1.3一元二次方程的根与系数的关系（讲义）（暑期自学课）2024-2025学年苏科版数学九年级上册

2024-2025学年苏科版数学九年级上册 1.3一元二次方程的根与系数的关系（讲义） （暑期自学课） 【知识点一】一元二次方程根的判别式 一元二次方程中，叫做一元二次方程的根的判别式，通常用“”来表示，即 （1）当△>0时，一元二次方程有2个不相等的实数根； （2）当△=0时，一元二次方程有2个相等的实数根； （3）当△<0时，一元二次方程没有实数根. 【典型例题】 【例题1】方程的根的情况为 （　　）． A.有一个实数根 B.有两个相等的实数根 C.有两个不相等的实数根 D.没有实数根 【例题2】下列方程中没有实数根的是（ ） A. -x2-3x+1=0 B. 2x2-3x+1=0 C.4x2+5=4x D.2x2=x-1 【例题3】已知关于x的一元二次方程x2+6x+c＝0的一个根是x＝1，则方程x2+6x﹣c＝0的根的情况是（　　） A．没有实数根 B．有两个相等的实数根 C．有两个不相等的实数根 D．有一个根是x＝1 【例题4】关于x的方程的根的情况描述正确的是（ ） A. k为任何实数，方程都没有实数根 B. k为任何实数，方程都有两个不相等的实数根 C. k为任何实数，方程都有两个相等的实数根 D. k为任何实数，方程都有一个实数根 【例题5】已知方程． （1）k取何值时，方程有两个相等的实数根； （2）k取何值时，方程有两个不相等的实数根． 【例题6】已知关于的一元二次方程有实数根． 求的取值范围； 若方程的一个根是，求方程的另一个根． 【知识点二】韦达定理 如果一元二次方程的两个实数根是， 那么，. 注意它的使用条件为a≠0，Δ≥0. 【典型例题】 【例题1】已知x₁、x₂是方程x²-2x-3=0的两个根, 则 x₁+x₂的值为( ) A. 2 B. -2 C.3 D. -3 【例题2】已知、是关于的方程的两根，下列结论一定正确的是( ) A. B. C. ， D. 【例题3】已知x1，x2是一元二次方程x2+4x+3＝0的两根，则x1+x2+2x1x2的值为（　　） A．1 B．﹣1 C．2 D．﹣2 【例题4】一元二次方程的两个实数根分别为，则的值为 【例题5】已知关于x的方程x2﹣2（k﹣2）x+k2＝0有两个实数根x1，x2． （1）求k的取值范围； （2）若x1+x2＝1﹣x1x2，求k的值． 【例题6】已知关于x的一元二次方程有两个不等实数根，． （1）求k的取值范围； （2）若，求k的值． 【知识点三】韦达定理的重要变形 ①； ②； ③； ④； ⑤； ⑥； ⑦； ⑧； ⑨； ⑩． 【典型例题】 【例题1】若，分别是一元二次方程的两个实数根，则等于 　　 A．6 B．8 C．10 D．12 【例题2】若方程的两根为，，则的值是　　 A．4 B．8 C．16 D．32 【例题3】是方程的两个实根，若恰成立，则的值为（   ） A． B．或 C． D．或1 【例题4】已知一元二次方程x2+x＝5x+6的两根为x1与x2，则的值为 　 　． 【例题5】已知关于x的一元二次方程kx2+x-3=0有两个不相等的实数根. (1)求实数k的取值范围; (2)设方程两个实数根分别为x1，x2，且满足，求k的值 【例题6】已如关于一元二次方程． （1）求证，无论实数取何值，此方程一定有两个实数根； （2）设此方程的两个实数根分别为，若，求的值． ( 第 1 页 共 9 页 ) 学科网（北京）股份有限公司 $$