精品解析：湖南省岳阳市2023-2024学年高二下学期教学质量监测数学试题

岳阳市2024年高二教学质量监测 数学 本试卷共4页，19道题，满分150分，考试用时120分钟. 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的学校、班级、考号和姓名填写在答题卡指定位置. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡对应的标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号 3.非选择题必须用黑色字迹的签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液.不按以上要求作答无效 4.考生必须保证答题卡的整洁.考试结束后，只交答题卡. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，，则集合的子集个数为（ ） A. 2 B. 4 C. 8 D. 16 【答案】C 【解析】 【分析】先求解出集合，然后求解出的子集个数. 【详解】因为，所以， 即， 所以， 所以的子集个数为8. 故选：C. 2. 设数列为等比数列，若，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据条件得到，再利用等比数列的通项公式，即可求出结果. 【详解】因为数列为等比数列，设公比为， 因为，，所以，得到， 又，当时，，当时，， 故选：D. 3. 已知平面向量，，则向量在向量上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用投影向量的定义求解即可. 【详解】向量， 则向量在向量上的投影向量是 . 故选：A. 4. 已知，均为锐角，，，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据条件，利用平方关系得到，，构角，利用余弦的和角公式，即可求出结果. 【详解】因为，均为锐角，即，所以，， 又，， 所以，， 所以 ， 故选：B. 5. 已知椭圆的左右焦点分别为，，为椭圆上一点，且直线的一个方向向量为，则椭圆的离心率为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由可得是直角三角形，进而可得，再根据椭圆定义建立等式计算即可. 【详解】因为，所以，即是直角三角形， 因为直线的一个方向向量为，所以，即， 因为，所以， 因为，所以. 故选：A 6. 将甲、乙等6人安排到三个景点做环保宣传工作，每个景点安排2人，其中甲、乙不能安排去同一个景点，不同的安排方法数有（ ） A. 84 B. 90 C. 72 D. 78 【答案】C 【解析】 【分析】先选出两人分别与甲，乙组队，再进行全排列，得到答案. 【详解】除甲和乙外，从剩余的4人中选两人，分别与甲和乙组队，有种情况， 再将分好的3组和3个景点进行全排列，共有种情况， 故不同的安排方法数有. 故选：C 7. 设，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】首先判断与，与的大小，然后构造函数，通过研究得出与的大小，选出答案. 【详解】设，则， 当时，，即在上单调递减， 故，故，所以， 所以，即； 因为，所以，即； 构造函数，， 当时，，单调递增， 所以，即. 故选：B. 8. 已知函数，，若函数有8个零点，则正数的取值范围是（ ） A B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】令，得到或，当，，利用导数与函数单调性间的关系，得到的单调区间，数形结合，得到当时，有四个根，从而有当，有四个零点，由和，直接求出零点，即可求出结果. 【详解】令，得到，解得或， 又时，，，由得到，由，得到， 即当时，在区间上单调递增，在区间上单调递减， 又，，时，，其图象如图， 所以，当时，或均有2个根， 有四个根，即时，有四个零点， 又函数有8个零点，所以，当，有四个零点， 由，得到或， 即或， 由，得到或， 即或， 又，，所以从右向左的个零点为，，， ， 所以，得到， 故选：D. 【点睛】关键点睛：本题是考查函数的零点个数问题，解答的关键是明确分段函数的性质特点，结合分类讨论、数形结合以及三角函数性质求解参数范围. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 根据国家统计局统计，我国2018-2023年的出生人口数（单位：万人）分别为：1523，1465，1202，1062，956，902，将年份减去2017记为x，出生人口数记为y，得到以下数据： x 1 2 3 4 5 6 y （单位：万人） 1523 1465 1202 1062 956 902 已知，由最小二乘法求得关于的经验回归方程为，则（ ） A. B. 这6年出生人口数的下四分位数为1465 C. 样本相关系数 D. 样本点的残差为55 【答案】AC 【解析】 【分析】对A，回归直线过样本中心点；对B，注意百分位数的计算方法；对C，相关系数与回归直线的斜率正负相同；对D，残差为观测值减去预测值. 【详解】对A，，所以，A正确； 对B，，所以下四分位数是把数据从小到大排列的第二个数956，B错误； 对C，相关系数和的正负相同，C正确； 对D，时，，对应残差为，D错误. 故选：AC. 10. 已知菱形的边长为2，，E，F，G分别为AD、AB、BC的中点，将沿着对角线AC折起至，连结，得到三棱锥.设二面角的大小为，则下列说法正确的是（ ） A. B. 当平面截三棱锥的截面为正方形时， C. 三棱锥的体积最大值为1 D. 当时，三棱锥的外接球的半径为 【答案】ACD 【解析】 【分析】对A，利用线面垂直证线线垂直；对B，计算出的长度即可；对C，当为直角时体积最大；对D，先找到球心的位置，再进行计算. 【详解】对A，取AC中点H，则由，， 所以AC⊥，， 平面，， 所以AC⊥面，又平面， 所以AC⊥，A正确； 对B，取的中点I，易知EFGI为平行四边形(如下图)， 则截面为正方形时，EF=FG=1，由中位线，=2，又BH==， 所以∠不可能为，B错误； 对C，当面ABC时体积最大，最大为，C正确； 对D，过和的外心作所在面的垂线，则交点O即为外心， 又，所以，所以，D正确. 故选：ACD. 11. 已知函数，对任意的实数x，y都有成立，，，则（ ） A. 为偶函数 B. C. D. 4为的一个周期 【答案】BCD 【解析】 【分析】对于前三个选项可以运用赋值法可解，对于D，先考虑周期性，再赋值即可解决. 【详解】对于A，令，代入计算得，，即2． 则.令，代入计算得，，则，故为奇函数，故A错误； 对于B，令，代入计算得，，即，则，故B正确； 对于C，令为，令，则， 变形即，故C正确； 对于D， 令，，代入计算得，即， 则.令为代入得到， 则周期为4. 由C得，， 且，运用周期为4， 则， 则，故4为的一个周期，故D正确． 综上所得，正确答案为： BCD. 故选：BCD. 【点睛】关键点点睛；本题D选项的关键是首先计算得到周期为4，再转化得. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知为虚数单位，则的共轭复数为__________. 【答案】 【解析】 【分析】根据条件，利用复数的运算法则及共轭复数的定义，即可求出结果. 【详解】因为，所以的共轭复数为， 故答案为：. 13. 在中，内角的对边分别为，若且，则面积的最大值为__________. 【答案】## 【解析】 【分析】根据正弦定理、内角和定理、两角和正弦公式、特殊角的三角函数化简等式解出角，利用余弦定理、基本不等式和三角形面积公式解出最大值； 【详解】， 所以， 余弦定理可知 ，当时，等号成立 即， 则面积为 则面积最大值为. 故答案为：. 14. 抛物线的焦点为，过点的直线与抛物线交于A、B两点，抛物线在A、B处的切线交于点，则的最小值为__________. 【答案】9 【解析】 【分析】设直线方程为，联立抛物线方程，得到两根之和，两根之积，求出，再结合导数的几何意义得到在A、B处的切线方程，联立后求出的坐标，从而得到，从而表达出，结合对勾函数单调性得到最值. 【详解】由题意得，当直线斜率为0时，不满足与抛物线交于两个点， 设直线方程为，联立得，， 设，， 则， 故，， 故， ，，故过的切线方程为， 同理可得过点的切线方程为， 联立与得 ， 故 ， 故， ，则， 故， 其中，由上单调递增， 故当，即时，取得最小值， 最小值为. 故答案为：9 【点睛】方法点睛：圆锥曲线中最值或范围问题的常见解法： （1）几何法，若题目的条件和结论能明显体现几何特征和意义，则考虑利用几何法来解决； （2）代数法，若题目的条件和结论能体现某种明确的函数关系，则可首先建立目标函数，再求这个函数的最值或范围． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 如图，在圆锥中，为圆的直径，为圆弧的两个三等分点，为的中点，； （1）求证：平面平面； （2）求直线与平面所成角的正弦值. 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）利用线面垂直的性质得到，再根据条件得到，利用线面垂直的判定定理得到面，再利用面面垂直的判定定理，即可证明结果； （2）建立空间直角坐标系，求出平面的一个法向量及，再利用线面角的向量法，即可求出结果. 小问1详解】 因为面圆，又面圆，所以， 又为圆弧的两个三等分点，所以，得到， 又，所以, 又，面，所以面， 又面，所以平面平面. 【小问2详解】 取的中点，连接，如图，以所以直线为轴，轴，轴建立空间直角坐标系， 因为为的中点，， 所以， 又因为，，所以， 则，， 设平面的一个法向量为，由，得到， 取，得到，，所以， 设直线与平面所成的角为， 所以. 16. 某企业使用新技术生产某种产品，该产品在出厂前要经历生产和检测两道工序，生产工序的次品率为.检测工序包括智能自动检测和人工抽查检测，智能自动检测为合格品则进入流水线并由人工抽查检测. （1）从经过生产工序但未经检测工序的产品中随机抽取件进行检测，求这件产品中的次品数的分布列和数学期望； （2）若智能自动检测的准确率为，求一件产品进入人工抽查检测环节的概率. 【答案】（1）分布列见解析， （2） 【解析】 【分析】（1）根据条件知，利用二项分布列及期望公式，即可求出结果； （2）记事件：生产的产品为合格品，事件：智能自动检测为合格品， 则，，，，再利用全概率公式，即可求出结果. 【小问1详解】 由题知，， 所以的分布列为， . 【小问2详解】 记事件：生产的产品为合格品，事件：智能自动检测为合格品， 则，，，， 所以一件产品进入人工抽查检测环节的概率为. 17. 已知函数，其中. （1）若，求在处的切线方程； （2）当时，设.求证：存在极小值点. 【答案】（1） （2）证明见详解. 【解析】 【分析】（1）当时，，由此利用导数的几何意义即可求出函数在处的切线方程. （2）求得导数，得到，再求函数的导数，因为，所以与同号，构造函数，求得，利用零点存在定理证明函数存在，使得，进而得到在上的单调性，即可作出证明. 【小问1详解】 依题意得，函数的定义域为， 因为， 所以， 所以， 所以， 又因为， 所以在处的切线方程为， 即. 【小问2详解】 因为， 所以， 即， 所以， 令， 则， 所以对任意，有，故在单调递增. 因为， 所以，， 所以存在，使得. 因为恒成立， 所以和在区间上的情况如下表： 单调递减 极小值 单调递增 所以在区间上单调递减，在区间上单调递增. 所以存在极小值点. 18. 定义：对于一个无穷数列，如果存在常数，对于任意给定的正数，总存在正整数，使得对于任意大于的正整数，都有.则称常数为数列的极限，记作.根据上述定义，完成以下问题： （1）若，，判断数列和是否存在极限；如果存在，请写出它的极限（不需要证明）； （2）已知数列的前项和为，，数列是公差为的等差数列； ①求数列的通项公式； ②若.证明： 【答案】（1）数列存在极限，极限为；数列不存在极限 （2）①；②证明见解析 【解析】 【分析】（1）根据题设定义，即可判断出结果； （2）①根据条件得到，利用与间的关系，得到，再利用累积法，即可求出结果；②利用①中结果，得到，再根据题设定义，即可求出结果. 【小问1详解】 数列存在极限，因为当时，，所以， 数列不存在极限，因为当时，，， 所以数列不存在极限， 【小问2详解】 ①因为，所以，得到①， 当时，②， 由①②，得到，整理得到， 所以，得到， 又，所以当时，，又，满足， 所以数列的通项公式为. ②由（1）可知， 对于任意给定的正数，由于，所以等价于 取不大于的最大整数为， 令，则当时，恒成立，所以恒成立， 所以. 19. 已知平面内两个定点，，满足直线与的斜率之积为的动点的轨迹为曲线，直线与曲线交于不同两点； （1）求曲线的轨迹方程； （2）若直线和的斜率之积为，求证：直线过定点； （3）若直线与直线分别交于，求证：. 【答案】（1） （2）证明见解析 （3）证明见解析 【解析】 【分析】（1）设，根据条件建立等式，化简即可求出结果； （2）设，联立方程，消得到，由韦达定理得，利用条件，即可得到或，即可证明结果； （3）根据条件得出和的中点重合，即可证明结果. 【小问1详解】 设，由题有，化简得到， 所以曲线的轨迹方程为. 【小问2详解】 因为直线和的斜率之积为，所以直线的斜率存在，设，，， 由，消得到， 则，， ， 化简整理得到，得到或， 当时，，直线过定点与重合，不合题意， 当，，直线过定点，所以直线过定点. 【小问3详解】 由（2）知，， 所以的中点坐标为， 又易知直线直线是双曲线的渐近线，设， 由，消得到， 所以，，得到的中点坐标为， 所以的中点与的中点重合，设中点为， 则，从而有. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 岳阳市2024年高二教学质量监测 数学 本试卷共4页，19道题，满分150分，考试用时120分钟. 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的学校、班级、考号和姓名填写在答题卡指定位置. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡对应的标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号 3.非选择题必须用黑色字迹的签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液.不按以上要求作答无效 4.考生必须保证答题卡的整洁.考试结束后，只交答题卡. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，，则集合子集个数为（ ） A. 2 B. 4 C. 8 D. 16 2. 设数列为等比数列，若，，则（ ） A. B. C. D. 3. 已知平面向量，，则向量在向量上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 4. 已知，均为锐角，，，则的值为（ ） A. B. C. D. 5. 已知椭圆的左右焦点分别为，，为椭圆上一点，且直线的一个方向向量为，则椭圆的离心率为（ ） A. B. C. D. 6. 将甲、乙等6人安排到三个景点做环保宣传工作，每个景点安排2人，其中甲、乙不能安排去同一个景点，不同安排方法数有（ ） A. 84 B. 90 C. 72 D. 78 7. 设，，，则（ ） A. B. C. D. 8. 已知函数，，若函数有8个零点，则正数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 根据国家统计局统计，我国2018-2023年的出生人口数（单位：万人）分别为：1523，1465，1202，1062，956，902，将年份减去2017记为x，出生人口数记为y，得到以下数据： x 1 2 3 4 5 6 y （单位：万人） 1523 1465 1202 1062 956 902 已知，由最小二乘法求得关于的经验回归方程为，则（ ） A. B. 这6年出生人口数的下四分位数为1465 C. 样本相关系数 D. 样本点的残差为55 10. 已知菱形的边长为2，，E，F，G分别为AD、AB、BC的中点，将沿着对角线AC折起至，连结，得到三棱锥.设二面角的大小为，则下列说法正确的是（ ） A. B. 当平面截三棱锥的截面为正方形时， C. 三棱锥体积最大值为1 D. 当时，三棱锥的外接球的半径为 11. 已知函数，对任意实数x，y都有成立，，，则（ ） A. 为偶函数 B. C. D. 4为的一个周期 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知为虚数单位，则的共轭复数为__________. 13. 在中，内角的对边分别为，若且，则面积的最大值为__________. 14. 抛物线的焦点为，过点的直线与抛物线交于A、B两点，抛物线在A、B处的切线交于点，则的最小值为__________. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 如图，在圆锥中，为圆的直径，为圆弧的两个三等分点，为的中点，； （1）求证：平面平面； （2）求直线与平面所成角的正弦值. 16. 某企业使用新技术生产某种产品，该产品在出厂前要经历生产和检测两道工序，生产工序的次品率为.检测工序包括智能自动检测和人工抽查检测，智能自动检测为合格品则进入流水线并由人工抽查检测. （1）从经过生产工序但未经检测工序的产品中随机抽取件进行检测，求这件产品中的次品数的分布列和数学期望； （2）若智能自动检测的准确率为，求一件产品进入人工抽查检测环节的概率. 17. 已知函数，其中. （1）若，求在处的切线方程； （2）当时，设.求证：存在极小值点. 18. 定义：对于一个无穷数列，如果存在常数，对于任意给定的正数，总存在正整数，使得对于任意大于的正整数，都有.则称常数为数列的极限，记作.根据上述定义，完成以下问题： （1）若，，判断数列和是否存在极限；如果存在，请写出它的极限（不需要证明）； （2）已知数列的前项和为，，数列是公差为的等差数列； ①求数列的通项公式； ②若.证明： 19. 已知平面内两个定点，，满足直线与斜率之积为的动点的轨迹为曲线，直线与曲线交于不同两点； （1）求曲线的轨迹方程； （2）若直线和的斜率之积为，求证：直线过定点； （3）若直线与直线分别交于，求证：. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$