1.2 集合间的基本关系（七大常考题型）-2024年新高一数学暑假衔接知识回顾与新课预习（人教A版2019）

1.2集合间的基本关系 知识点1 子集的概念 定义 一般地,对于两个集合A,B,如果集合中任意一个元素都是集合中的元素,称集合为集合的子集 记法与读法 记作(或),读作“包含于”(或“B包含”) 图示 或 结论 （1）任何一个集合是它本身的子集,即; （2）对于集合A,B,C,若,且,则 知识点2 集合相等的概念 如果集合A的任何一个元素是集合B的元素，同时集合B的任何一个元素都是集合A的元素，那么，集合A与集合B相等，记作.也就是说，若且，则. 知识点3 真子集的概念 定义 如果集合,但存在元素,且,我们称集合是集合的真子集 记法 记作(或) 图示 结论 (1)若且,则;(2)若且,则 知识点4 空集的概念 定义：我们把不含任何元素的集合,叫做空集，记法： 规定：空集是任何集合的子集,即 和 和 和 相同点 都表示无 都是集合 都是集合 不同点 表示集合； 是实数 不含任何元素 含有一个元素 不含任何元素 含有一个元素，该元素为： 关系 或者 题型一 判断两集合的包含关系 1．已知集合，，则 （    ） A． B． C． D． 2．已知集合，，则可以为（    ） A． B． C． D． 3．已知集合，则（    ） A． B． C． D． 4．已知集合，则（   ） A． B． C． D． 5．已知集合，，则正确表示与的关系的示意图是（    ） A． B． C． D． 6．是菱形 是平行四边形；是等边三角形} 是等腰三角形 题型二 空集的辨析 7．下列正确的是（　　） A． B． C． D． 8．下列集合中哪些是空集？哪些是无限集？ (1)一元二次方程的全体实根之集； (2)所有素数之集； (3)满足条件和的所有实数组之集； (4)满足条件和的所有实数组之集． 9．有下列关系式：①；②；③；④；⑤；⑥．其中不正确的是（    ） A．①③ B．②④⑤ C．③④ D．①②⑤ 10．下列四个集合中，是空集的是（    ） A． B． C． D． 11．（多选）下列关系中表述正确的是（    ） A． B． C． D． 题型三 判断（真）子集的个数 12．若集合，当时，集合的非空真子集个数为（    ） A．8 B．7 C．6 D．4 13．已知集合，，定义集合：，则集合的非空子集的个数是（    ）个． A．16 B．15 C．14 D．13 14．已知集合，，则集合B的真子集个数是（    ）． A．4 B．7 C．8 D．15 15．若集合有15个真子集，则实数m的取值范围为（    ） A． B． C． D． 16．已知集合，，则满足的集合的个数为 . 17．设集合，则集合的真子集个数为 ． 18．设集合，的所有子集构成的集合记为集合，则集合的非空真子集一共有 个. 题型四 求集合的（真）子集 19．集合的一个子集是（    ） A． B． C． D． 20．（多选）若，则（    ） A． B． C． D． 21．（多选）已知集合，集合，则集合可以是（ ） A． B． C． D． 22．写出集合的一个非空子集 ． 23．写出集合的所有真子集 . 24．写出下列集合的所有子集： (1)； (2)． 题型五 判断两个集合是否相等 25．已知集合，，（    ） A． B． C． D． 26．已知集合，，则的关系（    ） A．⫋ B．⫋ C．⫋⫋ D．⫋⫋ 27．（多选）给出以下几组集合，其中相等的集合有（    ） A． B． C． D． 28．（多选）下列集合中，可以表示为的是（    ） A． B． C． D．不等式组的解集 29．（多选）给出以下几组集合，其中是相等集合的有（    ） A． B． C． D． 30．已知，，则M N （ 填“”或“”或“”或“” ）. 题型六 根据两个集合相等求参数 31．设为实数，，若，则的值为（    ） A．0 B．1 C．2 D．4 32．已知，，若集合，则的值为（    ） A． B． C．1 D．2 33．确定整数，使. 34．已知集合，求 ． 35．已知集合，集合，若，则 ． 36．已知，，集合，，若，则 . 题型七 根据集合的包含关系求参数 37．若集合，若，则（    ） A．1 B． C．或1 D． 38．已知集合，，若，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 39．已知集合，若，则的值可以为（    ） A．1 B．0 C．0或1 D．1或2 40．已知集合.若，则的最大值为（    ） A．2 B．0 C． D．-2 41．（多选）已知集合，若，则实数a的值可以是（    ）． A． B． C．0 D． 42．已知集合，，且．则实数的取值范围为 ． 43．已知集合，，若，求实数的取值范围. 2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 1.2集合间的基本关系 知识点1 子集的概念 定义 一般地,对于两个集合A,B,如果集合中任意一个元素都是集合中的元素,称集合为集合的子集 记法与读法 记作(或),读作“包含于”(或“B包含”) 图示 或 结论 （1）任何一个集合是它本身的子集,即; （2）对于集合A,B,C,若,且,则 知识点2 集合相等的概念 如果集合A的任何一个元素是集合B的元素，同时集合B的任何一个元素都是集合A的元素，那么，集合A与集合B相等，记作.也就是说，若且，则. 知识点3 真子集的概念 定义 如果集合,但存在元素,且,我们称集合是集合的真子集 记法 记作(或) 图示 结论 (1)若且,则;(2)若且,则 知识点4 空集的概念 定义：我们把不含任何元素的集合,叫做空集，记法： 规定：空集是任何集合的子集,即 和 和 和 相同点 都表示无 都是集合 都是集合 不同点 表示集合； 是实数 不含任何元素 含有一个元素 不含任何元素 含有一个元素，该元素为： 关系 或者 题型一 判断两集合的包含关系 1．已知集合，，则 （    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因为，， 故， 故选：B 2．已知集合，，则可以为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由，可知：B可以为， 故选：D 3．已知集合，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因为，则，，，B对，ACD错. 故选：B． 4．已知集合，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因为任意，都有，故，则B正确，A错误； 但，故CD错误. 故选：B 5．已知集合，，则正确表示与的关系的示意图是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由，得，即， 所以，即. 故选：B 6．是菱形 是平行四边形；是等边三角形} 是等腰三角形 【答案】 ⫋ ⫋ 【详解】菱形是特殊的平行四边形；等边三角形是特殊的等腰三角形， 故是菱形⫋是平行四边形，是等边三角形}⫋是等腰三角形． 故答案为：⫋；⫋. 题型二 空集的辨析 7．下列正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】选项，不是的元素，即不成立，则错误； 选项，中没有任何元素，即，则错误； 选项，中没有任何元素，而表示集合里面只有一个元素，即两者不相等，则错误； 选项，元素为集合中的元素，即，则正确； 故选：D. 8．下列集合中哪些是空集？哪些是无限集？ (1)一元二次方程的全体实根之集； (2)所有素数之集； (3)满足条件和的所有实数组之集； (4)满足条件和的所有实数组之集． 【答案】(1)空集 (2)无限集 (3)无限集 (4)空集 【详解】（1）实数范围内,一元二次方程无实根，所以解构成的集合为空集. （2）素数有2，3，5，7，11，13，….，有无数多个，所以素数构成的集合为无限集， （3）只要满足的实数对均为集合中的元素，故为无限集， （4）没有满足条件和的，所以为空集 9．有下列关系式：①；②；③；④；⑤；⑥．其中不正确的是（    ） A．①③ B．②④⑤ C．③④ D．①②⑤ 【答案】C 【详解】对①：因为集合元素具有无序性，显然①正确； 对②：因为集合，故正确，即②正确； 对③：空集是一个集合，而集合是以空集为元素的一个集合，因此不正确； 对④：是一个集合，仅有一个元素0，但是空集不含任何元素，于是，故④不正确； 对⑤：由④可知，非空，于是有，因此⑤正确； 对⑥：显然成立，因此⑥正确． 综上，本题不正确的有③④，于是本题选项为C． 故选：C． 10．下列四个集合中，是空集的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】A选项，集合中显然有元素0，不是空集，A错误； B选项，在R上无解，故，B正确； C选项，，C错误； D选项，，D错误. 故选：B 11．（多选）下列关系中表述正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】BD 【详解】对A：写法不对，应为或，A错误； 对B：是任何集合的子集，故成立，B正确； 对C：是不含任何元素的集合，故，C错误； 对D：是所有自然数组成的集合，故成立，D正确. 故选：BD. 题型三 判断（真）子集的个数 12．若集合，当时，集合的非空真子集个数为（    ） A．8 B．7 C．6 D．4 【答案】C 【详解】根据题意，当时， 集合， 集合中有3个元素，所以集合的非空真子集个数为. 故选：C 13．已知集合，，定义集合：，则集合的非空子集的个数是（    ）个． A．16 B．15 C．14 D．13 【答案】B 【详解】根据题意，， 则集合的非空子集的个数是. 故选：B 14．已知集合，，则集合B的真子集个数是（    ）． A．4 B．7 C．8 D．15 【答案】B 【详解】由题意得， 故集合B的真子集个数为. 故选：B 15．若集合有15个真子集，则实数m的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】因为集合A有15个真子集，所以集合A中有4个元素，所以. 故选：A． 16．已知集合，，则满足的集合的个数为 . 【答案】7 【详解】因为， ， 所以满足的集合中必有元素2，3， 所以求满足的集合的个数，即求集合的真子集个数， 所以满足的集合的个数为个. 故答案为：7. 17．设集合，则集合的真子集个数为 ． 【答案】63 【详解】由可知是的正因数， 即可取，故可得的值依次取， 即， 故集合的真子集有个． 故答案为：63. 18．设集合，的所有子集构成的集合记为集合，则集合的非空真子集一共有 个. 【答案】14 【详解】因为集合，共个元素， 所以集合的非空真子集的个数为. 故答案是：. 题型四 求集合的（真）子集 19．集合的一个子集是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】因为，所以的子集有，； 故选：D. 20．（多选）若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】ABC 【详解】因为， 所以或或. 故选：ABC. 21．（多选）已知集合，集合，则集合可以是（ ） A． B． C． D． 【答案】ABC 【详解】因为集合， 对于A：满足，所以选项A符合题意； 对于B：满足，所以选项B符合题意； 对于C：满足，所以选项C符合题意； 对于D：不是的真子集，故选项D不符合题意， 故选：ABC. 22．写出集合的一个非空子集 ． 【答案】(答案不唯一） 【详解】根据非空子集定义得集合的一个非空子集为. 故答案为：. 23．写出集合的所有真子集 . 【答案】，，，，，， 【详解】， 其所有真子集有，，，，，，. 故答案为： ，，，，，，. 24．写出下列集合的所有子集： (1)； (2)． 【答案】(1), (2), 【详解】（1）的所有子集有和， （2）由于， 所以所有的子集有和， 题型五 判断两个集合是否相等 25．已知集合，，（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】， ， 因为表示奇数，列举为， 同样表示奇数，所以. 故选：A 26．已知集合，，则的关系（    ） A．⫋ B．⫋ C．⫋⫋ D．⫋⫋ 【答案】B 【详解】由，， 而为奇数，为整数，又， 所以⫋. 故选：B 27．（多选）给出以下几组集合，其中相等的集合有（    ） A． B． C． D． 【答案】BC 【详解】对于选项A，是点集,是数集，所以不是相等集合； 对于选项B, , 都表达的是奇数集，所以是相等集合； 对于选项C，,所以是相等集合； 对于选项D, 是空集没有元素，有元素为0，所以不是相等集合. 故选：BC. 28．（多选）下列集合中，可以表示为的是（    ） A． B． C． D．不等式组的解集 【答案】AB 【详解】由，A符合； 由，B符合； 由表示点集合，不是数集，C不符合； 由，解集为，D不符合. 故选：AB 29．（多选）给出以下几组集合，其中是相等集合的有（    ） A． B． C． D． 【答案】CD 【详解】为点集，为数集，所以，故A错误； ，，所以，故B错误； ，，所以，故C正确； ，，所以，故D正确； 故选：CD 30．已知，，则M N （ 填“”或“”或“”或“” ）. 【答案】 【详解】因为，， 所以. 故答案为： 题型六 根据两个集合相等求参数 31．设为实数，，若，则的值为（    ） A．0 B．1 C．2 D．4 【答案】A 【详解】因为，若， 所以，解得. 故选：A 32．已知，，若集合，则的值为（    ） A． B． C．1 D．2 【答案】B 【详解】因为， 所以，解得或 当时，不满足集合元素的互异性， 故，，. 故选：B. 33．确定整数，使. 【答案】， 【详解】由集合相等的定义得，即； 或，即. 因为是整数，所以. 34．已知集合，求 ． 【答案】 【详解】由集合， 则方程有两个等根， 所以，解得， 所以，解得， 所以，即， 故． 故答案为：． 35．已知集合，集合，若，则 ． 【答案】 【详解】因为，所以； 所以或，即或， 所以. 故答案为：3 36．已知，，集合，，若，则 . 【答案】或 【详解】当时，又， 所以，则且，解得，此时， 当时， 因为， 若，此时，所以，则， 显然方程无解，故不符合题意； 若且，即，此时， 所以，解得，经检验符合题意，则； 综上可得或. 故答案为：或. 题型七 根据集合的包含关系求参数 37．若集合，若，则（    ） A．1 B． C．或1 D． 【答案】C 【详解】当时，，此时满足. 当时，，此时满足， 故选:C. 38．已知集合，，若，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因为集合，， 若，则，故实数a的取值范围是. 故选：B. 39．已知集合，若，则的值可以为（    ） A．1 B．0 C．0或1 D．1或2 【答案】A 【详解】对于集合，由元素的互异性知且，则． 由得． 若，则，满足； 若，则，矛盾，舍去． 故选：A 40．已知集合.若，则的最大值为（    ） A．2 B．0 C． D．-2 【答案】C 【详解】由于，所以， 故的最大值为， 故选：C 41．（多选）已知集合，若，则实数a的值可以是（    ）． A． B． C．0 D． 【答案】BCD 【详解】由方程，解得或，即， 当时，则方程无实数解，此时，满足，符合题意； 当时，由，可得 此时， 要使得，可得或，解得或. 综上可得，实数的值为或或. 故选：BCD. 42．已知集合，，且．则实数的取值范围为 ． 【答案】 【详解】因为，所以，解得. 故答案为： 43．已知集合，，若，求实数的取值范围. 【答案】 【详解】当时，如图所示.    ∴或，解这两个不等式组得； 当时，由，得； 综上可得，实数的取值范围是. 2 学科网（北京）股份有限公司 $$