第09讲 图形的位似（2大知识点+9大典例+变式训练+随堂检测）-（暑期衔接课堂）2024年暑假八升九数学衔接讲义（北师大版）

第09讲 图形的位似（2大知识点+9大典例+变式训练+随堂检测） 题型一 位似图形的识别 题型二 判断位似中心 题型三 位似图形相关概念辨析 题型四 求两个位似图形的相似似比 题型五 画已和图形放大或缩小n倍后的位似图形 题型六 求位似图形的对应坐标 题型七 在坐标系中求两个位似图形的相似比、周长比或面积比 题型八 在坐标系中画位似图形 题型九 在坐标系中画位似中心 知识点01：位似多边形 1.位似多边形定义: 如果两个相似多边形任意一组对应顶点所在的直线都经过同一个点O，且每组对应点与点O 点的距离之比都等于一个定值k，例如，如下图，OA′=k·OA（k≠0），那么这样的两个多边形叫做位似多边形，点O叫做位似中心. 要点： 位似图形与相似图形的区别：位似图形是一种特殊的相似图形，而相似图形未必能构成位似图形. 2.位似图形的性质: （1）位似图形的对应点相交于同一点，此点就是位似中心； 　（2) 位似图形的对应点到位似中心的距离之比等于相似比； 　（3）位似图形中不经过位似中心的对应线段平行. 3. 平移、轴对称、旋转和位似四种变换的异同： 图形经过平移、旋转或轴对称的变换后，虽然对应位置改变了，但大小和形状没有改变，即两个图形是全等的；而位似变换之后图形是放大或缩小的，是相似的． 4. 作位似图形的步骤 　　第一步：在原图上找若干个关键点，并任取一点作为位似中心； 　　第二步：作位似中心与各关键点连线； 　　第三步：在连线上取关键点的对应点，使之满足放缩比例； 　　第四步：顺次连接各对应点. 要点： 位似中心可以取在多边形外、多边形内，或多边形的一边上、或顶点，下面是位似中心不同的画法. 知识点02：坐标系中的位似图形 在平面直角坐标系中，将一个多边形每个顶点的横坐标、纵坐标都乘同一个数k(k≠0)，所对应的图形与原图形位似，位似中心是坐标原点，它们的相似比为|k|. 要点：在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标等于原来点的坐标乘以（或除以）k或-k. 【典型例题一 位似图形的识别】 1．（2024·山西大同·一模）下列选项中的两个相似图形，不是位似图形的是（   ） A． B． C． D． 2．（2024·宁夏银川·一模）大约在两千四百年前，墨子和他的学生做了世界上第1个小孔成倒像的实验，并在《墨经》中做了记载，如图，在实验中，物和像属于以下哪种变换（    ） A．平移变换 B．对称变换 C．旋转变换 D．位似变换 3．（22-23九年级上·全国·课后作业）两个相似多边形，如果它们对应顶点所在的直线 ，那么这样的两个图形叫做位似图形． 4．（22-23九年级下·全国·课后作业）如图所示，点O是等边△PQR的中心，P，Q＇，R＇分别是OP、OQ、OR的中点，则△P＇Q＇R＇与△PQR是 ，点O是 ，相似比是 . 5．（22-23九年级上·全国·课后作业）如图，指出下列各图中的两个图形是否是位似图形，如果是位似图形，请指出其位似中心． 6．（22-23九年级·全国·课后作业）指出下列各图中的两个图形是否是位似图形，如果是位似图形，请指出其位似中心. （1）   （2）   （3）   （4） 【典型例题二 判断位似中心】 1．（2023·河北石家庄·模拟预测）图中的两个三角板是位似图形，则位似中心可能是（  ） A．点A B．点 C．点 D．点 2．（23-24九年级下·河北沧州·期中）如图，在正方形网格图中，与是位似图形，则位似中心是（    ） A．点R B．点P C．点Q D．点O 3．（2023·四川乐山·二模）如图，在平面直角坐标系中，阴影所示的两个正方形是位似图形，若位似中心在两个正方形之间，则位似中心的坐标为 ．    4．（22-23九年级上·浙江·单元测试）如图，与△是位似图形，且顶点都在格点上，则位似中心的坐标是 ． 5．（23-24九年级上·陕西咸阳·阶段练习）如图，是经过位似变换得到的（点A、B、C的对应点分别为点D、E、F），位似中心是点O． (1)请在图中画出点O的位置； (2)若，，求的长． 6．（23-24九年级上·河南洛阳·期中）如图，网格中的每个小正方形的边长都是1．与是以点O为位似中心的位似图形，它们的顶点都在小正方形的顶点上． (1)在图中画出位似中心O； (2)与的相似比是______； (3)请在此网格中以点C为位似中心，再画一个，使它与的相似比等于2∶1． 【典型例题三 位似图形相关概念辨析】 1．（23-24九年级上·河南周口·期中）如图，图形甲与图形乙是位似图形，是位似中心，相似比为，点的对应点分别为点．若，则的长为（    ） A．9 B．10 C．12 D．15 2．（2023·河北保定·一模）如图，与都是等边三角形，固定，将从图示位置绕点C逆时针旋转一周，在旋转的过程中，下列说法正确的是（ ）    A．总与位似 B．与不会位似 C．当点D落在上时，与位似 D．存在的两个位置使得与位似 4．（2023九年级·全国·专题练习）如图，△ABC与△DEF是位似图形，点O是位似中心，若OA：OD=1：3，△ABC的面积为3，则△DEF的面积为 ． 5．（22-23九年级上·陕西宝鸡·期末）如图，△ABC与△A′B′C′是位似图形，且位似比是1：2． （1）请在图中画出位似中心； （2）若AB＝2cm，则A′B′等于多少？ 6．（2023·陕西西安·模拟预测）如图，在中，D为边上的中点，在边上求作点E，使与位似．（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹） 【典型例题四 求两个位似图形的相似似比】 1．（2024·广东佛山·二模）《墨子·天文志》记载：“执规矩，以度天下之方圆”．度方知圆，感悟数学之美．如图，以面积为1的正方形的对角线的交点为位似中心，作它的位似图形，若，则四边形的面积为（    ） A．9 B．6 C．4 D．3 2．（2024·浙江嘉兴·一模）如图，与是位似三角形，点O为位似中心．，则与的位似比为（    ） A． B． C． D． 3．（2024·四川成都·三模）如图，与位似，点O为位似中心，已知，则 ． 4．（2024·湖南长沙·模拟预测）如图，与是位似图形，点O为位似中心，已知与的面积之比是，则与之比是 ． 5．（23-24九年级下·安徽淮南·阶段练习）如图，以某点为位似中心，将进行位似变换得到，记与对应边的比为k，求位似中心的坐标和k的值． 6．（23-24九年级上·福建泉州·期中）如图，与是位似图形，且位似比是，若，在图中画出位似中心O，并求的长． 【典型例题五 画已和图形放大或缩小n倍后的位似图形】 1．（23-24九年级上·重庆北碚·期末）如图，以点为位似中心，将四边形放大到原来的3倍，得到四边形，若四边形的面积为1，则四边形的面积是（    ） A．3 B．6 C．8 D．9 2．（22-23九年级上·河北石家庄·期末）在如图所示的小正方形网格中，以点为位似中心，的位似图形是（　　） A． B． C． D． 3．（22-23九年级下·全国·课前预习）总结画位似图形的一般步骤： （1）确定 ； （2）分别连接并延长 和能代表原图的关键点； （3）根据 ，确定能代表所作的位似图形的关键点； （4）顺次连接上述各点，得到放大或缩小的图形． 4．（2023·山西晋中·一模）在平面直角坐标系，点坐标，点坐标，点是线段的中点，若以原点为位似中心，把线段缩小为原来的得到线段，则点的对应点坐标是 ． 5．（23-24九年级上·宁夏银川·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，已知三个顶点的坐标分别为，，．    (1)画出绕点顺时针旋转后得到的； (2)在网格内以点为位似中心，画使它与的位似比为． 6．（22-23九年级上·湖南郴州·期中）如图，在边长均为1的小正方形网络纸中，的顶点O、A、B均在格点上，且O是直角坐标系的原点，点A在x轴上．    (1)写出A、B两点的坐标； (2)以O为位似中心，将放大，使得放大后的与对应线段的比为，画出．（所画与在原点两侧） 【典型例题六 求位似图形的对应坐标】 1．（2023九年级下·全国·专题练习）在平面直角坐标系中，已知点，，以原点O为位似中心，将放大为原来的2倍，则点E的对应点的坐标是（　　） A． B． C．或 D．或 2．（23-24八年级下·黑龙江大庆·期中）如图，在中，A、B两个顶点在x轴的上方，点C的坐标是以点C为位似中心，在x轴的下方作的位似图形，并把的边长放大到原来的2倍．设点B的对应点的横坐标是a，则点B的横坐标是（    ） A． B． C． D． 3．（23-24九年级下·山东青岛·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，的顶点分别为，，，与是以原点为位似中心的位似图形，且位似比为，则点C的坐标为 ． 4．（2024九年级下·山西·专题练习）如图，在平面直角坐标系的第一象限内，与关于原点O位似，相似比为，点A的坐标为，则点的坐标为 ． 5．（22-23九年级上·陕西西安·期中）如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别为，，．    (1)以原点O为位似中心，在第一象限内画出的位似图形，使它与的相似比为2：1． (2)写出的坐标． 6．（2023九年级上·浙江·专题练习）△ABC的三个顶点的坐标分别为，，，以O为位似中心，在第四象限内，画出△ABC的位似图形△A1B1C1，使与的相似比为，并写出点，，的坐标．    【典型例题七 在坐标系中求两个位似图形的相似比、周长比或面积比】 1．（23-24九年级下·重庆开州·阶段练习）如图，以点O为位似中心，将放大后得到，若，，则与的面积比为（    ） A． B． C． D． 2．（23-24九年级上·浙江宁波·期末）如图，四边形和是以点为位似中心的位似图形．若，四边形的周长是3，则四边形的周长是（    ） A．1 B．3 C．9 D．27 3．（22-23九年级下·四川成都·阶段练习）如图，和是以点为位似中心的位似图形．若，则与的面积比是 ． 4．（23-24九年级下·山东德州·阶段练习）如图，和是以点为位似中心的位似图形．若，则与的面积比是 ．    5．（23-24九年级上·江苏南通·阶段练习）如图，的顶点都在网格点上． (1)以点为位似中心，把按放大，在轴的左侧，画出放大后的，其中点的对应点为点，点的对应点为点； (2)点的坐标是________； (3)________． 6．（23-24九年级上·河北沧州·期中）如图，在已知的平面直角坐标系中，的顶点都在正方形网格的格点上，若，两点的坐标分别是，． (1)已知，以点为位似中心，在网格中画出，使与位似，且位似比为2； (2)的坐标是________，的坐标是________； (3)与对应边上高的比为________． 【典型例题八 在坐标系中画位似图形】 1．（2023·河北保定·一模）如图，△ABC中，点B，C是x轴上的点，且A（3，2），以原点O为位似中心，作△ABC的位似图形△A′B′C′，且△ABC与A′B′C′的相似比是1：2，则点A′的坐标是（　　） A．（﹣6，﹣4） B．（﹣1.5，﹣1） C．（1.5，1）或（﹣1.5，﹣1） D．（6，4）或（﹣6，﹣4） 2．（2024·河北沧州·一模）如图，在正方形网格中，以点О为位似中心，的位似图形可以是（    ） A． B． C． D． 3．（2023九年级上·全国·专题练习）平面直角坐标系中位似图形的作法： 位似图形与位似中心有两种情况∶①位似图形在位似中心 侧；②位似图形在位似中心 侧．若题中未指明位置关系，应该分两种情况讨论，防止漏解． 4．（22-23九年级上·北京西城·期中）如图，△ABO三个顶点的坐标分别为A(-2，4)，B(-4，0)，O(0，0)，以原点O为位似中心，画出一个三角形，使它与△ABO的相似比为，则此时点B关于对称中心的对应点的坐标是 ． 5．（23-24九年级上·陕西西安·期末）如图，的顶点都在网格点上，点的坐标为．以点为位似中心，把按相似比2扩大，在轴的左侧画出扩大后的．(，，的对应点分别为，，) 6．（23-24九年级上·广东广州·期末）在平面直角坐标系中，的三个顶点坐标分别为，，．以原点O为位似中心，在第三象限画出，使它与的相似比是2． 【典型例题九 在坐标系中画位似中心】 1．（23-24九年级上·福建宁德·期末）如图，若与是位似图形，则位似中心的坐标是（    ） A． B． C． D． 2．（23-24九年级上·福建莆田·阶段练习）如图，和是位似图形，则位似中心的坐标是（　　）    A． B． C． D． 3．（2024·辽宁抚顺·三模）如图，正方形网格图中的与是位似关系图，则位似中心是点R、点P、点Q、点O四个点中的 ． 4．（2024·山西忻州·三模）在如图所示的正方形网格中建立平面直角坐标系，已知每个小正方形的边长都是1，与的顶点都在正方形网格的格点上，且与为位似图形，则位似中心的坐标为 ．    5．（22-23九年级下·河南周口·单元测试）如图，图中的小方格都是边长为的正方形，与是关于点为位似中心的位似图形，它们的顶点都在小正方形的顶点上．      (1)画出位似中心点； (2)求出与的位似比； (3)以点为位似中心，再画一个，使它与的位似比等于． 6．（23-24九年级上·福建泉州·期中）如图，在平面直角坐标系中，与是关于点为位似中心的位似图形    (1)在图中标出点的位置并写出点的坐标 (2)以点为位似中心，在轴的右侧画出的另一个位似，使它与的相似比为． 【变式训练1 位似图形的识别】 1．（23-24九年级上·山东滨州·阶段练习）如图是标准对数视力表的一部分，在图内下面的四个较小“E”中，和最上面较大“E”是位似图形的“E”居于（    ） A．左上 B．右上 C．左下 D．右下 2．（2024九年级·全国·竞赛）如图，线段相交于点O，点E、F分别在线段上，则图中与位似的三角形是（    ）．    A． B． C． D．与 3．（22-23九年级下·全国·课后作业）如图，在平行四边形ABCD中，F是AD延长线上一点，连接BF分别交AC、CD于P、E，则图中的位似三角形共有 对．   4．（22-23九年级上·安徽滁州·阶段练习）在如图所示的网格中，以点为位似中心，作四边形的位似图形，小明认为四边形的位似图形是四边形；小亮认为四边形的位似图形是四边形，你认为正确的是 ．（选填“小明”或“小亮”）． 5．（22-23九年级·全国·假期作业）如图，AB与CD相交于点E，AC∥DB，△ACE与△BDE是位似图形吗？ 6．（22-23九年级·全国·假期作业）如图，如果AC∥BD，CE∥DF，那么△ACE与△BDF是位似三角形吗？为什么？ 【变式训练2 判断位似中心】 1．（2023·河北沧州·模拟预测）如图，与是位似图形，则位似中心为（    ）    A．点 B．点 C．点 D．点 2．（22-23九年级下·全国·单元测试）如图所示的两个三角形是位似图形，它们的位似中心是（      ）    A．点A B．点 C．点 D．点 3．（22-23九年级上·辽宁丹东·期末）如图，在正方形和正方形中，点和点的坐标分别为，，则两个正方形的位似中心的坐标是 . 4．（22-23九年级上·辽宁沈阳·期末）如图，在边长为1的正方形网格中，两个三角形的顶点都在小正方形的顶点，且两个三角形是位似图形，点O和点P也在小正方形的顶点，则这两个三角形的位似中心是点 ．    5．（23-24九年级上·福建泉州·期末）如图，在方格图中，的顶点与线段的端点都在小正方形的顶点上，且与是关于点为位似中心的位似图形，点，的对应点分别为点，．按下列要求完成画图，并保留画图痕迹．    (1)请在方格图中画出位似中心； (2)请在方格图中将补画完整． 6．（22-23九年级上·山东青岛·单元测试）如图所示，图中的小方格都是边长为1的正方形，△ABC与是以点O为位似中心的位似图形，它们的顶点都在小正方形的顶点上． （1）画出位似中心点O； （2）直接写出△ABC与的位似比； （3）以位似中心O为坐标原点，以格线所在直线为坐标轴建立平面直角坐标系 【变式训练3 位似图形相关概念辨析】 1．（2024·重庆·二模）如图，在正方形网格中，两个阴影部分的格点三角形位似，则位似中心为（    ） A．点N B．点 C．点 D．点 2．（23-24九年级下·安徽淮南·阶段练习）若两个图形位似，则下列叙述不正确的是（    ） A．每对对应点所在的直线相交于同一点 B．两个图形上的对应线段必平行 C．两个图形上的对应线段之比等于相似比 D．两个图形的面积之比等于相似比的平方 3．（2023·陕西西安·模拟预测）如图，点是四边形与的位似中心，则 ； ， ． 4．（22-23九年级上·广东广州·期末）如图，四边形与四边形位似，位似中心为点O，，，，则 ． 5．（23-24九年级上·四川成都·期中）如图，已知O是坐标原点，A，B的坐标分别为，． (1)画出绕点O顺时针旋转后得到的； (2)在y轴的左侧以O为位似中心作的位似三角形，使与的相似比为； (3)直接写出线段与线段的位置关系与数量关系． 6．（22-23九年级下·全国·单元测试）如图，在的网格中，每个小正方形的边长均为，点和的顶点均为小正方形的顶点．    (1)在图中的内部作，使和位似，且位似中心为点，位似比为； (2)连接（1）中的，则线段的长度是________． 【变式训练4 求两个位似图形的相似似比】 1．（2024·河北沧州·三模）如图，和是以点为位似中心的位似图形，如果和的面积比为，则应将放大为原图形的（    ）倍． A．1 B．2 C．3 D．4 2．（2024·重庆渝中·二模）如图，与关于点位似，位似比为，已知， 则的长等（　）    A． B． C． D． 3．（2024·四川成都·二模）如图，和是以点为位似中心的位似图形，若，若和的面积之比是 ． 4．（2024·浙江杭州·一模）如图，放缩尺是利用图形的位似将图形放大或缩小的工具，点的位置固定不变，在，处装有笔，当画笔沿图运动时，画笔画出图形，图形就放大了，反之，图形就缩小了．位似比可以通过调节点，的位置来确定，调整时确保，，点，，在同一直线上，若，图形的面积为1.5，则图形的面积为 ．    5．（23-24九年级上·河南商丘·期末）如图．在平面直角坐标系中，的顶点均在正方形网络的格点上，已知点C的坐标为． (1)以点O为位似中心，在给出的网格内作使与位似，并且点的坐标为； (2)与的相似比是______． 6．（23-24九年级上·河南南阳·期中）如图，图中小方格都是边长为1的正方形，与是关于点O为位似中心的位似图形，它们的顶点都在小正方形顶点上． (1)画出位似中心点O； (2)与的位似比为______； (3)以点O为位似中心，再画一个使它与的位似比等于． 【变式训练5 画已和图形放大或缩小n倍后的位似图形】 1．（23-24九年级上·河北石家庄·期中）如图，在由小正方形组成的网格中，以点O为位似中心，把缩小到原来的倍，则点A的对应点为（    ） A．点D B．点E C．点F D．点G 2．（23-24九年级上·四川成都·阶段练习）以点为位似中心，把放大为原来的2倍得到，下列说法错误的是（    ） A． B． C． D．点、、三点共线 3．（22-23九年级下·山东烟台·期末）已知ABC，以点A为位似中心，作出ADE，使ADE是ABC放大2倍的图形，这样的图形可以作出 个．他们之间的关系是 . 4．（2023·山东青岛·一模）如图，已知线段AB两个端点的坐标分别为A(4，6)，B(8，4)，以原点O为位似中心，在第一象限内将线段AB缩小为原来的一半后得到线段CD，则端点D坐标为 ． 5．（23-24九年级上·陕西榆林·期末）如图，已知，以点O为位似中心画一个，使它和位似，且位似比为2． 6．（23-24九年级上·陕西延安·期末）如图，四边形的顶点坐标分别为，，，．以原点为位似中心，将四边形缩小为原来的，得到四边形，点的对应点分别是点，且点在第四象限． (1)在平面直角坐标系中画出四边形； (2)写出点的坐标． 【变式训练6 求位似图形的对应坐标】 1．（2024·黑龙江绥化·中考真题）如图，矩形各顶点的坐标分别为，，，，以原点为位似中心，将这个矩形按相似比缩小，则顶点在第一象限对应点的坐标是（    ）      A． B． C． D． 2．（2024·浙江·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，与是位似图形，位似中心为点．若点的对应点为，则点的对应点的坐标为（    ） A． B． C． D． 3．（2024·山东滨州·三模）在平面直角坐标系中，顶点的坐标为．若以原点为位似中心，画的位似图形，使与的位似比等于，则点的坐标为 ． 4．（2024·山东滨州·一模）如图，在平面直角坐标系中，已知点，，以原点为位似中心，相似比为2，把放大，则点的对应点的坐标是 ． 5．（22-23九年级上·安徽亳州·期末）如图，已知O是坐标原点，两点的坐标分别为． (1)以点O为位似中心，在y轴的左侧将放大2倍得到； (2)分别写出两点的对应点的坐标． 6．（23-24九年级上·福建泉州·期中）如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别为． (1)请以原点为位似中心，画出，使它与的相似比为1∶2，变换后点的对应点分别为点，点在第一象限； (2)若为线段上的任一点，则变换后点的对应点的坐标为 ． 【变式训练7 在坐标系中求两个位似图形的相似比、周长比或面积比】 1．（2024·吉林长春·一模）如图，六边形和六边形是以点．O为位似中心的位似图形，．若六边形的周长为，则六边形的周长为 ． 2．（23-24九年级上·河南许昌·期末）如图，在平面直角坐标系中，与位似，原点为位似中心，点A，B的坐标分别为．当点的纵坐标是时，与的面积比是（    ） A． B． C． D． 3．（2024·山西晋城·一模）在平面直角坐标系中，与关于原点位似，点及其对应点的坐标分别为，，则与的相似比为 ． 4．（2024·辽宁大连·模拟预测）如图，原点是和的位似中心，点与点是对应点，的面积是，则的面积是 ． 5．（23-24九年级上·湖南郴州·期末）如图，在平面直角坐标系中，三个顶点分别为． (1)以坐标原点O为位似中心，位似比为，将作位似变换后得到，请在平面直角坐标系中画出． (2)设与，面积分别为和，试求的值． 6．（23-24九年级上·湖南怀化·期中）如图，平面直角坐标系中，的顶点都在正方形网格的格点上． (1)以O点为位似中心，位似比的绝对值为2，将放大为，请在网格图中画出（只画出其中一种）； (2)若，的面积分别为S、，写出S、的数量关系． 【变式训练8 在坐标系中画位似图形】 1．（2023·北京海淀·二模）如图，在正方形网格中，以点为位似中心，的位似图形可以是（    ）    A． B． C． D． 2．（23-24九年级上·四川宜宾·期末）如图，在平面直角坐标系中，已知点，，以坐标原点O为位似中心作一条线段，使该线段与线段AB的相似比为，正确的画法是（    ） A． B． C． D． 3．（22-23九年级上·北京西城·期末）如图，三个顶点的坐标分别为，，，以原点O为位似中心，画出一个三角形，使它与的相似比为．则画出的一个三角形为 °． 4．（22-23九年级下·全国·单元测试）已知：如图三个顶点的坐标分别为、、，正方形网格中，每个小正方形的边长是1个单位长度，以点C为位似中心，在网格中画出，使与位似，且与的位似比为2：1，此时点的坐标为 ．    5．（23-24九年级下·浙江宁波·阶段练习）如图，在平面直角坐标系内，顶点坐标分别为，，． (1)画出关于原点O成中心对称的； (2)以A为位似中心，在网格中画出，使与位似且面积比为． 6．（2024·安徽阜阳·一模）如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别为． (1)将先向右平移6个单位长度，再向下平移5个单位长度得到，请画出； (2)以点B为位似中心，在所给的平面直角坐标系内，将放大为原来的2倍得到，请画出； (3)请直接写出（2）中点的坐标． 【变式训练9 在坐标系中画位似中心】 1．（23-24九年级上·福建泉州·期末）如图，若与是位似图形，则位似中心的坐标为（    ） A． B． C． D． 2．（22-23九年级上·山西临汾·期中）如图，在平面直角坐标系中，与是位似图形，则位似中心是（　　）    A． B． C． D． 3．（2024·辽宁盘锦·模拟预测）如图，在直角坐标系中，与是位似图形，点O是坐标原点，点A，B，C，D，E坐标分别为、、、、，则位似中心的坐标为 ． 4．（23-24九年级上·湖南长沙·阶段练习）如图，在直角坐标系中，与是位似图形，则它们位似中心的坐标是 ． 5．（22-23九年级上·陕西西安·期末）在平面直角坐标系中的位置如图所示，已知点，，．与是以点为位似中心的位似图形． (1)请画出点的位置，并写出点的坐标是______； (2)以点为位似中心，在轴左侧画出的位似图形，使相似比为． 6．（22-23九年级上·贵州铜仁·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，与关于点成位似图形． (1)在图中标出点的位置，并写出点的坐标； (2)以坐标原点为位似中心，在轴左侧画出的位似图形，且使与的相似比为． 1．（22-23九年级上·全国·单元测试）如图，下面三组图形中，位似图形有（　　） A．0组 B．1组 C．2组 D．3组 2．（2023·重庆渝北·一模）如图，四边形与四边形是以点为位似中心的位似图形，已知，若四边形的面积是2，则四边形的面积是（    ） A． B．5 C． D． 3．（23-24九年级上·湖南永州·期中）如图，六边形与六边形是位似图形，O为位似中心，，则为（   ） A． B． C． D． 4．（22-23九年级下·云南昭通·期中）如图，在直角坐标系中，与是位似图形，已知点，则位似中心的坐标是（  ）    A． B． C． D． 5．（22-23九年级上·山西朔州·期末）如图，在平面直角坐标系中，与是位似图形，则位似中心是（    ）． A． B． C． D． 6．（22-23九年级下·河南周口·单元测试）如图，F是AD延长线上一点，连接BF交DC于点E，则图中的位似三角形共有 对． 7．（22-23九年级上·山东青岛·课后作业）如图，正方形OEFG和正方形ABCD是位似图形，点F的坐标为(1，1)，点C的坐标为(4，2)，则这两个正方形位似中心的坐标是 8．（2023·四川成都·模拟预测）如图，点是两个位似图形的位似中心，若，则与的周长之比等于 ． 9．（23-24九年级上·山东济南·阶段练习）如图，与是位似图形，则与的位似比为 ． 10．（2023·江苏扬州·一模）如图，在平面直角坐标系中，阴影所示的两个正方形是位似图形，若两个正方形在位似中心的异侧，则位似中心的坐标为 ． 11．（22-23九年级下·全国·课后作业）指出下列各图中的两个图形是否是位似图形如果是位似图形，请指出其位似中心．      12．（22-232九年级·全国·假期作业）如图，△EFD和△CFB是以点F为位似中心的位似图形，EF：FC＝1：2，若S△EFD＝1，求四边形EBCD的面积． 13．（23-24九年级上·福建泉州·期末）如图，在边长都是的小正方形组成的网格中，与是以点为位似中心的位似图形，它们的顶点都在小正方形的顶点处． (1)与的位似比是 ，请在图中标出位似中心的位置； (2)请以点为位似中心，并在点右侧的网格中画一个，使它与的相似比为． 14．（22-23九年级上·陕西咸阳·期末）如图，在平面直角坐标系中，每个小正方形的边长均为，的顶点均在网格格点上，且． (1)以原点为位似中心，在第一象限画出，使得与位似，且相似比为； (2)在（1）的条件下，写出与的面积比． 15．（23-24九年级上·河北张家口·阶段练习）在的正方形网格中，每个小正方形的边长都为1，点均在格点上．请按要求在网格中画图，所画图形的顶点均需在格点上． (1)在下图中画出．使得与关于点位似，相似比为2； (2)在下图中画出，使得，且． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第09讲 图形的位似（2大知识点+9大典例+变式训练+随堂检测） 题型一 位似图形的识别 题型二 判断位似中心 题型三 位似图形相关概念辨析 题型四 求两个位似图形的相似似比 题型五 画已和图形放大或缩小n倍后的位似图形 题型六 求位似图形的对应坐标 题型七 在坐标系中求两个位似图形的相似比、周长比或面积比 题型八 在坐标系中画位似图形 题型九 在坐标系中画位似中心 知识点01：位似多边形 1.位似多边形定义: 如果两个相似多边形任意一组对应顶点所在的直线都经过同一个点O，且每组对应点与点O 点的距离之比都等于一个定值k，例如，如下图，OA′=k·OA（k≠0），那么这样的两个多边形叫做位似多边形，点O叫做位似中心. 要点： 位似图形与相似图形的区别：位似图形是一种特殊的相似图形，而相似图形未必能构成位似图形. 2.位似图形的性质: （1）位似图形的对应点相交于同一点，此点就是位似中心； 　（2) 位似图形的对应点到位似中心的距离之比等于相似比； 　（3）位似图形中不经过位似中心的对应线段平行. 3. 平移、轴对称、旋转和位似四种变换的异同： 图形经过平移、旋转或轴对称的变换后，虽然对应位置改变了，但大小和形状没有改变，即两个图形是全等的；而位似变换之后图形是放大或缩小的，是相似的． 4. 作位似图形的步骤 　　第一步：在原图上找若干个关键点，并任取一点作为位似中心； 　　第二步：作位似中心与各关键点连线； 　　第三步：在连线上取关键点的对应点，使之满足放缩比例； 　　第四步：顺次连接各对应点. 要点： 位似中心可以取在多边形外、多边形内，或多边形的一边上、或顶点，下面是位似中心不同的画法. 知识点02：坐标系中的位似图形 在平面直角坐标系中，将一个多边形每个顶点的横坐标、纵坐标都乘同一个数k(k≠0)，所对应的图形与原图形位似，位似中心是坐标原点，它们的相似比为|k|. 要点：在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标等于原来点的坐标乘以（或除以）k或-k. 【典型例题一 位似图形的识别】 1．（2024·山西大同·一模）下列选项中的两个相似图形，不是位似图形的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查的是位似变换，掌握两个图形不仅是相似图形，而且对应顶点的连线相交于一点，对应边互相平行，那么这样的两个图形叫做位似图形是解题的关键．根据位似图形的定义解答即可． 【详解】解：根据位似图图形的定义可知选项A、B、D中的两个图形都是位似图形，C中的两个图形不是位似图形， 故选：C． 2．（2024·宁夏银川·一模）大约在两千四百年前，墨子和他的学生做了世界上第1个小孔成倒像的实验，并在《墨经》中做了记载，如图，在实验中，物和像属于以下哪种变换（    ） A．平移变换 B．对称变换 C．旋转变换 D．位似变换 【答案】D 【分析】本题考查了位似变换，熟练掌握位似变换的特征是解题的关键． 根据位似变换的特征作答即可． 【详解】解：由题意知，物和像属于位似变换， 故选：D． 3．（22-23九年级上·全国·课后作业）两个相似多边形，如果它们对应顶点所在的直线 ，那么这样的两个图形叫做位似图形． 【答案】相交于一点 【详解】解：两个相似多边形，如果它们对应顶点所在的直线相交于一点，那么这样的两个图形叫做位似图形． 故答案为：相交于一点 4．（22-23九年级下·全国·课后作业）如图所示，点O是等边△PQR的中心，P，Q＇，R＇分别是OP、OQ、OR的中点，则△P＇Q＇R＇与△PQR是 ，点O是 ，相似比是 . 【答案】 位似图形 位似中心 1∶2 【分析】位似图形定义：如果两个图形不仅是相似图形而且每组对应点所在的直线都经过同一个点，对应边互相平行（或共线），那么这样的两个图形叫位似图形，这个点叫做位似中心； 观察图形可知，对应点的连线交于同一点O， 因而找出位似中心；利用P′、Q′、R′分别是OP、OQ、OR的中点，可求出相似比是P′Q′:PQ. 【详解】∵P，Q＇，R＇分别是OP、OQ、OR的中点， ∴P＇Q＇∥PQ， Q＇R＇∥QR， P＇R＇∥PR， ∴△P＇Q＇R＇与△PQR是位似图形； ∵各对应点的连线交于点O，那么位似中心为点O； ∴点O是位似中心； ∵△P′Q′R′与△PQR是位似三角形， ∴△P′Q′R′∽△PQR， ∴相似比等于P′Q′:PQ. ∵P′，Q′，R′分别是OP，OQ，OR的中点， ∴P′Q′=PQ，P′Q′:PQ=1∶2. ∴△P′Q′R′与△PQR的相似比为1∶2. 故答案为  位似图形；     位似中心 ；    1∶2 . 【点睛】本题考查位似图形的相关知识，解题的关键是掌握位似图形的定义和性质. 5．（22-23九年级上·全国·课后作业）如图，指出下列各图中的两个图形是否是位似图形，如果是位似图形，请指出其位似中心． 【答案】①是位似图形，位似中心是点A；②是位似图形，位似中心是点P；③不是位似图形；④是位似图形，位似中心是点O；⑤不是位似图形 【分析】根据位似图形的概念逐一判断即可． 【详解】解：①是位似图形，位似中心是点A； ②是位似图形，位似中心是点P； ③不是位似图形； ④是位似图形，位似中心是点O； ⑤不是位似图形． 【点睛】本题考查了位似图形的概念，解题的关键是掌握基本的概念． 6．（22-23九年级·全国·课后作业）指出下列各图中的两个图形是否是位似图形，如果是位似图形，请指出其位似中心. （1）   （2）   （3）   （4） 【答案】见解析 【分析】根据位似图形的定义解答即可. 【详解】（1）、（2）和（4）中的两个图形都是位似图形，（1）中的位似中心是点A，（2）中的位似中心是点P，（4）中的位似中心是点O. 【点睛】本题考查了位似图形的的定义，对应边互相平行（或共线）且每对对应顶点所在的直线都经过同一点的两个相似多边形叫做位似图形. 【典型例题二 判断位似中心】 1．（2023·河北石家庄·模拟预测）图中的两个三角板是位似图形，则位似中心可能是（  ） A．点A B．点 C．点 D．点 【答案】A 【分析】根据位似图形的性质即可判断； 【详解】解：根据位似图形的位似中心在对应点的连接线的交点处； 故选：A． 【点睛】本题主要考查位似图形的位似中心判断，掌握位似图形的性质是解题的关键． 2．（23-24九年级下·河北沧州·期中）如图，在正方形网格图中，与是位似图形，则位似中心是（    ） A．点R B．点P C．点Q D．点O 【答案】D 【分析】本题考查确定位似中心，理解位似图形的概念是解题的关键． 根据位似图形的概念，连接对应点，交点即是位似中心． 【详解】连接，，交于点， ∴点是位似中心， 故答案为：D． 3．（2023·四川乐山·二模）如图，在平面直角坐标系中，阴影所示的两个正方形是位似图形，若位似中心在两个正方形之间，则位似中心的坐标为 ．    【答案】 【分析】连接各组对应点，它们在两个正方形之间相交于点，则点为位似中心，然后写出点坐标即可． 【详解】解：如图，点为位似中心，．    故答案为：． 【点睛】本题考查位似变换：位似的两个图形不仅是相似图形，而且对应顶点的连线相交于一点，对应边互相平行（或共线），掌握位似变换的性质是解题的关键． 4．（22-23九年级上·浙江·单元测试）如图，与△是位似图形，且顶点都在格点上，则位似中心的坐标是 ． 【答案】（9，0） 【分析】根据位似中心的概念解答即可． 【详解】解：连接和并延长相交于点D，则点D即为位似中心，作图如下： 点D的坐标为（9，0）， 即位似中心的坐标为（9，0）， 故答案为：（9，0）． 【点睛】本题考查的是位似变换的概念，解题的关键是掌握各对应点所在直线的交点即为位似中心． 5．（23-24九年级上·陕西咸阳·阶段练习）如图，是经过位似变换得到的（点A、B、C的对应点分别为点D、E、F），位似中心是点O． (1)请在图中画出点O的位置； (2)若，，求的长． 【答案】(1)作图见解析 (2) 【分析】本题主要考查位似变换，熟知位似图形性质是解题的关键． （1）根据位似图形的对应顶点的连线过位似中心，即可确定点O的位置； （2）根据位似性质即可求得答案． 【详解】（1）解：根据点O的位置如图所示． （2）∵是经过位似变换得到的， ∴， ∴． ∵，， ∴． 6．（23-24九年级上·河南洛阳·期中）如图，网格中的每个小正方形的边长都是1．与是以点O为位似中心的位似图形，它们的顶点都在小正方形的顶点上． (1)在图中画出位似中心O； (2)与的相似比是______； (3)请在此网格中以点C为位似中心，再画一个，使它与的相似比等于2∶1． 【答案】(1)见解析 (2) (3)见解析 【分析】本题主要考查位似图形的知识， （1）根据两个三角形的位置找到位似中心即可； （2）根据三角形的边长求得相似比； （3）结合位似中心点和网格即可得到． 【详解】（1）解：将对应顶点连接，并延长交于O点．如图所示， （2）根据对应线段长求得，， 则与的相似比． （3）如图所示，即所求． 【典型例题三 位似图形相关概念辨析】 1．（23-24九年级上·河南周口·期中）如图，图形甲与图形乙是位似图形，是位似中心，相似比为，点的对应点分别为点．若，则的长为（    ） A．9 B．10 C．12 D．15 【答案】C 【分析】本题考查了位似图形的性质，根据相似比为，即可解答，掌握该图形的两个图形是相似图形是解题的关键． 【详解】解：图形甲与图形乙是位似图形，是位似中心，相似比为， ， ， ， 故选：C． 2．（2023·河北保定·一模）如图，与都是等边三角形，固定，将从图示位置绕点C逆时针旋转一周，在旋转的过程中，下列说法正确的是（ ）    A．总与位似 B．与不会位似 C．当点D落在上时，与位似 D．存在的两个位置使得与位似 【答案】D 【分析】根据位似图形的定义：两个多边形不仅相似，而且对应顶点的连线交于一点，并且对应边互相平行或位于同一直线上，像这样的两个图形叫做位似图形，即可判断． 【详解】解：与都是等边三角形， 与相似， 在旋转的过程中，只有当点D落在线段和线段的延长线上时，与相交与点C， 在旋转的过程中，只有当点D落在线段和线段的延长线上时，与位似， 故选：D． 【点睛】本题考查了位似图形的定义，解决本题的关键在于位似图形对应顶点的连线交于一点，因此需熟练掌握位似图形的定义才能更好的解决本题． 3．（23-24九年级上·山东菏泽·期末）如图，四边形木框在灯泡发出的光照射下形成的影子是四边形，若，则四边形的面积：四边形的面积之比为 ．    【答案】 【分析】本题考查位似图形的性质，解题的关键是得到对应点到对应中心的比值，那么面积比为对应点到对应中心的比值的平方． 【详解】解：， ， ， ， ， 四边形的面积：四边形的面积为． 故答案为：． 4．（2023九年级·全国·专题练习）如图，△ABC与△DEF是位似图形，点O是位似中心，若OA：OD=1：3，△ABC的面积为3，则△DEF的面积为 ． 【答案】27 【详解】∵△ABC与△DEF是位似图形，∴△ABC∽△DEF，AB∥DE， ∴△OAB∽△ODE，∴，∴=2=． ∵△ABC的面积为3， ∴△DEF的面积为27． 5．（22-23九年级上·陕西宝鸡·期末）如图，△ABC与△A′B′C′是位似图形，且位似比是1：2． （1）请在图中画出位似中心； （2）若AB＝2cm，则A′B′等于多少？ 【答案】（1）见解析；（2）4cm． 【分析】（1）作三组对应点所在直线，三直线的交点即为位似中心O； （2）根据△ABC与△A′B′C′是位似图形，可知△ABC∽△A′B′C′，利用位似比是1：2，即可求得A′B′=4cm． 【详解】（1）如图所示，点O即为位似中心； （2）∵△ABC与△A′B′C′是位似图形， ∴△ABC∽△A′B′C′ ∵位似比是1：2 ∴＝＝，且AB＝2cm， ∴A′B′＝2AB＝4cm． 【点睛】本题考查了位似的相关知识，位似是相似的特殊形式，位似比等于相似比． 6．（2023·陕西西安·模拟预测）如图，在中，D为边上的中点，在边上求作点E，使与位似．（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹） 【答案】见详解 【分析】利用尺规作∠ADE=∠ABC交AC于点E，即可． 【详解】解：如图所示，点E即为所求点． 【点睛】本题主要考查尺规作一个角等于已知角，位似三角形的定义，熟练掌握尺规作一个角等于已知角，是解题的关键． 【典型例题四 求两个位似图形的相似似比】 1．（2024·广东佛山·二模）《墨子·天文志》记载：“执规矩，以度天下之方圆”．度方知圆，感悟数学之美．如图，以面积为1的正方形的对角线的交点为位似中心，作它的位似图形，若，则四边形的面积为（    ） A．9 B．6 C．4 D．3 【答案】C 【分析】本题考查的是位似图形的性质，由位似图形的性质可得正方形的面积正方形的面积，再进一步可得答案． 【详解】解：∵正方形的面积为1，，正方形与正方形是位似图形， ∴正方形的面积正方形的面积； ∴四边形的面积为； 故选C． 2．（2024·浙江嘉兴·一模）如图，与是位似三角形，点O为位似中心．，则与的位似比为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查求位似图形的相似比，根据已知得到即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∵与是位似三角形， ∴与的位似比为， 故选：C． 3．（2024·四川成都·三模）如图，与位似，点O为位似中心，已知，则 ． 【答案】/ 【分析】本题考查位似图形的性质，根据相似比等于位似比，即可得出结果． 【详解】解：∵， ∴， ∵与位似，点O为位似中心， ∴； 故答案为：． 4．（2024·湖南长沙·模拟预测）如图，与是位似图形，点O为位似中心，已知与的面积之比是，则与之比是 ． 【答案】3：1 【分析】本题考查位似图形，根据位似图形面积比是位似比的平方，对应点到位似中心的距离比也是位似比即可得解． 【详解】解：∵与是位似图形，点O为位似中心，与的面积之比是． ∴，， 故答案为：3：1． 5．（23-24九年级下·安徽淮南·阶段练习）如图，以某点为位似中心，将进行位似变换得到，记与对应边的比为k，求位似中心的坐标和k的值． 【答案】， 【分析】本题考查了位似图形的知识；连接、，由位似图形的性质得为位似中心，结合题意计算即可得到答案． 【详解】解：连接、，并延长交点为， 则为位似中心，由图形知点的坐标为， ∴，即． 6．（23-24九年级上·福建泉州·期中）如图，与是位似图形，且位似比是，若，在图中画出位似中心O，并求的长． 【答案】见解析， 【分析】本题考查了位似中心的确定方法，位似图形的性质； 连接，的交点即为位似中心O，然后根据位似比可求的长． 【详解】解：如图，点O即为所求； ∵与的位似比是，， ∴． 【典型例题五 画已和图形放大或缩小n倍后的位似图形】 1．（23-24九年级上·重庆北碚·期末）如图，以点为位似中心，将四边形放大到原来的3倍，得到四边形，若四边形的面积为1，则四边形的面积是（    ） A．3 B．6 C．8 D．9 【答案】D 【分析】本题考查的是位似变换、及相似多边形的性质，熟知相似多边形的面积比等于相似比的平方是正确解决本题的关键． 由题意可知两个多边形的相似比为，可知两个图形的面积比为即可求出． 【详解】解：以点为位似中心，将四边形放大到原来的3倍， ， 四边形的面积为1， 四边形的面积是9， 故答案为：D． 2．（22-23九年级上·河北石家庄·期末）在如图所示的小正方形网格中，以点为位似中心，的位似图形是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据位似三角形的定义作出图形即可得出答案 【详解】解： 故选：C 【点睛】本题考查了画位似图形．画位似图形的一般步骤为：①确定位似中心，②分别连接并延长位似中心和能代表原图的关键点；③根据相似比，确定能代表所作的位似图形的关键点；顺次连接上述各点，得到放大或缩小的图形． 3．（22-23九年级下·全国·课前预习）总结画位似图形的一般步骤： （1）确定 ； （2）分别连接并延长 和能代表原图的关键点； （3）根据 ，确定能代表所作的位似图形的关键点； （4）顺次连接上述各点，得到放大或缩小的图形． 【答案】 位似中心 位似中心 相似比 【解析】略 4．（2023·山西晋中·一模）在平面直角坐标系，点坐标，点坐标，点是线段的中点，若以原点为位似中心，把线段缩小为原来的得到线段，则点的对应点坐标是 ． 【答案】或 【分析】利用中点公式求得点P的坐标，然后利用位似图形的性质，结合两图形的位似比进而得出点坐标． 【详解】解：由 ， ，点是线段的中点， ∴P（-3，2） ∵以原点O为位似中心，线段缩小为原来的得到线段， ∴A′（-1，2），B′（-2，0）或A′（1，-2），B′（2，0）； ∴点P的对应点或 故答案为：或． 【点睛】此题主要考查了位似图形的性质，利用两图形的位似比得出对应点横纵坐标关系是解题关键． 5．（23-24九年级上·宁夏银川·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，已知三个顶点的坐标分别为，，．    (1)画出绕点顺时针旋转后得到的； (2)在网格内以点为位似中心，画使它与的位似比为． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】 本题考查了作图-位似变换和旋转变换． （1）利用网格特点和旋转的旋转画出点A、B、C的对应点，从而得到； （2）延长到使，则点为点的对应点，同样方法作出的对应点，从而得到． 【详解】（1）解：，如图所示， （2）解：如图所示，   ． 6．（22-23九年级上·湖南郴州·期中）如图，在边长均为1的小正方形网络纸中，的顶点O、A、B均在格点上，且O是直角坐标系的原点，点A在x轴上．    (1)写出A、B两点的坐标； (2)以O为位似中心，将放大，使得放大后的与对应线段的比为，画出．（所画与在原点两侧） 【答案】(1)A点的坐标为，B点的坐标为； (2)见解析 【分析】本题考查了位似变换——作图，熟练掌握位似变换的作图方法是解题的关键． （1）根据A、B两点的位置，即可写出A、B两点的坐标； （2）利用位似图形的性质以及与对应线段的比为，进而得出即可； 【详解】（1）解：根据图象得，A点的坐标为，B点的坐标为； （2）解：如图，就是放大后的图象；   ． 【典型例题六 求位似图形的对应坐标】 1．（2023九年级下·全国·专题练习）在平面直角坐标系中，已知点，，以原点O为位似中心，将放大为原来的2倍，则点E的对应点的坐标是（　　） A． B． C．或 D．或 【答案】C 【分析】本题考查的是位似变换，在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k,那么位似图形对应点的坐标的比等于k或. 根据位似变换的性质解答即可． 【详解】解：∵原点O为位似中心，将放大为原来的2倍，点E的坐标为， ∴点E的对应点的坐标为或，即或， 故选：C． 2．（23-24八年级下·黑龙江大庆·期中）如图，在中，A、B两个顶点在x轴的上方，点C的坐标是以点C为位似中心，在x轴的下方作的位似图形，并把的边长放大到原来的2倍．设点B的对应点的横坐标是a，则点B的横坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查的是位似变换的性质，在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或．以点C为坐标原点建立新的坐标系，表示出点的横坐标，根据位似变换的性质计算，得到答案． 【详解】解：以点C为坐标原点建立新的坐标系， 点C的坐标是， 点的横坐标为：， 以点C为位似中心，在x轴的下方作的位似图形， 则点B在以C为坐标原点的坐标系中的横坐标为：， 点B在原坐标系中的横坐标为：， 故选：D 3．（23-24九年级下·山东青岛·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，的顶点分别为，，，与是以原点为位似中心的位似图形，且位似比为，则点C的坐标为 ． 【答案】 【分析】根据关于以原点为位似中心的定义点的坐标关系得到，本题考查了位似变换：在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为，那么位似图形对应点的坐标的比等于或． 【详解】解：点为位似中心，的位似图形为，位似比为，而，且点C在第四象限、点B在第二象限， 即 故答案为： 4．（2024九年级下·山西·专题练习）如图，在平面直角坐标系的第一象限内，与关于原点O位似，相似比为，点A的坐标为，则点的坐标为 ． 【答案】 【分析】题目主要考查位似图形的性质，根据位似图形相似及相似比即可得出结果，熟练掌握位似图形的性质是解题关键． 【详解】解：根据题意，与关于原点位似，且相似比为， 则， ∵点A的坐标为， 则的坐标为 故答案为：． 5．（22-23九年级上·陕西西安·期中）如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别为，，．    (1)以原点O为位似中心，在第一象限内画出的位似图形，使它与的相似比为2：1． (2)写出的坐标． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）由题意可知，分别为的中点，据此可确定的坐标，即可完成作图； （2）由（1）中结论即可求解． 【详解】（1）解：如图所示：    （2）解：由图可知： 【点睛】本题考查位似图形作图．抓住位似比是解题关键． 6．（2023九年级上·浙江·专题练习）△ABC的三个顶点的坐标分别为，，，以O为位似中心，在第四象限内，画出△ABC的位似图形△A1B1C1，使与的相似比为，并写出点，，的坐标．    【答案】图见解析，，，． 【分析】链接并延长，取，同理可得：点和点，依次连接，即可求解． 【详解】解：链接并延长，取， 同理可得：点和点， 依次连接，如图所示，即为所求：    ，，． 【点睛】本题考查了位似图形，熟练掌握位似图形的作法是解题的关键． 【典型例题七 在坐标系中求两个位似图形的相似比、周长比或面积比】 1．（23-24九年级下·重庆开州·阶段练习）如图，以点O为位似中心，将放大后得到，若，，则与的面积比为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了位似变换：位似的两图形两个图形必须是相似形；对应点的连线都经过同一点；对应边平行（或共线）． 利用位似性质得到，然后根据相似三角形的性质求解． 【详解】解：以点为位似中心，将放大后得到， ， ． 即与的面积比为． 故选：C． 2．（23-24九年级上·浙江宁波·期末）如图，四边形和是以点为位似中心的位似图形．若，四边形的周长是3，则四边形的周长是（    ） A．1 B．3 C．9 D．27 【答案】C 【分析】本题考查的是位似变换、相似多边形的性质、相似三角形的性质，熟记相似多边形的周长比等于相似比是解题的关键． 根据位似图形的概念得到四边形，，得到，求出，再根据相似多边形的周长比等于相似比计算即可． 【详解】解：∵四边形和是以点O为位似中心的位似图形， ∴四边形，， ， ， ∴四边形的周长四边形周长， ∵四边形的周长是3， ∴四边形的周长9， 故选：C． 3．（22-23九年级下·四川成都·阶段练习）如图，和是以点为位似中心的位似图形．若，则与的面积比是 ． 【答案】 【分析】本题考查的是位似变换、相似三角形的性质，熟记相似三角形的面积比等于相似比的平方是解题的关键．根据位似图形的概念得到，，证明，根据相似三角形的性质求出，再根据相似三角形的面积比等于相似比的平方计算，得到答案． 【详解】解：， ， 和是以点为位似中心的位似图形， ，， ， ， 与的面积比为：， 故答案为： 4．（23-24九年级下·山东德州·阶段练习）如图，和是以点为位似中心的位似图形．若，则与的面积比是 ．    【答案】 【分析】本题考查的是位似变换，相似三角形的判定和性质，掌握位似图形的概念、相似三角形的面积比等于相似比的平方是解题的关键． 根据位似变换的性质及相似三角形的面积比等于相似比的平方计算，得到答案． 【详解】解：， ， 和是以点O为位似中心的位似图形， ，， ， ， ， 与的面积比为：， 故答案为：． 5．（23-24九年级上·江苏南通·阶段练习）如图，的顶点都在网格点上． (1)以点为位似中心，把按放大，在轴的左侧，画出放大后的，其中点的对应点为点，点的对应点为点； (2)点的坐标是________； (3)________． 【答案】(1)见解析 (2) (3) 【分析】 本题主要考查了位似作图，位似图形的性质． （1）依据点为位似中心，把按放大，在轴的左侧，即可画出放大后的； （2）依据点的位置，即可得到点的对应点的坐标； （3）依据相似三角形的面积之比等于位似比的平方，即可得到，进而得出． 【详解】（1） 解：如图所示，即为所求； （2） 解：点的对应点的坐标是， 故答案为：； （3） 解：由题可得，， ， 又位似比为， ， ． 故答案为：． 6．（23-24九年级上·河北沧州·期中）如图，在已知的平面直角坐标系中，的顶点都在正方形网格的格点上，若，两点的坐标分别是，． (1)已知，以点为位似中心，在网格中画出，使与位似，且位似比为2； (2)的坐标是________，的坐标是________； (3)与对应边上高的比为________． 【答案】(1)见解析 (2)、 (3) 【分析】此题主要考查了位似变换，正确得出对应点位置是解题关键． （1）直接利用位似图形的性质得出对应点位置，顺次连接即可得； （2）由（1）所得图形即可得； （3）由相似三角形的性质“相似三角形对应的高的比等于相似比”即可求解． 【详解】（1）解：如图所示，△即为所求； ； （2）解：由（1）知，的坐标是，的坐标是， 故答案为：、； （3）解：∵与位似，且位似比为2， ∴与对应边上高的比为， 故答案为：． 【典型例题八 在坐标系中画位似图形】 1．（2023·河北保定·一模）如图，△ABC中，点B，C是x轴上的点，且A（3，2），以原点O为位似中心，作△ABC的位似图形△A′B′C′，且△ABC与A′B′C′的相似比是1：2，则点A′的坐标是（　　） A．（﹣6，﹣4） B．（﹣1.5，﹣1） C．（1.5，1）或（﹣1.5，﹣1） D．（6，4）或（﹣6，﹣4） 【答案】D 【分析】根据位似变换的性质计算，得到答案． 【详解】解：∵以原点O为位似中心，作△ABC的位似图形△A′B′C′，且相似比是1：2， A（3，2）， ∴点A′的坐标是（3×2，2×2）或（3×（﹣2），2×（﹣2））， 即（6，4）或（﹣6，﹣4）， 故选：D． 【点睛】本题考查平面直角坐标系中利用位似性质求位似图形上点的坐标，熟练掌握位似定义和性质是解决问题的关键． 2．（2024·河北沧州·一模）如图，在正方形网格中，以点О为位似中心，的位似图形可以是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了位似图形的性质，根据位似的性质，连接，，，并延长，观察交点即可求解 【详解】解：连接，，，并延长如图所示， ， ∴的位似图形是， 故选：C． 3．（2023九年级上·全国·专题练习）平面直角坐标系中位似图形的作法： 位似图形与位似中心有两种情况∶①位似图形在位似中心 侧；②位似图形在位似中心 侧．若题中未指明位置关系，应该分两种情况讨论，防止漏解． 【答案】两；同 【解析】略 4．（22-23九年级上·北京西城·期中）如图，△ABO三个顶点的坐标分别为A(-2，4)，B(-4，0)，O(0，0)，以原点O为位似中心，画出一个三角形，使它与△ABO的相似比为，则此时点B关于对称中心的对应点的坐标是 ． 【答案】（-2,0）或（2,0） 【分析】由位似比求出对应点坐标有两种情况，分别求出两组对应点坐标，然后在平面直角坐标系描点连接即可． 【详解】解：由位似比为求得：A(−2，4)，B(−4，0)对应点坐标分别为A′(−1，2)，B′(−2，0)， 或者A′′(1，−2)，B′′(2，0)， O点是位似中心，所以位置不变， 所以，下图△A′B′O或△A′′B′′O都为满足题意的位似图形, ∴此时点B关于对称中心的对应点的坐标为（-2,0）或（2,0）. 【点睛】本题考查了位似的概念．位似比为对应点到位似中心的距离比．解题关键是根据位似比找到对应点的坐标． 5．（23-24九年级上·陕西西安·期末）如图，的顶点都在网格点上，点的坐标为．以点为位似中心，把按相似比2扩大，在轴的左侧画出扩大后的．(，，的对应点分别为，，) 【答案】见解析 【分析】本题考查位似作图，连接并延长，使得，从而找到点D，同理可以找到点E、F，也可以先写出点A、B、C的坐标，然后横纵坐标乘以2找到对应点．掌握位似作图或直角坐标系的位似图形的坐标特点是解题的关键． 【详解】解：作图如下，即为所求做的三角形． 6．（23-24九年级上·广东广州·期末）在平面直角坐标系中，的三个顶点坐标分别为，，．以原点O为位似中心，在第三象限画出，使它与的相似比是2． 【答案】见解析 【分析】本题考查了画位似图形，先画出点A和点B以原点O为位似中心的对应点，再依次连接即可． 【详解】解：∵的三个顶点坐标分别为，，，在第三象限，且与的相似比是2， ∴， 如图所示：即为所求； 【典型例题九 在坐标系中画位似中心】 1．（23-24九年级上·福建宁德·期末）如图，若与是位似图形，则位似中心的坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了位似变换，直接利用位似图形的性质得出位似中心即可． 【详解】解：如图所示：位似中心的坐标为． 故选：D． 2．（23-24九年级上·福建莆田·阶段练习）如图，和是位似图形，则位似中心的坐标是（　　）    A． B． C． D． 【答案】A 【分析】此题考查的是位似图形及位似中心的定义，根据位似中心的定义，连接位似图形的对应点，交点即为位似中心，掌握位似中心的确定方法：位似图形的各个对应点连线的交点即为位似中心是解决此题的关键． 【详解】解：连接，，，如图，交点即为所求，由图可知位似中心的坐标是：．    故选：． 3．（2024·辽宁抚顺·三模）如图，正方形网格图中的与是位似关系图，则位似中心是点R、点P、点Q、点O四个点中的 ． 【答案】点O 【分析】本题主要考查了位似中心的确定，连接对应点，对应点连线的交点即为位似中心，作图可得答案． 【详解】如图所示，位似中心是点O． 故答案为：点O． 4．（2024·山西忻州·三模）在如图所示的正方形网格中建立平面直角坐标系，已知每个小正方形的边长都是1，与的顶点都在正方形网格的格点上，且与为位似图形，则位似中心的坐标为 ．    【答案】 【分析】本题考查了作图—位似变换，对应顶点所在直线相交于一点即为位似中心，确定位似中心是解题的关键．连接，并延长交于一点，交点即为所求． 【详解】解：如图，      连接，并延长交于一点，点即为所求．由网格图形可知，点的坐标为． 故答案为：． 5．（22-23九年级下·河南周口·单元测试）如图，图中的小方格都是边长为的正方形，与是关于点为位似中心的位似图形，它们的顶点都在小正方形的顶点上．      (1)画出位似中心点； (2)求出与的位似比； (3)以点为位似中心，再画一个，使它与的位似比等于． 【答案】(1)见解析 (2) (3)见解析 【分析】（1）连接，分别延长三条线段交于一点O，则点O即为所求； （2）与的位似比等于与的比，也等于与在水平线上的投影比，即，即可得到答案； （3）按照位似图形的作图方法作即可． 【详解】（1）解：如图，点即为所求． （2）与的位似比等于与的比，也等于与在水平线上的投影比，即． ∴与的位似比为． （3）如图，为所求．    【点睛】此题考查了位似图形和位似图形的作图，熟练掌握位似图形的作图和性质是解题的关键． 6．（23-24九年级上·福建泉州·期中）如图，在平面直角坐标系中，与是关于点为位似中心的位似图形    (1)在图中标出点的位置并写出点的坐标 (2)以点为位似中心，在轴的右侧画出的另一个位似，使它与的相似比为． 【答案】(1)图见解析， (2)图见解析 【分析】本题考查坐标与位似图形，掌握位似图形的性质，是解题的关键． （1）连接各对应点的连线的交点即为位似中心P，然后根据图形直接写出点P的对应坐标； （2）根据位似图形的性质，找出变换后各顶点的对应点，然后顺次连接各点即可． 【详解】（1）解：点的位置，如图所示，由图可知：；    （2）如图，即为所求． 【变式训练1 位似图形的识别】 1．（23-24九年级上·山东滨州·阶段练习）如图是标准对数视力表的一部分，在图内下面的四个较小“E”中，和最上面较大“E”是位似图形的“E”居于（    ） A．左上 B．右上 C．左下 D．右下 【答案】C 【分析】本题考查了位似变换的相关知识．开口向上的两个“E”形状相似，但大小不同，因此它们之间的变换属于位似变换，故最上面较大的“E”与左下的“E”是位似图形． 【详解】解：根据位似变换的特点可知：最上面较大的“E”与左下的“E”是位似图形． 故选：C． 2．（2024九年级·全国·竞赛）如图，线段相交于点O，点E、F分别在线段上，则图中与位似的三角形是（    ）．    A． B． C． D．与 【答案】D 【分析】本题考查位似图形．如果两个图形不仅是相似图形，而且每组对应点所在的直线都经过同一个点，（对应边互相平行(或共线)），那么这样的两个图形叫做位似图形．根据位似图形的定义，判定即可． 【详解】解：∵ ∴， ∵ ∴， ∵相交于点O，点E、F分别在线段上， ∴与位似的三角形有和． 故选：D． 3．（22-23九年级下·全国·课后作业）如图，在平行四边形ABCD中，F是AD延长线上一点，连接BF分别交AC、CD于P、E，则图中的位似三角形共有 对．   【答案】3 【详解】解：位似的三角形是△FDE与△FAB，△FDE与△BCE，△ECB与△BAF 所以位似三角形共有3对． 【点睛】本题主要考查了位似图形的定义∶ 若两个几何图形F与F′相似，而且对应点连线交于同一点O，则称F与F’关于点O位似，O叫做位似中心．把一个几何图形变换成与之位似的图形，叫做位似变换． 4．（22-23九年级上·安徽滁州·阶段练习）在如图所示的网格中，以点为位似中心，作四边形的位似图形，小明认为四边形的位似图形是四边形；小亮认为四边形的位似图形是四边形，你认为正确的是 ．（选填“小明”或“小亮”）． 【答案】小亮 【分析】根据位似图形的概念画出图形，得到答案． 【详解】解：延长、、、分别到、、、， 则四边形是四边形的位似图形， 所以小亮正确． 故答案为：小亮． 【点睛】本题考查的是位似图形的概念，掌握位似的两个图形对应点的连线都经过同一点是解题的关键． 5．（22-23九年级·全国·假期作业）如图，AB与CD相交于点E，AC∥DB，△ACE与△BDE是位似图形吗？ 【答案】△ACE与△BDF是位似三角形，理由见解析 【分析】先证明△ACE∽△BDF，再利用位似图形的定义即可判断． 【详解】解：△ACE与△BDF是位似三角形， 理由：∵AC∥BD， ∴∠A＝∠B，∠C＝∠D， ∴△ACE∽△BDF， 又∵△ACE与△BDF对应点相交于点E， ∴△ACE与△BDF是位似三角形． 【点睛】此题主要考查了位似变换以及相似三角形的判定，熟练掌握位似图形的定义是解题的关键．位似三角形的定义：如果两个三角形不仅是相似三角形，而且每组对应点的连线交于一点，对应边互相平行，那么这两个三角形叫做位似三角形． 6．（22-23九年级·全国·假期作业）如图，如果AC∥BD，CE∥DF，那么△ACE与△BDF是位似三角形吗？为什么？ 【答案】△ACE与△BDF是位似三角形，理由见解析 【分析】利用相似三角形的判定与性质得出△OAE∽△OBF，进而得出AE∥BF，再利用位似图形的定义求出即可． 【详解】解：△ACE与△BDF是位似三角形， 理由：∵AC∥BD，CE∥DF， ∴，， ∴， 又∵∠AOE＝∠BOF， ∴△OAE∽△OBF， ∴∠OAE＝∠OBF， ∴AE∥BF， 又∵△ACE与△BDF对应点相交于点O， ∴△ACE与△BDF是位似三角形．． 【点睛】此题主要考查了位似图形的定义以及相似三角形的判定与性质，掌握位似图形和相似图形的关系是解题关键． 【变式训练2 判断位似中心】 1．（2023·河北沧州·模拟预测）如图，与是位似图形，则位似中心为（    ）    A．点 B．点 C．点 D．点 【答案】D 【分析】根据位似中心是位似点连线的交点判断即可． 【详解】如图，根据位似中心是位似点连线的交点，可知点P为位似中心，    故选D． 【点睛】本题考查了三角形的位似，清楚位似中心是位似点连线的交点是解题的关键． 2．（22-23九年级下·全国·单元测试）如图所示的两个三角形是位似图形，它们的位似中心是（      ）    A．点A B．点 C．点 D．点 【答案】D 【分析】根据位似变换的定义：对应点的连线交于一点，交点就是位似中心．即位似中心一定在对应点的连线上，据此即可求解． 【详解】解：∵位似图形的位似中心位于对应点连线所在的直线上，点A、B为对应点， 位似中心在A、B所在的直线上， 点D在直线上， 点D为位似中心． 故选：D． 【点睛】此题主要考查了位似变换的性质，利用位似图形的位似中心位于对应点连线所在的直线上是解题关键． 3．（22-23九年级上·辽宁丹东·期末）如图，在正方形和正方形中，点和点的坐标分别为，，则两个正方形的位似中心的坐标是 . 【答案】或 【分析】根据位似变换中对应点的坐标的变化规律，分两种情况：一种是当点E和C是对应顶点，G和A是对应顶点；另一种是A和E是对应顶点，C和G是对应顶点. 【详解】∵正方形和正方形中，点和点的坐标分别为， ∴ （1）当点E和C是对应顶点，G和A是对应顶点，位似中心就是EC与AG的交点. 设AG所在的直线的解析式为 解得 ∴AG所在的直线的解析式为 当时，，所以EC与AG的交点为 （2）A和E是对应顶点，C和G是对应顶点.，则位似中心就是AE与CG的交点 设AE所在的直线的解析式为 解得 ∴AE所在的直线的解析式为 设CG所在的直线的解析式为 解得 ∴AG所在的直线的解析式为 联立解得 ∴AE与CG的交点为 综上所述，两个正方形的位似中心的坐标是或 故答案为或 【点睛】本题主要考查位似图形，涉及了待定系数法求函数解析，求位似中心，正确分情况讨论是解题的关键. 4．（22-23九年级上·辽宁沈阳·期末）如图，在边长为1的正方形网格中，两个三角形的顶点都在小正方形的顶点，且两个三角形是位似图形，点O和点P也在小正方形的顶点，则这两个三角形的位似中心是点 ．    【答案】P． 【分析】把图形的对应定点连线，都相交的那个点就是位似中心. 【详解】如图所示：这两个三角形的位似中心是点P． 故答案为：P．    【点睛】本题考查的是位似图形的位似中心，解题的关键是知道位似图形的对应点的连线相交的点就是位似中心. 5．（23-24九年级上·福建泉州·期末）如图，在方格图中，的顶点与线段的端点都在小正方形的顶点上，且与是关于点为位似中心的位似图形，点，的对应点分别为点，．按下列要求完成画图，并保留画图痕迹．    (1)请在方格图中画出位似中心； (2)请在方格图中将补画完整． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查了位似图形的性质，找位似中心． （1）连接对应点并延长，交点即为位似中心； （2）由（1）可知，，则连接并延长，使，再连接即可． 【详解】（1）解：如图所示：点O即为位似中心；    （2）解：补全如图所示：    6．（22-23九年级上·山东青岛·单元测试）如图所示，图中的小方格都是边长为1的正方形，△ABC与是以点O为位似中心的位似图形，它们的顶点都在小正方形的顶点上． （1）画出位似中心点O； （2）直接写出△ABC与的位似比； （3）以位似中心O为坐标原点，以格线所在直线为坐标轴建立平面直角坐标系 【答案】（1）见解析；（2）2:1；（3）见解析 【分析】（1）各对应点连线所在直线的交点即为位似中心； （2）任意一对对应边的比即为两三角形的位似比； （3）以位似中心为坐标原点，以格线所在直线为坐标轴建立平面直角坐标系即可． 【详解】（1）如图，各对应点连线所在直线的交点即为位似中心O； （2） △ABC与的位似比为； （3）如图，以位似中线为坐标原点，以格线所在直线为坐标轴建立平面直角坐标系． 【点睛】本题考查了位似图形位似比与位似中心的确定，注意位似比为所给两三角形对应边的比，位置不能颠倒，掌握位似图形的性质是解题的关键． 【变式训练3 位似图形相关概念辨析】 1．（2024·重庆·二模）如图，在正方形网格中，两个阴影部分的格点三角形位似，则位似中心为（    ） A．点N B．点 C．点 D．点 【答案】B 【分析】本题考查图形的位似、位似中心等知识，熟练掌握寻找位似中心的作图方法是解决问题的关键．根据题意，结合位似中心的定义及作法：成位似关系的两个图形的对应点的连线交于位似中心，数形结合，作出图形即可得到答案． 【详解】解：如图所示： 点为位似中心， 故选：B． 2．（23-24九年级下·安徽淮南·阶段练习）若两个图形位似，则下列叙述不正确的是（    ） A．每对对应点所在的直线相交于同一点 B．两个图形上的对应线段必平行 C．两个图形上的对应线段之比等于相似比 D．两个图形的面积之比等于相似比的平方 【答案】B 【分析】本题考查了位似的相关知识，位似是相似的特殊形式．根据位似图形的性质，对各选项依次分析可得答案． 【详解】解：A、每对对应点所在的直线相交于同一点，故本选项不符合题意； B、两个图形上的对应线段可能平行，也可能共线，故本选项符合题意； C、根据相似的性质，两个位似的图形上的对应线段之比等于位似比，故本选项不符合题意； D、根据相似的性质，两个图形的面积比等于位似比的平方，故本选项不符合题意； 故选：B． 3．（2023·陕西西安·模拟预测）如图，点是四边形与的位似中心，则 ； ， ． 【答案】 【分析】位似是特殊的相似，因而对应边的比相等，对应角相等． 【详解】解：点O是四边形与的位似中心，则这两个图形相似，因而对应边的比相等，对应角相等， 因而，，， 故答案为：；；；；． 【点睛】本题主要考查了位似的定义，掌握定义是解决此题的关键． 4．（22-23九年级上·广东广州·期末）如图，四边形与四边形位似，位似中心为点O，，，，则 ． 【答案】5 【分析】根据题意求出，再根据位似图形的性质求解即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∵四边形与四边形位似，位似中心为点O， ∴， ∵，，， ∴， ∴， 故答案为：5． 【点睛】本题考查了位似图形的性质，灵活运用所学知识求解是解决本题的关键． 5．（23-24九年级上·四川成都·期中）如图，已知O是坐标原点，A，B的坐标分别为，． (1)画出绕点O顺时针旋转后得到的； (2)在y轴的左侧以O为位似中心作的位似三角形，使与的相似比为； (3)直接写出线段与线段的位置关系与数量关系． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)， 【分析】（1）根据旋转的性质作图即可，与关于点O成中心对称； （2）根据位似进行作图即可； （3）由中心对称、位似的性质，判断作答即可． 【详解】（1）解：如图1，即为所求；    （2）解：如图1，即为所求； （3）解：由中心对称、位似的性质可知，，． 【点睛】本题考查了作旋转图形，中心对称的性质，位似作图，位似的性质．正确作图是解题的关键． 6．（22-23九年级下·全国·单元测试）如图，在的网格中，每个小正方形的边长均为，点和的顶点均为小正方形的顶点．    (1)在图中的内部作，使和位似，且位似中心为点，位似比为； (2)连接（1）中的，则线段的长度是________． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）利用格点图的特点分别取的中点得到，然后顺次连接即可； （2）利用勾股定理求出的长，进而利用位似比求出，由此即可求出的长． 【详解】（1）解：如图所示，即为所求；    （2）解：如图所示，连接，由位似图形的性质可知三点共线， 由勾股定理得， ∵和位似，且位似中心为点，位似比为， ∴， ∴， ∴， 故答案为：．    【点睛】本题主要考查了画位似图形，位似图形的性质和勾股定理，熟练掌握位似图形的画法和性质是解题的关键． 【变式训练4 求两个位似图形的相似似比】 1．（2024·河北沧州·三模）如图，和是以点为位似中心的位似图形，如果和的面积比为，则应将放大为原图形的（    ）倍． A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】本题考查了中心位似图形的性质．熟练掌握中心位似图形的性质是解题的关键． 由和是以点为位似中心的位似图形，可知，则，可求，然后作答即可． 【详解】解：∵和是以点为位似中心的位似图形， ∴， ∴， 解得，， ∴应将放大为原图形的2倍， 故选：B． 2．（2024·重庆渝中·二模）如图，与关于点位似，位似比为，已知， 则的长等（　）    A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查位似的定义．解题的关键是掌握位似图形是相似图形的特殊形式，位似比等于相似比的特点．位似图形就是特殊的相似图形位似比等于相似比．利用相似三角形的性质即可求解． 【详解】解：与关于点位似，位似比为， ， ， ， 则． 故选：D． 3．（2024·四川成都·二模）如图，和是以点为位似中心的位似图形，若，若和的面积之比是 ． 【答案】 【分析】本题考查的是位似变换、相似三角形的性质．根据位似图形的概念得到， ，证明，根据相似三角形的性质求出，再根据相似三角形的面积比等于相似比的平方计算，得到答案． 【详解】解：， ， 和是以点为位似中心的位似图形， ，， ， ， 与的面积比为：， 故答案为：． 4．（2024·浙江杭州·一模）如图，放缩尺是利用图形的位似将图形放大或缩小的工具，点的位置固定不变，在，处装有笔，当画笔沿图运动时，画笔画出图形，图形就放大了，反之，图形就缩小了．位似比可以通过调节点，的位置来确定，调整时确保，，点，，在同一直线上，若，图形的面积为1.5，则图形的面积为 ．    【答案】 【分析】本题考查位似变换，平行线的性质等知识．利用位似变换的性质求解． 【详解】解：如图，因为，，在同一直线上，连接．    ∵， ， ， 图形的面积：图形的面积， 图形的面积为1.5， 图形的面积， 故答案为：． 5．（23-24九年级上·河南商丘·期末）如图．在平面直角坐标系中，的顶点均在正方形网络的格点上，已知点C的坐标为． (1)以点O为位似中心，在给出的网格内作使与位似，并且点的坐标为； (2)与的相似比是______． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查位似图形的作法及性质： （1）利用点C和的坐标特征得到位似比，进而得到、的坐标，然后描点连线即可； （2）根据位似比等于相似比即可求解． 【详解】（1）解：点C的坐标为，点的坐标为， ，， 与位似，点O为位似中心， 与的位似比为：， 连接至，使，连接至，使，得到、， 如下图所示； （2）解：由（1）知与的位似比为：， 与的相似比是， 故答案为：． 6．（23-24九年级上·河南南阳·期中）如图，图中小方格都是边长为1的正方形，与是关于点O为位似中心的位似图形，它们的顶点都在小正方形顶点上． (1)画出位似中心点O； (2)与的位似比为______； (3)以点O为位似中心，再画一个使它与的位似比等于． 【答案】(1)见解析 (2) (3)见解析 【分析】本题考查了作图--位似变换，画位似图形的一般步骤为：①确定位似中心，②分别连接并延长位似中心和能代表原图的关键点；③根据相似比，确定能代表所作的位似图形的关键点；顺次连接上述各点，得到放大或缩小的图形． （1）连接对应点，交点即为位似中心； （2）求出对应线段长的比即为位似比； （3）对应线段长为作图即可． 【详解】（1）解：如图，连接，并延长交于点O，点O为所求； （2）解：与的位似比为． 故答案为． （3）解：由题意得：， ， ， 同理，找到， 如图所示：为所求． 【变式训练5 画已和图形放大或缩小n倍后的位似图形】 1．（23-24九年级上·河北石家庄·期中）如图，在由小正方形组成的网格中，以点O为位似中心，把缩小到原来的倍，则点A的对应点为（    ） A．点D B．点E C．点F D．点G 【答案】A 【分析】本题考查了作图—位似变换，解题的关键是根据位似中心和位似比确定对应点的位置．连接并延长到使得，则点是点A的对应点，据此可得答案． 【详解】解：如图所示，连接并延长到使得，则点是点A的对应点，即点A的对应点为D点， 故选A． 2．（23-24九年级上·四川成都·阶段练习）以点为位似中心，把放大为原来的2倍得到，下列说法错误的是（    ） A． B． C． D．点、、三点共线 【答案】C 【分析】本题考查了位似，正确理解位似，确定对应关系是解题的关键． 【详解】A. ，正确，不符合题意；     B. ，正确，不符合题意； C. ，错误，符合题意；     D. 点、、三点共线，正确，不符合题意； 故选：C． 3．（22-23九年级下·山东烟台·期末）已知ABC，以点A为位似中心，作出ADE，使ADE是ABC放大2倍的图形，这样的图形可以作出 个．他们之间的关系是 . 【答案】 2 全等 【分析】在三角形中，以其一顶点为位似中心所作出的两个位似图形，必是关于点A成中心对称且全等． 【详解】解：以点A为位似中心，作出△ADE，使△ADE是△ABC放大2倍的图形， 可作出两个位似图形， 由于其是关于同一个点的位似图形，所以其位似图形为关于点A成中心对称，而且全等． 故答案为：2；全等． 【点睛】本题主要考查了位似图形的性质问题，能够熟练掌握． 4．（2023·山东青岛·一模）如图，已知线段AB两个端点的坐标分别为A(4，6)，B(8，4)，以原点O为位似中心，在第一象限内将线段AB缩小为原来的一半后得到线段CD，则端点D坐标为 ． 【答案】(4，2) 【分析】根据位似变换的性质解答即可． 【详解】∵以原点O为位似中心，在第一象限内将线段AB缩小为原来的一半后得到线段CD，B（8，4），∴端点D坐标为（8，4），即（4，2）． 故答案为：（4，2）． 【点睛】本题考查了位似变换的性质，在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或﹣k． 5．（23-24九年级上·陕西榆林·期末）如图，已知，以点O为位似中心画一个，使它和位似，且位似比为2． 【答案】作图见解析 【分析】本题主要考查了利用位似作图，可以根据位似的定义，结合图形的做法即可解答 【详解】解：连接延长到D，使，连接延长到E，使，连接延长到F，使，如图所示： 6．（23-24九年级上·陕西延安·期末）如图，四边形的顶点坐标分别为，，，．以原点为位似中心，将四边形缩小为原来的，得到四边形，点的对应点分别是点，且点在第四象限． (1)在平面直角坐标系中画出四边形； (2)写出点的坐标． 【答案】(1)见详解 (2)， 【分析】本题考查了位似变换，位似变换：在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或． （1）利用关于以原点为位似中心的对应点的坐标特征，结合点在第四象限，把点的横纵坐标都除以，再根据即可确定点，，，，的坐标，然后描点连线即可； （2）由（1）得到点，的坐标． 【详解】（1）解：如图，四边形为所作；    （2）解：结合（1）中的图形可知：，． 【变式训练6 求位似图形的对应坐标】 1．（2024·黑龙江绥化·中考真题）如图，矩形各顶点的坐标分别为，，，，以原点为位似中心，将这个矩形按相似比缩小，则顶点在第一象限对应点的坐标是（    ）      A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了位似图形的性质，根据题意横纵的坐标乘以，即可求解． 【详解】解：依题意，，以原点为位似中心，将这个矩形按相似比缩小，则顶点在第一象限对应点的坐标是 故选：D． 2．（2024·浙江·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，与是位似图形，位似中心为点．若点的对应点为，则点的对应点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了位似变换，根据点的坐标可得到位似比，再根据位似比即可求解，掌握位似变换的性质是解题的关键． 【详解】解：∵与是位似图形，点的对应点为， ∴与的位似比为， ∴点的对应点的坐标为，即， 故选：． 3．（2024·山东滨州·三模）在平面直角坐标系中，顶点的坐标为．若以原点为位似中心，画的位似图形，使与的位似比等于，则点的坐标为 ． 【答案】或 【分析】本题考查位似变换，熟知位似变换的性质：如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或．据此求解即可． 【详解】解：由题意，若以原点为位似中心，且点的坐标为． 在中，∵相似比是， ∴点的坐标为或， 故答案为：或 4．（2024·山东滨州·一模）如图，在平面直角坐标系中，已知点，，以原点为位似中心，相似比为2，把放大，则点的对应点的坐标是 ． 【答案】或 【分析】本题考查的是位似变换，在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或． 根据位似变换的性质计算，得到答案． 【详解】解：∵以原点O为位似中心，相似比为2，把放大，， ∴点A的对应点的坐标是或，即或， 故答案为：或． 5．（22-23九年级上·安徽亳州·期末）如图，已知O是坐标原点，两点的坐标分别为． (1)以点O为位似中心，在y轴的左侧将放大2倍得到； (2)分别写出两点的对应点的坐标． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查位似变换，解题的关键是理解位似图形的性质得出位似图形对应点的位置． （1）直接利用位似图形的性质得出对应点位置进而即可画图； （2）利用题（1）所画出的图形得出对应点的坐标． 【详解】（1）解：如图所示：即为所求； （2）解：∵两点的坐标分别为，和的位似比为． ∴． 6．（23-24九年级上·福建泉州·期中）如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别为． (1)请以原点为位似中心，画出，使它与的相似比为1∶2，变换后点的对应点分别为点，点在第一象限； (2)若为线段上的任一点，则变换后点的对应点的坐标为 ． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】此题主要考查了位似变换，正确得出对应点位置是解题关键． （1）直接利用位似图形的性质得出对应点位置进而得出答案； （2）利用位似图形的性质得出对应点坐标即可． 【详解】（1）解：如图所示：△即为所求； ； （2）解：若为线段上的任一点，则变换后点的对应点的坐标为：． 故答案为：． 【变式训练7 在坐标系中求两个位似图形的相似比、周长比或面积比】 1．（2024·吉林长春·一模）如图，六边形和六边形是以点．O为位似中心的位似图形，．若六边形的周长为，则六边形的周长为 ． 【答案】21 【分析】本题考查了位似图形的性质，根据位似的六边形周长的比等于边长比进行求解即可． 【详解】解：由位似图形的性质，可得， 六边形的周长：六边形的周长， 六边形的周长为， 则 六边形的周长为， 故答案为：21． 2．（23-24九年级上·河南许昌·期末）如图，在平面直角坐标系中，与位似，原点为位似中心，点A，B的坐标分别为．当点的纵坐标是时，与的面积比是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查的是坐标系中位似变换的性质，根据位似变换的性质解答即可． 【详解】解：点B的坐标分别为．点的纵坐标是， 与位似比为， 与的面积比是， 故选：C 3．（2024·山西晋城·一模）在平面直角坐标系中，与关于原点位似，点及其对应点的坐标分别为，，则与的相似比为 ． 【答案】/ 【分析】此题主要考查了位似变换，根据题意得出位似比是解题关键．利用位似图形的性质，结合对应点的坐标得出位似比，即可得出答案． 【详解】解：∵与关于原点位似，点及其对应点的坐标分别为，， ∴与的相似比为． 故答案为：． 4．（2024·辽宁大连·模拟预测）如图，原点是和的位似中心，点与点是对应点，的面积是，则的面积是 ． 【答案】 【分析】 本题考查位似图形和相似三角形的性质，根据点A到点O的距离和点到点O的距离，得到这两个位似三角形的相似比，根据面积比是相似比的平方，求出的面积． 【详解】 解：∵点与点是对应点，原点是位似中心， ∴和的位似比是， ∴和的面积的比是， 又∵的面积是， ∴的面积是． 故答案为：． 5．（23-24九年级上·湖南郴州·期末）如图，在平面直角坐标系中，三个顶点分别为． (1)以坐标原点O为位似中心，位似比为，将作位似变换后得到，请在平面直角坐标系中画出． (2)设与，面积分别为和，试求的值． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】此题主要考查了位似变换， （1）直接利用位似比得出对应点位置，进而得出答案； （2）利用位似图形的性质得出面积比即可． 【详解】（1）如图所示： 即为所求； （2）与是位似图形，位似比为， 6．（23-24九年级上·湖南怀化·期中）如图，平面直角坐标系中，的顶点都在正方形网格的格点上． (1)以O点为位似中心，位似比的绝对值为2，将放大为，请在网格图中画出（只画出其中一种）； (2)若，的面积分别为S、，写出S、的数量关系． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】问题考查了位似图形的作图和性质． （1）连接并延长，使，在依次连接即可； （2）根据题意得出和相似比为，再根据相似三角形面积比等于相似比的平方，即可解答． 【详解】（1）解：如图所示：即为所求；（另一种同样给分） （2）解：∵，位似比的绝对值为2，放大为， ∴和相似比为， ∴ 即：． 【变式训练8 在坐标系中画位似图形】 1．（2023·北京海淀·二模）如图，在正方形网格中，以点为位似中心，的位似图形可以是（    ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据位似的性质，连接并延长，观察交点即可求解． 【详解】解：如图所示，连接并延长，    ∴的位似图形是． 故选：C． 【点睛】本题考查了位似图形的性质，熟练掌握位似图形的性质是解题的关键． 2．（23-24九年级上·四川宜宾·期末）如图，在平面直角坐标系中，已知点，，以坐标原点O为位似中心作一条线段，使该线段与线段AB的相似比为，正确的画法是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题考查作图-位似变换，解题关键是画位似图形的一般步骤为：①确定位似中心，②分别连接并延长位似中心和能代表原图的关键点；③根据相似比，确定能代表所作的位似图形的关键点；顺次连接上述各点，得到放大或缩小的图形．根据题意分两种情况画出满足题意的线段，即可做出判断． 【详解】解：画出图形，如图所示： 故选D． 3．（22-23九年级上·北京西城·期末）如图，三个顶点的坐标分别为，，，以原点O为位似中心，画出一个三角形，使它与的相似比为．则画出的一个三角形为 °． 【答案】答案见详解. 【分析】根据位似三角形的定义，分别找到原三角形各个顶点的对应点，连接起来，即可. 【详解】∵三个顶点的坐标分别为，，， ∴以原点O为位似中心，使它与的相似比为的对应点坐标为：，，，如图所示： 【点睛】本题主要考查平面直角坐标系中，作已知三角形的位似三角形，理解位似三角形的定义，是解题的关键，注意：本题的位似三角形有2个，画出一个即可. 4．（22-23九年级下·全国·单元测试）已知：如图三个顶点的坐标分别为、、，正方形网格中，每个小正方形的边长是1个单位长度，以点C为位似中心，在网格中画出，使与位似，且与的位似比为2：1，此时点的坐标为 ．    【答案】 【分析】先画出图形，再根据图形可得的坐标． 【详解】解：如图，为所作；点的坐标为．    故答案为． 【点睛】本题考查的是位似变换的作图，坐标与图形，熟练的利用位似的性质进行作图是解本题的关键． 5．（23-24九年级下·浙江宁波·阶段练习）如图，在平面直角坐标系内，顶点坐标分别为，，． (1)画出关于原点O成中心对称的； (2)以A为位似中心，在网格中画出，使与位似且面积比为． 【答案】(1)作图见解析 (2)作图见解析 【分析】本题主要考查了中心对称作图和位似作图，解题的关键是作出对应点． （1）作出点A、B、C关于原点的对称点、、，然后顺次连接即可； （2）以A为位似中心，作出点B、C的位似点，然后顺次连接即可． 【详解】（1）解：如图，即为所求作的三角形． （2）解：如图，与即为所求作的三角形． 6．（2024·安徽阜阳·一模）如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别为． (1)将先向右平移6个单位长度，再向下平移5个单位长度得到，请画出； (2)以点B为位似中心，在所给的平面直角坐标系内，将放大为原来的2倍得到，请画出； (3)请直接写出（2）中点的坐标． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)点的坐标为． 【分析】本题考查作图—平移变换和作图—位似变换． （1）利用平移变换的性质分别作出、、的对应点，再顺次连接即可； （2）利用位似变换的性质分别作出A，B，C的对应点，再顺次连接即可； （3）根据点的位置写出点的坐标． 【详解】（1）解：如图，即为所求； ； （2）解：如图，即为所求， ； （3）解：由图得，点的坐标为． 【变式训练9 在坐标系中画位似中心】 1．（23-24九年级上·福建泉州·期末）如图，若与是位似图形，则位似中心的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了位似图形，熟练掌握位似图形的性质是解题关键．连接，并延长与延长线相交，交点坐标即为位似中心的坐标． 【详解】解：如图，连接，并延长与延长线相交，交点即为位似中心， 由图可知，位似中心的坐标为， 故选：B． 2．（22-23九年级上·山西临汾·期中）如图，在平面直角坐标系中，与是位似图形，则位似中心是（　　）    A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据“位似图形对应点的连线所在的直线的交点为位似中心”，再延长交直线于点P，从而可得答案． 【详解】解：如图，延长交直线于点P， 则点P是位似中心， 故选：D．    【点睛】本题考查的是确定位似图形的位似中心，熟记位似图形对应点的连线所在的直线的交点为位似中心是解题的关键． 3．（2024·辽宁盘锦·模拟预测）如图，在直角坐标系中，与是位似图形，点O是坐标原点，点A，B，C，D，E坐标分别为、、、、，则位似中心的坐标为 ． 【答案】 【分析】本题考查的是位似变换的概念，坐标与图形的性质，掌握相关性质是解决问题的关键 根据位似变换的相似比为，可求得位似中心的坐标为． 【详解】如图所示：位似中心在三条连线的交点位置， ∵点，点，位似变换的相似比为， ∴位似中心的坐标为． 故答案为：． 4．（23-24九年级上·湖南长沙·阶段练习）如图，在直角坐标系中，与是位似图形，则它们位似中心的坐标是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了确定位似中心的位置，位似图形对应点的连线所在的直线交于一点，该点即为即为位似中心，据此求解即可． 【详解】解：如图所示，分别连接，所在的直线相交于点， ∴它们位似中心的坐标是， 故答案为：． 5．（22-23九年级上·陕西西安·期末）在平面直角坐标系中的位置如图所示，已知点，，．与是以点为位似中心的位似图形． (1)请画出点的位置，并写出点的坐标是______； (2)以点为位似中心，在轴左侧画出的位似图形，使相似比为． 【答案】(1)图见解析，； (2)见解析 【分析】（1）直接利用位似图形的性质得出位似中心的位置； （2）直接利用位似图形的性质得出对应点，再连接即可． 【详解】（1）解：点的位置如图所示： 点； 故答案为：； （2）解：如图所示：即为所求． 【点睛】此题主要考查了位似变换，正确掌握位似图形的性质是解题关键． 6．（22-23九年级上·贵州铜仁·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，与关于点成位似图形． (1)在图中标出点的位置，并写出点的坐标； (2)以坐标原点为位似中心，在轴左侧画出的位似图形，且使与的相似比为． 【答案】(1)作图见解析；点的坐标为 (2)作图见解析 【分析】（1）连接交于一点，从而得到在平面直角坐标系中，与关于点成位似图形； （2）连接三个顶点与位似中心原点，取线段中点，连接三条线段中点即可得到所求的位似图形，使与的相似比为． 【详解】（1）解：作图如下： 点的坐标为； （2）作图如下： 即为所作． 【点睛】本题考查位似定义及性质，涉及找位似中心、作位似图形，熟练掌握位似的定义及性质是解决问题的关键． 1．（22-23九年级上·全国·单元测试）如图，下面三组图形中，位似图形有（　　） A．0组 B．1组 C．2组 D．3组 【答案】C 【分析】根据位似图形的性质逐一进行判断即可得到答案． 【详解】解：三组图形都是相似图形，第一组和第三组图形的对应点连线所在的直线经过同一点，第二组图形的对应点连线所在的直线不经过同一点， 第一组和第三组图形是位似图形，第二组不是位似图形， 故选：C． 【点睛】本题考查了位似图形，熟练掌握位似图形必须同时满足两个条件：①两个图形是相似图形；②两个相似图形每组对应点连线所在的直线都经过同一个点，二者缺一不可． 2．（2023·重庆渝北·一模）如图，四边形与四边形是以点为位似中心的位似图形，已知，若四边形的面积是2，则四边形的面积是（    ） A． B．5 C． D． 【答案】D 【分析】 本题考查位似图形的性质．根据位似图形的面积比等于相似比的平方即可． 【详解】四边形与四边形是以点为位似中心的位似图形，且 四边形的面积∶四边形的面积 ∶四边形的面积 四边形的面积． 故选：D． 3．（23-24九年级上·湖南永州·期中）如图，六边形与六边形是位似图形，O为位似中心，，则为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查位似图形的性质，根据对应边之比等于位似比直接求解即可得到答案． 【详解】解：∵六边形与六边形是位似图形，， ∴， 故选：D． 4．（22-23九年级下·云南昭通·期中）如图，在直角坐标系中，与是位似图形，已知点，则位似中心的坐标是（  ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据位似图形的对应顶点的连线交于一点并结合网格图中的格点特征确定位似中心． 【详解】连接，并延长，交于点，点即为位似中心，如图，    ∴点坐标为， 故答案为：． 【点睛】此题考查了位似变换的概念、坐标与图形性质，掌握如果两个图形不仅是相似图形，而且对应顶点的连线相交于一点，对应边互相平行，那么这样的两个图形叫做位似图形，这个点叫做位似中心是解题的关键． 5．（22-23九年级上·山西朔州·期末）如图，在平面直角坐标系中，与是位似图形，则位似中心是（    ）． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】找位似图形的位似中心直接连接位似图形的对应点并延长，延长线的交点即所找位似中心，写出坐标即可． 【详解】作图如下： 延长线的交点为(7,0)，位似中心即为(7,0)． 故选：B． 【点睛】本题考查了找位似图形的位似中心，理解位似中心的定义做出图像是做出本题的关键． 6．（22-23九年级下·河南周口·单元测试）如图，F是AD延长线上一点，连接BF交DC于点E，则图中的位似三角形共有 对． 【答案】3 【详解】考点：位似变换；平行四边形的性质． 分析：若两个几何图形F与F′相似，而且对应点连线交于同一点O，则称F与F’关于点O位似，O叫做位似中心．把一个几何图形变换成与之位似的图形，叫做位似变换．位似的三角形是△FDE与△FAB，△FDE与△BCE． 解答：解：位似的三角形是△FDE与△FAB，△FDE与△BCE，△ECB与△BAF 所以位似三角形共有3对． 点评：本题主要考查了位似图形的定义，正确掌握定义是解题的关键． 7．（22-23九年级上·山东青岛·课后作业）如图，正方形OEFG和正方形ABCD是位似图形，点F的坐标为(1，1)，点C的坐标为(4，2)，则这两个正方形位似中心的坐标是 【答案】(−2,0)或 【分析】根据已知可知需分当位似中心在两个正方形同旁和位似中心在两个正方形之间进行讨论； 【详解】两个图形位似时，位似中心就是CF与x轴的交点， 设直线CF解析式为y=kx+b,将C(4,2),F(1,1)代入，得 ,解得,即 令y=0得x=−2， ∴O′坐标是(−2,0). 当OC是对应点时，BG是对应点，则OC和NG的交点就是对称中心， 设OC的解析式是y=mx，则4m=3， 解得：,则OC的解析式是 设BG的解析式是y=nx+d， 则 解得： 则直线BG的解析式是 则 解得： 则交点是 故答案为(−2,0)或 【点睛】考查位似变换，两个位似图形的主要特征是：每对位似对应点与位似中心共线，不经过位似中心的对应线段平行．则位似中心就是两对对应点的延长线的交点． 8．（2023·四川成都·模拟预测）如图，点是两个位似图形的位似中心，若，则与的周长之比等于 ． 【答案】： 【分析】本题考查的是位似变换的概念、相似三角形的性质，掌握相似三角形的面积比等于相似比的平方是解题的关键．根据位似图形的概念得到，根据相似三角形的周长比等于相似比计算得到答案． 【详解】解：， ， 与是位似图形， ， 与的周长之比等于， 故答案为：． 9．（23-24九年级上·山东济南·阶段练习）如图，与是位似图形，则与的位似比为 ． 【答案】 【分析】本题考查了位似图形的性质，根据与是位似图形，由可得两个图形的位似比．利用位似图形相似之比等于位似之比是解题关键． 【详解】解：连接，，则交点就是位似中心， ， 与△的位似比． 故答案为：． 10．（2023·江苏扬州·一模）如图，在平面直角坐标系中，阴影所示的两个正方形是位似图形，若两个正方形在位似中心的异侧，则位似中心的坐标为 ． 【答案】 【分析】连接各组对应点，它们在两个正方形之间相交于点，则点为位似中心，然后写出点坐标即可． 【详解】解：如图，点为位似中心，． 故答案为：． 【点睛】本题考查位似变换：位似的两个图形不仅是相似图形，而且对应顶点的连线相交于一点，对应边互相平行（或共线），掌握位似变换的性质是解题的关键． 11．（22-23九年级下·全国·课后作业）指出下列各图中的两个图形是否是位似图形如果是位似图形，请指出其位似中心．      【答案】题图1和3中的两个图形都是位似图形，位似中心分别是题图1中的点和题图3中的点；题图2中的两个图形不是位似图形． 【分析】根据位似图形的概念逐一判断即可． 【详解】题图1和3中的两个图形都是位似图形，位似中心分别是题图1中的点和题图3中的点；题图2中对应顶点的连线不交于一点，故题图2中的两个图形不是位似图形． 【点睛】本题考查了位似图形的概念，解题的关键是掌握基本的概念． 12．（22-232九年级·全国·假期作业）如图，△EFD和△CFB是以点F为位似中心的位似图形，EF：FC＝1：2，若S△EFD＝1，求四边形EBCD的面积． 【答案】9 【分析】利用位似的定义和相似的性质得△DEF∽△BCF，所以＝（）2＝，则S△BCF＝4，再利用高相同，面积比等于底边之比，可计算出S△DCF＝2，S△BEF＝2，然后把所有三角形的面积相加可得到四边形EBCD的面积． 【详解】解：∵△EFD和△CFB是以点F为位似中心的位似图形， ∴△DEF∽△BCF， ∴＝（）2＝， ∴S△BCF＝4S△DEF＝4×1＝4， ∵EF：FC＝1：2， ∴S△DCF＝2S△DEF＝2，S△BCF＝2S△BEF， ∴S△BEF＝2， ∴四边形EBCD的面积＝1+4+2+2＝9． 【点睛】本题考查了位似变换：如果两个图形不仅是相似图形，而且对应顶点的连线相交于一点，对应边互相平行，那么这样的两个图形叫做位似图形．也考查了三角形面积公式． 13．（23-24九年级上·福建泉州·期末）如图，在边长都是的小正方形组成的网格中，与是以点为位似中心的位似图形，它们的顶点都在小正方形的顶点处． (1)与的位似比是 ，请在图中标出位似中心的位置； (2)请以点为位似中心，并在点右侧的网格中画一个，使它与的相似比为． 【答案】(1)，图见解析 (2)见解析 【分析】本题考查作图﹣位似变换， （1）根据位似变换的性质判断，对应点连线的交点即为位似中心； （2）根据要求画出位似图形即可． 【详解】（1）解：与的位似比是，如图位似中心即为所求． 故答案为：； （2）如图，即为所求． 14．（22-23九年级上·陕西咸阳·期末）如图，在平面直角坐标系中，每个小正方形的边长均为，的顶点均在网格格点上，且． (1)以原点为位似中心，在第一象限画出，使得与位似，且相似比为； (2)在（1）的条件下，写出与的面积比． 【答案】(1)见解析 (2)与的面积比为 【分析】（1）利用关于以原点为位似中心的对应点的坐标特征，将的坐标都乘以得到的坐标，然后连线即可求解； （2）根据相似比的等于位似比，面积比等于相似比的平方即可求解． 【详解】（1）解：如图所示． （2）解：与的面积比为． 【点睛】本题考查了画位似图形，位似的性质，掌握位似图形的性质是解题的关键． 15．（23-24九年级上·河北张家口·阶段练习）在的正方形网格中，每个小正方形的边长都为1，点均在格点上．请按要求在网格中画图，所画图形的顶点均需在格点上． (1)在下图中画出．使得与关于点位似，相似比为2； (2)在下图中画出，使得，且． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题主要考查了作图-相似变换，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键． （1）根据位似图形的性质即可画出； （2）根据相似三角形的判定与性质画出，满足，使，即可． 【详解】（1）解：如图所示， ； （2）解：如图所示， ． 学科网（北京）股份有限公司 $$