1.1集合的概念与表示讲义-2023-2024学年高一上学期数学北师大版（2019）必修第一册

授课主题 集合的概念与表示 年 级 高一 知 识 梳 理 一．元素与集合的概念 1.元素：一般地，我们把研究对象统称为元素，常用小写拉丁字母a，b，c，…表示． 2.集合：把一些元素组成的总体叫做集合(简称为集)，常用大写拉丁字母A，B，C，…表示． 注：（1）对于集合一定要从整体的角度来看待它．例如由“我们班的同学”组成的一个集合A，则它是一个整体，也就是一个班集体． （2）要注意组成集合的“对象”的广泛性：一方面，任何一个确定的对象都可以组成一个集合，如人、动物、数、方程、不等式等都可以作为组成集合的对象；另一方面，就是集合本身也可以作为集合的对象，如上面所提到的集合A，可以作为以“我们高一年级各班”组成的集合的元素． 3.集合中的元素具有如下三个特性： (1)确定性：作为一个集合中的元素，必须是确定的，不能确定的对象就不能构成集合． (2)互异性：对于一个给定的集合，集合中的元素一定是不同的． (3)无序性：构成集合的元素无先后顺序之分．　 注：集合中的元素，必须具备确定性、互异性、无序性．反过来，一组对象若不具备这三性，则这组对象也就不能构成集合，集合中元素的这三大特性是我们判断一组对象是否能构成集合的依据．解决与集合有关的问题时，要充分利用集合元素的“三性”来分析解决，也就是，一方面，我们要利用集合元素的“三性”找到解题的“突破口”；另一方面，问题被解决之时，应注意检验元素是否满足它的“三性”． 4.元素与集合的关系 知识点 关系 概念 记法 读法 元素与集合的关系 属于 如果a是集合A中的元素，就说a属于A a∈A “a属于A” 不属于 如果a不是集合A中的元素，就说a不属于A “a不属于A” 5.常用数集及表示符号 名称 自然数集 正整数集 整数集 有理数集 实数集 记法 N N*或N＋ Z Q R 6.集合相等 只要构成两个集合的元素是一样的，我们就称这两个集合是相等的，例如集合{a，b，c}与集合{c，a，b}是相等集合 二．集合的表示方法 1. 自然语言法：用文字叙述的形式描述集合的方法.如：大于等于2且小于等于8的偶数构成的集合. 2.列举法：把集合的所有元素一一列举出来，并用花括号“{　}”括起来表示集合的方法叫做列举法，一般可将集合表示为{a，b，c，…}. 注：①用列举法表示集合时，一般不考虑元素的顺序. ②如果一个集合的元素较多，且能够按照一定的规律排列，那么在不致于发生误解的情况下，可按照规律列出几个元素作为代表，其他元素用省略号表示. ③无限集有时也可用列举法表示. 3.描述法：一般地，设A是一个集合，我们把集合A中所有具有共同特征P(x)的元素x所组成的集合表示为{x∈A|P(x)}，这种表示集合的方法称为描述法，有时也用冒号或分号代替竖线，写成{x∈A：P(x)}或{x∈A；P(x)}. 注：①有些情况下，描述法中竖线“|”及其左边元素的形式均可省略，如{x|x是三角形}，也可表示为{三角形}. ②集合{x|p(x)}中所有在另一集合I中的元素组成的集合，可以表示为{x∈I|p(x)}. 3． 集合的分类 1.空集：不含有任何元素的集合称为空集，记作：. 2.有限集：含有有限个元素的集合叫做有限集. 3.无限集：含有无限个元素的集合叫做无限集. 例题讲解 知识点一、集合的概念 例1、下列各组对象的全体能构成集合的有(    ) (1)正方形的全体；(2)高一数学书中所有的难题；(3)平方后等于负数的数；(4)某校高一年级学生身高在1.7米的学生；(5)平面内到线段AB两端点距离相等的点的全体. A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 例2、集合由形如的数构成的，判断是不是集合中的元素？ 练习： 1．下列各对象可以组成集合的是(    ) A．与非常接近的全体实数 B．北大附中云南实验学校学年度第二学期全体高一学生 C．高一年级视力比较好的同学 D．高一年级很有才华的老师 2．下列各组对象中，能组成集合的有___________(填序号)． ①所有的好人； ②平面上到原点的距离等于2的点；③正三角形； ④比较小的正整数； ⑤满足不等式的的取值． 3．请将下列各组对象能组成集合的序号填在后面的横线上____________. ①上海市2022年入学的全体高一年级新生；②在平面直角坐标系中，到定点的距离等于1的所有点； ③影响力比较大的中国数学家；④不等式的所有正整数解. 4．设 (1)若aZ，则是否有aS？ (2)对S中任意两个元素x1，x2，则x1+x2，x1·x2，是否属于集合S？ 5．定义集合运算A⊙B={z|z=xy（z+y），x∈A，y∈B}，设集合A={0,1}，B={2,3}，则集合A⊙B= 知识点二、元素与集合的关系 例1、给出下列关系：①；②；③；④．其中正确的个数为(    ) A．1 B．2 C．3 D．4 例2、给出下列六个关系： （1）0 （2）0{－1，1} （3）{0} （4） （5）{0}{0，1} （6）{0}{0} 其中正确的关系是 ． 练习： 1．已知集合,那么(    ) A． B． C． D． 2．给出下列6个关系：①，②，③，④，⑤，⑥.其中正确命题的个数为(    ) A．4 B．2 C．3 D．5 3．已知集合A=｛0，1，2｝，则(    ) A．0A B．1 C．2=A D．A 4．用符号“”或“”填空 （1）若,则 ；-2 . （2）若则 ；-2 . 知识点三、元素互异性及应用 例1、设集合，若，则实数m=(    ) A．0 B． C．0或 D．0或1 例2、已知，若，则实数构成的集合的元素个数是(    ) A． B． C． D． 例3、已知，若，且，则a的取值范围是(    ) A． B． C． D． 例4、已知集合的元素只有一个，则实数a的值为(    ) A． B．0 C．或0 D．无解 练习： 1．若，则的值为(    ) A． B． C．或 D． 2．已知集合，，求实数的值 3．若，则a2020+b2020的值为(    ) A．0 B．﹣1 C．1 D．1或﹣1 4．已知集合，且，则的值可能为(    ) A． B． C．0 D．1 5. 设集合={x|}，当集合为单元素集时，求实数的值. 6．已知集合，其中为常数，且.若中至多有一个元素，则实数的取值范围为___________. 7．已知集合． （1）若A是空集，求a的取值范围； （2）若A中只有一个元素，求a的值，并把这个元素写出来； （3）若A中至多只有一个元素，求a的取值范围． 知识点四、集合的表示方法 例1、表示下列集合： (1)请用列举法表示方程的解集； (2)请用描述法表示平面直角坐标系内所有第一、三象限内的点组成的集合； (3)请用描述法表示被5除余3的正整数组成的集合； (4)请用描述法表示二次函数的图象上所有点的纵坐标组成的集合． 例2、试分别用列举法和描述法表示下列集合： (1)方程的所有实数根组成的集合； (2)由大于15小于25的所有整数组成的集合. 练习： 1．把下列集合用适当方法表示出来： (1)； (2)； (3)； (4)； (5). 2．用适当的方法表示下列集合： (1)大于2且小于5的有理数组成的集合． (2)24的正因数组成的集合． (3)自然数的平方组成的集合． (4)由0，1，2这三个数字抽出一部分或全部数字(没有重复)所组成的自然数组成的集合． (5)方程的解集； (6)二次函数的图象上的所有点组成的集合． 3．选择适当的方法表示下列集合: (1)被5除余1的正整数组成的集合； (2)由直线y＝－x＋4上的横坐标和纵坐标都是自然数的点组成的集合； (3)方程(x2－9)x＝0的实数解组成的集合； (4)三角形的全体组成的集合. 4．用列举法表示集合： (1)A={xR|(x-1)(x+2)(x2-1)(x3-8)=0} (2)B={(x，y)|x+y=3， xN， yN} (3)C={y|x+y=3，xN， yN} (4) (5) (6)P={x|x(x-a)=0， aR} 知识点五、集合相等 例1、下列集合中表示同一集合的是(    ) A．， B．， C．， D．， 例2、已知集合，，若，则实数x的取值集合为(    ) A． B． C． D． 练习： 1．集合，则(    ) A． B．0 C．1 D．2 2．已知集合， 若， 则 (    ) A．3 B．4 C． D． 3．含有三个实数的集合可表示为，也可以示为，则的值为____. 举一反三 1．下列语句中，正确的个数是(    ) (1)；(2)；(3)由3、4、5、5、6构成的集合含有5个元素；(4)数轴上由1到1.01间的线段的点集是有限集；(5)方程的解能构成集合. A．2 B．3 C．4 D．5 2．下列四个集合中，是空集的是( ) A． B． C． D． 3．已知集合，，则(    ) A． B． C． D． 4．下列说法正确的是(    ) A．方程的解集是 B．方程的解集为{(-2，3)} C．集合M={y|y=x2+1，x∈R}与集合P={(x，y)|y=x2+1，x∈R}表示同一个集合 D．方程组的解集是{(x，y)|x=-1且y=2} 5．集合可化简为（ ） A． B． C． D． 6．下面四个命题正确的个数是(    ). ①集合中最小的数是1；②若，则；③若，则的最小值是2； ④的解集是. A．0 B．1 C．2 D．3 7．由，，3组成的一个集合A，若A中元素个数不是2，则实数a的取值可以是(    ) A． B．1 C． D．2 8．已知集合，若，则实数的值为(    ) A．-1 B．-3 C．-3或-1 D．无解 9.已知其，则由的值构成的集合是(    ) A． B． C． D． 10．已知集合A＝{x|x2＋px＋q＝x}，B＝{x|(x－1)2＋p(x－1)＋q＝x＋3}，当A＝{2}时，集合B＝(    ) A．{1} B．{1，2} C．{2，5} D．{1，5} 11．已知为非零实数，代数式的值所组成的集合是，下列判断正确的是（ ） A． B． C． D． 12．已知关于x的方程的解集只有一个元素，则m的值为(    ) A．2 B． C． D．不存在 13．方程组的解集可以表示为(    ) A． B． C． D． 14．已知集合，，则集合B中所有元素之和为(    ) A．0 B．1 C．－1 D． 15． (多选)下列说法中不正确的是(    ) A．与表示同一个集合 B．集合＝与＝表示同一个集合 C．方程＝的所有解的集合可表示为 D．集合不能用列举法表示 16． (多选)设集合，且，则x的值可以为(    ) A．3 B． C．5 D． 17．下列语句中： (1)和表示同一集合； (2)由1，2，3组成的集合可表示为或； (3)方程的所有解组成的集合是； (4)区间是有限集， 其中正确的是__________.(填入所有正确的语句序号) 18．下列说法正确的是________________ ①与集合相等 ②方程的所有实数根组成的集合可记为 ③全体偶数组成的集合为 ④集合表示一条过原点的直线 19．已知集合，则集合中元素的个数是______. 20．已知集合A的所有元素为2，4，6，若，且有，则a的值是______. 21．已知集合中的最大元素为，则实数________. 22．设集合，，已知且，则的取值集合为________. 23．已知集合A是由0，m，m2－3m＋2三个元素构成的集合，且2∈A，则实数m＝________． 24．已知集合各元素之和等于3，则实数___________. 25．含有三个实数的集合既可表示成，又可表示成，则______________. 26．用适当方法表示下列集合： (1)从1，2，3这三个数字中抽出一部分或全部数字(没有重复)所组成的自然数的集合； (2)方程+|y﹣2|＝0的解集； (3)由二次函数y＝3x2+1图象上所有点组成的集合. 课 后 作 业 1． (多选)若对任意，，则称为“影子关系”集合，下列集合为“影子关系”集合的是(    ) A． B． C． D． 2． (多选)已知是同时满足下列条件的集合：①；②若，则；③且，则．下列结论中正确的有(   ) A． B． C．若，则 D．若，则 3．设是有理数，集合，在下列集合中； (1)；(2)；(3)；(4)；与相同的集合有(    ) A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 4． (多选)关于的方程的解集中只含有一个元素，则的可能取值是(    ) A． B．0 C．1 D．5 5．已知A为方程的所有实数解构成的集合，其中a为实数. (1)若A是空集，求a的范围； (2)若A是单元素集合，求a的范围： (3)若A中至多有一个元素，求a的取值范围. 6．已知集合. (1)若中有两个元素，求实数的取值范围； (2)若中至多有一个元素，求实数的取值范围. 7．已知集合满足以下条件：①；②若，则. (1)求证：集合至少有3个元素； (2)若集合，写出属于集合的两个元素，并说明理由. 8．已知是满足下列条件的集合：①②若，则,③若且，则 (1)判断是否正确，说明理由 (2)证明：若则 (3)证明：若则 9．集合A中的元素是实数，且满足条件①若，则，②，求： (1)A中至少有几个元素？ (2)若条件②换成，A中至少含有的元素是什么？ (3)请你设计一个属于A的元素，求出A中至少含有的其他元素. 10．已知集合的元素全为实数，且满足：若，则． (1)若，求出中其它所有元素； (2)0是不是集合中的元素？请你设计一个实数，再求出中的所有元素？ (3)根据(1)(2)，你能得出什么结论． 11．已知实数集，定义． (1)若，求； (2)若，求集合A； (3)若A中的元素个数为9，求的元素个数的最小值． 12．设数集由实数构成，且满足：若(且)，则． (1)若，则中至少还有几个元素？ (2)集合是否为双元素集合？请说明理由． (3)若中元素个数不超过，所有元素的和为，且中有一个元素的平方等于所有元素的积，求集合． 15 学科网（北京）股份有限公司 $$ 授课主题 集合的概念与表示 年 级 高一 知 识 梳 理 一．元素与集合的概念 1.元素：一般地，我们把研究对象统称为元素，常用小写拉丁字母a，b，c，…表示． 2.集合：把一些元素组成的总体叫做集合(简称为集)，常用大写拉丁字母A，B，C，…表示． 注：（1）对于集合一定要从整体的角度来看待它．例如由“我们班的同学”组成的一个集合A，则它是一个整体，也就是一个班集体． （2）要注意组成集合的“对象”的广泛性：一方面，任何一个确定的对象都可以组成一个集合，如人、动物、数、方程、不等式等都可以作为组成集合的对象；另一方面，就是集合本身也可以作为集合的对象，如上面所提到的集合A，可以作为以“我们高一年级各班”组成的集合的元素． 3.集合中的元素具有如下三个特性： (1)确定性：作为一个集合中的元素，必须是确定的，不能确定的对象就不能构成集合． (2)互异性：对于一个给定的集合，集合中的元素一定是不同的． (3)无序性：构成集合的元素无先后顺序之分．　 注：集合中的元素，必须具备确定性、互异性、无序性．反过来，一组对象若不具备这三性，则这组对象也就不能构成集合，集合中元素的这三大特性是我们判断一组对象是否能构成集合的依据．解决与集合有关的问题时，要充分利用集合元素的“三性”来分析解决，也就是，一方面，我们要利用集合元素的“三性”找到解题的“突破口”；另一方面，问题被解决之时，应注意检验元素是否满足它的“三性”． 4.元素与集合的关系 知识点 关系 概念 记法 读法 元素与集合的关系 属于 如果a是集合A中的元素，就说a属于A a∈A “a属于A” 不属于 如果a不是集合A中的元素，就说a不属于A “a不属于A” 5.常用数集及表示符号 名称 自然数集 正整数集 整数集 有理数集 实数集 记法 N N*或N＋ Z Q R 6.集合相等 只要构成两个集合的元素是一样的，我们就称这两个集合是相等的，例如集合{a，b，c}与集合{c，a，b}是相等集合 二．集合的表示方法 1. 自然语言法：用文字叙述的形式描述集合的方法.如：大于等于2且小于等于8的偶数构成的集合. 2.列举法：把集合的所有元素一一列举出来，并用花括号“{　}”括起来表示集合的方法叫做列举法，一般可将集合表示为{a，b，c，…}. 注：①用列举法表示集合时，一般不考虑元素的顺序. ②如果一个集合的元素较多，且能够按照一定的规律排列，那么在不致于发生误解的情况下，可按照规律列出几个元素作为代表，其他元素用省略号表示. ③无限集有时也可用列举法表示. 3.描述法：一般地，设A是一个集合，我们把集合A中所有具有共同特征P(x)的元素x所组成的集合表示为{x∈A|P(x)}，这种表示集合的方法称为描述法，有时也用冒号或分号代替竖线，写成{x∈A：P(x)}或{x∈A；P(x)}. 注：①有些情况下，描述法中竖线“|”及其左边元素的形式均可省略，如{x|x是三角形}，也可表示为{三角形}. ②集合{x|p(x)}中所有在另一集合I中的元素组成的集合，可以表示为{x∈I|p(x)}. 3． 集合的分类 1.空集：不含有任何元素的集合称为空集，记作：. 2.有限集：含有有限个元素的集合叫做有限集. 3.无限集：含有无限个元素的集合叫做无限集. 例题讲解 知识点一、集合的概念 例1、下列各组对象的全体能构成集合的有(    ) (1)正方形的全体；(2)高一数学书中所有的难题；(3)平方后等于负数的数；(4)某校高一年级学生身高在1.7米的学生；(5)平面内到线段AB两端点距离相等的点的全体. A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【解析】(1)(3)(4)(5)中的对象是确定的，可以组成集合，(2)中的对象是不确定的，不能组成集合.故选：C. 例2、集合由形如的数构成的，判断是不是集合中的元素？ 【解析】由分母有理化得，.由题中集合可知均有， ，即. 练习： 1．下列各对象可以组成集合的是(    ) A．与非常接近的全体实数 B．北大附中云南实验学校学年度第二学期全体高一学生 C．高一年级视力比较好的同学 D．高一年级很有才华的老师 【解析】对于ACD，集合中的元素具有确定性，但ACD中的元素不确定，故不能构成集合，ACD错误； B中的元素满足集合中元素的特点，可以构成集合，B正确.故选：B. 2．下列各组对象中，能组成集合的有___________(填序号)． ①所有的好人； ②平面上到原点的距离等于2的点；③正三角形； ④比较小的正整数； ⑤满足不等式的的取值． 【解析】①中“好人”，④中“比较小”不满足构成集合元素的确定性，而②③⑤满足集合元素的性质，故②③⑤正确，故答案为：②③⑤. 3．请将下列各组对象能组成集合的序号填在后面的横线上____________. ①上海市2022年入学的全体高一年级新生；②在平面直角坐标系中，到定点的距离等于1的所有点； ③影响力比较大的中国数学家；④不等式的所有正整数解. 【解析】对于①，“上海市2022年入学的全体高一年级新生”，研究对象是明确的，符合集合的定义，能构成集合；对于②，“在平面直角坐标系中，到定点的距离等于1的所有点”，研究对象是明确的，符合集合的定义，能构成集合；对于③，“影响力比较大的中国数学家”，其中影响力比较大的没有明确的定义，故不能构成集合；对于④，“不等式的所有正整数解”，研究对象是明确的，符合集合的定义，能构成集合.故答案为：①②④. 4．设 (1)若aZ，则是否有aS？ (2)对S中任意两个元素x1，x2，则x1+x2，x1·x2，是否属于集合S？ 【答案】aS 是 【解析】(1)若aZ，则有aS，即n=0时，xZ，∴aS； (2)x1，x2S，则 ∵m1，n1，m2，n2Z，∴m1m2+2n1n2Z，m1n2+m2n1Z ∴x1·x2S. 5．定义集合运算A⊙B={z|z=xy（z+y），x∈A，y∈B}，设集合A={0,1}，B={2,3}，则集合A⊙B= 【答案】{0，6，12} 【解析】当x=0，y=2时，；当x=0，y=3时，；当x=1，y=2时，； 当x=1，y=3时，，∴ A⊙B={0,6，12}，故答案为：{0，6，12}． 知识点二、元素与集合的关系 例1、给出下列关系：①；②；③；④．其中正确的个数为(    ) A．1 B．2 C．3 D．4 【解析】是有理数，是无理数，均为实数，①正确，②错误；，为自然数及有理数，③④正确.故选：C. 例2、给出下列六个关系： （1）0 （2）0{－1，1} （3）{0} （4） （5）{0}{0，1} （6）{0}{0} 其中正确的关系是 ． 【答案】（2）（4）（6） 【解析】（1）0不是正整数，故错误；（2）0不是集合{－1，1}中的元素，故正确； （3）空集是一个集合，使用的符号错误，故错误；（4）空集是任何一个集合的真子集，故正确； （5）是集合与集合的关系，应该使用符号或，故错误；（6）一个集合是它本身的子集，故正确． 练习： 1．已知集合,那么(    ) A． B． C． D． 【解析】由题意知集合，故，故A正确，D错误，，故B错误，，故C错误，故选：A 2．给出下列6个关系：①，②，③，④，⑤，⑥.其中正确命题的个数为(    ) A．4 B．2 C．3 D．5 【解析】为无理数，有理数和无理数统称为实数，所以，所以①正确； 是无理数，所以，所以②错误；不是正整数，所以，所以③正确； ，所以④正确；是无理数，所以，所以⑤正确； ，所以⑥错误.故选:A. 3．已知集合A=｛0，1，2｝，则(    ) A．0A B．1 C．2=A D．A 【解析】已知，所以，，，而是任何集合的子集.故选：A 4．用符号“”或“”填空 （1）若,则 ；-2 . （2）若则 ；-2 . 知识点三、元素互异性及应用 例1、设集合，若，则实数m=(    ) A．0 B． C．0或 D．0或1 【解析】设集合，若，，或，当时，，此时；当时，，此时；所以或.故选：C 例2、已知，若，则实数构成的集合的元素个数是(    ) A． B． C． D． 【解析】①，∴，，则，不可以， ②，∴，，则，可以， 或，∴，，则，不可以， ③，，，则，不可以， 或，∴，，则，不可以， ∴，故选：B． 例3、已知，若，且，则a的取值范围是(    ) A． B． C． D． 【解析】由题意，且，解得，故选：B 例4、已知集合的元素只有一个，则实数a的值为(    ) A． B．0 C．或0 D．无解 【解析】集合有一个元素，即方程有一解， 当时，，符合题意， 当时，有一解，则，解得：， 综上可得：或，故选：C. 练习： 1．若，则的值为(    ) A． B． C．或 D． 【解析】若，则，不符合集合元素的互异性； 若，则或(舍)，此时，符合题意；综上所述：.故选：A. 2．已知集合，，求实数的值 【解析】当，即时，，与集合的概念矛盾，故舍去 当即时，不满足题意舍去，故. 3．若，则a2020+b2020的值为(    ) A．0 B．﹣1 C．1 D．1或﹣1 【解析】∵，根据集合中元素的性质可得：∴，解得a=﹣1，b=0， ∴a2020+b2020=(﹣1)2020+0=1.故选：C. 4．已知集合，且，则的值可能为(    ) A． B． C．0 D．1 【解析】集合，四个选项中，只有，故选：C． 5. 设集合={x|}，当集合为单元素集时，求实数的值. 【解析】由集合中只含有一个元素可得，方程ax2+2x+1=0有一解，由于本方程并没有注明是一个二次方程，故也可以是一次方程，应分类讨论： 当a=0时，可得是一次方程，故满足题意. 当a≠0时，则为一个二次方程，所以有一根的含义是该方程有两个相等的根，即为判别式为0时的a的值，可求得为a=1.故a的取值为0，1. 6．已知集合，其中为常数，且.若中至多有一个元素，则实数的取值范围为___________. 【解析】由， 若中有零个元素，即方程无解，则，解得； 若中有一个元素，即方程只有一个解，当时，方程为，解得，成立，当时，，解得，成立， 综上所述，若中至多有一个元素，则实数，故答案为：. 7．已知集合． （1）若A是空集，求a的取值范围； （2）若A中只有一个元素，求a的值，并把这个元素写出来； （3）若A中至多只有一个元素，求a的取值范围． 【解析】（1）若A是空集，则方程无解，此时Δ=9-8a＜0即 （2）若A中只有一个元素，则方程有且只有一个实根，当a=0时，方程为一元一次方程，满足条件，当a≠0时，此时，解得：∴ a=0或若a=0，则有 ；若，则有； （3）若A中至多只有一个元素，则A为空集，或有且只有一个元素，由（1），（2）得满足条件的a的取值范围是a=0或 知识点四、集合的表示方法 例1、表示下列集合： (1)请用列举法表示方程的解集； (2)请用描述法表示平面直角坐标系内所有第一、三象限内的点组成的集合； (3)请用描述法表示被5除余3的正整数组成的集合； (4)请用描述法表示二次函数的图象上所有点的纵坐标组成的集合． 【解析】(1)方程的解集为. (2)用描述法表示平面直角坐标系内所有第一、三象限内的点组成的集合为. (3)用描述法表示被5除余3的正整数组成的集合为，. (4)用描述法表示二次函数的图象上所有点的纵坐标组成的集合为． 例2、试分别用列举法和描述法表示下列集合： (1)方程的所有实数根组成的集合； (2)由大于15小于25的所有整数组成的集合. 【解析】(1)设方程的实数根为x，并且满足，用描述法表示； 方程有两个实数根，因此，用列举法表示为. (2)设大于15小于25的整数为x，满足条件，且15<x<25，用描述法表示为； 大于15小于25的整数有16，17，18，19，20，21，22，23，24， 因此，用列举法表示为. 练习： 1．把下列集合用适当方法表示出来： (1)； (2)； (3)； (4)； (5). 【解析】(1)因为集合中的元素都是偶数，所以{且}． (2). (3)由得，因此. (4)由，且，得或，因此. (5)由得或，.因此. 2．用适当的方法表示下列集合： (1)大于2且小于5的有理数组成的集合． (2)24的正因数组成的集合． (3)自然数的平方组成的集合． (4)由0，1，2这三个数字抽出一部分或全部数字(没有重复)所组成的自然数组成的集合． (5)方程的解集； (6)二次函数的图象上的所有点组成的集合． 【解析】(1)用描述法表示为{x|2<x<5且x∈Q}． (2)用列举法表示为{1，2，3，4，6，8，12，24}． (3)用描述法表示为{x|x=n2，n∈N}． (4)用列举法表示为{0，1，2，10，12，20，21，102，120，210，201}． (5)方程可化为，方程的解集为． (6)用描述法表示为． 3．选择适当的方法表示下列集合: (1)被5除余1的正整数组成的集合； (2)由直线y＝－x＋4上的横坐标和纵坐标都是自然数的点组成的集合； (3)方程(x2－9)x＝0的实数解组成的集合； (4)三角形的全体组成的集合. 【解析】(1)； (2)； (3)或，解集为， (4)是三角形或写成三角形． 4．用列举法表示集合： (1)A={xR|(x-1)(x+2)(x2-1)(x3-8)=0} (2)B={(x，y)|x+y=3， xN， yN} (3)C={y|x+y=3，xN， yN} (4) (5) (6)P={x|x(x-a)=0， aR} 【解析】本题是描述法与列举法的互化，一定要先观察描述法中代表元素是什么. (1)A={1，-2，-1，2} (2)B={(0，3)，(3，0)，(1，2)，(2，1)} (3)C={0，1，2，3} (4)D={(0，0)} (5)M={0} (6)当a≠0时，P={0，a}；当a=0时，P={0}. 知识点五、集合相等 例1、下列集合中表示同一集合的是(    ) A．， B．， C．， D．， 【解析】A.、都是点集，与是不同的点，则、是不同的集合，故错误； B.，，根据集合的无序性，集合，表示同一集合，故正确； C.，集合的元素表示点的集合，，表示直线的纵坐标，是数集，故不是同一集合，故错误； D.集合M的元素是两个数字2，3，，集合的元素是一个点，故错误； 故选：B. 例2、已知集合，，若，则实数x的取值集合为(    ) A． B． C． D． 【解析】因为，所以.当时，，得； 当时，则.故实数x的取值集合为.故选：B 练习： 1．集合，则(    ) A． B．0 C．1 D．2 【解析】因为集合，所以方程有相等实根2， 根据根与系数的关系可知，，所以，故选：B 2．已知集合， 若， 则 (    ) A．3 B．4 C． D． 【解析】因为且，所以，且，又，所以和为方程的两个实数根，所以；故选：D 3．含有三个实数的集合可表示为，也可以示为，则的值为____. 【答案】 【解析】由题意，若，则或，检验可知不满足集合中元素的互异性，所以，则， 所以，则，故.故答案为：. 举一反三 1．下列语句中，正确的个数是(    ) (1)；(2)；(3)由3、4、5、5、6构成的集合含有5个元素；(4)数轴上由1到1.01间的线段的点集是有限集；(5)方程的解能构成集合. A．2 B．3 C．4 D．5 【解析】是自然数，故，(1)正确； 是无理数，故，(2)错误； 由3、4、5、5、6构成的集合为有4个元素，故(3)错误； 数轴上由1到1.01间的线段的点集是无限集，(4)错误； 方程的解为，可以构成集合，(5)正确； 故选：A 2．下列四个集合中，是空集的是( ) A． B． C． D． 【解析】D 3．已知集合，，则(    ) A． B． C． D． 【解析】∵，即集合B的可能元素，则有：由，则，可得； 由，且，可得，且；由，且，可得，且； 由，且，可得；综上所述：.故选：D. 4．下列说法正确的是(    ) A．方程的解集是 B．方程的解集为{(-2，3)} C．集合M={y|y=x2+1，x∈R}与集合P={(x，y)|y=x2+1，x∈R}表示同一个集合 D．方程组的解集是{(x，y)|x=-1且y=2} 【解析】对于A，方程的解集是，故A错误； 对于B，方程的解集为，故B错误； 对于C，集合表示数集，集合表示点集，故不是同一集合，故C错误； 对于D，由解得，故解集为{(x，y)|x=-1且y=2}，故D正确.故选：D. 5．集合可化简为（ ） A． B． C． D． 6．下面四个命题正确的个数是(    ). ①集合中最小的数是1；②若，则；③若，则的最小值是2； ④的解集是. A．0 B．1 C．2 D．3 【解析】是正整数集，最小的正整数是1，故①正确； 当时，，但，故②错误； 若，则a的最小值为1.又，则b的最小值为1，当a和b都取最小值时，取最小值2，故③正确；由集合中元素的互异性知④错误.故选：C 7．由，，3组成的一个集合A，若A中元素个数不是2，则实数a的取值可以是(    ) A． B．1 C． D．2 【答案】D 【解析】由题意由，，3组成的一个集合A，A中元素个数不是2，因为无解，故由，，3组成的集合A的元素个数为3，故，即，即a可取2， 即A，B，C错误，D正确，故选：D 8．已知集合，若，则实数的值为(    ) A．-1 B．-3 C．-3或-1 D．无解 【解析】若，可得当时，解得，此时，不满足集合的互异性，故(舍去)，当，解得(舍去)或，此时，满足题意，故实数的值为-3. 9.已知其，则由的值构成的集合是(    ) A． B． C． D． 【解析】，当，即时，，集合中有相同元素，舍去；当，即(舍)或时，，符合，故由的值构成的集合是.故选：D 10．已知集合A＝{x|x2＋px＋q＝x}，B＝{x|(x－1)2＋p(x－1)＋q＝x＋3}，当A＝{2}时，集合B＝(    ) A．{1} B．{1，2} C．{2，5} D．{1，5} 【解析】由A＝{x|x2＋px＋q＝x}＝{2}知，x2＋px＋q＝x 即有且只有一个实数解, ∴22＋2p＋q＝2，且Δ＝(p－1)2－4q＝0.计算得出p＝－3，q＝4. 则(x－1)2＋p(x－1)＋q＝x＋3可化为(x－1)2－3(x－1)＋4＝x＋3；即(x－1)2－4(x－1)＝0； 则x－1＝0或x－1＝4，计算得出x＝1或x＝5.所以集合B＝{1，5}．故选：. 11．已知为非零实数，代数式的值所组成的集合是，下列判断正确的是（ ） A． B． C． D． 12．已知关于x的方程的解集只有一个元素，则m的值为(    ) A．2 B． C． D．不存在 【解析】因为关于x的方程的解集只有一个元素，所以，解得. 13．方程组的解集可以表示为(    ) A． B． C． D． 【解析】由得，所以方程组的解集可以表示为，故选：C 14．已知集合，，则集合B中所有元素之和为(    ) A．0 B．1 C．－1 D． 【解析】根据条件分别令，解得， 又，所以，，所以集合B中所有元素之和是，故选：C． 15． (多选)下列说法中不正确的是(    ) A．与表示同一个集合 B．集合＝与＝表示同一个集合 C．方程＝的所有解的集合可表示为 D．集合不能用列举法表示 【解析】对于A中，是一个元素(数)，而是一个集合，可得，所以A不正确； 对于B中，集合＝表示数构成的集合，集合＝表示点集，所以B不正确； 对于C中，方程＝的所有解的集合可表示为，根据集合元素的互异性，可得方程＝的所有解的集合可表示为，所以C不正确； 对于D中，集合含有无穷个元素，不能用列举法表示，所以D正确.故选：ABC. 16． (多选)设集合，且，则x的值可以为(    ) A．3 B． C．5 D． 【解析】∵，则有：若，则，此时，不符合题意，故舍去； 若，则或，当时，，符合题意；当时，，符合题意；综上所述：或.故选：BC. 17．下列语句中： (1)和表示同一集合； (2)由1，2，3组成的集合可表示为或； (3)方程的所有解组成的集合是； (4)区间是有限集， 其中正确的是__________.(填入所有正确的语句序号) 【解析】对于(1)，表示集合中只有这一个元素，而表示不等式的解，故不是同一集合；对于(2)，集合中的元素满足无序性，所有由1，2，3组成的集合可表示为或；对于(3)，方程的所有解组成的集合是；对于(4)，区间中有无限多个元素，所以是无限集， 故答案为：(2)(3) 18．下列说法正确的是________________ ①与集合相等 ②方程的所有实数根组成的集合可记为 ③全体偶数组成的集合为 ④集合表示一条过原点的直线 【解析】解方程化简集合，可判断①错；讨论的取值，可判断②错；用集合表示偶数集，可判断③错；根据点集的集合表示，可判断④正确. ①由得或，因此与集合不相等；即①错； ②当时，方程的解为，方程的所有实数根组成的集合为，不能表示为；即②错； ③全体偶数组成的集合为；即③错； ④集合表示直线上的所有点，即集合表示一条过原点的直线；即④正确. 故答案为：④. 19．已知集合，则集合中元素的个数是______. 【解析】当或或时，     当，或时，或    ， 当，或时，或    ， 当，或时，或    ， 综上所述：，共个元素故答案为： 20．已知集合A的所有元素为2，4，6，若，且有，则a的值是______. 【解析】若，则，符合题意；若，则，符合题意；若，则，不符合题意.故答案为:2或4. 21．已知集合中的最大元素为，则实数________. 【解析】因为，所以，所以，解得或， 显然不满足集合元素的互异性，故舍去，经检验符合题意．故答案为： 22．设集合，，已知且，则的取值集合为________. 【解析】因为，即，所以或，若，则或；若，即，则或.由与互异，得，故或，又，即，所以，解得且，综上所述，的取值集合为. 23．已知集合A是由0，m，m2－3m＋2三个元素构成的集合，且2∈A，则实数m＝________． 【解析】由题意知，m＝2或m2－3m＋2＝2，解得m＝2或m＝0或m＝3，经验证， 当m＝0或m＝2时，不满足集合中元素的互异性，当m＝3时，满足题意，故m＝3.答案：3 24．已知集合各元素之和等于3，则实数___________. 【解析】由题意知：中元素，即为的解， ∴或，可知：或 ∴当时，；当时，， ∴或，故答案为：或 25．含有三个实数的集合既可表示成，又可表示成，则______________. 【解析】要使得有意义，则，由集合，故可得，此时， 故只需或，若，则集合不满足互异性，故舍去. 则只能为.则.故答案为：. 26．用适当方法表示下列集合： (1)从1，2，3这三个数字中抽出一部分或全部数字(没有重复)所组成的自然数的集合； (2)方程+|y﹣2|＝0的解集； (3)由二次函数y＝3x2+1图象上所有点组成的集合. 【答案】(1){1，2，3，12，13，21，31，23，32，123，132，213，231，321，312}；(2)；(3){(x，y)|y＝3x2+1，x∈R}. 【解析】(1)当从1，2，3这三个数字中抽出1个数字时，自然数为1，2，3； 当抽出2个数字时，可组成自然数12，21，13，31，23，32； 当抽出3个数字时，可组成自然数123，132，213，231，321，312. 由于元素个数有限，故用列举法表示为 {1，2，3，12，13，21，31，23，32，123，132，213，231，321，312}. (2)由算术平方根及绝对值的意义，可知： ，解得， 因此该方程的解集为{(﹣，2)}. (3)首先此集合应是点集，是二次函数y＝3x2+1图象上的所有点， 故用描述法可表示为{(x，y)|y＝3x2+1，x∈R}. 课 后 作 业 1． (多选)若对任意，，则称为“影子关系”集合，下列集合为“影子关系”集合的是(    ) A． B． C． D． 【解析】根据“影子关系”集合的定义，可知，，为“影子关系”集合， 由，得或，当时，，故不是“影子关系”集合．故选：ABD 2． (多选)已知是同时满足下列条件的集合：①；②若，则；③且，则．下列结论中正确的有(   ) A． B． C．若，则 D．若，则 【解析】(1)由①，则由②，，，由③得，故A正确；(2)由(1)可知，故B错误；(3)由①知，，，，， 即，故C正确；(4)，则，由③可得，，， 即，，即，；由(3)可知当，，， 当，可得，， 故D正确．故答案为：ACD 3．设是有理数，集合，在下列集合中； (1)；(2)；(3)；(4)；与相同的集合有(    ) A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【解析】对于(1)，由，得，一一对应，则 对于(2)，由，得，一一对应，则 对于(3)，由，得，一一对应，则 对于(4)，，但方程无解，则与不相同故选：B 4． (多选)关于的方程的解集中只含有一个元素，则的可能取值是(    ) A． B．0 C．1 D．5 【解析】由已知方程得：，解得：且； 由得：； 若的解集中只有一个元素，则有以下三种情况： ①方程有且仅有一个不为和的解，，解得：， 此时的解为，满足题意； ②方程有两个不等实根，其中一个根为，另一根不为； 由得：，，此时方程另一根为，满足题意； ③方程有两个不等实根，其中一个根为，另一根不为； 由得：，，此时方程另一根为，满足题意； 综上所述：或或.故选：ABD 5．已知A为方程的所有实数解构成的集合，其中a为实数. (1)若A是空集，求a的范围； (2)若A是单元素集合，求a的范围： (3)若A中至多有一个元素，求a的取值范围. 【解析】(1)若A是空集，则方程无解，当时，方程有解，不符合题意； 当时，，得.综上所述：. (2)若A是单元素集合，则方程有唯一实根，当时，方程有唯一解，符合题意；当时，，得.综上所述：或. (3)若A中至多有一个元素，则方程至多有一个解，当方程无解时，由(1)知，；方程有唯一实根时，由(2)知，或.综上所述：或. 6．已知集合. (1)若中有两个元素，求实数的取值范围；(2)若中至多有一个元素，求实数的取值范围. 【解析】(1)由于中有两个元素，∴关于的方程有两个不等的实数根，∴，且，即，且.故实数的取值范围是且 (2)当时，方程为，，集合只有一个元素；当时，若关于的方程有两个相等的实数根，则中只有一个元素，即，， 若关于的方程没有实数根，则中没有元素，即，. 综上可知，实数的取值范围是或 7．已知集合满足以下条件：①；②若，则. (1)求证：集合至少有3个元素； (2)若集合，写出属于集合的两个元素，并说明理由. 【解析】(1)证明：由，得，则， 则，周而复始，故由题意易得集合至少有3个元素. (2)当时，无意义，故；令，解得， 即当时，，故.故属于集合的两个元素是. 8．已知是满足下列条件的集合：①②若，则,③若且，则 (1)判断是否正确，说明理由 (2)证明：若则 (3)证明：若则 【解析】(1)正确. 证明如下：由①知，由②可得，由③得 (2)证明：由①知，由题知， 由②可得，又，即 (3)证明：，由②可得，再由③可得即， 即， 即当 由(2)可知，当当，可得 9．集合A中的元素是实数，且满足条件①若，则，②，求： (1)A中至少有几个元素？ (2)若条件②换成，A中至少含有的元素是什么？ (3)请你设计一个属于A的元素，求出A中至少含有的其他元素. 【解析】(1)因为，由①知，，而，则，而，则， 所以集合A中至少有3个元素. (2)因为，由①知，，而，则，而，则， 所以集合A中至少含有的元素是. (3)令，由①知，，而，则，而，则， 所以集合A中至少含有的其它元素是. 10．已知集合的元素全为实数，且满足：若，则． (1)若，求出中其它所有元素； (2)0是不是集合中的元素？请你设计一个实数，再求出中的所有元素？ (3)根据(1)(2)，你能得出什么结论． 【解析】(1)由题意，可知， 则，，，， 所以A中其他所有元素为，，2． (2)假设，则， 而当时，不存在，假设不成立， 所以0不是A中的元素． 取，则，，，， 所以当时，A中的元素是3，，，． (3)猜想：A中没有元素，0，1；A中有4个元素，其中2个元素互为负倒数，另外2个元素也互为负倒数． 由(2)知0，， 若，则，与矛盾， 则有，即，0，1都不在集合A中． 若实数，则，， ，． 结合集合中元素的互异性知，A中最多只有4个元素，，，且，． 显然，否则，即，无实数解． 同理，，即A中有4个元素． 所以A中没有元素，0，1；A中有4个元素，其中2个元素互为负倒数，另外2个元素也互为负倒数． 11．已知实数集，定义． (1)若，求； (2)若，求集合A； (3)若A中的元素个数为9，求的元素个数的最小值． 【解析】(1); (2)首先，； 其次中有4个非零元素，符号为一负三正或者一正三负. 记，不妨设或者-- ①当时，， 相乘可知，从而， 从而，所以； ②当时，与上面类似的方法可以得到 进而，从而 所以或者. (3)估值+构造  需要分类讨论中非负元素个数. 先证明．考虑到将中的所有元素均变为原来的相反数时， 集合不变，故不妨设中正数个数不少于负数个数.接下来分类讨论： 情况一： 中没有负数． 不妨设，则 上式从小到大共有1+7+6=14个数，它们都是的元素，这表明 情况二： 中至少有一个负数． 设 是中的全部负元素，是中的全部非负元素. 不妨设 其中为正整数，． 于是有 以上是中的个非正数元素：另外，注意到 它们是中的5个正数．这表明 综上可知，总有- 另一方面，当时，中恰有13个元素. 综上所述，中元素个数的最小值为13. 12．设数集由实数构成，且满足：若(且)，则． (1)若，则中至少还有几个元素？ (2)集合是否为双元素集合？请说明理由． (3)若中元素个数不超过，所有元素的和为，且中有一个元素的平方等于所有元素的积，求集合． 【答案】(1)中至少还有两个元素；(2)不是双元素集合，答案见解析；(3)． 【解析】(1)，． ，． ，． 中至少还有两个元素为，； (2)不是双元素集合．理由如下： ，，， 由于且，，则， 则，可得，由，即，可得， 故集合中至少有个元素，所以，集合不是双元素集合． (3)由(2)知中有三个元素为、、(且)， 且， 设中有一个元素为，则，，且， 所以，，且集合中所有元素之积为. 由于中有一个元素的平方等于所有元素的积， 设或，解得(舍去)或或． 此时，，，， 由题意得，整理得， 即，解得或或， 所以，． 17 学科网（北京）股份有限公司 $$