典例剖析2 例2-1．用直尺、圆规作图，不写作法，但要保留作图痕迹． 已知：． 求作：点P，使，且点P在边的高上． 例2-2．如图，在平面直角坐标系中，，，，．点B与点C关于直线l对称，直线l与的交点分别为点D，E． （1）求点A到的距离； （2）连接，补全图形并求的面积； （3）若位于x轴上方的点P在直线l上，，直接写出点P的坐标． 例2-3．如图，在中，. ⑴已知线段AB的垂直平分线与BC边交于点P，连结AP，求证：； ⑵以点B为圆心，线段AB的长为半径画弧，与BC边交于点Q，连结AQ，若，求的度数. 知识点3 尺规作线段的垂直平分线 线段垂直平分线的作法 已知：如图，线段MN. 求作：ＭＮ的垂直平分线. 作法：（１）分别以M、N为圆心，大于 相 线段为半径画弧，两弧相交于P，Q； （２）连接PQ交MN于O． 则PQ就是所求作的ＭＮ的垂直平分线 典例剖析3 例3-1 .尺规作图（保留做图痕迹） 如下图，在内求做一点P，使P到两边的距离相等，且． 例3-2．已知：如图，在等腰△ABC中，AB=AC．求作：在BC边上找一点D，使得AD=CD． 小李同学在学习了尺规作图的相关知识后，设计作图步骤如下： ①分别以点A，C为圆心，大于AC长为半径作弧，两弧相交于M，N两点； ②连接MN，交BC于点D，连接AD； ③点D即为所求． （1）请根据上述的设计方案，补全作图痕迹，并分析小李同学的作图依据是 _____； （2）补充下面的证明过程： 证明：设MN交AC于点E， ∵MN垂直平分AC， ∴∠AED=∠CED=90°，_____，DE=DE， ∴△AED≌△CED， ∴AD=_____．（ _____）（填推理依据）． 知识点4 线段垂直平分线的综合 线段的垂直平分线的性质应用非常广泛，很多问题利用中垂线的性质解题，能达到事半功倍的效果，折叠问题、轴对称问题都可以转化成中垂线性质来解决。 典例剖析4 例4-1．如图，在中，AB边的垂直平分线交BC于点D，AC边的垂直平分线交BC于点E，与相交于点O. 图① 图② 图③ (1)如图①，当时，的度数为________； (2)如图②，连接OA，OB，OC.若的周长为，的周长为.求线段BC，OA的长； (3)如图③，若，求的度数. 例4-2．如图，在中，AF平分，AC的垂直平分线交BC于点E，交AC于点D，，，求的度数. 答案： 解析：DE是AC的垂直平分线， ， ， ， ， AF平分， ， ， ， 解得：. 三、变式训练 训练1轴对称与轴对称图形 1.如图，在9×9的正方形网格中，△ABC三个顶点在格点上，每个小正方形的边长为1． （1）建立适当的平面直角坐标系后，若点A的坐标为（2，1），点C的坐标为（5，2），画出平面直角坐标系并写出点B的坐标； （2）直线l经过点A且与y轴平行，写出点B、C关于直线l对称点B1、C1的坐标； （3）直接写出BC上一点P（a，b）关于直线l对称点P1的坐标． 2 .如图是正方形网格，其中已有3个小方格涂成了黑色，现在要从其余白色小方格中选出一个也涂成黑色，使黑色图形成为轴对称图形，这样的白色小方格有 个．    3 .电子钟镜子里的像如图所示，实际时间是（    ） A．21：10 B．10：21 C．10：51 D．12：01 训练2 线段的垂直平分线 1．如图，在中，的垂直平分线分别交于点D，E．求证：． 2．如图，在中，垂直平分，分别交，于点、，垂直平分，分别交、于点、，连接，． （1）若，求的周长等于__________． （2）若，求的度数 3．已知：如图，在△ABC中，120°＜∠BAC＜180°，AD为边BC的垂直平分线，以AC为边作等边三角形ACE，△ACE与△ABC在直线AC的异侧，直线BE交DA的延长线于点F，连接FC交AE于点M． （1）求证：∠FEA＝∠FBA． （2）求∠EFC的度数． （3）猜想线段FE，FA，FD之间的数量关系，并证明你的结论． 训练3 尺规作图：作线段的垂直平分线 1 .在中，，，． （1）求线段的长； （2）作边的垂直平分线分别交，于点和点（利用尺规作图，保留作图痕迹）； （3）连接，若，求的度数． 2．如图，已知△ABC，∠C=90°，AC<BC，D为BC上一点，且到A，B两点的距离相等． （1）用直尺和圆规，作出点D的位置（不写作法，保留作图痕迹）； （2）连接AD，若∠B=37°，求∠CAD的度数． 3．如图，△ABC为锐角三角形． （1）请在图1中用无刻度的直尺和圆规作图：在AC右上方确定点D，使∠DAC＝∠ACB，且；（不写作法，保留作图痕迹） （2）在（1）的条件下，若，，，则四边形ABCD的面积为 ．（如需画草图，请使用试卷中的图2） 训练4 线段垂直平分线综合 1.如图，在中，，，AC的垂直平分线EF交AC于点E，交BC于点F. 求证：. 2．如图，直线与分别是边和的垂直平分线，与分别交边于点和点. (1)若，则的周长是多少？为什么？ (2)若，求的度数. 四、能力提升 提升1 轴对称和轴对称图形 1．画出图中四边形关于直线l的轴对称图形. 2．如图，正方形网格中的与为轴对称图形. (1)利用网格线作出与的对称轴l； (2)如果每个小正方形的边长均为1，请求出的面积. 3．在的网格中已经涂黑了三个小正方形，请在图中涂黑一块（或两块）小正方形，使涂黑的四个（或五个）小正方形组成一个轴对称图. 4．如图，在长度为1个单位长度的小正方形组成的正方形网格中，点A、B、C在小正方形的顶点上. （1）在图中画出与关于直线l成轴对称的； （2）线段被直线l_____； （3）在直线l上找一点P，使的长最短； （4）的面积＝_____. 提升2 线段的垂直平分线 1．在中，，D为内一点，连接，，延长到点E，使得． （1）如图1，延长到点F，使得，连接，． ①求证：； ②若，求证：； （2）连接，交的延长线于点H，连接，依题意请补全图2．若，试探究线段、与的数量关系． 2．在中，，点O是所在平面内一点，连接OA，延长OA到点E，使得，连接OC，过点B作BD与OC平行，并使，且，连接DE．若，且，，则的大小为______． 3．已知四边形ABCD中，BC＝CD．连接BD，过点C作BD的垂线交AB于点E，连接DE． （1）如图1，若，求证：四边形BCDE是菱形； （2）如图2，连接AC，设BD，AC相交于点F，DE垂直平分线段AC． （ⅰ）求∠CED的大小； （ⅱ）若AF＝AE，求证：BE＝CF． 提升3 尺规作图;作线段垂直平分线 1.如图，在 Rt△ABC 中，∠C = 90°． （1）请用尺规完成基本作图：作 AB 的垂直平分线交 AB 于点 D，交 AC 于点 E；（保留作图痕迹，不写作法） （2）在（1）所作的图形中，连接 BE，若 BE 平分∠ABC，DE = 4，求 BE 的长． 提升4 线段垂直平分线综合 1 .如图，在中，边的垂直平分线交于点，边的垂直平分线交于点，与相交于点．已知的周长为．    (1)求的长； (2)分别连接，，，若的周长为，求的长． 2.如图，在△ABC中，点E是BC边上的一点，连接AE，BD垂直平分AE，垂足为F，交AC于点D，连接DE． （1）若△ABC的周长为18，△DEC的周长为6，求AB的长． （2）若∠ABC＝30°，∠C＝45°，求∠CDE的度数． 3.如图，△ABE和△ADC分别沿着边AB、AC翻折180°形成的，若∠BCA：∠ABC：∠BAC＝28：5：3，BE与DC交于点F，则∠EFC的度数为（　　） A．20° B．30° C．40° D．45° 学科网（北京）股份有限公司 $$ 人教版数学八年级上暑假自学课专题训练 专题十三 轴对称（解析版） 一、专题导航 2、 知识点梳理 知识点1 轴对称和轴对称图形 （1）轴对称图形 　　如果一个图形沿着某一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形，这条直线就是它的对称轴.轴对称图形的性质：轴对称图形的对称轴，是任何一对对应点所连线段的垂直平分线. （2）轴对称 定义：把一个图形沿着某一条直线折叠，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这条直线对称，这条直线叫做对称轴.成轴对称的两个图形的性质： ①关于某条直线对称的两个图形形状相同，大小相等，是全等形； ②如果两个图形关于某条直线对称，则对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线； ③两个图形关于某条直线对称，如果它们的对应线段或延长线相交，那么它们的交点在对称轴上. （3）轴对称图形与轴对称的区别和联系 区别: 轴对称是指两个图形的位置关系，轴对称图形是指具有特殊形状的一个图形；轴对称涉及两个图形，而轴对称图形是对一个图形来说的.联系：如果把一个轴对称图形沿对称轴分成两个图形，那么这两个图形关于这条轴对称；如果把成轴对称的两个图形看成一个整体，那么它就是一个轴对称图形． 典例剖析1 例1-1．下列说法正确的是（    ） A．轴对称图形是由两个图形组成的 B．等边三角形有三条对称轴 C．两个等面积的图形一定轴对称 D．直角三角形一定是轴对称图形 【答案】B 【分析】根据轴对称图形的定义逐一进行判定解答． 【详解】解：A、轴对称图形可以是1个图形，不符合题意； B、等边三角形有三条对称轴，即三边垂直平分线，符合题意； C、两个等面积的图形不一定轴对称，不符合题意； D、直角三角形不一定是轴对称图形，不符合题意． 故选：B． 【点睛】本题考查轴对称图形的定义与性质，如果一个图形沿着一条直线对折，两侧的图形能完全重合，这个图形就是轴对称图形．折痕所在的这条直线叫做对称轴． 例1-2．如图所示，它们都是对称图形，请观察并指出哪些是轴对称图形，哪些图形成轴对称． 【答案】见解析 【分析】本题考查了轴对称图形的概念与轴对称的概念；根据轴对称图形的概念与轴对称的概念可作答．轴对称的概念：把其中的一个图形沿着某条直线折叠，能够与另一个图形重合．轴对称图形的概念：如果一个图形沿着一条直线对折后两部分完全重合，这样的图形叫做轴对称图形． 【详解】解：图（1）（3）（4）（6）（8）（10）是轴对称图形； 知识点2 线段的垂直平分线 线段的垂直平分线的性质： 线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等。 线段的垂直平分线的判定 与一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上. 典例剖析2 例2-1．用直尺、圆规作图，不写作法，但要保留作图痕迹． 已知：． 求作：点P，使，且点P在边的高上． 【答案】见解析 【解析】 作的垂直平分线和边上的高，它们的交点为P点． 解：如图，点P为所作． 【点睛】本题考查了作图-复杂作图：解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．也考查了线段垂直平分线的性质． 例2-2．如图，在平面直角坐标系中，，，，．点B与点C关于直线l对称，直线l与的交点分别为点D，E． （1）求点A到的距离； （2）连接，补全图形并求的面积； （3）若位于x轴上方的点P在直线l上，，直接写出点P的坐标． 【答案】（1）5 （2），图见解析 （3） 【解析】（1）作于点F，得到，进而根据点到直线的距离和点A，B，C的坐标求解即可； （2）根据题意补全图形，首先求出是等腰直角三角形，然后由题意可知，直线l是线段的垂直平分线，于点D，，得到为等腰直角三角形，进而求出，最后根据三角形面积公式求解即可； （3）由（2）可得，，可得到点P和点E重合，然后根据点D的坐标和的长度求解即可． 【小问1详解】 作于点F，则． 由， 可得． ∴点A到的距离为5． 【小问2详解】 补全图形如下： 由， 可得． ∴． ∴． ∴在中， ． 由题意可知，直线l是线段的垂直平分线，于点D，． ∴． ∴． ∴为等腰直角三角形，． ∴． ∴ ∴． 【小问3详解】 由（2）可得，， ∴点P和点E重合， ∵， ∴点E的坐标为， ∴点P的坐标为． 【点睛】此题考查了坐标与图形，等腰直角三角形的性质和判定，垂直平分线的性质等知识，解题的关键是掌握以上知识点． 例2-3．如图，在中，. ⑴已知线段AB的垂直平分线与BC边交于点P，连结AP，求证：； ⑵以点B为圆心，线段AB的长为半径画弧，与BC边交于点Q，连结AQ，若，求的度数. 【答案】（1）见解析；（2）∠B=36°. 【解析】（1）根据垂直平分线的性质，得到PA=PB，再由等腰三角形的性质得到∠PAB=∠B，从而得到答案； （2）根据等腰三角形的性质得到∠BAQ=∠BQA，设∠B=x，由题意得到等式∠AQC=∠B+∠BAQ=3x，即可得到答案. （1）证明：因为点P在AB的垂直平分线上， 所以PA=PB， 所以∠PAB=∠B， 所以∠APC=∠PAB+∠B=2∠B. （2）根据题意，得BQ=BA， 所以∠BAQ=∠BQA， 设∠B=x， 所以∠AQC=∠B+∠BAQ=3x， 所以∠BAQ=∠BQA=2x， 在△ABQ中，x+2x+2x=180°， 解得x=36°，即∠B=36°. 【点睛】本题考查垂直平分线的性质、等腰三角形的性质，解题的关键是掌握垂直平分线的性质、等腰三角形的性质. 知识点3 尺规作线段的垂直平分线 线段垂直平分线的作法 已知：如图，线段MN. 求作：ＭＮ的垂直平分线. 作法：（１）分别以M、N为圆心，大于 相 线段为半径画弧，两弧相交于P，Q； （２）连接PQ交MN于O． 则PQ就是所求作的ＭＮ的垂直平分线 典例剖析3 例3-1 .尺规作图（保留做图痕迹） 如下图，在内求做一点P，使P到两边的距离相等，且． 【答案】作图见解析 【解析】连接，作出线段的垂直平分线和的平分线，线段的垂直平分线和的平分线的交点即为点P． 解：如图，点P即为所求． 【点睛】本题考查了作图−基本作图，角平分线的性质和垂直平分线的性质，熟练掌握角平分线和线段垂直平分线的作法是解题的关键． 例3-2．已知：如图，在等腰△ABC中，AB=AC．求作：在BC边上找一点D，使得AD=CD． 小李同学在学习了尺规作图的相关知识后，设计作图步骤如下： ①分别以点A，C为圆心，大于AC长为半径作弧，两弧相交于M，N两点； ②连接MN，交BC于点D，连接AD； ③点D即为所求． （1）请根据上述的设计方案，补全作图痕迹，并分析小李同学的作图依据是 _____； （2）补充下面的证明过程： 证明：设MN交AC于点E， ∵MN垂直平分AC， ∴∠AED=∠CED=90°，_____，DE=DE， ∴△AED≌△CED， ∴AD=_____．（ _____）（填推理依据）． 【答案】(1)线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等;(2)垂直的定义;(3)CD;(4)线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等; 【解析】（1）根据线段垂直平分线的性质作出图形即可； （2）根据线段垂直平分线的性质即可得到结论． 解：（1）如图所示， 作图依据是线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等； 故答案为：线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等； （2）证明：设MN交AC于点E， ∵MN垂直平分AC， ∴∠AED=∠CED=90°，（垂直的定义）DE=DE， ∴△AED≌△CED， ∴AD=CD．（ 线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等）（填推理依据）． 故答案为：垂直的定义，CD，线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等． 知识点4 线段垂直平分线的综合 线段的垂直平分线的性质应用非常广泛，很多问题利用中垂线的性质解题，能达到事半功倍的效果，折叠问题、轴对称问题都可以转化成中垂线性质来解决。 典例剖析4 例4-1．如图，在中，AB边的垂直平分线交BC于点D，AC边的垂直平分线交BC于点E，与相交于点O. 图① 图② 图③ (1)如图①，当时，的度数为________； (2)如图②，连接OA，OB，OC.若的周长为，的周长为.求线段BC，OA的长； (3)如图③，若，求的度数. 答案：(1) (2)， (3) 解析：(1)如图①，是AB边的垂直平分线，是AC边的垂直平分线， 图① ，， ， ，，， ； 故答案为：； (2)如图②，是AB边的垂直平分线，是AC边的垂直平分线， 图② ，，，， 的周长， 的周长为， ， 的周长，的周长为， ， 解得； (3)如图③，是AB边的垂直平分线，是AC边的垂直平分线， 图③ ，， ，， ， ， . 例4-2．如图，在中，AF平分，AC的垂直平分线交BC于点E，交AC于点D，，，求的度数. 答案： 解析：DE是AC的垂直平分线， ， ， ， ， AF平分， ， ， ， 解得：. 三、变式训练 训练1轴对称与轴对称图形 1.如图，在9×9的正方形网格中，△ABC三个顶点在格点上，每个小正方形的边长为1． （1）建立适当的平面直角坐标系后，若点A的坐标为（2，1），点C的坐标为（5，2），画出平面直角坐标系并写出点B的坐标； （2）直线l经过点A且与y轴平行，写出点B、C关于直线l对称点B1、C1的坐标； （3）直接写出BC上一点P（a，b）关于直线l对称点P1的坐标． 【分析】（1）由点A的坐标为（2，1），可得点A向左平移2个单位长度，向下平移一个单位长度，即是坐标原点，建立平面直角坐标系，再写出点B的坐标即可； （2）根据轴对称的性质得到点B1、C1的坐标； （3）根据轴对称的性质得出点的坐标． 【解答】解：（1）如图所示，B（4，4）； （2）如图所示，B1（0，4），C1（﹣1，2）； （3）解：∵点P1为BC上一点P（a，b）关于直线l的对称点， ∴P1（4﹣a，b）． 2 .如图是正方形网格，其中已有3个小方格涂成了黑色，现在要从其余白色小方格中选出一个也涂成黑色，使黑色图形成为轴对称图形，这样的白色小方格有 个．    【答案】 【分析】本题主要考查了轴对称图形的概念．本题根据轴对称图形的概念即可找出符合题意的小方格，注意不要遗漏． 【详解】解：如图所示，有4个位置使之成为轴对称图形．      故答案为：． 3 .电子钟镜子里的像如图所示，实际时间是（    ） A．21：10 B．10：21 C．10：51 D．12：01 【答案】C 【分析】根据镜面对称的性质求解，在平面镜中的像与现实中的事物恰好左右顺序颠倒，且关于镜面对称． 【详解】解：根据镜面对称的性质，分析可得题中所显示的图片与10：51成轴对称，所以此时实际时刻为10：51． 故选：C． 【点睛】本题考查镜面反射的原理与性质．解决此类题应认真观察，注意技巧． 训练2 线段的垂直平分线 1．如图，在中，的垂直平分线分别交于点D，E．求证：． 【答案】证明见解析 【解析】如图，连接证明 再求解 可得 从而可得答案. 证明：如图，连接 的垂直平分线分别交于点D，E， 【点睛】本题考查的是线段的垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，含的直角三角形的性质，掌握“直角三角形中，所对的直角边是斜边的一半”是解本题的关键. 2．如图，在中，垂直平分，分别交，于点、，垂直平分，分别交、于点、，连接，． （1）若，求的周长等于__________． （2）若，求的度数 【答案】（1）9 （2）见解析 【解析】（1）根据垂直平分线的性质得出，，根据三角形周长公式即可求解； （2）根据三角形内角和定理求得，根据垂直平分线的性质以及等边对等角可得， ，进而根据三角形内角和定理即可求解． 【小问1详解】 解：∵是的垂直平分线， ∴， ∵是的垂直平分线， ∴， ∴的周长为． 【小问2详解】 解：∵， ∴， ∵是的垂直平分线， ∴， ∴， 同理可得：， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了垂直平分线的性质，等边对等角，三角形内角和定理，掌握以上知识是解题的关键． 3．已知：如图，在△ABC中，120°＜∠BAC＜180°，AD为边BC的垂直平分线，以AC为边作等边三角形ACE，△ACE与△ABC在直线AC的异侧，直线BE交DA的延长线于点F，连接FC交AE于点M． （1）求证：∠FEA＝∠FBA． （2）求∠EFC的度数． （3）猜想线段FE，FA，FD之间的数量关系，并证明你的结论． 【答案】（1）证明见解析 （2）60° （3）FE+FA=2FD，证明见解析 【解析】（1）由等边三角形的性质及线段的垂直平分线的性质证明； （2）利用角之间的相等关系进行等量代换，再根据等边三角形的性质可得出答案； （3）在CF上取 N使得FN=FE，利用（2）的结论，证明△EFN是等边三角形，得到∠FEN=∠FNE=60°，EN=EF，再证明△EFA≌△ENC（SAS），得到FA=NC，FE+FA=FN+NC=FC，再利用直角三角形中30°角所对直角边等于斜边的一半得到FC=2FD，结论得证． 【小问1详解】 解：∵AD为边BC的垂直平分线， ∴AB=AC， ∵△ACE为等边三角形， ∴AC=AE， ∴AB=AE， ∴∠FEA=∠FBA； 【小问2详解】 解：∵AD为边BC的垂直平分线 ∴AB=AC，FB=FC， ∴∠ABC=∠ACB，∠FBC=∠FCB， ∴∠FBC－∠ABC=∠FCB－∠ACB，即∠ABE=∠ACF， ∵∠ABE=∠AEF， ∴∠AEF=∠ACF， ∵∠FME=∠CMA， ∴∠EFC=∠CAE， ∵等边三角形ACE中，∠CAE=60°， ∴∠EFC=60°． 【小问3详解】 解：FE+FA＝2FD， 证明：CF上取 N使得FN=FE， 由（2）得∠EFM=∠CAM=60°， ∵FN=FE， ∴△EFN是等边三角形， ∴∠FEN=∠FNE=60°，EN=EF， ∵△ACE为等边三角形， ∴∠AEC=60°，EA=EC， ∴∠FEN=∠AEC， ∴∠FEN－∠MEN=∠AEC－∠MEN，即∠AEF=∠CEN， 在△EFA和∠ENC中， EF＝EN，∠AEF＝∠CEN，EA＝EC， ∴△EFA≌△ENC（SAS）， ∴FA=NC， ∴FE+FA=FN+NC=FC， ∵∠EFC=∠FBC+∠FCB=60°，∠FBC=∠FCB， ∴∠FCB=×60°=30°， ∵AD⊥BC， ∴∠FDC=90°， ∴FC=2FD， ∴FE+FA=2FD． 【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，等边三角形的性质和判定，含30°角的直角三角形的性质，全等三角形的性质和判定的应用及线段的垂直平分线的性质，熟练掌握相关判定和性质是解题的关键． 训练3 尺规作图：作线段的垂直平分线 1 .在中，，，． （1）求线段的长； （2）作边的垂直平分线分别交，于点和点（利用尺规作图，保留作图痕迹）； （3）连接，若，求的度数． 【答案】（1）10 （2）见解析 （3） 【解析】（1）根据勾股定理即可求解； （2）根据题意作边的垂直平分线分别交，于点和点； （3）在中，三角形内角和定理得出，根据线段垂直平分线的性质得出，根据等边对等角得出，根据即可求解． 【小问1详解】 在中，，，， 根据勾股定理得：， 即：线段的长为10． 【小问2详解】 如图所示，线段的垂直平分线、点、为所求． 【小问3详解】 解：如图，连接， 在中，，， ∴， ∵为线段的垂直平分线， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了勾股定理，尺规作线段的垂直平分线，线段垂直平分线的性质，三角形内角和定理，掌握以上知识是解题的关键． 2．如图，已知△ABC，∠C=90°，AC<BC，D为BC上一点，且到A，B两点的距离相等． （1）用直尺和圆规，作出点D的位置（不写作法，保留作图痕迹）； （2）连接AD，若∠B=37°，求∠CAD的度数． 【答案】（1）点D的位置如图所示（D为AB中垂线与BC的交点）．（2）16°． 【解析】（1）根据到线段两个端点的距离相等的点在这条线段的垂直平分线上，作出AB的中垂线． （2）要求∠CAD的度数，只需求出∠CAB，而由（1）可知：∠BAD=∠B 解：（1）点D的位置如图所示（D为AB中垂线与BC的交点）． （2）∵在Rt△ABC中，∠B=37°，∴∠CAB=53°． 又∵AD=BD，∴∠BAD=∠B=37°． ∴∠CAD=53°-37°=16°． 3．如图，△ABC为锐角三角形． （1）请在图1中用无刻度的直尺和圆规作图：在AC右上方确定点D，使∠DAC＝∠ACB，且；（不写作法，保留作图痕迹） （2）在（1）的条件下，若，，，则四边形ABCD的面积为 ．（如需画草图，请使用试卷中的图2） 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】（1）先作∠DAC＝∠ACB，再利用垂直平分线的性质作，即可找出点D； （2）由题意可知四边形ABCD是梯形，利用直角三角形的性质求出AE、BE、CE、AD的长，求出梯形的面积即可． 【小问1详解】 解：如图， ∴点D为所求点． 【小问2详解】 解：过点A作AE垂直于BC，垂足为E， ∵，， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∵∠DAC＝∠ACB， ∴，四边形ABCD是梯形， ∴， ∴四边形AECD是矩形， ∴， ∴四边形ABCD的面积为， 故答案：． 【点睛】本题考查作图，作相等的角，根据垂直平分线的性质做垂线，根据直角三角形的性质及勾股定理求线段的长，正确作出图形是解答本题的关键． 训练4 线段垂直平分线综合 1.如图，在中，，，AC的垂直平分线EF交AC于点E，交BC于点F. 求证：. 答案：如图，连接AF. ，，， EF垂直平分AC，， ， ， ，. 解析： 2．如图，直线与分别是边和的垂直平分线，与分别交边于点和点. (1)若，则的周长是多少？为什么？ (2)若，求的度数. 答案：(1)的周长； (2)°. 四、能力提升 提升1 轴对称和轴对称图形 1．画出图中四边形关于直线l的轴对称图形. 答案：见解析 解析：如图，四边形为所求作的图形. 2．如图，正方形网格中的与为轴对称图形. (1)利用网格线作出与的对称轴l； (2)如果每个小正方形的边长均为1，请求出的面积. 答案：(1)见解析 (2)3 解析：(1)如图(1)，直线l为所作. (2)如图(2)，由题意可得 . 3．在的网格中已经涂黑了三个小正方形，请在图中涂黑一块（或两块）小正方形，使涂黑的四个（或五个）小正方形组成一个轴对称图. 答案：见详解 解析：第一种情况以水平阴影两个正方形为对称轴， 第二种情况以水平阴影的两个正方形的铅直对称轴， 第三种情况以网格左上到右下对角线为对称轴， 在第一种对称轴上添加如图也可在2，3，4三个位置添加第5图， 在第三种情况添加第5个图形，也可在对称轴2，3，4位置添加. 4．如图，在长度为1个单位长度的小正方形组成的正方形网格中，点A、B、C在小正方形的顶点上. （1）在图中画出与关于直线l成轴对称的； （2）线段被直线l_____； （3）在直线l上找一点P，使的长最短； （4）的面积＝_____. 答案：（1）见详解 （2）垂直平分 （3） （4）3 解析：（1）如图，为所作； （2）C点与关于直线l对称， 线段被直线l垂直平分. 故答案为：垂直平分. （3）如图，当P，C，三点共线时，最小， 最小值为， 故答案为：； （4）的面积； 故答案为3. 提升2 线段的垂直平分线 1．在中，，D为内一点，连接，，延长到点E，使得． （1）如图1，延长到点F，使得，连接，． ①求证：； ②若，求证：； （2）连接，交的延长线于点H，连接，依题意请补全图2．若，试探究线段、与的数量关系． 【答案】（1）①证明过程见解析；②证明过程解析 （2）作图见解析；，证明过程见解析 【解析】（1）根据全等三角形的判定证明，再根据全等三角形的性质可得，证明，即可得出结论； （2）依题意如图所示：延长到F，使，连接、，根据线段垂直平分线的判定与性质可得，证明，可得，，可证，再根据可证， ，从而证明，即可得出结论． 【小问1详解】 ①证明：在和中， ， ∴； ②∵， ， ， ， ； 【小问2详解】 解；依题意如图所示：延长到F，使，连接、， ，， 是线段的垂直平分线， ， 在和中， ， ， ，， ， ， ，， 在中，， ， ， ，， ， 在中，， ． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质、平行线的判定与性质、线段垂直平分线的判定与性质及勾股定理的定义，正确作出辅助线，构造全等三角形是解题的关键． 2．在中，，点O是所在平面内一点，连接OA，延长OA到点E，使得，连接OC，过点B作BD与OC平行，并使，且，连接DE．若，且，，则的大小为______． 【答案】或 【解析】分点O在内部和点O在外部两种情况，分别画出图形，利用全等三角形的判定和性质，结合中位线性质，等腰三角形的判定和性质，求出即可． 解：当点O在内部时，连接交于点F，连接，延长交于点M，连接，如图所示： ∵，，， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴为垂直平分线， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∵为的中点，A为的中点， ∴， ∴； 当点O在外部时，连接交于点F，连接，延长交于点M，连接，如图所示： 同理可得：， ∴， ∵，， ∴，垂直平分， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴、A、O、M四点共圆， ∴， ∵为的中点，A为的中点， ∴， ∴； 综上分析可知，或． 故答案为：或． 【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，三角形中位线性质，垂直平分线性质，等腰三角形的判定和性质，平行线的性质，解题的关键是分类讨论，作出图形，构造全等三角形解决问题． 3．已知四边形ABCD中，BC＝CD．连接BD，过点C作BD的垂线交AB于点E，连接DE． （1）如图1，若，求证：四边形BCDE是菱形； （2）如图2，连接AC，设BD，AC相交于点F，DE垂直平分线段AC． （ⅰ）求∠CED的大小； （ⅱ）若AF＝AE，求证：BE＝CF． 【答案】（1）见解析 （2）（ⅰ）；（ⅱ）见解析 【解析】（1）先根据DC=BC，CE⊥BD，得出DO=BO，再根据“AAS”证明，得出DE=BC，得出四边形BCDE为平行四边形，再根据对角线互相垂直的平行四边形为菱形，得出四边形BCDE为菱形； （2）（ⅰ）根据垂直平分线的性质和等腰三角形三线合一，证明∠BEG=∠DEO=∠BEO，再根据∠BEG+∠DEO+∠BEO=180°，即可得出； （ⅱ）连接EF，根据已知条件和等腰三角形的性质，算出，得出，证明，再证明，即可证明结论． 【小问1详解】 证明：∵DC=BC，CE⊥BD， ∴DO=BO， ∵， ∴，， ∴（AAS）， ∴， ∴四边形BCDE为平行四边形， ∵CE⊥BD， ∴四边形BCDE为菱形． 【小问2详解】 （ⅰ）根据解析（1）可知，BO=DO， ∴CE垂直平分BD， ∴BE=DE， ∵BO=DO， ∴∠BEO=∠DEO， ∵DE垂直平分AC， ∴AE=CE， ∵EG⊥AC， ∴∠AEG=∠DEO， ∴∠AEG=∠DEO=∠BEO， ∵∠AEG+∠DEO+∠BEO=180°， ∴． （ⅱ）连接EF， ∵EG⊥AC， ∴， ∴， ∵ ∵AE=AF， ∴， ∴， ， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ， ∴， ， ， ， ∴， ， ∴（AAS）， ． 【点睛】本题主要考查了垂直平分线的性质、等腰三角形的判定和性质，三角形全等的判定和性质，菱形的判定，直角三角形的性质，作出辅助线，得出，得出，是解题的关键． 提升3 尺规作图;作线段垂直平分线 1.如图，在 Rt△ABC 中，∠C = 90°． （1）请用尺规完成基本作图：作 AB 的垂直平分线交 AB 于点 D，交 AC 于点 E；（保留作图痕迹，不写作法） （2）在（1）所作的图形中，连接 BE，若 BE 平分∠ABC，DE = 4，求 BE 的长． 【答案】（1）见解析 （2）8 【解析】(1)根据作线段垂直平分线作法即可解答； (2)根据线段垂直平分线的性质可知：AE=BE，可得，再由BE 平分∠ABC，可得，再根据直角三角形的性质，即可求得，据此即可求得． 【小问1详解】 解：作图如下： 【小问2详解】 解：如图：连接BE， 垂直平分AB， ， ， 又BE 平分∠ABC， ，， ， ， ． 【点睛】本题考查了作线段的垂直平分线，线段垂直平分线的性质，角平分线的定义，等边对等角，熟练掌握和运用线段垂直平分线的作法和性质是解决本题的关键． 提升4 线段垂直平分线综合 1 .如图，在中，边的垂直平分线交于点，边的垂直平分线交于点，与相交于点．已知的周长为．    (1)求的长； (2)分别连接，，，若的周长为，求的长． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查线段垂直平分线的性质，（1）由线段垂直平分线的性质推出，，由的周长为，得到，即可求出；（2）由线段垂直平分的性质得到，由的周长，，即可求出，得到．由线段垂直平分线的性质得到，，是解题的关键． 【详解】（1）解：垂直平分， ， 同理，得， 的周长为， ， ； （2）如图，连接，，，    垂直平分， ． 同理，得， 的周长，， ， ． 2.如图，在△ABC中，点E是BC边上的一点，连接AE，BD垂直平分AE，垂足为F，交AC于点D，连接DE． （1）若△ABC的周长为18，△DEC的周长为6，求AB的长． （2）若∠ABC＝30°，∠C＝45°，求∠CDE的度数． 【分析】（1）根据线段垂直平分线的性质得到AB＝BE，AD＝DE，根据三角形的周长公式计算，得到答案； （2）根据三角形内角和定理求出∠BAC，证明△BAD≌△BED，根据全等三角形的性质得到∠BED＝∠BAC＝105°，根据三角形的外角性质计算即可． 【解析】解：（1）∵BD是线段AE的垂直平分线， ∴AB＝BE，AD＝DE， ∵△ABC的周长为18，△DEC的周长为6， ∴AB+BE+EC+CD+AD＝18，CD+EC+DE＝CD+CE+AD＝6， ∴AB+BE＝18﹣6＝12， ∴AB＝6； （2）∵∠ABC＝30°，∠C＝45°， ∴∠BAC＝180°﹣30°﹣45°＝105°， 在△BAD和△BED中， ， ∴△BAD≌△BED（SSS）， ∴∠BED＝∠BAC＝105°， ∴∠CDE＝∠BED﹣∠C＝105°﹣45°＝60°． 3.如图，△ABE和△ADC分别沿着边AB、AC翻折180°形成的，若∠BCA：∠ABC：∠BAC＝28：5：3，BE与DC交于点F，则∠EFC的度数为（　　） A．20° B．30° C．40° D．45° 【分析】根据∠BCA：∠ABC：∠BAC＝28：5：3，三角形的内角和定理分别求得∠BCA，∠ABC，∠BAC的度数，然后根据折叠的性质求出∠D、∠DAE、∠BEA的度数，在△AOD中，根据三角形的内角和定理求出∠AOD的度数，继而可求得∠EOF的度数，最后根据三角形的外角定理求出∠EFC的度数． 【解析】在△ABC中， ∵∠BCA：∠ABC：∠BAC＝28：5：3， ∴设∠BCA为28x，∠ABC为5x，∠BAC为3x， 则28x+5x+3x＝180°， 解得：x＝5°， 则∠BCA＝140°，∠ABC＝25°，∠BAC＝15°， 由折叠的性质可得：∠D＝25°，∠DAE＝3∠BAC＝45°，∠BEA＝140°， 在△AOD中，∠AOD＝180°﹣∠DAE﹣∠D＝110°， ∴∠EOF＝∠AOD＝110°， ∴∠EFC＝∠BEA﹣∠EOF＝140°﹣110°＝30°． 故选：B． 【点评】本题考查图形的折叠变化及三角形的内角和定理．关键是要理解折叠是一种对称变换，它属于轴对称，根据轴对称的性质，折叠前后图形的形状和大小不变，只是位置变化． 学科网（北京）股份有限公司 $$