第08讲 相似三角形的判定与性质（4大知识点+11大典例+变式训练+随堂检测）-（暑期衔接课堂）2024年暑假八升九数学衔接讲义（北师大版）

第08讲 相似三角形的判定与性质（4大知识点+11大典例+变式训练+随堂检测） 题型一 证明两三角形相似 题型二 选择或补充条件使两个三角形相似 题型三 相似三角形判定定理的证明 题型四 重心的有关性质 题型五 相似三角形的判定与性质综台 题型六 利用相似三角形的性质求解 题型七 证明三角形的对应线段成比例 题型八 在网格中画与已知三角形相似的三角形 题型九 相似三角形--动点问题 题型十 相似三角形应用举例 题型十一 相似三角形的综合问题 知识点01：相似三角形 在和中，如果我们就说与相似，记作∽.k就是它们的相似比，“∽”读作“相似于”. 要点： (1)书写两个三角形相似时，要注意对应点的位置要一致，即∽，则说明点A的对应点是A′，点B的对应点是B′，点C的对应点是C′； (2)对于相似比，要注意顺序和对应的问题，如果两个三角形相似，那么第一个三角形的一边和第二个三角形的对应边的比叫做第一个三角形和第二个三角形的相似比.当相似比为1时，两个三角形全等. 知识点02：相似三角形的判定定理 1．判定定理（一）：如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似. 2．判定定理（二）：如果两个三角形的两组对应边的比相等，并且相应的夹角相等，那么这两个三角形相似. 要点：此方法要求用三角形的两边及其夹角来判定两个三角形相似，应用时必须注意这个角必需是两边的夹角，否则，判断的结果可能是错误的. 3．判定定理（三）：如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似.（简述为：三边对应成比例，两个三角形相似） 要点：要判定两个三角形是否相似，只需找到这两个三角形的两个对应角相等即可，对于直角三角形而言，若有一个锐角对应相等，那么这两个三角形相似. 4.直角三角形相似的判定定理：如果一个直角三角形的斜边及一条直角边与另一个直角三角形的斜边及一条直角边对应成比例，那么这两个直角三角形相似。（简述为：斜边和直角边对应成比例，两个直角三角形相似） 知识点03：相似三角形的性质 1．相似三角形的对应角相等，对应边的比相等. 2. 相似三角形中的重要线段的比等于相似比. 相似三角形对应高，对应中线，对应角平分线的比都等于相似比. 要点：要特别注意“对应”两个字，在应用时，要注意找准对应线段. 3. 相似三角形周长的比等于相似比. ∽，则 由比例性质可得： 4. 相似三角形面积的比等于相似比的平方. ∽，则分别作出与的高和，则 要点：相似三角形的性质是通过比例线段的性质推证出来的. 知识点04：相似三角形的应用 1.测量高度 测量不能到达顶部的物体的高度，通常使用“在同一时刻物高与影长的比例相等”的原理解决. 要点：测量旗杆的高度的几种方法： 平面镜测量法 影子测量法 手臂测量法 标杆测量法 2.测量距离 测量不能直接到达的两点间的距离，常构造如下两种相似三角形求解。 　1．如甲图所示，通常可先测量图中的线段DC、BD、CE的距离（长度），根据相似三角形的性质，求出AB的长. 2．如乙图所示，可先测AC、DC及DE的长，再根据相似三角形的性质计算AB的长. 　　 要点：　 1．比例尺：表示图上距离比实地距离缩小的程度，比例尺= 图上距离/ 实际距离; 　　2．太阳离我们非常遥远，因此可以把太阳光近似看成平行光线．在同一时刻，两物体影子之比等于其对应高的比; 　　3．视点：观察事物的着眼点（一般指观察者眼睛的位置）; 4. 仰（俯）角：观察者向上（下）看时，视线与水平方向的夹角． 【典型例题一 证明两三角形相似】 1．（22-23九年级上·全国·单元测试）已知的三边长分别是，，，的三边长如以下四个选项所列，若要使，则的三边长分别是（    ） A．，， B．，， C．，， D．，， 2．（23-24九年级上·黑龙江哈尔滨·开学考试）如图，每个小正方形的边长均为1，则下列图形中的三角形（阴影部分）与相似的是（    ） A． B． C． D． 3．（22-23九年级上·广东梅州·阶段练习）在 和 中，如果 ，， ，，那么这两个三角形是否相似？答： ，理由是 ． 4．（22-23九年级下·全国·单元测试）如图，D是的边上一点，若，要使，只需添加条件________（只添一个即可）． 5．（22-23九年级上·陕西咸阳·阶段练习）已知：如图，在中，D、E分别在边上，连接，，，，，求证：． 6．（23-24九年级上·江西抚州·阶段练习）如图，，点B是线段上的一点，且，求证：． 【典型例题二 选择或补充条件使两个三角形相似】 1．（23-24九年级上·湖南湘潭·期末）如图，点、分别在、上，且与不平行，添加一个条件，可得，不正确的是（    ） A． B． C． D． 2．（23-24九年级上·湖南衡阳·期末）如图，在四边形中，已知，那么补充下列条件后不能判定和相似的是（   ） A．平分 B． C． D． 3．（2024·云南玉溪·二模）如图，与相交于点，连接，，添加一个条件，使．你添加的条件是 ． 4．（2023·宁夏银川·二模）如图，，是边上的两个点，要使，添加一个条件是 （只写一个）． 5．（23-24九年级上·河南安阳·期末）如图，在中，，点D在边上（点D不与A，C重合）．若再增加一个条件能使，则这个条件是______；结合你所添加的条件，证明． 6．（2024·陕西渭南·一模）如图，在和中，已知，请你添加一个条件：___________，使，并说明理由．    【典型例题三 相似三角形判定定理的证明】 1．（2023·河北保定·一模）在下列各图中，不添加任何辅助线，若每个图所给出的两个三角形都是相似的，则位似图形的个数是（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 2．（22-23九年级上·江苏泰州·期末）如图所示，下列条件中能单独判断△ABC∽△ACD的个数是（    ）个． ①∠ABC＝∠ACD；②∠ADC＝∠ACB；③＝；④AC2＝AD•AB A．1 B．2 C．3 D．4 3．（22-23九年级上·陕西汉中·期末）如图，∥，∥，与交于点G，则图中相似三角形共有 对． 4．（22-23九年级上·全国·课后作业）如图，当∠AED＝ 时，以A，D，E为顶点的三角形与相似． 5．（22-23九年级下·全国·课后作业）如果的两条直角边分别为3和4，那么以和（k是正整数）为直角边的直角三角形一定与相似吗？为什么？ 6．（22-23九年级上·福建泉州·期中）在△ABC和△A′B′C′中，已知：AB＝6cm，BC＝8cm，AC＝10cm，A′B′＝18cm，B′C′＝24cm，A′C′＝30cm．试证明△ABC与△A′B′C′相似． 【典型例题四 重心的有关性质】 1．（22-23九年级上·上海嘉定·期中）如果点是的重心，是边的中点，那么的值为（　　） A．2 B． C． D． 2．（22-23八年级上·福建厦门·期末）如图，是的重心，则下列结论正确的是（    ）    A． B． C． D．且 3．（22-23八年级上·河南周口·期中）取一块质地均匀的三角形木板，顶住某一点木板会保持平衡，这个平衡点是这块三角形木板的 ． 4．（2023·江苏盐城·一模）如图，在中，D是的中点，点G是的重心．，则 ．     5．（2023·江西抚州·二模）如图均是由边长为1的小正方形组成的3×3网格，△ABC的顶点均在格点上．利用网格和无刻度的直尺作图，保留痕迹，不写作法． (1)在图①中，作出△ABC的重心O． (2)在图②中，在△ABC的边AC上找一点P，连接BP，使△ABP的面积为△ABC面积的． 6．（23-24九年级上·浙江宁波·期末）如图，在的正方形网格中，每个小正方形的顶点叫做格点，的三个顶点均在格点上， 仅用无刻度的直尺在给定网格中画图（保留作图痕迹）． (1)在图1中画，使得与的相似比为． (2)在图2中画出的重心O． 【典型例题五 相似三角形的判定与性质综台】 1．（2024·云南昭通·一模）如图，在中，、分别为，上的点，连接，若，则（    ）    A． B． C． D． 2．（2024·云南红河·二模）如图，在边长为1的小正方形网格中，，相交于点O，点A，B，C，D都在这些小正方形网格的格点上，为的周长，为的周长，则的值为（    ） A． B． C． D． 3．（23-24九年级上·云南文山·期末）在中，点、分别在边、上，且，若，则 ． 4．（23-24九年级上·山东济南·期中）如图①是用杠杆撬石头的示意图，当用力压杠杆时，杠杆绕着支点转动，另一端会向上撬起，石头就被撬动了．在图②中，杠杆的D端被向上撬起的距离，动力臂与阻力臂满足（与相交于点O），要把这块石头撬起，至少要将杠杆的C点向下压 ． 5．（23-24八年级下·福建福州·期末）如图，在中，点是上一点，且，，，求证：． 6．（23-24八年级下·福建福州·期末）如图，在中，，，．    (1)求证：； (2)若，，，求的面积． 【典型例题六 利用相似三角形的性质求解】 1．（2024·重庆·中考真题）若两个相似三角形的相似比为，则这两个三角形面积的比是（　　） A． B． C． D． 2．（23-24九年级下·重庆开州·阶段练习）若两个相似三角形周长的比为，则这两个三角形对应边的比是（   ） A． B． C． D． 3．（2024九年级下·江苏·专题练习）两个相似三角形的面积比为，则它们的周长之比为 ． 4．（2024·湖南永州·一模）如图，平行于地面的三角形纸片上方有一灯泡(看作一个点O)，灯泡发出的光线照射后，在地面上形成阴影．已知灯泡距离地面3m，灯泡距离纸片1m，则阴影与纸片的面积比为 ． 5．（2024九年级下·全国·专题练习）如图，在中，，点P从B点出发沿方向以每秒1个单位移动，点Q从A出发沿方向以每秒2个单位移动，当它们到达A、C后停止运动．试问经过几秒后，与相似？请说明理由． 6．（2024九年级下·全国·专题练习）如图，已知，，，，．求，的长． 【典型例题七 证明三角形的对应线段成比例】 1．（22-23九年级上·河北邯郸·期中）顺次连接三角形三边的中点，所围成的三角形与原三角形的对应高的比是（    ）． A． B． C． D． 2．（22-23九年级上·浙江·期末）两个相似三角形的周长比为1：4，那么它们的对应边上的高的比为（    ） A．1：4 B．1：2 C．1：16 D．不同的对应边上的高的比不同 3．（23-24九年级上·海南儋州·期中）如图，，，那么与的相似比为 ．    4．（22-23九年级下·全国·课后作业）已知有两个三角形相似，一个边长分别为2、3、4，另一个三角形最长边长为12，则另外两边x、y的值为 . 5．（22-23九年级上·北京房山·期末）已知：如图，四边形ABCD是平行四边形，F是AB上一点，连接DF并延长交CB的延长线于E. 求证：AD：AF＝CE：AB 6．（22-23九年级上·江苏泰州·期末）证明相似三角形对应角平分线的比等于相似比．已知：如图，△ABC∽△A′B′C′，相似比为k， ．求证 ．（先填空，再证明）证明： 【典型例题八 在网格中画与已知三角形相似的三角形】 1．（22-23九年级上·北京顺义·期末）如图，在正方形网格上有5个三角形（三角形的顶点均在格点上）：①△ABC，②△ADE，③△AEF，④△AFH，⑤△AHG，在②至⑤中，与①相似的三角形是（    ） A．②④ B．②⑤ C．③④ D．④⑤ 2．（2023九年级·上海·专题练习）如图，在正方形网格上，若使△∽△，则点应在（    ） A．处 B．处 C．处 D．处 3．（22-23九年级上·全国·单元测试）如图，若点，，，，，，，，都是方格纸中的格点，为使，则点应是，，，四点中的 点．    4．（22-23九年级上·江苏泰州·期末）在正方形网格纸上，每个小格的顶点叫格点，以格点为顶点的三角形叫格点三角形．在4×4网格中（每个小正方形网格的边长为1）画格点三角形，它的三边比是1：：，这种三角形可以画若干个，其中面积的最大值等于 ． 5．（22-23九年级下·全国·单元测试）已知图的 方格中有一个格点三角形（三角形的顶点在格点上），请在图、图两个方格里各画出一个格点三角形与它相似且它们都不全等．（工具不限，不要求写画法和证明） 6．（22-23九年级上·北京房山·期中）如图是边长为1的正方形网格，的顶点均为格点，在该网格中画出（的顶点均在格点上），使． 【典型例题九 相似三角形--动点问题】 1．（22-23九年级上·安徽宿州·阶段练习）如图，在△ABC中，AC＝6，AB＝4，点D，A在直线BC同侧，且∠ACD＝∠ABC，CD＝2，点E是线段BC延长线上的动点．若△DCE和△ABC相似，则线段CE的长为（     ） A． B． C．或3 D．或4 2．（22-23九年级下·吉林长春·开学考试）如图，中，，，，，点是边上的一个动点，连接，当是直角三角形时，的值是（    ）    A．2或 B． C．3或 D．3 3．（22-23九年级上·湖南永州·期中）如图，在△ABC中，AB=4cm，BC=8cm，动点P从点A开始沿AB边运动，速度为1cm/s，动点Q从点B开始沿BC边运动，速度为2cm/s，如果P、Q两动点同时运动，那么经过 秒时，以B、Q、P为顶点的三角形与△ABC相似． 4．（22-23九年级·浙江·期中）如图，在中，，，动点从点出发到点止，动点从点出发到点止，点的运动速度为，点的运动速度为．若，两点同时出发，则当以点，，为顶点的三角形与相似时，运动时间为 ． 5．（22-23九年级上·甘肃金昌·期中）如图，在 中， ，，点 从点 开始沿 边向 点以 的速度移动，点 从点 开始沿 边向点 以的速度移动，如果 分别从 同时出发，问经过几秒钟， ． 6．（22-23九年级上·辽宁沈阳·期末）如图，，，，，，点在上移动，当以，，为顶点的三角形与相似时，求的长． 【典型例题十 相似三角形应用举例】 1．（23-24九年级上·贵州六盘水·期末）彭老师身高，在某一时刻测得她站在阳光下的影子长为，紧接着她把手臂竖直举起，测得影子长为，那么彭老师举起的手臂超出头顶的长度为（    ） A． B． C． D． 2．（23-24九年级上·山东济南·期末）如图，利用标杆测量楼高，点C，A，B在同一直线上，，，垂足分别为A，B.若测得影长米，米，影长米，则楼高为（    ） A．10米 B．12米 C．15米 D．20米 3．（2024·江西新余·模拟预测）如图①是装了液体的高脚杯示意图，用去一部分液体后如图②所示，此时液面 ． 4．（2024·湖南湘西·模拟预测）数学兴趣小组的同学们想测量一棵树的高度，他们用直角曲尺（即图中的）仰立放置，测得A，B，Q在同一水平线上，和均为直角，与相交于点D．测得，，，则树高 ． 5．（23-24九年级上·广东佛山·期中）某班同学们上体育课．在阳光下，甲、乙两名同学分别直立站在点C、D的位置，此时，乙影子的顶端恰好与甲影子的顶端重合（如图）．甲的身高为1.8m，乙的身高为1.5m，甲的影长为6m，求甲、乙两名同学之间的距离． 6．（22-23九年级上·安徽·期中）《孙子算经》是中国古代重要的数学著作，成书于约1500年前，其中有首歌谣：今有竿不知其长，量得影长一丈五尺，立一标杆，长一尺五寸，影长五寸，问竿长几何？意思是：如图，有一根竹竿不知道有多长，量得它在太阳下的影子长一丈五尺，同时立一根一尺五寸的小标杆，它的影子长五寸，问竹竿的长度为多少尺？（注：1丈尺，1尺寸）    【典型例题十一 相似三角形的综合问题】 1．（22-23九年级上·四川成都·阶段练习）如图，和是以点为位似中心的位似图形，若，则与的周长比是（    ） A．2：3 B．3：2 C．2：5 D．5：2 2．（2023·河南商丘·二模）在▱ABCD中，∠DBC＝45°，DE⊥BC于E，BF⊥CD于F，BF交DE于点H，交AD的延长线于点G，下面结论中：①BD＝BE；②∠A＝∠BHE；③CD2+BG2＝AG2；④BH×DG＝ED×GH．正确的结论是(   ) A．①②③ B．②③④ C．①②④ D．①②③④ 3．（22-23九年级上·上海闵行·期末）如图，在等腰△ABC中，AB=AC=4，BC=6点D在底边BC上，且∠DAC=∠ACD，将△ACD沿着AD所在直线翻折，使得点C落到点E处，联结BE，那么BE的长为 . 4．（22-23九年级·江苏苏州·期末）如图，在△ABC中点D，E分别在AB，AC上，DE∥BC，若S△ADE＝1，S四边形DBCE＝8，则AD：AB＝ ． 5．（22-23九年级下·全国·课后作业）已知，如图， 在△ABC中，DE∥BC，AD=5，BD=3，求S△ADE：S△BCED的值． 6．（22-23九年级上·北京房山·期中）如图，CD为一幢高3米的温室，其南面窗户的底框G距地面1米，CD在地面上留下的最大影长CF为2米，现欲在距C点7米的正南方的点A处建一幢高12米的楼房AB．（设A，C，F在同一水平线上） （1）作出楼房AB及它的最大影长AE； （2）楼房AB建成后，其是否影响温室CD的采光？试说明理由. 【变式训练1 证明两三角形相似】 1．（2023·上海静安·一模）如图，已知与，下列条件一定能推得它们相似的是（    ）    A． B． C． D． 2．（23-24九年级上·河北廊坊·阶段练习）小明想要得到与相似的三角形，于是他用剪刀沿着图中虚线将剪开，虚线与边平行，如图所示，则他判定剪下的三角形（阴影部分）与相似的依据是（    ） A．两边成比例且夹角相等的两个三角形相似 B．三边成比例的两个三角形相似 C．平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似 D．相似三角形的三个角分别相等 3．（23-24九年级上·甘肃张掖·期末）如图，已知，则图中相似三角形是 ．    4．（22-23九年级上·广东梅州·阶段练习）在和中，如果，那么这两个三角形是否相似？答： ，理由是 ． 5．（2024·湖北武汉·二模）如图，相交于点．求证∶ 6．（2024九年级下·全国·专题练习）如图，是的边上的一点，，，，求证：． 【变式训练2 选择或补充条件使两个三角形相似】 1．（23-24九年级上·陕西西安·阶段练习）如图，点D在的边AC上，添加一个条件，不能判断与相似的是（    ）    A． B． C． D． 2．（23-24九年级上·安徽阜阳·期中）如图，在中，D是上一点，下列给出的条件不能得出的是（    ）    A． B． C． D． 3．（2024·云南昆明·三模）如图，在四边形中，平分，且，．当 时，． 4．（23-24九年级下·云南昆明·阶段练习）如图，点D是边上一点，，连接．若添加一个条件使得与相似，你添加的条件是 ．（只填写一个你认为正确的答案） 5．（23-24九年级上·广东佛山·期末）已知：如图，、交于点，请添加一个条件________，使得，然后再加以证明． 6．（23-24九年级上·北京昌平·期末）如图，中，点D是边AB上一点，点E为外一点，，连接BE．从下列条件中：①；②．选择一个作为添加的条件，求证：． 【变式训练3 相似三角形判定定理的证明】 1．（22-23九年级上·山东青岛·课后作业）如图，已知为的角平分线，交于，如果，那么 A． B． C． D． 2．（22-23八年级下·河北秦皇岛·期末）如图，△ABC三边的长分别为3、4、5，点D、E、F分别是△ABC各边中点，则△DEF的周长和面积分别为        （   ） A．6，3 B．6，4 C．6， D．4，6 3．（22-23九年级下·全国·单元测试）如图，是上的一点，要使，需补充的一个条件是 ． 4．（22-23九年级上·四川乐山·期末）如图，在中，是斜边上的高，于点．除自身外，图中与相似的三角形的个数是 ． 5．（22-23九年级上·全国·单元测试）如图，点M为线段AB的中点，AE与BD交于点C，∠DME＝∠A＝∠B，且DM交AC于点F，ME交BC于点G.写出图中的所有相似三角形，并选择一对加以证明． 6．（22-23九年级上·全国·期末）如图，点是上的一点且，，求证：． 【变式训练4 重心的有关性质】 1．（2022·河北张家口·一模）如图，在4×4的正方形网格中，△ABC的顶点均在格点上，边AB,BC分别与网格线交于点D，E，连接AE，CD交于点F，则点F为△ABC的（    ） A．内心 B．外心 C．重心 D．中心 2．（2024·江苏盐城·一模）如图，在中，是边上的中线，是重心．如果，那么线段的长为（     ） A．1 B．2 C．3 D．6 3．（2024·江苏盐城·二模）如图，在中，、分别是，的中点，与相交于点，若，则 ． 4．（2023·河北邢台·二模）如图，中，点、分别为、的中点，连接，线段、相交于点，若，则 ．    5．（22-23九年级上·江苏泰州·阶段练习）三角形三条边上的中线交于一点，这个点叫三角形的重心．如图，点G是的重心，连接． （1）求证：； （2）若，求的长． 6．（22-23九年级下·陕西西安·开学考试）如图，已知AD是等边△ABC的中线，请用尺规作图法，在线段AD上求作一点P，使得△ABP的面积是△ABC面积的．（保留作图痕迹，不写作法） 【变式训练5 相似三角形的判定与性质综台】 1．（23-24八年级下·福建福州·期末）如图，在中，点分别是上的点，连接，，，若，则的长为（   ） A．4 B．5 C．6 D．2 2．（23-24九年级上·四川德阳·期末）如图，中，，，的面积是1，那么四边形的面积是（    ） A．6 B．8 C．9 D．10 3．（2024·上海·模拟预测）已知在梯形中，，交于，若，则的值为 4．（2024·北京海淀·二模）如图，在中，分别在边上，．若，，则的值为 ． 5．（2024·陕西咸阳·模拟预测）小华和小林想用标杆来测量如图1所示的古塔的高，如图2，小林在F处竖立了一根标杆，小华走到C处时，站立在C处恰好看到标杆顶端E和塔的顶端B在一条直线上，此时测得小华的眼睛到地面的距离米，米，米，米，点C、F、A在一条直线上，，，，根据以上测量数据，请你求出该塔的高AB． 6．（2024·广西南宁·三模）阅读与思考，完成后面的问题． 射影定理，又称“欧几里得定理”，是数学图形计算的重要定理．如图，在中，，是斜边上的高，则有如下结论： ①；②；③．下面是该定理的证明过程（部分）： ∵是斜边上的高，∴．∵，， ∴．∴（依据）．∴．即． (1)材料中的“依据”是指　　　　； (2)选择②或③其中一个结论加以证明； (3)应用：中，，，，点A在y轴上，求顶点A的坐标． 【变式训练6 利用相似三角形的性质求解】 1．（23-24九年级下·重庆开州·阶段练习）若两个相似三角形的面积比是，则这两个三角形对应边上的高之比是（    ） A． B． C． D． 2．（2024九年级下·全国·专题练习）如图，，和分别是和的高，若，，则与的面积的比为（　　） A． B． C． D． 3．（2024·江苏盐城·中考真题）两个相似多边形的相似比为，则它们的周长的比为 ． 4．（2024·广东深圳·模拟预测）大约在两千四五百年前，如图1墨子和他的学生做了世界上第1个小孔成倒像的实验，并在《墨经》中有这样的精彩记录：“景到，在午有端，与景长，说在端”，如图2所示的小孔成像实验中，若物距为，像距为，蜡烛火焰倒立的像的高度是，则蜡烛火焰的高度是 ． 5．（23-24九年级下·全国·课后作业）已知两相似三角形对应高的比为，且这两个三角形的周长差为，求它们的周长分别为多少． 6．（23-24九年级上·安徽亳州·阶段练习）如图，已知于点，于点，，，，为上点．若以A，，为顶点的三角形与以，，为顶点的三角形相似，求的长．    【变式训练7 证明三角形的对应线段成比例】 1．（23-24九年级上·四川眉山·期中）如图，则下列式子中不成立的是（    ）    A． B． C． D． 2．（22-23九年级上·广西百色·期末）如下图所示，在△ABC中，点D在线段AC上，且△ABC∽△ADB，则下列结论一定正确的是(  ) A． B． C． D． 3．（22-23九年级上·上海闵行·期末）两个相似三角形的面积之比是 ， 其中较大的三角形一边上的高是 5 厘米， 那 么另一个三角形对应边上的高为 厘米． 4．（22-23九年级上·全国·课后作业）如图，在△ABC中，AB＝9，AC＝6，D为AB边上一点，且△ABC∽△ACD，则AD＝ ． 5．（2023九年级·全国·专题练习）如图，中，，在上分别截取的延长线相交于点F，证明：． 6．（2023九年级·全国·专题练习）在中，D为上的一点，E为延长线上的一点，交于F．求证： 【变式训练8 在网格中画与已知三角形相似的三角形】 1．（23-24九年级上·河北张家口·阶段练习）如图，在由小正方形组成的方格纸中，和的顶点均在格点上，要使，则点所在的格点为（    ） A．点 B．点 C．点 D．点 2．（22-23九年级上·广东江门·期末）如图，在4×4的正方形网格中，小正方形的边长均为1，的顶点都在格点（网格线的交点）上，则在下列选项中与相似的是（    ）    A．   B．   C．   D．   3．（2023·江苏南通·中考真题）如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，△ABC和△DEF的顶点都在网格线的交点上．设△ABC的周长为C1，△DEF的周长为C2，则的值等于 ． 4．（2023·黑龙江绥化·三模）如图，△ABC的顶点在1×3的正方形网格的格点上，在图中画出一个与△ABC相似但不全等的△DEF（△DEF的顶点在格点上），则△DEF的三边长分别是 ． 5．（2024·河南洛阳·一模）图①、图②、图③均是4×4的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，线段的端点均在格点上，在图①、图②、图③给定的网格中按要求画图． (1)在图①中，在线段上画出点M，使； (2)在图②中，在线段上画出点N，使； (3)在图③中，在线段上画出点Q，使．（保留作图痕迹，要求：借助网格，只用无刻度的直尺，不要求写出画法．） 6．（23-24九年级上·江苏淮安·期中）已知图1和图2中的每个小正方形的边长都是1个单位，请在方格纸上按要求画格点三角形： (1)在图1中画，使得，且相似比为； (2)在图2中画，使得，且面积比为． 【变式训练9 相似三角形--动点问题】 1．（22-23九年级上·河北石家庄·期中）如图，在中，，，，是上一点，，点从出发沿方向，以的速度运动至点处，线段将分成两部分，可以使其中一部分与相似的点的个数为（    ） A．0个 B．2个 C．3个 D．4个 2．（22-23九年级上·陕西西安·期中）如图，在中，，，，D为BC的中点，若动点E以1cm/s的速度从A点出发沿AB向B点运动，设E点的运动时间为t秒，连接DE，当以B、D、E为顶点的三角形与相似时，t的值为（    ） A．1 B．4 C．7 D．4或7 3．（23-24九年级上·广西南宁·期中）如图， 在中，，， 动点P以的速度从A向B移动，（不与B重合）， 动点Q以的速度从B向C移动，（不与C重合），若P、 Q同时出发，经过 秒后，与相似．    4．（23-24九年级上·江西抚州·期中）如图，在中，厘米，厘米，点从点出发，沿着边向点以的速度运动，点从点出发，沿着边向点以的速度运动，其中一个动点到端点时，另一个动点也相应停止运动，那么，当以、、为顶点的三角形与相似时，运动时间为 秒． 5．（22-23九年级上·浙江杭州·期末）如图，在中，厘米，厘米，点从点出发，沿着边向点以厘米秒的速度运动，点从点出发，沿着边向点以厘米秒的速度运动如果与同时出发，那么经过几秒和相似？    6．（22-23八年级下·黑龙江大庆·阶段练习）如图，在中，，，点P从点A开始沿边向点B以的速度移动，点Q从点B开始沿边BC向点C以的速度移动，如果点P、Q分别从点A、B同时出发，当点Q运动到点C时，两点停止运动，多长时间后，与相似？    【变式训练10 相似三角形应用举例】 1．（2024·黑龙江哈尔滨·模拟预测）如图，小明利用标杆测量一棵大树的高度，如果标杆的高为2m，并测得，，那么树的高度是（    ） A．6m B．8m C．12m D．15m 2．（2024·河北邯郸·二模）如图是一把折叠椅子及其侧面的示意图，把一个简易刻度尺与地面垂直放置，其中与“0”刻度线重合，点落在“3”刻度线上，与“5”刻度线重合，若测得，则的长是（    ）    A． B． C． D． 3．（2024·江苏扬州·二模）《九章算术》中记载了一种测量井深的方法．如图所示，在井口处立一根垂直于井口的木杆，从木杆的顶端观察井水水岸，视线与井口的直径交于点，如果测得米，米，米，那么为 米． 4．（2024·吉林长春·二模）如图①，是生活中常见的人字梯，也称折梯，因其使用时，左右的梯杆及地面构成一个等腰三角形，因而把它形象的称为“人字梯”．如图②，是其工作示意图，拉杆米，则两梯杆跨度B、C之间距离为 米． 5．（2024·河南周口·三模）小明在学习了相似以后，尝试用平面镜的反射原理测学校小广场旗杆的高度，如图，是旗杆，是水平地面，M是平放地面的一面平面镜，是眼睛到地面的距离，调整和M的位置，通过镜面反射（法线地面，），当眼睛A正好在平面镜中看到旗杆顶端C时，测出，，． (1)求旗杆的高度（精确到） (2)为了减少误差，请提出一个合理化的建议． 6．（2024·陕西咸阳·模拟预测）如图，一条小河两岸分别有两棵树，记为树A和树B．小河的宽度未知，为了安全起见，数学兴趣小组成员不得通过涉水的方式测量树A与树B之间的距离，于是他们采取如下方式： ①在树B所在的河岸边选择一点C，观测对岸的树A，并记录下的距离为； ②在树B所在的河岸内侧，选择两点D，E，从点D观测树A，且A，D以及C三点共线，然后从点E观测树B与树A，并使E，B，A三点共线； ③调整D，E的位置，使，记录下的距离为； ④测量出之间的距离大约为． 数学兴趣小组的方案能否得出树A与树B之间的距离？请通过分析与计算说明． 【变式训练11 相似三角形的综合问题】 1．（22-23九年级下·四川成都·开学考试）如图，和位似，且相似比为．则与的面积比为（    ） A．2：3 B．4：9 C．1：4 D．4：3 2．（22-23九年级上·福建宁德·期末）如图，△ABC与△DEF位似，位似中心是点P，其位似比为1：2，则△ABC与△DEF的面积比是（　　） A．1：2 B．1：4 C．1： D．1：8 3．（2023·甘肃武威·一模）已知△ABC和△DEF是位似图形，且△ABC与△DEF的位似比是1：4，已知△ABC的周长是6，则△DEF的周长是 ． 4．（2023·辽宁阜新·中考真题）如图，△ABC与△A1B1C1为位似图形，点O是它们的位似中心，位似比是1：2，已知△ABC的面积为3，那么△A1B1C1的面积是 ． 5．（22-23九年级上·浙江·阶段练习）如图，在Rt△ABC中，AC=4，BC=3．在Rt△ABC内并排放入（不重叠）n个小正方形纸片，使这些纸片的一边都在AB上，首尾两个正方形各有一个顶点D、E分别在AC、BC上，求小正方形的边长（用n的代数式表示）． 6．（22-23九年级上·湖南永州·期中）如图，在中，点D是上一点，且，，．求证：． 1．（23-24九年级下·四川成都·阶段练习）如图，下列条件不能判定的是（　　） A． B． C． D． 2．（23-24九年级上·安徽合肥·期中）如图，，下列添加的条件不能使的是（    ）．    A． B． C． D． 3．（22-23九年级上·浙江杭州·期末）下列阴影三角形分别在小正方形组成的网格中，则与下图中的三角形相似的是（    ） A． B． C． D． 4．（22-23九年级上·河北秦皇岛·期中）如图，已知中，为边上一点，为边上一点，，， ，当的长度为 时， 和相似(   ) A．9 B．6 C．4或9 D．6或9 5．（22-23九年级上·四川成都·期中）如图，与是位似图形，相似比为1：3，已知，则AD的长为（    ） A．4 B．6 C．9 D．15 6．（22-23九年级上·广西桂林·期末）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB，DE⊥BC，垂足分别为点D，E，则图中与△ABC相似的三角形个数有 个． 7．（22-23九年级上·山西·阶段练习）如图：点是的斜边上不与、重合的一定点，过点作直线截，使截得的三角形与原相似，这样的直线共有 条． 8．（22-23九年级上·上海虹口·阶段练习）如图，点为的重心，连接，则 ．    9．（22-23九年级上·山东滨州·期末）如图，在中，，，点P从点A开始沿边向点B以的速度移动，点Q从点B开始沿边向点C以的速度移动．若点P、Q分别从点A、B同时出发，问经过 秒钟，与相似． 10．（2024·山东临沂·二模）据《墨经》记载，在两千多年前，我国学者墨子和他的学生做了“小孔成像”实验，阐释了光的直线传播原理．小孔成像的示意图如图所示，光线经过小孔，物体在幕布上形成倒立的实像（点，的对应点分别是，．若物体的高为，实像的高度为，则小孔的高度为 ． 11．（2023·山东临沂·模拟预测）如图，在中，，求的值．    12．（22-23九年级上·江苏无锡·阶段练习）如图，点D、E分别在AB、AC边上，且AD=5，BD=3，AE=4，CE=6. 试说明：（1）△ADE∽△ACB；（2）若BC=9，求DE的长. 13．（22-23九年级上·全国·课后作业）已知：Rt△OAB在直角坐标系中的位置如图所示，点B的坐标为（4，2），P为OB的中点，点C为折线OAB上的动点，线段PC把Rt△OAB分割成两部分，问：点C在什么位置时，分割得到的三角形与Rt△OAB相似？要求在图上画出所有符合要求的线段PC，并求出相应的点C的坐标．    14．（22-23九年级上·山东济南·阶段练习）如图，在Rt中，，，，点P从点A出发，以1cm/s的速度沿AB运动；同时，点Q从点B出发，以2cm/s的速度沿BC运动．当点Q到达点C时，P、Q两点同时停止运动．设点P、Q运动时间为．当与相似时，的值是多少？    15．（2024·陕西西安·模拟预测）西安鼓楼，位于古都西安市的中心，是全国重点文物保护单位，也是西安的标志性建筑．学校某实践小组根据课堂所学知识，想实地测量西安鼓楼的高度．如图，测量小组在点F处直立一个高的标杆，随后小组成员沿直线移动测量．成员小王从点F后退到达点G处，此时鼓楼顶端A、标杆顶端E、点G恰好在一条直线上；小王从点G继续后退到达点H处．这时，他在点H处的地面上水平放置一个平面镜．成员小李沿方向移动到点N处时，小李刚好在平面镜内看到鼓楼顶端A的像．此时测得，小李眼睛与地面的距离．已知点B、F、G、H、N在同一水平直线上，且均垂直于，求鼓楼的高度（平面镜的大小忽略不计） 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第08讲 相似三角形的判定与性质（4大知识点+11大典例+变式训练+随堂检测） 题型一 证明两三角形相似 题型二 选择或补充条件使两个三角形相似 题型三 相似三角形判定定理的证明 题型四 重心的有关性质 题型五 相似三角形的判定与性质综台 题型六 利用相似三角形的性质求解 题型七 证明三角形的对应线段成比例 题型八 在网格中画与已知三角形相似的三角形 题型九 相似三角形--动点问题 题型十 相似三角形应用举例 题型十一 相似三角形的综合问题 知识点01：相似三角形 在和中，如果我们就说与相似，记作∽.k就是它们的相似比，“∽”读作“相似于”. 要点： (1)书写两个三角形相似时，要注意对应点的位置要一致，即∽，则说明点A的对应点是A′，点B的对应点是B′，点C的对应点是C′； (2)对于相似比，要注意顺序和对应的问题，如果两个三角形相似，那么第一个三角形的一边和第二个三角形的对应边的比叫做第一个三角形和第二个三角形的相似比.当相似比为1时，两个三角形全等. 知识点02：相似三角形的判定定理 1．判定定理（一）：如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似. 2．判定定理（二）：如果两个三角形的两组对应边的比相等，并且相应的夹角相等，那么这两个三角形相似. 要点：此方法要求用三角形的两边及其夹角来判定两个三角形相似，应用时必须注意这个角必需是两边的夹角，否则，判断的结果可能是错误的. 3．判定定理（三）：如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似.（简述为：三边对应成比例，两个三角形相似） 要点：要判定两个三角形是否相似，只需找到这两个三角形的两个对应角相等即可，对于直角三角形而言，若有一个锐角对应相等，那么这两个三角形相似. 4.直角三角形相似的判定定理：如果一个直角三角形的斜边及一条直角边与另一个直角三角形的斜边及一条直角边对应成比例，那么这两个直角三角形相似。（简述为：斜边和直角边对应成比例，两个直角三角形相似） 知识点03：相似三角形的性质 1．相似三角形的对应角相等，对应边的比相等. 2. 相似三角形中的重要线段的比等于相似比. 相似三角形对应高，对应中线，对应角平分线的比都等于相似比. 要点：要特别注意“对应”两个字，在应用时，要注意找准对应线段. 3. 相似三角形周长的比等于相似比. ∽，则 由比例性质可得： 4. 相似三角形面积的比等于相似比的平方. ∽，则分别作出与的高和，则 要点：相似三角形的性质是通过比例线段的性质推证出来的. 知识点04：相似三角形的应用 1.测量高度 测量不能到达顶部的物体的高度，通常使用“在同一时刻物高与影长的比例相等”的原理解决. 要点：测量旗杆的高度的几种方法： 平面镜测量法 影子测量法 手臂测量法 标杆测量法 2.测量距离 测量不能直接到达的两点间的距离，常构造如下两种相似三角形求解。 　1．如甲图所示，通常可先测量图中的线段DC、BD、CE的距离（长度），根据相似三角形的性质，求出AB的长. 2．如乙图所示，可先测AC、DC及DE的长，再根据相似三角形的性质计算AB的长. 　　 要点：　 1．比例尺：表示图上距离比实地距离缩小的程度，比例尺= 图上距离/ 实际距离; 　　2．太阳离我们非常遥远，因此可以把太阳光近似看成平行光线．在同一时刻，两物体影子之比等于其对应高的比; 　　3．视点：观察事物的着眼点（一般指观察者眼睛的位置）; 4. 仰（俯）角：观察者向上（下）看时，视线与水平方向的夹角． 【典型例题一 证明两三角形相似】 1．（22-23九年级上·全国·单元测试）已知的三边长分别是，，，的三边长如以下四个选项所列，若要使，则的三边长分别是（    ） A．，， B．，， C．，， D．，， 【答案】B 【分析】根据三边对应成比例的三角形相似逐项进行判断即可． 【详解】解：A．∵， ∴的三边长不可能是，，，故A错误； B．∵， ∴的三边长可能是，，，故B正确； C．∵， ∴的三边长不可能是，，，故C错误； D．∵ ∴的三边长不可能是，，，故D错误． 故选：B． 【点睛】本题主要考查了三角形相似的判定，解题的关键是熟练掌握三边对应成比例的三角形相似． 2．（23-24九年级上·黑龙江哈尔滨·开学考试）如图，每个小正方形的边长均为1，则下列图形中的三角形（阴影部分）与相似的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查相似三角形的性质，解题的关键是学会利用数形结合的思想解决问题，属于中考常考题型．根据相似三角形的判定方法一一判断即可． 【详解】解：设各个小正方形的边长为1，则已知的三角形的各边分别为1，，， A、因为三边分别为：，，3，三边不能与已知三角形各边对应成比例，故两三角形不相似； B、因为三边分别为：2，，，三边与已知三角形的各边对应成比例，，故两三角形相似； C、因为三边分别为：1，，，三边不能与已知三角形各边对应成比例，故两三角形不相似； D、因为三边分另为：2，，，三边不能与已知三角形各边对应成比例，故两三角形不相似， 故选：B． 3．（22-23九年级上·广东梅州·阶段练习）在 和 中，如果 ，， ，，那么这两个三角形是否相似？答： ，理由是 ． 【答案】 两组角分别对应相等的两个三角形相似． 【分析】由已知条件易得， ，则根据有两组角对应相等的两个三角形相似可判断两三角形相似． 【详解】解：∵，， ，， ∴， ， ∴． 故答案为；两组角分别对应相等的两个三角形相似． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定，掌握“有两组角对应相等的两个三角形相似”是解本题的关键． 4．（22-23九年级下·全国·单元测试）如图，D是的边上一点，若，要使，只需添加条件________（只添一个即可）． 【答案】 【分析】因为，则，所以只要再找到另一组对应角相等即可． 【详解】解：只需添加条件使，证明如下： 因为，则， 当，则（两组对应角相等的三角形相似）， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查的是三角形相似的判定内容，正确掌握证明三角形相似的方法是解题的关键． 5．（22-23九年级上·陕西咸阳·阶段练习）已知：如图，在中，D、E分别在边上，连接，，，，，求证：． 【答案】见解析 【分析】本题考查相似三角形的判定，掌握两边成比例且夹角相等的两个三角形相似是解题的关键． 【详解】∵，， ∴， ∵，， ∴， ∴， 又∵， ∴． 6．（23-24九年级上·江西抚州·阶段练习）如图，，点B是线段上的一点，且，求证：． 【答案】见解析 【分析】题考查了相似三角形的判定，熟练掌握两角对应相等的两个三角形相似是解题的关键． 【详解】证明：∵，， ∴， ∴， ∴， ∴． 【典型例题二 选择或补充条件使两个三角形相似】 1．（23-24九年级上·湖南湘潭·期末）如图，点、分别在、上，且与不平行，添加一个条件，可得，不正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查相似三角形的判定，关键是由相似三角形的判定定理，即可判断． 【详解】解：A、B中的条件，又，由有两组角对应相等的两个三角形相似，判定，故不符合题意； C、，又，由两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似，判定，故不符合题意； D、，两边对应成比例，但夹角和不一定相等，不能判定，故符合题意． 故选：D． 2．（23-24九年级上·湖南衡阳·期末）如图，在四边形中，已知，那么补充下列条件后不能判定和相似的是（   ） A．平分 B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定方法；熟记三角形相似的判定方法“两组角对应相等的两个三角形相似”，“两组对应边的比相等且相应的夹角相等的两个三角形相似”是解决问题的关键． 【详解】解：在和中，， 如果，需满足的条件有： ①或平分，②； 故选D． 3．（2024·云南玉溪·二模）如图，与相交于点，连接，，添加一个条件，使．你添加的条件是 ． 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定等知识点，由图可知，所以要使，只需再添加一个对应角相等或其对应边成比例即可得解，熟练掌握相似三角形的判定定理是解决此题的关键． 【详解】∵（对顶角相等）， ∴要使，只需再添加一个对应角相等或其对应边成比例即可， ∴可以添加， 故答案为：（答案不唯一）． 4．（2023·宁夏银川·二模）如图，，是边上的两个点，要使，添加一个条件是 （只写一个）． 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题主要考查相似三角形的判定，已知，根据相似三角形的判定定理即可求得答案． 【详解】∵，， ∴， 故添加条件即可求得． 同理可得：或可以得出． 故答案为： 或或． 5．（23-24九年级上·河南安阳·期末）如图，在中，，点D在边上（点D不与A，C重合）．若再增加一个条件能使，则这个条件是______；结合你所添加的条件，证明． 【答案】（答案不唯一），见解析 【分析】本题考查相似三角形的判定，熟知相似三角形的判定方法即可求解． 【详解】解：（答案不唯一） 证明：在和中， ∴．（有两角对应相等的两个三角形相似） 6．（2024·陕西渭南·一模）如图，在和中，已知，请你添加一个条件：___________，使，并说明理由．    【答案】（答案不唯一），理由见解析 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定，两组角对应相等的两三角形相似，两组边对应相等，且它们的夹角也相等的两三角形相似，据此添加条件并证明即可. 【详解】解：添加条件，理由如下： ∵， ∴，即， 又∵， ∴． 【典型例题三 相似三角形判定定理的证明】 1．（2023·河北保定·一模）在下列各图中，不添加任何辅助线，若每个图所给出的两个三角形都是相似的，则位似图形的个数是（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】根据位似图形的定义：如果两个图形不仅是相似图形，而且对应顶点的连线相交于一点，对应边互相平行，那么这样的两个图形叫做位似图形，这个点叫做位似中心． 【详解】解：根据位似图形的定义可知，第1,2,4个图形是位似图形，而第3个图形对应点的连线不能交于一点，故位似图形有3个 故选C 【点睛】本题考查了位似图形的定义，解题的关键是牢记位似图形的性质：位似图形一定相似，对应点的连线交于一点，对应边互相平行． 2．（22-23九年级上·江苏泰州·期末）如图所示，下列条件中能单独判断△ABC∽△ACD的个数是（    ）个． ①∠ABC＝∠ACD；②∠ADC＝∠ACB；③＝；④AC2＝AD•AB A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】由图可知△ABC与△ACD中∠A为公共角，所以只要再找一组角相等，或一组对应边成比例即可解答． 【详解】有三个 ①∠ABC＝∠ACD，再加上∠A为公共角，可以根据有两组角对应相等的两个三角形相似来判定； ②∠ADC＝∠ACB，再加上∠A为公共角，可以根据有两组角对应相等的两个三角形相似来判定； ③中∠A不是已知的比例线段的夹角，不正确 ④可以根据两组对应边的比相等且相应的夹角相等的两个三角形相似来判定； 故选C 【点睛】本题考查相似三角形的判定定理，熟练掌握判定定理是解题的关键 3．（22-23九年级上·陕西汉中·期末）如图，∥，∥，与交于点G，则图中相似三角形共有 对． 【答案】3 【分析】根据相似三角形的判定即可判断． 【详解】图中三角形有：，，， ∵， ∴ 共有3个组合分别为：∴，， 故答案为：3． 【点睛】此题主要考查相似三角形的判定，解题的关键是熟知相似三角形的判定定理． 4．（22-23九年级上·全国·课后作业）如图，当∠AED＝ 时，以A，D，E为顶点的三角形与相似． 【答案】∠B或∠C 【分析】由两个角对应相等的两个三角形相似，从而可得结论． 【详解】解： ∠BAC＝∠EAD(公共角)， 再由∠AED＝∠C或∠AED＝∠B， 即可证明与相似． 故答案为：或 【点睛】本题考查的是三角形相似的判定，掌握三角形相似的判定定理是解题的关键． 5．（22-23九年级下·全国·课后作业）如果的两条直角边分别为3和4，那么以和（k是正整数）为直角边的直角三角形一定与相似吗？为什么？ 【答案】相似．因为两边成比例，比值为k，且夹角相等． 【分析】根据两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似进行判断． 【详解】解：因为 ，且两组对应边的夹角都为90°，所以根据两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似可判断以3k和4k（k是正整数）为直角边的直角三角形一定与Rt△ABC相似． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定：两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似． 6．（22-23九年级上·福建泉州·期中）在△ABC和△A′B′C′中，已知：AB＝6cm，BC＝8cm，AC＝10cm，A′B′＝18cm，B′C′＝24cm，A′C′＝30cm．试证明△ABC与△A′B′C′相似． 【答案】见解析 【分析】根据三边对应成比例的三角形相似进行解答即可． 【详解】证明：∵AB＝6cm，BC＝8cm，AC＝10cm，A′B′＝18c m，B′C′＝24cm，A′ C′＝30cm， ∴，， ∴ ∴△ABC∽△A′B′C′． 【点睛】本题考查的是相似三角形的判定，熟知三组对应边的比相等的两个三角形相似是解答此题的关键． 【典型例题四 重心的有关性质】 1．（22-23九年级上·上海嘉定·期中）如果点是的重心，是边的中点，那么的值为（　　） A．2 B． C． D． 【答案】A 【分析】根据重心的性质进行求解即可． 【详解】解：∵点是的重心，是边的中点， ∴， 故选A． 【点睛】本题主要考查了重心的性质，熟知重心的性质是解题的关键． 2．（22-23八年级上·福建厦门·期末）如图，是的重心，则下列结论正确的是（    ）    A． B． C． D．且 【答案】B 【分析】三角形的重心是三角形三条中线的交点． 【详解】解：∵三角形的重心是三角形三条中线的交点 ∴是的中线 故有： 故选：B 【点睛】本题考查重心的性质．熟记重心的定义即可． 3．（22-23八年级上·河南周口·期中）取一块质地均匀的三角形木板，顶住某一点木板会保持平衡，这个平衡点是这块三角形木板的 ． 【答案】重心 【分析】根据重心的意义进行解答即可． 【详解】解：∵三角形的重心是三角形三边中线的交点， ∴这个平衡点就是这块三角形木板的重心． 故答案为：重心． 【点睛】本题主要考查了三角形的重心的概念和性质，注意数学知识在实际生活中的运用． 4．（2023·江苏盐城·一模）如图，在中，D是的中点，点G是的重心．，则 ．     【答案】4 【分析】 根据重心的性质，进行求解即可． 【详解】解：∵D是的中点，点G是的重心， ∴， ∴； 故答案为：4． 【点睛】本题考查重心的性质，熟练掌握重心到顶点的距离是中心到对边中点距离的2倍，是解题的关键． 5．（2023·江西抚州·二模）如图均是由边长为1的小正方形组成的3×3网格，△ABC的顶点均在格点上．利用网格和无刻度的直尺作图，保留痕迹，不写作法． (1)在图①中，作出△ABC的重心O． (2)在图②中，在△ABC的边AC上找一点P，连接BP，使△ABP的面积为△ABC面积的． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）根据三角形的重心是三角形的三条中线的交点，即可求解； （2）如图，连接EF交AC于点P，根据△AEP∽△CFP，可得点P即为所求，即可求解． 【详解】（1）解：如图①中，点O即为所求； （2）解：如图②中，点P即为所求； 理由如下∶∵AE∥CF， ∴△AEP∽△CFP， ∴， ∴， ∴△ABP的面积为△ABC面积的． 【点睛】本题主要考查了三角形的重心，相似三角形的判定和性质，熟练掌握三角形的重心是三角形的三条中线的交点，相似三角形的判定和性质定理是解题的的关键． 6．（23-24九年级上·浙江宁波·期末）如图，在的正方形网格中，每个小正方形的顶点叫做格点，的三个顶点均在格点上， 仅用无刻度的直尺在给定网格中画图（保留作图痕迹）． (1)在图1中画，使得与的相似比为． (2)在图2中画出的重心O． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查了作图-相似变换，三角形的重心，正确地作出图形是解题的关键． （1）根据相似三角形的性质作出图形即可； （2）根据三角形重心的定义即可得到结论． 【详解】（1）如图所示，即为所求； （2）如图所示，点即为所求． 【典型例题五 相似三角形的判定与性质综台】 1．（2024·云南昭通·一模）如图，在中，、分别为，上的点，连接，若，则（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了相似三角形的性质与判定，先证明，进而证明，则． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， 故选：B． 2．（2024·云南红河·二模）如图，在边长为1的小正方形网格中，，相交于点O，点A，B，C，D都在这些小正方形网格的格点上，为的周长，为的周长，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查的是相似三角形的判定与性质，直接利用相似三角形的周长比等于相似比即可得到答案． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 故选A 3．（23-24九年级上·云南文山·期末）在中，点、分别在边、上，且，若，则 ． 【答案】 【分析】此题主要考查了相似三角形的性质与判定，解题的关键是利用面积比和相似比的关系．首先证明∽，然后利用相似三角形的性质即可求解． 【详解】解：， ∽， 而， ． 故答案为：． 4．（23-24九年级上·山东济南·期中）如图①是用杠杆撬石头的示意图，当用力压杠杆时，杠杆绕着支点转动，另一端会向上撬起，石头就被撬动了．在图②中，杠杆的D端被向上撬起的距离，动力臂与阻力臂满足（与相交于点O），要把这块石头撬起，至少要将杠杆的C点向下压 ． 【答案】 【分析】本题考查了三角形相似的判定及性质，由两角对应相等的三角形相似得，由三角形相似的性质得，即可求解；掌握判定方法及性质是解题的关键． 【详解】解：， ， ， ， ， 解得：， 故答案：． 5．（23-24八年级下·福建福州·期末）如图，在中，点是上一点，且，，，求证：． 【答案】见详解 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，熟练掌握知识点是解题的关键． 根据“两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似”这一判定定理证明相似，再根据相似三角形性质证明即可． 【详解】证明：∵，，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 6．（23-24八年级下·福建福州·期末）如图，在中，，，．    (1)求证：； (2)若，，，求的面积． 【答案】(1)见解析 (2)． 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定和性质，解题的关键是掌握：有两个角相等的两个三角形相似，相似三角形的面积比等于相似比的平方． （1）根据可得，即可求证； （2）先求出相似比以及，再根据相似三角形的面积比等于相似比的平方即可求解． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∵，， ∴， ∴； （2）解：由（）可得， ∴， ∵， ∴，解得：． 【典型例题六 利用相似三角形的性质求解】 1．（2024·重庆·中考真题）若两个相似三角形的相似比为，则这两个三角形面积的比是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了相似三角形的性质，根据相似三角形的面积之比等于相似比的平方进行求解即可． 【详解】解：∵两个相似三角形的相似比为， ∴这两个三角形面积的比是， 故选：D． 2．（23-24九年级下·重庆开州·阶段练习）若两个相似三角形周长的比为，则这两个三角形对应边的比是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了相似三角形的性质，熟练掌握相似三角形性质的具体内容是解题的关键． 根据相似三角形的性质：相似三角形的对应边的比等于周长比，即可得出答案． 【详解】解：∵相似三角形对应边的比等于周长比，且周长的比为， ∴这两个相似三角形的对应边的比为． 故选：B． 3．（2024九年级下·江苏·专题练习）两个相似三角形的面积比为，则它们的周长之比为 ． 【答案】/ 【分析】本题考查的是相似三角形的性质，掌握相似三角形周长的比等于相似比、相似三角形面积的比等于相似比的平方是解题的关键．根据相似三角形面积的比等于相似比的平方求出相似比，根据相似三角形周长的比等于相似比解答即可． 【详解】解：∵两个相似三角形的面积比为9：16， ∴它们的相似比为3：4， 则它们的周长比为3：4， 故答案为：3：4． 4．（2024·湖南永州·一模）如图，平行于地面的三角形纸片上方有一灯泡(看作一个点O)，灯泡发出的光线照射后，在地面上形成阴影．已知灯泡距离地面3m，灯泡距离纸片1m，则阴影与纸片的面积比为 ． 【答案】/9 【分析】本题考查了相似三角形的应用，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键． 根据题意可得：，然后利用相似三角形的性质可得答案． 【详解】解：由题意得：， ， 故答案为：． 5．（2024九年级下·全国·专题练习）如图，在中，，点P从B点出发沿方向以每秒1个单位移动，点Q从A出发沿方向以每秒2个单位移动，当它们到达A、C后停止运动．试问经过几秒后，与相似？请说明理由． 【答案】经过2或秒后，与相似，理由见解析 【分析】本题主要考查了相似三角形的性质，先求出，再分时，时，两种情况利用相似三角形的性质建立方程求解即可． 【详解】解：经过2秒或后与相似，理由如下： 设点P、Q运动的时间为t，由题意得，， ∵， ∴， 当时， ∴，即 解得． 同理，当时， 综上所述，经过2或秒后，与相似． 6．（2024九年级下·全国·专题练习）如图，已知，，，，．求，的长． 【答案】， 【分析】本题主要考查了相似三角形的性质，先求出，再根据相似三角形的对应边成比例得出答案． 【详解】解：∵，， ∴. ∵， ∴. ∵，，， ∴， 解得，． 【典型例题七 证明三角形的对应线段成比例】 1．（22-23九年级上·河北邯郸·期中）顺次连接三角形三边的中点，所围成的三角形与原三角形的对应高的比是（    ）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据“相似三角形的对应高的比等于相似比”求解即可． 【详解】∵顺次连接三角形三边的中点，所得的三角形与原三角形相似，且相似三角形对应高的比等于相似比． 又∵顺次连接三角形三边的中点，所得的三角形的三边的长等于原三角形对应边的一半， ∴顺次连接三角形三边的中点，所得的三角形与原三角形对应高的比是 12． 故选：C． 【点睛】本题考查了相似三角形的性质、三角形中位线定理，解题的关键是掌握相似三角形的对应边上的高的比等于相似比． 2．（22-23九年级上·浙江·期末）两个相似三角形的周长比为1：4，那么它们的对应边上的高的比为（    ） A．1：4 B．1：2 C．1：16 D．不同的对应边上的高的比不同 【答案】A 【分析】直接根据相似三角形的性质即可得出结论． 【详解】解：∵两个相似三角形的周长比为1：4， ∴它们的对应边上的高比为1：4． 故选：A． 【点睛】本题考查的是相似三角形的性质，熟知相似三角形对应高的比等于相似比是解答此题的关键． 3．（23-24九年级上·海南儋州·期中）如图，，，那么与的相似比为 ．    【答案】/ 【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质，证明，结合已知求出，即可得解． 【详解】解：∵，， ∴， ∴为相似比， ∵， ∴，即相似比为， 故答案为：． 4．（22-23九年级下·全国·课后作业）已知有两个三角形相似，一个边长分别为2、3、4，另一个三角形最长边长为12，则另外两边x、y的值为 . 【答案】6和9 【分析】根据三角形相似对应边成比例即可求出x、y的值. 【详解】∵已知有两个三角形相似，一个边长分别为2、3、4，另一个三角形最长边长为12， ∴相似比为===, ∴x=6,y=9. 【点睛】此题主要考查相似三角形的性质，解题的关键是找到三角形的相似比. 5．（22-23九年级上·北京房山·期末）已知：如图，四边形ABCD是平行四边形，F是AB上一点，连接DF并延长交CB的延长线于E. 求证：AD：AF＝CE：AB 【答案】见解析 【详解】分析：利用平行四边形的性质：对角相等和对边平行证明∠A=∠C和∠ADF=∠E，进而证明△ADF∽△CED，再利用相似的性质：对应边的比值相等可得比例式，再把相等的线段代换即可． 详解： 证明：∵四边形ABCD是平行四边形 ∴AB=CD，∠A=∠C，AD∥BC， ∴∠ADF=∠E， ∴△ADF∽△CED， ∴AD：AF=EC：DC， 又∵AB=CD， ∴AD：AF=CE：AB． 点睛：考查了平行四边形的性质和相似三角形的判定与性质，解题的关键是证明△ADF∽△CED得到AD：AF=EC：DC，再运用等量代换得出结论． 6．（22-23九年级上·江苏泰州·期末）证明相似三角形对应角平分线的比等于相似比．已知：如图，△ABC∽△A′B′C′，相似比为k， ．求证 ．（先填空，再证明）证明： 【答案】已知，分别是∠BAC、∠上的角平分线， 【分析】根据相似三角形的性质，对应边成比例，对应角相等，可证得和相似，再利用相似三角形的性质求解． 【详解】已知，分别是∠BAC、∠上的角的平分线，求证： ∵△ABC∽△A′B′C′， ∴，∠B=∠，∠BAC∠， ∵分别是∠BAC、∠上的角的平分线， ∴∠BAD∠， ∴， ∴， 【点睛】本题实际上是相似三角形的性质的拓展，不但有对应角的平分线等于相似比，对应边上的高，对应中线也都等于相似比． 【典型例题八 在网格中画与已知三角形相似的三角形】 1．（22-23九年级上·北京顺义·期末）如图，在正方形网格上有5个三角形（三角形的顶点均在格点上）：①△ABC，②△ADE，③△AEF，④△AFH，⑤△AHG，在②至⑤中，与①相似的三角形是（    ） A．②④ B．②⑤ C．③④ D．④⑤ 【答案】A 【分析】根据两边成比例夹角相等两三角形相似即可判断． 【详解】解：由题意：①②④中，∠ABC＝∠ADE＝∠AFH＝135°， 又∵， ∴，， ∴△ABC∽△ADE∽△HFA， 故选：A． 【点睛】本题考查相似三角形的判定，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． 2．（2023九年级·上海·专题练习）如图，在正方形网格上，若使△∽△，则点应在（    ） A．处 B．处 C．处 D．处 【答案】B 【分析】由图可知∠BPD一定是钝角，若要△ABC∽△PBD，则对应边的比值必须相等，可据此进行判断． 【详解】解：由图知：∠BAC是钝角，又△ABC∽△PBD， 则∠BPD一定是钝角，∠BPD=∠BAC， 又BA=2，AC==2，BC==，， ∴，即， ∴BP=4，PD=4， 只有符合这样的要求，故P点应该在． 故选：B． 【点睛】本题考查了相似三角形的性质，以及勾股定理的运用，相似三角形的对应角相等，对应边成比例，书写相似三角形时，对应顶点要对应．熟练掌握相似三角形的性质是解题的关键． 3．（22-23九年级上·全国·单元测试）如图，若点，，，，，，，，都是方格纸中的格点，为使，则点应是，，，四点中的 点．    【答案】 【分析】相似三角形两个角对应相等，且对应边成比例，据此解答． 【详解】解：由图知，点应位于线段的中垂线上， 所以要使， 所以只能是点， 其他点均不符合题意， 故答案为：． 【点睛】本题考查了相似三角形，熟练掌握相似三角形的判定，要注意联系实际图形进行判定． 4．（22-23九年级上·江苏泰州·期末）在正方形网格纸上，每个小格的顶点叫格点，以格点为顶点的三角形叫格点三角形．在4×4网格中（每个小正方形网格的边长为1）画格点三角形，它的三边比是1：：，这种三角形可以画若干个，其中面积的最大值等于 ． 【答案】2.5 【分析】画出图形，利用数形结合的思想，画出相似比为1：的三角形，求出面积即可． 【详解】解：如图△ABC是面积最小的格点三角形，△DEF是面积最大的格点三角形， =2.5 故答案为：2.5． 【点睛】此题主要考查了相似三角形的性质，三角形的面积等知识，解题的关键是学会利用数形结合的思想解决问题，属于中考常考题型． 5．（22-23九年级下·全国·单元测试）已知图的 方格中有一个格点三角形（三角形的顶点在格点上），请在图、图两个方格里各画出一个格点三角形与它相似且它们都不全等．（工具不限，不要求写画法和证明） 【答案】见解析 【分析】根据相似三角形的判定求解即可． 【详解】如图所示， 【点睛】此题考查了相似三角形的判定，解题的关键是熟练掌握相似三角形的判定． 6．（22-23九年级上·北京房山·期中）如图是边长为1的正方形网格，的顶点均为格点，在该网格中画出（的顶点均在格点上），使． 【答案】见解析 【分析】把△A1B1C1的边长缩小一半，画出三角形即可． 【详解】解：如图，△A2B2C2即为所求． ∵A1C1＝4，A1B1＝2，A2C2＝2，A2B2＝， ∴＝＝2， ∵∠B1A1C1＝∠B2A2C2＝135°， ∴△A1B1C1∽△A2B2C2． 【点睛】本题考查作图﹣相似变换，解题的关键是掌握相似三角形的判定和性质，准确作图． 【典型例题九 相似三角形--动点问题】 1．（22-23九年级上·安徽宿州·阶段练习）如图，在△ABC中，AC＝6，AB＝4，点D，A在直线BC同侧，且∠ACD＝∠ABC，CD＝2，点E是线段BC延长线上的动点．若△DCE和△ABC相似，则线段CE的长为（     ） A． B． C．或3 D．或4 【答案】C 【分析】首先由∠ACD=∠ABC，得出∠A=∠DCE，然后由相似三角形的性质得出或，代入即可得解. 【详解】∵∠ACD=∠ABC， ∴∠A=∠DCE， ∵△DCE和△ABC相似， ∴或 ∵AC=6，AB=4，CD=2， ∴或 ∴CE的长为或3 故选：C. 【点睛】此题主要考查相似三角形的性质，解决此问题要注意分类讨论. 2．（22-23九年级下·吉林长春·开学考试）如图，中，，，，，点是边上的一个动点，连接，当是直角三角形时，的值是（    ）    A．2或 B． C．3或 D．3 【答案】A 【分析】根据含30度的直角三角形的性质求出，分两种情况：①，根据相似三角形的性质和判定求出，求出；②，根据相似三角形的性质和判定求出，求出即可． 【详解】解：∵，，， ∴， 当时， ，， ∴， ∴，即， ∴， ∴；    当时， ，， ∴， ∴，即， ∴， ∴；    综上：的值是2或， 故选A． 【点睛】本题考查了相似三角形的性质和判定，含30度角的直角三角形的性质等知识点，能求出符合题意的所有情况是解此题的关键． 3．（22-23九年级上·湖南永州·期中）如图，在△ABC中，AB=4cm，BC=8cm，动点P从点A开始沿AB边运动，速度为1cm/s，动点Q从点B开始沿BC边运动，速度为2cm/s，如果P、Q两动点同时运动，那么经过 秒时，以B、Q、P为顶点的三角形与△ABC相似． 【答案】 【分析】首先根据题意表示出BP和BQ的长度，根据题意分两种情况讨论，当△BPQ∽△BAC时，根据列方程求解即可，当△BQP∽△BAC时，根据列方程求解即可． 【详解】解：设运动的时间为t，则AP=t，BQ=2t，BP=4-t， 当△BPQ∽△BAC时， ∴，即， 解得：； 当△BQP∽△BAC时， ∴，即， 解得：； 综上所述，t=2或． 故答案为：． 【点睛】此题考查了相似三角形的性质和判定，解题的关键是熟练掌握相似三角形的性质和判定方法． 4．（22-23九年级·浙江·期中）如图，在中，，，动点从点出发到点止，动点从点出发到点止，点的运动速度为，点的运动速度为．若，两点同时出发，则当以点，，为顶点的三角形与相似时，运动时间为 ． 【答案】或 【分析】本题考查了相似三角形的性质：相似三角形的对应边成比例．分两种情况：①与对应；②与对应．根据相似三角形的性质分别作答． 【详解】解：根据题意，点从点到点的时间为；点从点到点的时间为， 如果两点同时运动，设运动秒时，以点、、为顶点的三角形与相似， 则． ①当D与B对应时，有， ∴， ∴， ∴； ②当与对应时，有． ∴， ∴， ∴． 故当以点、、为顶点的三角形与相似时，运动的时间是或，符合题意， 故答案为：或． 5．（22-23九年级上·甘肃金昌·期中）如图，在 中， ，，点 从点 开始沿 边向 点以 的速度移动，点 从点 开始沿 边向点 以的速度移动，如果 分别从 同时出发，问经过几秒钟， ． 【答案】或 【分析】根据两个三角形相似，则对应边的比等于相似比，由此即可求解． 【详解】解：根据题意可知，设经过 秒，， ∴ ， ， ， 当，则 ， ，， ∴，解方程得， （ ）； 当，则， ∴，解方程得， （ ）， ∴经过或时，， 故答案是：或． 【点睛】本题主要考查相似三角形性质的应用，掌握相似三角形的性质是解题的关键． 6．（22-23九年级上·辽宁沈阳·期末）如图，，，，，，点在上移动，当以，，为顶点的三角形与相似时，求的长． 【答案】3或 【分析】设DE=x，则BE=BD-x=6-x，根据垂直的定义得到∠B=∠D=90°，再根据两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似，当时，△ABE∽△CDE，则；当时，△ABE∽△EDC，即；然后分别解方程求出x即可． 【详解】解：设DE=x，则BE=BD-x=6-x， ∵AB⊥BD于B，CD⊥BD于D， ∴∠B=∠D=90°， ∴当时，△ABE∽△CDE，即， 解得x=， 当时，△ABE∽△EDC，即， 整理得x2-6x+9=0， 解得x1=x2=3， ∴当DE为或3时，以，，为顶点的三角形与相似． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定：两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似． 【典型例题十 相似三角形应用举例】 1．（23-24九年级上·贵州六盘水·期末）彭老师身高，在某一时刻测得她站在阳光下的影子长为，紧接着她把手臂竖直举起，测得影子长为，那么彭老师举起的手臂超出头顶的长度为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】此题考查相似三角形的应用，能够根据同一时刻物高与影长成比例，列出正确的比例式，然后根据比例的基本性质进行求解即可． 【详解】解：解：设彭老师举起的手臂超出头顶是，根据同一时刻物高与影长成比例，得， 解得：． 故选：A． 2．（23-24九年级上·山东济南·期末）如图，利用标杆测量楼高，点C，A，B在同一直线上，，，垂足分别为A，B.若测得影长米，米，影长米，则楼高为（    ） A．10米 B．12米 C．15米 D．20米 【答案】B 【分析】本题考查相似三角形的应用举例，根据同一时刻物体与影长成比例得到对应线段成比例解题即可． 【详解】解：∵同一时刻物体与影长成比例， ∴，即：， 解得：； 故选B． 3．（2024·江西新余·模拟预测）如图①是装了液体的高脚杯示意图，用去一部分液体后如图②所示，此时液面 ． 【答案】3 【分析】本题考查了相似三角形的应用，根据两三角形相似列出比例式进而求解即可． 【详解】依题意，两高脚杯中的液体部分两三角形相似，则， 解得． 故答案为：3． 4．（2024·湖南湘西·模拟预测）数学兴趣小组的同学们想测量一棵树的高度，他们用直角曲尺（即图中的）仰立放置，测得A，B，Q在同一水平线上，和均为直角，与相交于点D．测得，，，则树高 ． 【答案】/6米 【分析】本题考查了相似三角形的应用，熟练掌握相似三角形的性质与判定是解题的关键．根据题意可得，然后利用相似三角形的性质，即可求解． 【详解】解：和均为直角，即， ， ， ， ，，， ， 故答案为：． 5．（23-24九年级上·广东佛山·期中）某班同学们上体育课．在阳光下，甲、乙两名同学分别直立站在点C、D的位置，此时，乙影子的顶端恰好与甲影子的顶端重合（如图）．甲的身高为1.8m，乙的身高为1.5m，甲的影长为6m，求甲、乙两名同学之间的距离． 【答案】 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质的应用，掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键， 由可得，所以，进而得到方程求解即可． 【详解】， ， ， ，，， ， 解得， ， 答：甲、乙两名同学之间的距离为． 6．（22-23九年级上·安徽·期中）《孙子算经》是中国古代重要的数学著作，成书于约1500年前，其中有首歌谣：今有竿不知其长，量得影长一丈五尺，立一标杆，长一尺五寸，影长五寸，问竿长几何？意思是：如图，有一根竹竿不知道有多长，量得它在太阳下的影子长一丈五尺，同时立一根一尺五寸的小标杆，它的影子长五寸，问竹竿的长度为多少尺？（注：1丈尺，1尺寸）    【答案】竹竿的长度为45尺． 【分析】根据同一时刻物高与影长成正比可得出结论． 【详解】解：设竹竿的长度为x尺， ∵竹竿的影长一丈五尺尺，标杆长一尺五寸尺，影长五寸尺， ， 解得（尺）， 答：竹竿的长度为45尺． 【点睛】本题考查的是相似三角形的应用，熟知同一时刻物高与影长成正比是解答此题的关键． 【典型例题十一 相似三角形的综合问题】 1．（22-23九年级上·四川成都·阶段练习）如图，和是以点为位似中心的位似图形，若，则与的周长比是（    ） A．2：3 B．3：2 C．2：5 D．5：2 【答案】C 【分析】先根据位似的性质得到与的位似比为，再利用比例性质得到，然后利用相似三角形的性质即可求出答案． 【详解】解：与是位似图形，点为位似中心， 且 又 故选：C． 【点睛】本题考查了位似变换，解题关键是掌握位似变换的相关性质，运用比例解题． 2．（2023·河南商丘·二模）在▱ABCD中，∠DBC＝45°，DE⊥BC于E，BF⊥CD于F，BF交DE于点H，交AD的延长线于点G，下面结论中：①BD＝BE；②∠A＝∠BHE；③CD2+BG2＝AG2；④BH×DG＝ED×GH．正确的结论是(   ) A．①②③ B．②③④ C．①②④ D．①②③④ 【答案】D 【分析】通过判断△BDE为等腰直角三角形，得到BE=DE，BD=BE，则可对①进行判断；根据等角的余角相等得到∠BHE=∠C，再根据平行四边形的性质得到∠A=∠C，则∠A=∠BHE，于是可对②进行判断；由AB∥DF，得到∠ABG=90°，于是得到AB2+BG2=AG2，由等量代换可得③正确；根据三角形相似和等量代换可得④正确． 【详解】解：∵∠DBC＝45°，DE⊥BC， ∴△BDE为等腰直角三角形， ∴BE＝DE，BD＝BE，所以①正确； ∵BF⊥CD， ∴∠C+∠CBF＝90°， 而∠BHE+∠CBF＝90°， ∴∠BHE＝∠C， ∵四边形ABCD为平行四边形， ∴∠A＝∠C， ∴∠A＝∠BHE，所以②正确； ∵AB∥DF， ∴AB⊥BG， ∴∠ABG＝90°， ∴AB2+BG2＝AG2， ∵AB＝CD， ∴CD2+BG2＝AG2；所以③正确； ∵DG∥BE， ∴△BEH∽△GDH， ∴， ∴BH•DG＝BE•HG， ∵BE＝DE， ∴BH×DG＝ED×GH，所以④正确； 故选D． 【点睛】考查了相似三角形的判定与性质：在判定两个三角形相似时，应注意利用图形中已有的公共角、公共边等隐含条件，以充分发挥基本图形的作用，寻找相似三角形的一般方法是通过作平行线构造相似三角形．也考查了平行四边形的性质． 3．（22-23九年级上·上海闵行·期末）如图，在等腰△ABC中，AB=AC=4，BC=6点D在底边BC上，且∠DAC=∠ACD，将△ACD沿着AD所在直线翻折，使得点C落到点E处，联结BE，那么BE的长为 . 【答案】1 【分析】只要证明△ABD∽△MBE，得，只要求出BM、BD即可解决问题． 【详解】 ∵AB=AC， ∴∠ABC=∠C， ∵∠DAC=∠ACD， ∴∠DAC=∠ABC， ∵∠C=∠C， ∴△CAD∽△CBA， ∴ ∴， ∴CD=，BD=BC-CD=6-=， ∵∠DAM=∠DAC=∠DBA，∠ADM=∠ADB， ∴△ADM∽△BDA， ∴，即， ∴DM=，MB=BD-DM=-=， ∵∠ABM=∠C=∠MED， ∴A、B、E、D四点共圆， ∴∠ADB=∠BEM，∠EBM=∠EAD=∠ABD， ∴△ABD∽△MBE， ∴， ∴． 【点睛】本题考查翻折变换、等腰三角形的判定和性质、相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是充分利用相似三角形的性质解决问题，本题需要三次相似解决问题. 4．（22-23九年级·江苏苏州·期末）如图，在△ABC中点D，E分别在AB，AC上，DE∥BC，若S△ADE＝1，S四边形DBCE＝8，则AD：AB＝ ． 【答案】1：3． 【分析】根据相似三角形的性质与判定即可求出答案． 【详解】解：∵DE∥BC， ∴△ADE∽△AEC， ∴=()2 ∵S△ADE＝1，S四边形DBCE＝8， ∴S△ABC＝9， ∴=， ∴， 故答案为1：3． 【点睛】本题考查相似三角形，解题的关键是熟练运用相似三角形的性质与判定，本题属于基础题型． 5．（22-23九年级下·全国·课后作业）已知，如图， 在△ABC中，DE∥BC，AD=5，BD=3，求S△ADE：S△BCED的值． 【答案】25：39 【分析】根据DE∥BC，可知△ADE∽△ABC，根据AD=5，BD=3可知相似比为5:8，故S△ADE：S△ABC=52:82=25:64，设S△ADE的面积为25a，则S△ABC=64a，故可求出四边形BCED的面积，即可求出S△ADE：S△BCED的值. 【详解】∵DE∥BC， ∴△ADE∽△ABC， ∵AD=5，BD=3， ∴AB=8, ∴△ADE与△ABC的相似比为5:8， ∴S△ADE：S△ABC=52:82=25:64， 设S△ADE为25a,则S△ABC=64a， ∴S△BCED= S△ABC-S△ADE=64a-25a=39a， ∴S△ADE：S△BCED=25：39 【点睛】此题主要考查相似三角形的判定与性质，解题的根据是找到两个三角形的面积比，从而算出四边形的面积进行求解. 6．（22-23九年级上·北京房山·期中）如图，CD为一幢高3米的温室，其南面窗户的底框G距地面1米，CD在地面上留下的最大影长CF为2米，现欲在距C点7米的正南方的点A处建一幢高12米的楼房AB．（设A，C，F在同一水平线上） （1）作出楼房AB及它的最大影长AE； （2）楼房AB建成后，其是否影响温室CD的采光？试说明理由. 【答案】（1）见解析；（2）楼房AB影响温室CD的采光，见解析. 【分析】对于（1），根据题意画出图形，并根据在同一时刻同一地点任何物体的高与其影子长的比值是相同的，利用物高与影长成比例可以求出大楼的影子长AE； 对于（2），结合线段的和、差关系得到CE的长，接下来证明，根据相似三角形对应边成比例计算CH，比较CH与CG的大小就可以判断是否影响采光. 【详解】（1）楼房AB及它的最大影长AE如图所示. （2）楼房AB建成后会影响温室CD的采光.理由如下： 因为米，由题意易得，AB的最大影长AE为8米， 又因为米，所以米. 由，可知，所以 所以米. 因为， 所以楼房AB影响温室CD的采光. 【点睛】本题考查相似三角形的应用，解题的关键是把实际问题抽象到相似三角形中，然后利用相似三角形的对应边成比例解题. 【变式训练1 证明两三角形相似】 1．（2023·上海静安·一模）如图，已知与，下列条件一定能推得它们相似的是（    ）    A． B． C． D． 【答案】A 【分析】三角形相似的判定方法有（1）平行于三角形一边的直线和其他两边或两边的延长线相交，所构成的三角形与原三角形相似； （2）如果两个三角形对应边的比相等且夹角相等，这2个三角形也可以说明相似（简叙为：两边对应成比例且夹角相等，两个三角形相似.）； （3）如果一个三角形的三条边与另一个三角形的三条边对应成比例,那么这两个三角形相似（简叙为:三边对应成比例，两个三角形相似.）； （4）如果两个三角形的两个角分别对应相等（或三个角分别对应相等），则有两个三角形相似（简叙为两角对应相等，两个三角形相似）。 【详解】A选项符合判定方法（4），符合题意． B选项相等的角不是对应边的夹角，不符合题意． C选项相等的角不是对应角，不符合题意． D选项相等的角不是对应角，不符合题意． 【点睛】本题考查的是三角形相似的判定方法，解题的关键是牢记判定方法． 2．（23-24九年级上·河北廊坊·阶段练习）小明想要得到与相似的三角形，于是他用剪刀沿着图中虚线将剪开，虚线与边平行，如图所示，则他判定剪下的三角形（阴影部分）与相似的依据是（    ） A．两边成比例且夹角相等的两个三角形相似 B．三边成比例的两个三角形相似 C．平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似 D．相似三角形的三个角分别相等 【答案】C 【分析】本题考查相似三角形的判定，根据平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似，作答即可． 【详解】解：由题意，判断的依据是：平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似； 故选：C． 3．（23-24九年级上·甘肃张掖·期末）如图，已知，则图中相似三角形是 ．    【答案】 【分析】本题考查相似三角形的判定，掌握两角对应相等的两个三角形相似是解题的关键． 【详解】解：∵，， ∴， 又∵， ∴， 故答案为：． 4．（22-23九年级上·广东梅州·阶段练习）在和中，如果，那么这两个三角形是否相似？答： ，理由是 ． 【答案】 两边成比例且夹角相等的两个三角形相似 【分析】根据相似三角形的判定方法，判定即可． 【详解】解：∵， ∴，理由为：两边成比例且夹角相等的两个三角形相似 故答案为：，两边成比例且夹角相等的两个三角形相似 【点睛】此题考查了相似三角形的判定，解题的关键是掌握相似三角形的判定方法． 5．（2024·湖北武汉·二模）如图，相交于点．求证∶ 【答案】见解析 【分析】本题考查了平行线的性质以及相似三角形的判定，由平行线的性质，得出，再结合两个对应角分别相等的三角形是相似三角形，即可作答． 【详解】证明∶， ， ． 6．（2024九年级下·全国·专题练习）如图，是的边上的一点，，，，求证：． 【答案】见解析 【分析】本题主要考查了相似三角形的证明，根据相似三角形的判定方法，两边对应成比例和夹角相等即可得出结论． 【详解】证明：，， ， ， ， 为公共角， ． 【变式训练2 选择或补充条件使两个三角形相似】 1．（23-24九年级上·陕西西安·阶段练习）如图，点D在的边AC上，添加一个条件，不能判断与相似的是（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了相似三角形的判定，熟练掌握相似三角形的判定条件是解此题的关键． 【详解】解：解：A、，，两组对应角相等的三角形相似，选项正确，不符合题意． B、与不是对应边，不能说明相似，选项错误，符合题意． C、，，两组对应角相等的三角形相似，选项正确，不符合题意． D、，，两组对边成比例，夹角相等的三角形相似，选项正确，不符合题意． 故选B． 2．（23-24九年级上·安徽阜阳·期中）如图，在中，D是上一点，下列给出的条件不能得出的是（    ）    A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定，掌握两个角对应相等的三角形相似和两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似成为解答本题的关键． 【详解】解：A. ，，不能得到，故符合题意； B.，，根据两角对应相等的两个三角形相似可以得到，故不符合题意； C.，，根据两边成比例且夹角相等的两个三角形相似可以得到，故不符合题意； D.，，根据两角对应相等的两个三角形相似可以得到，故不符合题意； 故选A． 3．（2024·云南昆明·三模）如图，在四边形中，平分，且，．当 时，． 【答案】9 【分析】本题考查相似三角形的判定，根据两组对应边成比例，且夹角相等的两个三角形相似，进行求解即可． 【详解】解：∵平分， ∴， 当时，， 即：， ∵，， ∴， ∴； 故答案为：9． 4．（23-24九年级下·云南昆明·阶段练习）如图，点D是边上一点，，连接．若添加一个条件使得与相似，你添加的条件是 ．（只填写一个你认为正确的答案） 【答案】（答案不唯一） 【分析】根据三角形相似的判定定理，选择适当的条件即可． 本题考查了三角形相似的判定，熟练掌握判定定理是解题的关键． 【详解】∵， ∴， ∵， ∴， 故可以添加如下条件：， 故答案为：． 5．（23-24九年级上·广东佛山·期末）已知：如图，、交于点，请添加一个条件________，使得，然后再加以证明． 【答案】（答案不唯一），证明见解析 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定，根据相似三角形的判定定理“有两个角相等的两个三角形相似；有两边成比例，且这两边夹角相等的两个三角形相似”即可解答． 【详解】解：①当添加时，证明如下： ∵，， ∴； ②当添加时，证明如下： ∵，， ∴； ③当添加时，证明如下： ∵，， ∴； 故答案为：（答案不唯一）． 6．（23-24九年级上·北京昌平·期末）如图，中，点D是边AB上一点，点E为外一点，，连接BE．从下列条件中：①；②．选择一个作为添加的条件，求证：． 【答案】见解析 【分析】本题考查了相似三角形的判定，掌握相似三角形的判定是解题的关键．可添加根据有两组角对应相等的两个三角形相似来判定；或添加利用两组对应边的比相等且相应的夹角相等的两个三角形相似来判定其相似． 【详解】证明：选择① ∵， ∴， ∵， ∴． 或选择② ∵， ∴， ∵， ∴． 【变式训练3 相似三角形判定定理的证明】 1．（22-23九年级上·山东青岛·课后作业）如图，已知为的角平分线，交于，如果，那么 A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据角平分线的定义，平行线的性质易证，，从而求得 的值． 【详解】∵AD为△ABC的角平分线， ∴∠BAD=∠EAD， ∵DEAB， ∴△CED∽△CAB，∠BAD=∠EDA. ∴∠EDA=∠EAD， ∴EA=ED， ∵, ∴ED:EC=2:3， 那么 故选:B. 【点睛】考查了角平分线的性质，平行线的性质，相似三角形的判定与性质，掌握相似三角形的性质是解题的关键. 2．（22-23八年级下·河北秦皇岛·期末）如图，△ABC三边的长分别为3、4、5，点D、E、F分别是△ABC各边中点，则△DEF的周长和面积分别为        （   ） A．6，3 B．6，4 C．6， D．4，6 【答案】C 【详解】分析：利用三角形中位线定理可知:△DEF∽△ABC,根据其相似比即可计算出△DEF的周长和面积. 详解：∵点D、E、F分别是△ABC各边中点， ∴△DEF∽△ABC，相似比为：. ∴△DEF的周长=的周长=. ∵△ABC三边的长分别为3、4、5， ∴△ABC是直角三角形. ∴△DEF的面积=的面积=. 故选C. 点睛：本题主要考查了相似三角形.关键在于根据三角形的中位线定理得出两三角形相似，并得出相似比. 3．（22-23九年级下·全国·单元测试）如图，是上的一点，要使，需补充的一个条件是 ． 【答案】或或 【分析】根据相似三角形的判定方法: (1) 三边法: 三组对应边的比相等的两个三角形相似; (2) 两边及其夹角法: 两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似; (3) 两角法: 有两组角对应相等的两个三角形相似. 进行条件的添加即可. 【详解】解: 利用两角法进行相似的判定可添加: ∠ADC=∠ABD; ∠C=∠ADB; 利用两边及其夹角法判定可添加:; 故答案为: 或或. 【点睛】本题考查了相似三角形的判定,属于基础题, 掌握相似三角形的判定定理是解答本题的关键. 4．（22-23九年级上·四川乐山·期末）如图，在中，是斜边上的高，于点．除自身外，图中与相似的三角形的个数是 ． 【答案】 【分析】根据是斜边上的高，于点，得，，再根据相似三角形的判定，即可． 【详解】∵是斜边上的高，于点， ∴，， 在和中， ∵， ∴； 在和中， ∵， ∴； ∵， ∴， ∴； ∵，， ∴， 在和中， ， ∴； ∴图中与相似的三角形有个． 故答案为：． 【点睛】本题考查相似三角形的判定，解题的关键是掌握相似三角形的判定定理． 5．（22-23九年级上·全国·单元测试）如图，点M为线段AB的中点，AE与BD交于点C，∠DME＝∠A＝∠B，且DM交AC于点F，ME交BC于点G.写出图中的所有相似三角形，并选择一对加以证明． 【答案】△AMF∽△BGM，△DMG∽△DBM，△EMF∽△EAM，证明见解析. 【分析】根据相似三角形的判定定理可以直接写出图中有3对相似三角形；可以利用相似三角形的判定定理两组角对应相等的两个三角形相似来证明△AMF∽△BGM． 【详解】图中的相似三角形有：△AMF∽△BGM，△DMG∽△DBM，△EMF∽△EAM． 以下证明△AMF∽△BGM． ∵∠AFM＝∠DME+∠E（外角定理），∠DME＝∠A＝∠B（已知），∴∠AFM＝∠DME+∠E＝∠A+∠E＝∠BMG，∠A＝∠B，∴△AMF∽△BGM． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定．解答此题，要找出对应角相等来证明三角形相似． 6．（22-23九年级上·全国·期末）如图，点是上的一点且，，求证：． 【答案】见解析. 【分析】由EG∥AD，根据平行线的性质和相似三角形的判定得到∠BGE=∠BDA，△BGE∽△BDA，则，同理可得∠BGF=∠BDC，，所以∠FGE=∠CDA，，然后根据两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似即可得到结论． 【详解】证明：∵， ∴，， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∵，， ∴． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定：平行于三角形的一边的直线与其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似；两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似． 【变式训练4 重心的有关性质】 1．（2022·河北张家口·一模）如图，在4×4的正方形网格中，△ABC的顶点均在格点上，边AB,BC分别与网格线交于点D，E，连接AE，CD交于点F，则点F为△ABC的（    ） A．内心 B．外心 C．重心 D．中心 【答案】C 【分析】根据三角形重心的定义即可判断． 【详解】解：由图看出，CD，AE都是中线，所以点F为△ABC的重心． 故选：C． 【点睛】本题考查了重心的概念，三角形的重心就是三条中线的交点． 2．（2024·江苏盐城·一模）如图，在中，是边上的中线，是重心．如果，那么线段的长为（     ） A．1 B．2 C．3 D．6 【答案】C 【分析】本题考查了重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为，熟记重心的性质是解题的关键．根据重心性质可得，从而可得答案． 【详解】解：∵是边上的中线，点是重心， ∴， ∵， ∴， 故选：C． 3．（2024·江苏盐城·二模）如图，在中，、分别是，的中点，与相交于点，若，则 ． 【答案】3 【分析】本题考查了三角形重心的性质：重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为．先判断点为的重心，然后利用三角形重心的性质求出，从而得到的长． 【详解】解：、分别是，的中点， 点为的重心， ， ． 故答案为3． 4．（2023·河北邢台·二模）如图，中，点、分别为、的中点，连接，线段、相交于点，若，则 ．    【答案】4 【分析】本题考查了三角形的重心：三角形的重心是三角形三边中线的交点；重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为． 根据重心定义得到点为的重心，再根据重心的性质得，所以． 【详解】解：点、分别为、的中点， 点为的重心， ， 而， ． 故答案为4 5．（22-23九年级上·江苏泰州·阶段练习）三角形三条边上的中线交于一点，这个点叫三角形的重心．如图，点G是的重心，连接． （1）求证：； （2）若，求的长． 【答案】（1）见解析；（2）． 【分析】（1）由点G是的重心可得点E和点D分别是和的中点，证明，由相似三角形的性质得，即可得证； （2）先证明，由相似三角形的性质得，即，由AD=6即可求得GD的长． 【详解】（1）证明：∵点G是的重心， ∴点E和点D分别是和的中点 ∴， ∴ 又∵， ∴， ∴ ∴； （2）由（1）知， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴ ∴ ∵AD=6， ∴． 【点睛】本题考查三角形的重心、三角形的中位线、三角形相似，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答． 6．（22-23九年级下·陕西西安·开学考试）如图，已知AD是等边△ABC的中线，请用尺规作图法，在线段AD上求作一点P，使得△ABP的面积是△ABC面积的．（保留作图痕迹，不写作法） 【答案】图见解析． 【分析】根据三角形重心的性质、等边三角形的性质可得作出线段的垂直平分线，交于点即可． 【详解】解：如图，点即为所作． 【点睛】本题考查了三角形重心的性质、等边三角形的性质、线段垂直平分线的尺规作图，熟练掌握线段垂直平分线的尺规作图是解题关键． 【变式训练5 相似三角形的判定与性质综台】 1．（23-24八年级下·福建福州·期末）如图，在中，点分别是上的点，连接，，，若，则的长为（   ） A．4 B．5 C．6 D．2 【答案】C 【分析】本题考查相似三角形的判定与性质．根据已知条件证明，利用相似三角形的对应边成比例求解即可． 【详解】解：∵，， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 故选：C． 2．（23-24九年级上·四川德阳·期末）如图，中，，，的面积是1，那么四边形的面积是（    ） A．6 B．8 C．9 D．10 【答案】B 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，如果两个三角形相似，那么它们的对应角相等，对应边的比，对应高的比，对应中线的比，对应角平分线的比，对应周长的比都等于相似比；它们对应面积的比等于相似比的平方． 首先根据得到，然后由，可证，从而根据相似三角形面积的比等于相似比的平方可求出，进而求解即可． 【详解】∵ ∴ ∵ ∴ ∴ ∴ ∴ ∴四边形的面积． 故选：B． 3．（2024·上海·模拟预测）已知在梯形中，，交于，若，则的值为 【答案】 【分析】本题考查相似三角形性质，熟练掌握相似三角形面积比为相似比的平方是解题的关键，根据题意作图，已知，可以得到，再根据相似三角形面积比为相似比的平方，即可得到． 【详解】解：根据题意作图可得： ， ，， ， ， ， 故答案为：． 4．（2024·北京海淀·二模）如图，在中，分别在边上，．若，，则的值为 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质，掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键． 根据可证，根据相似三角形对应边的比等于相似比即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∴，且， ∴， ∴， 故答案为： ． 5．（2024·陕西咸阳·模拟预测）小华和小林想用标杆来测量如图1所示的古塔的高，如图2，小林在F处竖立了一根标杆，小华走到C处时，站立在C处恰好看到标杆顶端E和塔的顶端B在一条直线上，此时测得小华的眼睛到地面的距离米，米，米，米，点C、F、A在一条直线上，，，，根据以上测量数据，请你求出该塔的高AB． 【答案】该塔的高为38米 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定以及性质，过D作于P，交于N，求出，，，证明，由相似三角形的性质可得出，求出，再根据线段的和差即可得出答案． 【详解】解：如图，过D作于P，交于N， 则，， ，， 由题意得，，， ， ， 即， ， ， 答：该塔的高为38米． 6．（2024·广西南宁·三模）阅读与思考，完成后面的问题． 射影定理，又称“欧几里得定理”，是数学图形计算的重要定理．如图，在中，，是斜边上的高，则有如下结论： ①；②；③．下面是该定理的证明过程（部分）： ∵是斜边上的高，∴．∵，， ∴．∴（依据）．∴．即． (1)材料中的“依据”是指　　　　； (2)选择②或③其中一个结论加以证明； (3)应用：中，，，，点A在y轴上，求顶点A的坐标． 【答案】(1)两角分别对应相等的两个三角形相似 (2)见解析 (3)顶点A的坐标为或 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，解题关键是熟练运用相似三角形的判定和性质进行推理证明和计算． （1）根据“两角分别对应相等的两个三角形相似”即可解答； （2）②根据“两角分别对应相等的两个三角形相似”证明即可得证；③根据“两角分别对应相等的两个三角形相似”证明； （3）根据题意以为坐标原点建立平面直角坐标系，利用证明的射影定理得，即可求出，由此求出顶点A的坐标． 【详解】（1）解：“依据”是：两角分别对应相等的两个三角形相似， 故答案为：两角分别对应相等的两个三角形相似； （2）证明：②，理由如下： ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴ ∴； ③，理由如下： ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴ ∴； （3）解：如图，根据题意以为坐标原点建立平面直角坐标系， ∵，， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∴顶点A的坐标为或． 【变式训练6 利用相似三角形的性质求解】 1．（23-24九年级下·重庆开州·阶段练习）若两个相似三角形的面积比是，则这两个三角形对应边上的高之比是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了相似三角形的性质，熟练掌握相似三角形的面积比等于相似比的平方、对应高（中线、角平分线）的比等于相似比是解题的关键．由相似三角形的面积比等于相似比的平方先求得相似比，再根据相似三角形对应高的比等于相似比即可得答案． 【详解】解：∵两个相似三角形的面积比是 ∴这两个相似三角形的相似比是 ∴这两个相似三角形对应边上的高之比是． 故选：D． 2．（2024九年级下·全国·专题练习）如图，，和分别是和的高，若，，则与的面积的比为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查的是相似三角形的性质，熟知相似三角形（多边形）的高的比等于相似比是解答此题的关键．根据相似三角形的性质可直接得出结论． 【详解】解：∵和分别是和的高，若， ∴其相似比为， ∴与的面积的比为． 故选：A． 3．（2024·江苏盐城·中考真题）两个相似多边形的相似比为，则它们的周长的比为 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了相似多边形的性质，根据相似多边形周长之比等于相似比即可求解，掌握相似多边形的性质是解题的关键． 【详解】解：∵两个相似多边形的相似比为， ∴它们的周长的比为， 故答案为：． 4．（2024·广东深圳·模拟预测）大约在两千四五百年前，如图1墨子和他的学生做了世界上第1个小孔成倒像的实验，并在《墨经》中有这样的精彩记录：“景到，在午有端，与景长，说在端”，如图2所示的小孔成像实验中，若物距为，像距为，蜡烛火焰倒立的像的高度是，则蜡烛火焰的高度是 ． 【答案】4 【分析】本题考查了相似图形的性质，理解题意，掌握相似的性质是解题的关键． 根据即可求解． 【详解】解：根据题意，设蜡烛火焰高度为， ∴， 解得，， ∴蜡烛火焰高度为， 故答案为： ． 5．（23-24九年级下·全国·课后作业）已知两相似三角形对应高的比为，且这两个三角形的周长差为，求它们的周长分别为多少． 【答案】它们的周长分别为 【分析】本题考查的是相似三角形的性质，掌握相似三角形的周长之比等于相似比、对应高的比、对应中线的比、对应角平分线的比都等于相似比是解题的关键．根据相似三角形的性质求出相似三角形的相似比，根据题意列出方程，解方程得到答案． 【详解】解：设较小三角形的周长为，则较大三角形的周长为， 则， ∴， 经检验：是方程的解， 答：它们的周长分别为． 6．（23-24九年级上·安徽亳州·阶段练习）如图，已知于点，于点，，，，为上点．若以A，，为顶点的三角形与以，，为顶点的三角形相似，求的长．    【答案】或3或18 【分析】本题主要考查了三角形相似的性质，解题的关键是注意分和两种情况进行讨论． 【详解】解：设为，当时，， 即， 解得，， 当时，， 即， 解得； 综上分析可知，的长为或3或18． 【变式训练7 证明三角形的对应线段成比例】 1．（23-24九年级上·四川眉山·期中）如图，则下列式子中不成立的是（    ）    A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了相似三角形的性质，根据相似三角形的性质得出，逐项分析判断，即可求解． 【详解】解：∵ ∴ ∴，故A，B，C正确,D错误 故选：D． 2．（22-23九年级上·广西百色·期末）如下图所示，在△ABC中，点D在线段AC上，且△ABC∽△ADB，则下列结论一定正确的是(  ) A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据相似三角形对应边成比例列式整理即可得解． 【详解】解：∵△ABC∽△ADB， ∴， ∴AB2=AC•AD． 故选：A． 【点睛】本题考查了相似三角形的性质，熟练掌握对应顶点的字母放在对应位置上并准确确定出对应边是解题的关键． 3．（22-23九年级上·上海闵行·期末）两个相似三角形的面积之比是 ， 其中较大的三角形一边上的高是 5 厘米， 那 么另一个三角形对应边上的高为 厘米． 【答案】3 【分析】把面积之比转换成相似比，在通过比例求出高 【详解】∵两个三角形面积比为9:25 ∴两个三角形相似比为3:5 设：另一三角形对应边上的高为x ∴，解得x=3 故答案为：3 【点睛】本题考查相似比和面积比的应用，掌握他们的区别是本题关键． 4．（22-23九年级上·全国·课后作业）如图，在△ABC中，AB＝9，AC＝6，D为AB边上一点，且△ABC∽△ACD，则AD＝ ． 【答案】4． 【分析】根据相似三角形性的性质得到对应边成比例，列式求出AD的长． 【详解】∵△ABC∽△ACD，∴， ∵AB＝9，AC＝6，∴，解得：AD＝4． 故答案为：4． 【点睛】本题考查相似三角形的性质，解题的关键是掌握相似三角形的性质． 5．（2023九年级·全国·专题练习）如图，中，，在上分别截取的延长线相交于点F，证明：． 【答案】见解析 【分析】过点E作 交BC于点M，可得到 ，，进而有 ，，根据，可得到，即证． 【详解】如图，过点E作 交BC于点M， ∵， ∴ ，， ∴ ， ∴ , 即 ， ∵ ∴ ， ∴， ∴ 【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定和性质，解题的关键是熟练掌握相似三角形的判定方法和性质． 6．（2023九年级·全国·专题练习）在中，D为上的一点，E为延长线上的一点，交于F．求证： 【答案】见解析 【分析】过D作交于G，证明和相似， 和相似，列出比例式变形，比较，即可解决问题． 【详解】证明：过D作交于G，则和相似， ∴， ∵， ∴， 由可得和相似， ∴即， ∴ 【点睛】本题考查了相似三角形的证明和性质的使用，熟知以上知识是解题的关键． 【变式训练8 在网格中画与已知三角形相似的三角形】 1．（23-24九年级上·河北张家口·阶段练习）如图，在由小正方形组成的方格纸中，和的顶点均在格点上，要使，则点所在的格点为（    ） A．点 B．点 C．点 D．点 【答案】A 【分析】本题考查了相似三角形的判定．利用相似三角形的判定定理(两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似)即可判断． 【详解】解：中，是正方形的对角线， ∴，且，， 即， 要使， 则， 观察图形，只有是正方形的对角线，即， 且，， 即， ∴点符合题意， 故选：A． 2．（22-23九年级上·广东江门·期末）如图，在4×4的正方形网格中，小正方形的边长均为1，的顶点都在格点（网格线的交点）上，则在下列选项中与相似的是（    ）    A．   B．   C．   D．   【答案】B 【分析】可利用正方形的边把对应的线段表示出来，利用三边对应成比例两个三角形相似，分别计算各边的长度即可解题． 【详解】解：由网格的特点知，、都是正方形的角平分线， 则，， 显然，选项A、D都不是直角三角形，不符合题意； 选项B中，夹直角的两边的比为，符合题意； 选项C中，夹直角的两边的比为，不符合题意； 故选：B． 【点睛】此题考查了勾股定理在直角三角形中的运用，有一角相等及夹这角的两边对应成比例判定三角形相似的方法，本题中根据网格的特点求得，是解题的关键． 3．（2023·江苏南通·中考真题）如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，△ABC和△DEF的顶点都在网格线的交点上．设△ABC的周长为C1，△DEF的周长为C2，则的值等于 ． 【答案】 【分析】先证明两个三角形相似，再根据相似三角形的周长比等于相似比，得出周长比的值便可． 【详解】解：∵， ， ， ∴， ∴△ABC∽△DEF， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查相似三角形的性质与判定，勾股定理，本题关键是证明三角形相似． 4．（2023·黑龙江绥化·三模）如图，△ABC的顶点在1×3的正方形网格的格点上，在图中画出一个与△ABC相似但不全等的△DEF（△DEF的顶点在格点上），则△DEF的三边长分别是 ． 【答案】，2，． 【分析】直接利用网格结合勾股定理以及相似三角形的判定方法得出答案． 【详解】如图所示：△ABC∽△DEF， DF＝，ED＝2，EF＝． 故答案为，2，． 【点睛】此题主要考查了相似三角形的性质，正确运用勾股定理进行计算是解题关键． 5．（2024·河南洛阳·一模）图①、图②、图③均是4×4的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，线段的端点均在格点上，在图①、图②、图③给定的网格中按要求画图． (1)在图①中，在线段上画出点M，使； (2)在图②中，在线段上画出点N，使； (3)在图③中，在线段上画出点Q，使．（保留作图痕迹，要求：借助网格，只用无刻度的直尺，不要求写出画法．） 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)见解析 【分析】此题主要考查了作图-应用与设计作图，相似三角形的判定和性质． （1）利用网格的特点，根据相似三角形的性质，取格点D，C，，，连接交于M即可； （2）利用网格的特点，由相似三角形的性质，取格点F，E，，，连接，交于N即可； （3）利用网格的特点，根据相似三角形的性质，取格点G，，连接交于Q即可． 【详解】（1）解：如图，点M即为所求； ； （2）解：如图，点N即为所求； ； （3）解：如图，点Q即为所求． ． 6．（23-24九年级上·江苏淮安·期中）已知图1和图2中的每个小正方形的边长都是1个单位，请在方格纸上按要求画格点三角形： (1)在图1中画，使得，且相似比为； (2)在图2中画，使得，且面积比为． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题主要考查了作相似三角形， （1）根据相似比得出各边均扩大2倍，通过计算求出扩大后三角形三边长再连接各点即可； （2）由面积的比得两三角形相似比为，画出所有对应边为原来倍的三角形即可． 【详解】（1）解：如图：即为所求． ； （2）解：如图：即为所求． ． 【变式训练9 相似三角形--动点问题】 1．（22-23九年级上·河北石家庄·期中）如图，在中，，，，是上一点，，点从出发沿方向，以的速度运动至点处，线段将分成两部分，可以使其中一部分与相似的点的个数为（    ） A．0个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】D 【分析】根据相似三角形的判定定理“有两个角分别相等的两个三角形相似”，按点P的运动轨迹，一次进行判断即可． 【详解】解：①当时，， ②当时，， ③当时，， ④当时，， 综上：一共有4个， 故选：D． 【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定定理，解题的关键是熟练掌握“有两个角分别相等的两个三角形相似”． 2．（22-23九年级上·陕西西安·期中）如图，在中，，，，D为BC的中点，若动点E以1cm/s的速度从A点出发沿AB向B点运动，设E点的运动时间为t秒，连接DE，当以B、D、E为顶点的三角形与相似时，t的值为（    ） A．1 B．4 C．7 D．4或7 【答案】D 【分析】求出，分两种情况：当和，利用30°角直角三角形的性质求解即可得出结果． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， 分两种情况： ①当时， ， ∴， ∵D为BC的中点， ∴E为的中点， ∴， ∴； ②当时， ∵， ∴， ∴， ∵D为BC的中点， ∴， ∴， ∴， ∴； 综上所述，当以B、D、E为顶点的三角形与△ABC相似时，t的值为4或7， 故选：D． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定、平行线的性质、含30°角的直角三角形的性质等知识，熟记相似三角形的判定方法是解决问题的关键，注意分类讨论． 3．（23-24九年级上·广西南宁·期中）如图， 在中，，， 动点P以的速度从A向B移动，（不与B重合）， 动点Q以的速度从B向C移动，（不与C重合），若P、 Q同时出发，经过 秒后，与相似．    【答案】3或 【分析】本题考查了相似三角形的判定，设x秒后与原三角形相似，则可用x表示出，由于与有公共角，则根据两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似，分两种情况． 【详解】解：设x秒后与相似，则， ， ∴当时，， 即， 解得； 当时，， 即， 解得． 即经过3秒或秒后，与相似． 故答案为：3或． 4．（23-24九年级上·江西抚州·期中）如图，在中，厘米，厘米，点从点出发，沿着边向点以的速度运动，点从点出发，沿着边向点以的速度运动，其中一个动点到端点时，另一个动点也相应停止运动，那么，当以、、为顶点的三角形与相似时，运动时间为 秒． 【答案】秒或4秒 【分析】本题考查了相似三角形的判定及性质，设运动时间为秒，分和，两种情况，利用相似三角形的性质即可求解，熟练掌握相似三角形的判定及性质，利用分类讨论思想解决问题是解题的关键． 【详解】解：设运动时间为秒， 当时，如图：    则，，， ，即：， 解得：， 当时，如图：    则，，， ，即：， 解得：， 综上所述，运动时间为秒或4秒， 故答案为：秒或4秒． 5．（22-23九年级上·浙江杭州·期末）如图，在中，厘米，厘米，点从点出发，沿着边向点以厘米秒的速度运动，点从点出发，沿着边向点以厘米秒的速度运动如果与同时出发，那么经过几秒和相似？    【答案】秒或秒 【分析】本题主要利用相似三角形的判定，设经过秒和相似，先求出，，再利用相似三角形对应边成比例列式求解即可． 【详解】解：设经过秒，两三角形相似，则，， ①当与是对应边时，， 即， 解得； ②当与是对应边时，， 即， 解得． 故经过秒或秒，两个三角形相似． 6．（22-23八年级下·黑龙江大庆·阶段练习）如图，在中，，，点P从点A开始沿边向点B以的速度移动，点Q从点B开始沿边BC向点C以的速度移动，如果点P、Q分别从点A、B同时出发，当点Q运动到点C时，两点停止运动，多长时间后，与相似？    【答案】或 【分析】首先设经秒钟与相似，由题意可得，，，又由是公共角，分别从与分析，即可求得答案． 【详解】解：设经秒钟与相似， 则，， ，， ， 是公共角， ①当，即时，， 解得：； ②当，即时，， 解得：， 经过2或秒钟与相似． 【点睛】此题考查了相似三角形的判定．此题难度适中，属于动点型题目，注意掌握数形结合思想、分类讨论思想与方程思想的应用． 【变式训练10 相似三角形应用举例】 1．（2024·黑龙江哈尔滨·模拟预测）如图，小明利用标杆测量一棵大树的高度，如果标杆的高为2m，并测得，，那么树的高度是（    ） A．6m B．8m C．12m D．15m 【答案】B 【分析】本题考查的是相似三角形的应用，先根据相似三角形的判定定理得出，再根据相似三角形的对应边成比例即可求出的长． 【详解】解：，， ，， 在与中，，， ， ， 即， 解得． 故选：B 2．（2024·河北邯郸·二模）如图是一把折叠椅子及其侧面的示意图，把一个简易刻度尺与地面垂直放置，其中与“0”刻度线重合，点落在“3”刻度线上，与“5”刻度线重合，若测得，则的长是（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质．证明，根据相似三角形的性质“相似三角形对应高的比等于相似比”列式计算即可求解． 【详解】解：根据题意得， ∴， ∴， ∵， ∴， 故选：B． 3．（2024·江苏扬州·二模）《九章算术》中记载了一种测量井深的方法．如图所示，在井口处立一根垂直于井口的木杆，从木杆的顶端观察井水水岸，视线与井口的直径交于点，如果测得米，米，米，那么为 米． 【答案】2.6 【分析】本题考查了相似三角形的应用．根据题意可得：，，从而可得，然后证明，从而利用相似三角形的性质进行计算即可解答． 【详解】解：由题意得：，， ， ， ， ， ， 解得：， 为2.6米， 故答案为：2.6． 4．（2024·吉林长春·二模）如图①，是生活中常见的人字梯，也称折梯，因其使用时，左右的梯杆及地面构成一个等腰三角形，因而把它形象的称为“人字梯”．如图②，是其工作示意图，拉杆米，则两梯杆跨度B、C之间距离为 米． 【答案】 【分析】本题考查了相似三角形的应用．熟练掌握相似三角形的应用是解题的关键． 证明，则，即，计算求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴，即， 解得，， 故答案为：． 5．（2024·河南周口·三模）小明在学习了相似以后，尝试用平面镜的反射原理测学校小广场旗杆的高度，如图，是旗杆，是水平地面，M是平放地面的一面平面镜，是眼睛到地面的距离，调整和M的位置，通过镜面反射（法线地面，），当眼睛A正好在平面镜中看到旗杆顶端C时，测出，，． (1)求旗杆的高度（精确到） (2)为了减少误差，请提出一个合理化的建议． 【答案】(1)旗杆的高度为； (2)多次测量，求平均值（答案不唯一） 【分析】本题考查相似三角形的应用． （1）证明，推出，代入有关数据即可求出的长． （2）合理即可． 【详解】（1）解：，， ． ， ， ， ， ； 答：旗杆的高度为； （2）解：多次测量，求平均值（答案不唯一）． 6．（2024·陕西咸阳·模拟预测）如图，一条小河两岸分别有两棵树，记为树A和树B．小河的宽度未知，为了安全起见，数学兴趣小组成员不得通过涉水的方式测量树A与树B之间的距离，于是他们采取如下方式： ①在树B所在的河岸边选择一点C，观测对岸的树A，并记录下的距离为； ②在树B所在的河岸内侧，选择两点D，E，从点D观测树A，且A，D以及C三点共线，然后从点E观测树B与树A，并使E，B，A三点共线； ③调整D，E的位置，使，记录下的距离为； ④测量出之间的距离大约为． 数学兴趣小组的方案能否得出树A与树B之间的距离？请通过分析与计算说明． 【答案】能测出树A与树B之间的距离为18米 【分析】本题主要考查了相似三角形的应用，根据平行证明，即可得，代入计算即可作答． 【详解】能测出树A与树B之间的距离，如下： ∵， ∴，， ∴， ∴，即， ∵的距离为，的距离为，之间的距离大约为， ∴， 解得：， 经检验，是原方程的解， 答：能测出树A与树B之间的距离为18米． 【变式训练11 相似三角形的综合问题】 1．（22-23九年级下·四川成都·开学考试）如图，和位似，且相似比为．则与的面积比为（    ） A．2：3 B．4：9 C．1：4 D．4：3 【答案】B 【分析】根据两三角形相似，面积比等于相似比的平方即可求解． 【详解】解：∵与位似，点O是它们的位似中心，且相似比为， ∴，， ∴， ∴， 故选：B． 【点睛】本题考查了位似三角形的性质，明确两三角形位似，面积比等于相似比的平方是解题的关键． 2．（22-23九年级上·福建宁德·期末）如图，△ABC与△DEF位似，位似中心是点P，其位似比为1：2，则△ABC与△DEF的面积比是（　　） A．1：2 B．1：4 C．1： D．1：8 【答案】B 【分析】根据相似三角形的面积之比等于相似比的平方解答． 【详解】解：∵△ABC与△DEF是位似图形，其位似比为1：2， ∴△ABC与△DEF的面积比为1：4． 故选：B． 【点睛】本题考查了位似的相关知识，位似是相似的特殊形式，位似比等于相似比，其对应的面积比等于相似比的平方． 3．（2023·甘肃武威·一模）已知△ABC和△DEF是位似图形，且△ABC与△DEF的位似比是1：4，已知△ABC的周长是6，则△DEF的周长是 ． 【答案】24 【分析】根据位似图形周长比等于位似比，知道其中一个周长，就可以求出另外一个周长. 【详解】解：与的位似比是1:4， 所以周长比是1:4， ∵△ABC的周长是6， 则△DEF的周长是24 故答案为：:24 【点睛】此题重点考查学生对位似图形周长的计算，抓住周长比等于位似比是解题的关键. 4．（2023·辽宁阜新·中考真题）如图，△ABC与△A1B1C1为位似图形，点O是它们的位似中心，位似比是1：2，已知△ABC的面积为3，那么△A1B1C1的面积是 ． 【答案】12． 【详解】解：∵△ABC与△A1B1C1为位似图形，∴△ABC∽△A1B1C1． ∵位似比是1：2，∴相似比是1：2．∴△ABC与△A1B1C1的面积比为：1：4． ∵△ABC的面积为3， ∴△A1B1C1的面积是：3×4=12． 故答案为：12． 5．（22-23九年级上·浙江·阶段练习）如图，在Rt△ABC中，AC=4，BC=3．在Rt△ABC内并排放入（不重叠）n个小正方形纸片，使这些纸片的一边都在AB上，首尾两个正方形各有一个顶点D、E分别在AC、BC上，求小正方形的边长（用n的代数式表示）． 【答案】x= 【分析】作CF⊥AB，交DE于点H，利用面积法求出CF的长，易证△DEC∽△ABC，CH:CF=DE:AB，即（-x）：=nx：5 【详解】作CF⊥AB，交DE于点H 易得CF= ∵DE∥AB ∴△DEC∽△ABC 又∵CH⊥DE，CF⊥AB ∴CH:CF=DE:AB ∴（-x）：=nx：5 解得x= 6．（22-23九年级上·湖南永州·期中）如图，在中，点D是上一点，且，，．求证：． 【答案】证明见解析 【分析】本题考查的是相似三角形的判定，先证明，再结合公共角可得结论，熟记相似三角形的判定方法是解本题的关键． 【详解】证明：∵，，， ∴，， ∴， 又∵， ∴． 1．（23-24九年级下·四川成都·阶段练习）如图，下列条件不能判定的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了相似三角形的判定，熟练掌握相似三角形的判定定理是解题的关键．根据有两个角对应相等的三角形相似和两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似，分别判断得出即可． 【详解】解：、，， ∴，故此选项不合题意； 、，， ∴，故此选项不合题意； 、， ，， ∴，故此选项不合题意； 、，不存在夹角相等，不能判定，故此选项符合题意． 故选：D． 2．（23-24九年级上·安徽合肥·期中）如图，，下列添加的条件不能使的是（    ）．    A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查相似三角形的判定．熟知相似三角形的判定方法把每个选项逐一分析即可得出． 【详解】A．，，，，，故该选项不合题意； B．，，，，，，故该选项不合题意； C．，，，，，理由同A选项，故该选项不符合题意； D．，，不能证明两三角形相似，故该选项符合题意； 故选：D 3．（22-23九年级上·浙江杭州·期末）下列阴影三角形分别在小正方形组成的网格中，则与下图中的三角形相似的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由于已知三角形和选择项的三角形都放在小正方形的网格中，设正方形的边长为1，所以每一个三角形的边长都可以表示出，然后根据三组对应边的比相等的两个三角形相似即可判定选择项． 【详解】解：设小正方形的边长为1，那么已知三角形的三边长分别为，，，所以三边之比为． A、三角形的三边分别为，，4，三边之比为，故本选项不符合； B、三角形的三边分别为2，，，三边之比为，故本选项不符合； C、三角形的三边分别为2，3，，三边之比为，故本选项不符合； D、三角形的三边分别为2，4，，三边之比为，故本选项符合． 故选：D． 【点睛】此题主要考查了相似三角形的判定， 属于基础题， 掌握三边对应成比例的两个三角形相似是解答本题的关键， 难度一般 ． 4．（22-23九年级上·河北秦皇岛·期中）如图，已知中，为边上一点，为边上一点，，， ，当的长度为 时， 和相似(   ) A．9 B．6 C．4或9 D．6或9 【答案】C 【分析】此题主要考查了相似三角形的判定与性质，分别根据当时，当时，求出的长即可． 【详解】解：当时， ， ， 解得：， 当时， ， ， 解得：， 当的长度为或时，和相似． 故选C． 5．（22-23九年级上·四川成都·期中）如图，与是位似图形，相似比为1：3，已知，则AD的长为（    ） A．4 B．6 C．9 D．15 【答案】B 【详解】∵与是位似图形，相似比为1：3， ∴，且， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：B． 【点睛】本题主要考查了位似图形的性质，平行线分线段成比例等知识，掌握位似图形的性质是解答本题的关键． 6．（22-23九年级上·广西桂林·期末）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB，DE⊥BC，垂足分别为点D，E，则图中与△ABC相似的三角形个数有 个． 【答案】4 【分析】根据等角或同角的余角相等，证明三角形相似即可． 【详解】解：∵在△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB，DE⊥BC， ∴ 又 又 ， 又 与△ABC相似的三角形有，，，，共计4个 故答案为：4 【点睛】本题考查了相似三角形的判定，掌握相似三角形的的判定定理是解题的关键． 7．（22-23九年级上·山西·阶段练习）如图：点是的斜边上不与、重合的一定点，过点作直线截，使截得的三角形与原相似，这样的直线共有 条． 【答案】 【分析】在直角三角形中，只要有一个锐角相等，两个直角三角形就相似，根据这个知识点作线即可. 【详解】当过点M的直线平行于AB和AC时，所截的三角形与△ABC相似，当过M的直线垂直于AC时也相似，所以这样的直线共有三条. 【点睛】在直角三角形中，只要有一个锐角相等，两个直角三角形就相似. 8．（22-23九年级上·上海虹口·阶段练习）如图，点为的重心，连接，则 ．    【答案】 【分析】三角形的重心是三边中线的交点，根据重心分中线的线段关系（即）即可求解． 【详解】解：∵点为的重心，即是的中线， ∴， 如图所示，过点作于点，    ∴，， ∴， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查三角形中线，三角形重心的知识的综合，掌握三角形重心的定义和性质是解题的关键． 9．（22-23九年级上·山东滨州·期末）如图，在中，，，点P从点A开始沿边向点B以的速度移动，点Q从点B开始沿边向点C以的速度移动．若点P、Q分别从点A、B同时出发，问经过 秒钟，与相似． 【答案】2或5/5或2 【分析】分和两种情况解答即可． 【详解】解：设P、Q运动时间为秒， 根据题意，，，则， 当时，则，即， 解得：； 当时，则，即， 解得：， 综上，当经过2或5秒钟，与相似． 故答案为：2或5． 【点睛】本题考查相似三角形的动点问题，理解题意，掌握相似三角形的性质，分类讨论是解答的关键． 10．（2024·山东临沂·二模）据《墨经》记载，在两千多年前，我国学者墨子和他的学生做了“小孔成像”实验，阐释了光的直线传播原理．小孔成像的示意图如图所示，光线经过小孔，物体在幕布上形成倒立的实像（点，的对应点分别是，．若物体的高为，实像的高度为，则小孔的高度为 ． 【答案】 【分析】本题考查了相似三角形的应用，熟记相似三角形的对应边成比例是解题的关键．由题意可得出，，再根据相似三角形的性质得出比例式求出的长即可． 【详解】解：∵，，， ∴， ∴，， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 11．（2023·山东临沂·模拟预测）如图，在中，，求的值．    【答案】/ 【分析】证明，根据相似三角形的性质求出．本题考查的是相似三角形的判定与性质，正确掌握相似三角形的性质是解题的关键． 【详解】解：∵在中，，是斜边上的高， ，， ， 又， ， ， ． 12．（22-23九年级上·江苏无锡·阶段练习）如图，点D、E分别在AB、AC边上，且AD=5，BD=3，AE=4，CE=6. 试说明：（1）△ADE∽△ACB；（2）若BC=9，求DE的长. 【答案】（1）证明见解析；（2）DE=4.5 【分析】（1）由条件可得，且为公共角，则可证明； （2）由（1）可得，可求得. 【详解】⑴  ∵AD=5，BD=3，AE=4，CE=6， ∴AB=8，AC=10， ∴， ∵∠A=∠A， ∴△ADE∽△ACB； ⑵ ∵△ADE∽△ACB， ∴， ∵BC=9， ∴DE=4.5. 【点睛】本题主要考查相似三角形的判定和性质，掌握三角形相似的判定方法，即有两组角对应相等、两组对应边的比相等且夹角相等或三组对应边的比相等是解题的关键. 13．（22-23九年级上·全国·课后作业）已知：Rt△OAB在直角坐标系中的位置如图所示，点B的坐标为（4，2），P为OB的中点，点C为折线OAB上的动点，线段PC把Rt△OAB分割成两部分，问：点C在什么位置时，分割得到的三角形与Rt△OAB相似？要求在图上画出所有符合要求的线段PC，并求出相应的点C的坐标．    【答案】作图见解析，C点坐标为：（2，0）或（4，1）或（2.5，0）． 【分析】由于点不确定，故分，，三种情况进行讨论． 【详解】解：点的坐标为， ，，，． 如图，当时， ，即， ，， ； 当时， ，即，解得， ， ； 当时， ，即，解得， ； 综上所述，点坐标为：或或．    【点评】本题考查的是相似三角形的判定，在解答此题时要注意进行分类讨论，不要漏解． 14．（22-23九年级上·山东济南·阶段练习）如图，在Rt中，，，，点P从点A出发，以1cm/s的速度沿AB运动；同时，点Q从点B出发，以2cm/s的速度沿BC运动．当点Q到达点C时，P、Q两点同时停止运动．设点P、Q运动时间为．当与相似时，的值是多少？    【答案】的值是或 【分析】分两种情况讨论，由相似三角形的性质，列出等式，即可求解． 【详解】解：当△PBQ∽△ABC时， ， 即， 解得， 经检验：是方程的解， 当△PBQ∽△CBA时， ， 即， 解得， 经检验：是方程的解， ∴的值是或． 【点睛】本题考查了相似三角形的性质，利用分类讨论的思想解决问题是解题的关键． 15．（2024·陕西西安·模拟预测）西安鼓楼，位于古都西安市的中心，是全国重点文物保护单位，也是西安的标志性建筑．学校某实践小组根据课堂所学知识，想实地测量西安鼓楼的高度．如图，测量小组在点F处直立一个高的标杆，随后小组成员沿直线移动测量．成员小王从点F后退到达点G处，此时鼓楼顶端A、标杆顶端E、点G恰好在一条直线上；小王从点G继续后退到达点H处．这时，他在点H处的地面上水平放置一个平面镜．成员小李沿方向移动到点N处时，小李刚好在平面镜内看到鼓楼顶端A的像．此时测得，小李眼睛与地面的距离．已知点B、F、G、H、N在同一水平直线上，且均垂直于，求鼓楼的高度（平面镜的大小忽略不计） 【答案】鼓楼的高度为 【分析】本题主要考查了相似三角形的实际应用，设，先证明得到，则，再证明，利用相似三角形的性质列出比例式求解即可． 【详解】解：设， 由题意得，， ∴， ∴，即， ∴， ∴， 由光的反射定律可知， 又∵， ∴， ∴，即， 解得， ∴， ∴鼓楼的高度为． 学科网（北京）股份有限公司 $$