精品解析：江苏省无锡市普通高中2023-2024学年高二下学期期末调研考试数学试题

无锡市普通高中2024年春学期高二期终调研考试试题 数学 2024.06 命题单位：惠山区教师发展中心 制卷单位：宜兴市教师发展中心 注意事项及说明：本卷考试时间为120分钟，全卷满分为150分. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 设集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. “两个三角形面积相等”是“两个三角形全等”的　　 A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 3. 平面内有A，B，C，D共4个点，以其中2个点为端点的线段共有多少条（ ） A. 4 B. 6 C. 12 D. 20 4. 一个小球做简谐运动，其运动方程为，其中（单位：m）是小球相对于平衡点的位移，t（单位：s）为运动时间，则小球在时的瞬时速度为（单位：）（ ） A. B. C. D. 5. 已知随机变量，且，，则（ ） A. 0.1 B. 0.2 C. 0.3 D. 0.4 6. 设随机变量的概率分布列如下，且，则的方差（ ） 0 1 A B. C. D. 7. 函数在区间上存在最大值与最小值，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 8. 设，是一个随机试验中的两个事件，且，，，则（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列说法正确的是（ ） A. 若，，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 10. 已知，，，则下列结论成立的是（ ） A. B. C. D. 11. 已知函数，则下列结论正确的是（ ） A. 函数的最小值为 B. 若方程有2个不同解，则 C. 不等式对成立 D. 当时，若不等式恒成立，则 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知函数，则曲线在点处的切线方程为______. 13. 某劳动课上，王老师安排甲、乙、丙、丁、戊五名学生到三个不同的教室打扫卫生，每个教室至少安排一名学生，且甲乙两名学生安排在同一教室打扫，丙丁两名学生不安排在同一教室打扫，则不同的安排方法数是______.（用数字作答） 14. 抛掷一枚质地均匀的骰子，观察骰子朝上面的点数，并制定如下规则：当点数为2，3，4，5时得1分，当点数为1，6时得3分.多次抛掷这枚骰子，将每次得分相加的结果作为最终得分.若抛掷2次散子，最终得分为X，则随机变量X的期望是______；若抛掷50次骰子，记得分恰为n分的概率为，则当取最大值时n的值为______. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知集合，集合. （1）若，求； （2）若“，都有成立”为真命题，求实数的取值范围. 16. 已知的展开式中所有项的二项式系数之和为64，前3项的系数之和为49. （1）求实数和的值； （2）求的展开式中的系数. 17. 水果店的销售额与所售水果的价格、质量及该店被附近居民的认可度密不可分.已知某水果店于2023年1月开张，前6个月的销售额（单位：万元）如下表所示： 月份 1月 2月 3月 4月 5月 6月 时间代码x 1 2 3 4 5 6 销售额y （单位：万元） 2.0 4.0 5.2 6.1 6.8 7.4 （1）根据题目信息，与哪一个更适合作为销售额y关于时间x的回归方程类型？（给出判断即可，不必说明理由）； （2）根据（1）的判断结果，求出销售额y关于时间x的回归方程.（注：数据保留整数）； （3）为进一步了解该水果店的销售情况，从前6个月中任取3个月进行分析，X表示取到的3个月中每月销售额不低于5万元的月份个数，求随机变量X的分布列和数学期望. 参考公式与数据：，，，，， 样本数据的线性回归方程的斜率和截距的最小二乘法估计分别为，. 18. 为提升学生体质，弘扬中华传统文化，某校本学期开设了武术社团，有10位武术爱好同学参加，并邀请专业体育教师帮助训练.教师训练前对10位同学测试打分，训练一段时间后再次打分，两次得分情况如表格所示.规定满分为10分，记得分在8分以上（包含8分）的为“优秀”. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 训练前 4 7 5 9 5 2 8.5 6 7 5 训练后 8.5 9.5 7.5 95 8.5 6 95 8.5 9 9 优秀人数 非优秀人数 合计 训练前 训练后 合计 （1）将上面的列联表补充完整，并根据小概率值的独立性检验，判断武术社团同学的武术优秀情况与训练是否有关？并说明原因； （2）从这10人中任选4人，在这4人中恰有3人训练后为“优秀”的条件下，求这4人中恰有1人是训练前也为“优秀”的概率； （3）为迎接汇报表演，甲同学连续4天每天进行和两个武术项目的训练考核，、项目考核相互独立，且每天考核互相不影响，项若为优秀得2分，概率为，项若为优秀得3分，概率为，否则都只得1分.设甲同学在这4天里，恰有3天每天得分不低于3分的概率为，求为何值时，取得最大值. 附：，其中. 0.1 0.05 001 0.005 0.001 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 19. 已知函数，. （1）证明：当时，； （2）已知，且在区间上单调递增，求的最小值； （3）若恰有一个零点，求的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 无锡市普通高中2024年春学期高二期终调研考试试题 数学 2024.06 命题单位：惠山区教师发展中心 制卷单位：宜兴市教师发展中心 注意事项及说明：本卷考试时间为120分钟，全卷满分为150分. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 设集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】绝对值不等式进行化简，利用集合的交集计算得出结果； 【详解】集合， 由于等价于，即，故集合. 所以. 故选：D. 2. “两个三角形面积相等”是“两个三角形全等”的　　 A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】由两个三角形全等可得：两个三角形面积相等反之不成立即可判断出结论． 【详解】由两个三角形全等可得：两个三角形面积相等反之不成立． “两个三角形面积相等”是“两个三角形全等”的必要不充分条件． 故选B． 【点睛】本题考查了两个三角形全等与两个三角形面积相等之间的关系、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题． 3. 平面内有A，B，C，D共4个点，以其中2个点为端点的线段共有多少条（ ） A. 4 B. 6 C. 12 D. 20 【答案】B 【解析】 【分析】简单的组合数问题，列举或运用组合数均可. 【详解】线段为AB，AC，AD，BC，BD，CD，共6条. 故选：B. 4. 一个小球做简谐运动，其运动方程为，其中（单位：m）是小球相对于平衡点的位移，t（单位：s）为运动时间，则小球在时的瞬时速度为（单位：）（ ） A B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用导数的物理意义，即可求解瞬时速度. 详解】，当时，， 所以小球在时的瞬时速度为. 故选：A 5. 已知随机变量，且，，则（ ） A. 0.1 B. 0.2 C. 0.3 D. 0.4 【答案】A 【解析】 【分析】利用正态密度曲线的对称性，即可求解. 【详解】由正态密度曲线的对称性可知，，， 所以. 故选：A 6. 设随机变量的概率分布列如下，且，则的方差（ ） 0 1 A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先根据已知条件求出，然后求出，再根据方差公式可求得结果. 【详解】由题意得，解得， 所以， 所以. 故选：C 7. 函数在区间上存在最大值与最小值，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】首先求函数导数，并由最值确定函数在区间的单调性，再利用数形结合确定实数的取值范围. 【详解】，得或， 因为区间的端点是开区间，所以函数在区间上存在最大值和最小值， 只能是极值点处取得最大值和最小值， 的变化情况如下表， 单调递减 单调递增 单调递减 当，得或， 当，得，或， 则，得. 故选：B 8. 设，是一个随机试验中的两个事件，且，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用全概率公式结合条件可得，然后利用和事件的概率公式和条件概率公式结合条件逐项分析即得. 【详解】因为，，， 所以，， 又， 即，解得，故A错误； 因为，所以，故B错误； ，故C错误； 因为，所以， 所以，故D正确. 故选：D 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列说法正确的是（ ） A. 若，，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 【答案】BD 【解析】 【分析】根据特殊值法，以及作差法，不等式的性质，判断选项. 【详解】A.若，此时，故A错误； B.若，则，则，故B正确； C. ，，所以， 即，故C错误； D. 若，则，则，故D正确； 故选：BD 10. 已知，，，则下列结论成立的是（ ） A B. C. D. 【答案】BCD 【解析】 【分析】考查二项式定理展开式，只需结合选项特征，合理采用赋值法即可. 【详解】对于A，由已知有，所以，即，A错误； 对于B，令，得，令，得. 两式相加并除以2，可得，B正确； 对于C，令即得，C正确； 对于D，在原式两边同时求导得，再令，可知，D正确. 故选：BCD. 11. 已知函数，则下列结论正确的是（ ） A. 函数的最小值为 B. 若方程有2个不同的解，则 C. 不等式对成立 D. 当时，若不等式恒成立，则 【答案】ACD 【解析】 【分析】对A，只需求导研究函数性质即可；对B，数形结合作出函数图象即可；对C，构造函数证其最小值非负即可；对D，整体换元，参变分离解决恒成立问题. 【详解】对A，，所以，，，， 所以在单调递减，在上单调递增， 所以最小值为，A正确； 对B，根据A中的单调性分析，结合翻折变换，又，可绘制图象如下，由图可知若有两个不同的解，则，B错误； 对C，令，所以， 令，， 易知，，，， 所以在上单调递减，在上单调递增， 又时，，， 所以，，，， 所以在上单调递减，在上单调递增， 所以，C正确； 对D，即恒成立，令，，即恒成立， ，所以，，，， 所以在上单调递增，在上单调递减，所以， 所以，又，所以，D正确. 故选：ACD. 【点睛】方法点睛： (1)方程的根的个数问题，可转化为对应图象交点个数问题； (2)恒成立问题，可转化为最值问题，注意参变分离技巧的使用 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知函数，则曲线在点处的切线方程为______. 【答案】 【解析】 【分析】对函数求导，代入得，根据点斜式写出切线方程； 【详解】函数， ， 则曲线在点处的切线方程， 即. 故答案为：. 13. 某劳动课上，王老师安排甲、乙、丙、丁、戊五名学生到三个不同的教室打扫卫生，每个教室至少安排一名学生，且甲乙两名学生安排在同一教室打扫，丙丁两名学生不安排在同一教室打扫，则不同的安排方法数是______.（用数字作答） 【答案】30 【解析】 【分析】排列组合中的分配问题，可以按照人数分配分类讨论解决. 【详解】情形一，分组人数为1，1，3. 此时，甲乙在3人组，再添一人共种方法，所以此时方法数为. 情形二，分组人数为1，2，2. 此时，甲乙两人为单独一组，丙丁各在一组，戊与丙一组，或戊与丁一组，所以此时方法数为.所以，共30种方法. 故答案为：30. 14. 抛掷一枚质地均匀的骰子，观察骰子朝上面的点数，并制定如下规则：当点数为2，3，4，5时得1分，当点数为1，6时得3分.多次抛掷这枚骰子，将每次得分相加的结果作为最终得分.若抛掷2次散子，最终得分为X，则随机变量X的期望是______；若抛掷50次骰子，记得分恰为n分的概率为，则当取最大值时n的值为______. 【答案】 ①. ## ②. 82或84 【解析】 【分析】（1）根据的取值求出相应的概率即可； （2）记得1分的次数为，得3分的次数为，则总分为，进而由利用独立重复实验的概率可得，当取最大值时，要满足，从而利用组合数的性质即可求解. 【详解】得1分的概率为，得3分的概率为， 的可能取值为，，， ， 则随机变量的期望是； 记得1分的次数为，则得3分的次数为， 因此抛掷50次骰子，所得总分为， 次数得n分的概率为，若取最大，则， ，可得， 因为，所以，或， 当时，， 当时，， 故答案为：①；②或. 【点睛】关键点睛：解题的关键点是需要熟练应用独立重复事件的性质、在二项式中求系数最大（小）的项的方法. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知集合，集合. （1）若，求； （2）若“，都有成立”为真命题，求实数的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）先根据求出集合，然后求出集合,最后求出； （2）先把题目条件转化成，然后根据和分类讨论. 【小问1详解】 当时，. 又， ， . 【小问2详解】 由“，”为真命题，即. 当时，，即，符合题意； 当时，或，即或. 综上所述，实数的取值范围是. 16. 已知的展开式中所有项的二项式系数之和为64，前3项的系数之和为49. （1）求实数和的值； （2）求的展开式中的系数. 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】（1）根据二项式系数之和的性质求出，再由展开式的前3项系数之和求出； （2）利用的展开式的通项公式可得答案 【小问1详解】 所有项的二项式系数之和为64，，. 又前3项系数之和为49，， 解得或，又，. 综上，，； 【小问2详解】 的展开式中第项为， 令，可得，不合题意，所以中不含的项， 令，可得，所以， 令，可得，所以， 的展开式中的系数为. 17. 水果店的销售额与所售水果的价格、质量及该店被附近居民的认可度密不可分.已知某水果店于2023年1月开张，前6个月的销售额（单位：万元）如下表所示： 月份 1月 2月 3月 4月 5月 6月 时间代码x 1 2 3 4 5 6 销售额y （单位：万元） 2.0 4.0 5.2 6.1 6.8 7.4 （1）根据题目信息，与哪一个更适合作为销售额y关于时间x的回归方程类型？（给出判断即可，不必说明理由）； （2）根据（1）的判断结果，求出销售额y关于时间x的回归方程.（注：数据保留整数）； （3）为进一步了解该水果店的销售情况，从前6个月中任取3个月进行分析，X表示取到的3个月中每月销售额不低于5万元的月份个数，求随机变量X的分布列和数学期望. 参考公式与数据：，，，，， 样本数据的线性回归方程的斜率和截距的最小二乘法估计分别为，. 【答案】（1） （2） （3）列联表见解析，数学期望为2 【解析】 【分析】（1）根据表中的数据可得关于时间的回归方程类型； （2）求出，，，可得关于时间的回归方程； （3）求出的所有可能取值及相应的概率可得答案. 【小问1详解】 根据表中的数据，可得关于时间的变化不是直线型，所以 更适合作为销售额关于时间的回归方程类型； 小问2详解】 ，， ， ， 所以，销售额关于时间的回归方程为； 【小问3详解】 的所有可能取值为1，2，3，则， ，.所以，的分布列为 1 2 3 ，即的数学期望为2. 18. 为提升学生体质，弘扬中华传统文化，某校本学期开设了武术社团，有10位武术爱好同学参加，并邀请专业体育教师帮助训练.教师训练前对10位同学测试打分，训练一段时间后再次打分，两次得分情况如表格所示.规定满分为10分，记得分在8分以上（包含8分）的为“优秀”. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 训练前 4 7 5 9 5 2 8.5 6 7 5 训练后 8.5 9.5 7.5 9.5 8.5 6 9.5 8.5 9 9 优秀人数 非优秀人数 合计 训练前 训练后 合计 （1）将上面的列联表补充完整，并根据小概率值的独立性检验，判断武术社团同学的武术优秀情况与训练是否有关？并说明原因； （2）从这10人中任选4人，在这4人中恰有3人训练后为“优秀”的条件下，求这4人中恰有1人是训练前也为“优秀”的概率； （3）为迎接汇报表演，甲同学连续4天每天进行和两个武术项目的训练考核，、项目考核相互独立，且每天考核互相不影响，项若为优秀得2分，概率为，项若为优秀得3分，概率为，否则都只得1分.设甲同学在这4天里，恰有3天每天得分不低于3分的概率为，求为何值时，取得最大值. 附：，其中. 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 【答案】（1）同学的优秀情况与训练有关，理由见解析 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）将列联表完善，计算出卡方，与比较后得到结论； （2）设出事件，结合组合知识，利用条件概率求出答案； （3）计算出甲同学一天得分不低于3分的概率，从而得到，，求导后得到单调性，从而确定当时，取得最大值. 【小问1详解】 零假设：假设武术社团同学的武术优秀情况与训练无关.列联表为 优秀人数 非优秀人数 合计 训练前 2 8 10 训练后 8 2 10 合计 10 10 20 . 故根据小概率值的独立性检验，零假设不成立，即同学的优秀情况与训练有关. 【小问2详解】 设“所选4人中恰有3人训练后为优秀”为事件，“所选4人中恰有1人训练前也为优秀”为事件， 事件为所选4人中，有1人训练前优秀，有2人为训练前非优秀，训练后变为优秀， 有1人训练前非优秀，训练后也非优秀， 从（1）中可知，有6人训练前非优秀，训练后变为优秀，有2人训练前非优秀，训练后也非优秀， 则，， 所以. 【小问3详解】 设“甲同学一天得分不低于3分”为事件，有， 则恰有3天每天得分不低于3分的概率 ，， ， 当时，，时，， 故在上单调递增，在单调递减. 所以当时，取得最大值. 19. 已知函数，. （1）证明：当时，； （2）已知，且在区间上单调递增，求的最小值； （3）若恰有一个零点，求的取值范围. 【答案】（1）证明见解析 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）利用导数求函数最大值，转化为证明函数的最大值小于等于； （2）首先求函数的解析式，由题意转化为在区间上恒成立，利用参变分离，转化为求解最值问题； （3）首先求函数的导数，分，和三种情况讨论函数的单调性，以及最值，分析函数的零点个数. 【小问1详解】 证明：当时，，，， 当时，，单调递增；当时，，单调递减； ，即. 【小问2详解】 ，， ， 由题意知在上单调递增，在上恒成立， 即在上恒成立，，. 下面研究函数，的最大值.令，，， ， ，，， 的最大值为，即，的最大值为， 时，取到最大值.，即的最小值为. 【小问3详解】 ，. ①当时，.令得；令得， 在单调递增，上单调递减， ，此时无零点，不符合题意. ②当时，. 令得或；令得， 在和上单调递增，在上单调递减， 又， 当时，，在上无零点. 由（1）知，当时，，即恒成立. 用替换得，即， ，，， 当时，，， ， 存在，使得，又因为， 所以存在，使得，又因为在 上单调递增， 且在无零点，所以是的唯一零点. ③当时，，在上单调递增， 又，有唯一零点，符合题意. 综上，. 【点睛】关键点点睛：本题的关键是当时，讨论在有1个零点，用到了放缩法，以及零点存在性定理. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$