第07讲 比例线段与相似多边形（8大知识点+9大典例+变式训练+随堂检测）-（暑期衔接课堂）2024年暑假八升九数学衔接讲义（北师大版）

第07讲 比例线段与相似多边形（8大知识点+9大典例+变式训练+随堂检测） 题型一 比例的性质 题型二 比例线段 题型三 成比例线段 题型四 黄金分割 题型五 由平行判断成比例的线段 题型六 由平行截线求相关线段的长或比值 题型七 相似图形 题型八 相似多边形 题型九 相似多边形的性质 知识点01： 成比例线段 对于四条线段a、b、c、d，如果其中两条线段的比与另两条线段的比相等，如a:b=c:d，我们就说这四条线段是成比例线段，简称比例线段． 知识点02： 比例的性质 （1）基本性质：若a:b=c:d ，则ad=bc； （2）合比性质：如果 如果 （3）等比性质：如果 （4）比例中项：若a:b=b:c ，则 =ac，b称为a、c的比例中项． 要点： 通常四条线段a,b,c,d的单位应该一致，但有时为了计算方便，a,b的单位一致，c,d的单位一致也可以。 知识点03： 黄金分割 如果点P把线段AB分割成AP和PB,(AP>PB)两段，其中AP是AB和PB的比例中项，那么就称这种分割为黄金分割，点P是线段AB的黄金分割点. ≈0.618AB(叫做黄金分割值). 要点： 线段的黄金分割点有两个. 知识点04： 平行线截线段成比例 基本事实：两条直线被一组平行线(不少于3条)所截，所得的对应线段成比例 已知如图，直线l1、l2、l3是一组等距离的平行线，l4、l5是任意画的两条直线，分别于这组平行线一下相交于点A，B，C，D，E，F，则比例式 成立. 要点： (1).对应线段成比例可用下面的语言形象表示： 等等. （2）有推论可以得出以下结论： 知识点05： 把已知线段AB五等分 已知线段AB，请利用尺规作图把线段AB五等分. 作法 1. 以A为端点作一条射线，并在射线上依次截取线段AA1=A1A2=A2A3=A3A4=A4A5. 2. 连结A5B，并过点A1，A2，A3，A4分别作A5B的平行线，依次交AB于点B1，B2，B3，B4.则点B1，B2，B3，B4就是所求作的把线段AB五等分的点. 依据：实际上，过点A作l∥A5B，根据平行线分线段成比例的基本事实，就可以得到如下关系式 ∵ AA1=A1A2=A2A3=A3A4=A4A5， ∴ AB1=B1B2=B2B3=B3B4=B4B, ∴点B1，B2，B3，B4把线段AB五等分. 要点：在射线上截取等长的线段时使用的作图工具是圆规,不能使用直尺进行量取,尺规作图中的直尺是没有刻度的,它的用途是画线或者连线. 知识点06： 相似图形及比例线段 相似图形：在数学上，我们把形状相同的图形称为相似图形. 要点： 　 (1) 相似图形就是指形状相同，但大小不一定相同的图形； (2) “全等”是“相似”的一种特殊情况，即当“形状相同”且“大小相同”时，两 个图形全等； 知识点07： 相似三角形 在和中，如果我们就说与相似，记作∽.k就是它们的相似比，“∽”读作“相似于” 知识点08： 相似多边形 相似多边形的性质： （1）相似多边形的对应角相等，对应边的比相等． （2）相似多边形的周长比等于相似比． （3）相似多边形的面积比等于相似比的平方． 要点： 用相似多边形定义判定特殊多边形的相似情况： （1）对应角都相等的两个多边形不一定相似，如：矩形； （2）对应边的比都相等的两个多边形不一定相似，如：菱形； （3）边数相同的正多边形都相似，如：正方形，正五边形. 【典型例题一 比例的性质】 1．（2024·甘肃陇南·二模）若，则（   ） A． B．1 C． D．35 2．（23-24九年级下·甘肃定西·阶段练习）已知，那么下列等式成立的是（   ） A． B． C． D． 3．（2024·浙江·三模）已知 则代数式 的值为 ． 4．（2024·广东清远·三模）若，则 ． 5．（23-24九年级上·安徽六安·阶段练习）若，求的值． 6．（23-24九年级上·安徽六安·期中）已知，求和值． 【典型例题二 比例线段】 1．（23-24九年级上·安徽合肥·阶段练习）一种精密零件长毫米，把它画在图纸上，图上零件长厘米，这张图纸的比例尺是（   ） A． B．500:1 C．1:50 D．50:1 2．（23-24九年级上·云南文山·期中）在一幅比例尺为的地图上，量得某座大桥长厘米，这座大桥的实际长度是（    ） A．55米 B．10千米 C．55千米 D．千米 3．（23-24九年级上·江苏常州·期中）线段的比例中项为 ． 4．（23-24九年级上·河北石家庄·期中）点在线段上，若  ，则 ． 5．（23-24九年级上·浙江宁波·阶段练习）已知三条线段，，满足，且. (1)求，，的值； (2)若线段是线段和的比例中项，求的值. 6．（23-24八年级上·山东聊城·期中）已知线段a、b、c满足，且． (1)求a、b、c的值； (2)若线段，线段x是线段a、d的比例中项，求x． 【典型例题三 成比例线段】 1．（2024九年级下·全国·专题练习）下列各组中的四条线段成比例的是（　　） A． B． C． D． 2．（2024九年级下·全国·专题练习）下列各组线段的长度成比例的是（　　） A．0.3m，0.6m，0.5m，0.9m B．30cm，20cm，90cm，60cm C．1cm，2cm，3cm，4cm D．2cm，3cm，4cm，5cm 3．（23-24八年级下·山东烟台·期中）已知线段，，，是成比例线段，其中，，，则的值是 ． 4．（23-24八年级下·福建福州·期末）已知线段，，，是成比例线段，其中，，，则的值是 . 5．（23-24九年级上·浙江·期末）已知线段a，b的长分别是，，求线段a，b的比例中项线段． 6．（23-24九年级上·贵州黔东南·阶段练习）与在网格中的位置如图所示，如果每个小正方形的边长都是1． (1)求，，的值； (2)求的周长与的周长的比； (3)在，，，，，这六条线段中，指出其中三组成比例的线段． 【典型例题四 黄金分割】 1．（23-24九年级上·安徽宿州·期中）已知点P是线段的黄金分割点，那么的长是（    ） A． B． C． D． 2．（2023·广东佛山·一模）如图，点是线段的黄金分割点，下列结论错误的是（    ）    A． B． C． D． 3．（23-24八年级下·上海青浦·期末）点是线段上的一点，如果，，那么 ． 4．（2024·湖南益阳·二模）如图，乐器上的一根弦，两个端点固定在乐器面板上，支撑点是靠近点的黄金分割点，支撑点是靠近点的黄金分割点，则点到点的距离为 ．（结果保留根号） 5．（2024九年级下·江苏·专题练习）如图，点是线段的黄金分割点，，计算线段的黄金比的值． 6．（23-24七年级上·福建龙岩·开学考试）黄金分割具有严格的比例性、艺术性、和谐性，蕴藏着丰富的美学价值，这一比值能够引起人们的美感，被认为是建筑和艺术中最理想的比例．人体上半身长和下半身长的黄金比为，这时人的身长比例看上去更美观．乐乐的妈妈上半身长68厘米，下半身长104厘米，她想通过穿高跟鞋，使身长的比例更美观，于是她购买了一双6厘米高的高跟鞋．依据黄金比，这双高跟鞋的高度合适吗？请说明理由． 【典型例题五 由平行判断成比例的线段】 1．（22-23九年级上·上海杨浦·阶段练习）已知线段a，b，c，求作线段x，使得，下列作图正确的是（    ） A．   B．   C．   D．   2．（23-24九年级上·安徽宿州·阶段练习）如图，，直线，与这三条平行线分别交于点A，B，C和点D，E，F．下列结论：①；②；③；④．其中正确的个数为（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 3．（23-24九年级上·上海宝山·期中）如图，点A、B、C和点D、E、F分别位于同一条直线上，如果，且，，那么 . 4．（22-23九年级上·湖南永州·期末）已知：如下图，，，，，则 ． 5．（22-23九年级下·全国·单元测试）已知，如图，在中，，求证：      (1) (2)． 6．（22-23九年级·全国·假期作业）如图，延长正方形ABCD的一边CB至E，ED与AB相交于点F，过F作FG∥BE交AE于点G，求证：GF＝FB． 【典型例题六 由平行截线求相关线段的长或比值】 1．（23-24九年级上·浙江温州·阶段练习）如图，直线，直线交，，于点，，；直线交，，于点，，，若，，则的长为(  ) A．2 B．4 C．5 D．10 2．（23-24九年级上·贵州毕节·期末）如图，直线，直线a，b相交于点，且与分别相交于点B，C和点D，E．若，，则的长为（    ） A． B． C． D． 3．（2024·四川成都·一模）如图，，，则BC的长为 ． 4．（22-23九年级上·新疆喀什·期末）如图，已知直线分别交直线于点A、B、 C，交直线 交于点D、 E、F，且，，则 ． 5．（22-23九年级上·陕西咸阳·阶段练习）如图，直线，直线分别交、、于点A、B、C，直线分别交、、于点D、E、F．若，，求线段的长．    6．（23-24九年级上·安徽宿州·阶段练习）如图，在中，点D，E，F分别是边上的点，且，且，，求的长．    【典型例题七 相似图形】 1．（23-24九年级上·河南安阳·期末）下面几对图形中，相似的是（    ） A． B． C． D． 2．（23-24九年级上·云南昆明·阶段练习）下面几对图形中，相似的是（    ） A． B． C． D． 3．（22-23九年级上·上海静安·课后作业）相似的两个图形，它们的大小 (填“一定”，“不一定”，“一定不”)相同． 4．（22-23九年级上·山东菏泽·期中）下面关于两个图形相似的判断：①两个等腰三角形相似；②两个等边三角形相似；③两个等腰直角三角形相似；④两个正方形相似；⑤两个等腰梯形相似．其中正确的是 ．（填写序号） 5．（22-23九年级上·上海·课后作业）（1）四个内角都对应相等的两个四边形一定相似吗？为什么？ （2）所有的等边三角形都一定相似吗？所有菱形呢？为什么？ 6．（22-23九年级·全国·假期作业）网格中每个小正方形的边长为1，每个小正方形的顶点为格点，三角形和长方形的顶点都在格点上． (1)在图1的网格中按2：1画出网格中三角形放大后的图形①； (2)在图2的网格中按1：2画出网格中长方形缩小后的图形②； (3)请直接写出图形①的面积与图形②的面积的最简整数比为 ． 【典型例题八 相似多边形】 1．（2023九年级上·黑龙江哈尔滨·专题练习）下列说法中错误的是（    ）． A．所有等边三角形都相似 B．和同一个三角形相似的两个三角形也相似 C．所有菱形都相似 D．所有的正方形都相似 2．（23-24九年级上·广西桂林·期中）下列图形是相似多边形的是（    ） A．所有的等边三角形 B．所有的矩形 C．所有的菱形 D．所有的平行四边形 3．（2023九年级上·全国·专题练习）各角分别相等，各边 的两个多边形叫做相似多边形；相似多边形对应边的比叫做 ． 4．（22-23九年级上·陕西榆林·期中）如图，五边形五边形，则五边形与五边形的相似比是 ．    5．（22-23八年级下·山东青岛·期末）已知四边形ABCD，请你作出一个新图形，使新图形与四边形ABCD的相似比为2：1，用圆规、直尺作图，不写作法，但要保留作图痕迹． 6．（22-23九年级·全国·课后作业）如图，点、为梯形两腰的中点，问梯形与梯形相似吗？为什么？ 【典型例题九 相似多边形的性质】 1．（23-24九年级上·四川成都·期末）若四边形四边形，且，已知，则BC的长是（    ） A．25 B．9 C．20 D．15 2．（23-24九年级上·河北廊坊·期末）如图，用放大镜看到的多边形与原多边形相比较，不发生改变的是（    ） A．周长 B．面积 C．每个内角的度数 D．每条边的长度 3．（2024九年级下·全国·专题练习）一个六边形六边长分别为3，4，5，6，7，8，另一个与它相似的六边形的最短边为6，则其周长为 ． 4．（23-24九年级下·甘肃武威·阶段练习） 五边形五边形，相似比为，若，则 ． 5．（22-23九年级下·全国·课后作业）任意两个矩形相似吗？为什么？ 6．（22-23九年级上·全国·单元测试）观察下面这张残破的图（如图所示），其中残破的七边形与七边形相似，如果量得，，你能求出七边形的面积吗？    【变式训练1 比例的性质】 1．（23-24九年级上·浙江宁波·阶段练习）如果，那么的值为（    ） A． B． C． D． 2．（23-24九年级上·湖北鄂州·阶段练习）已知，下列等式错误的是（    ） A． B． C． D． 3．（23-24八年级下·山东烟台·期中）已知，那么的值为 ． 4．（2024·山西吕梁·模拟预测）如图称为桔槔，俗称“吊杆”“称杆”，是一种原始的汲水工具．在图2的桔槔模型中，设支点O离物体A的桔槔端点距离为，离物体B的桔槔端点距离为，若，且物体A的质量为，则能汲起水的质量B为 ．    5．（22-23九年级上·安徽·期中）已知：，试说明：． 6．（22-23九年级·上海·假期作业）（1）若，则___________； （2）若，则___________； （3）若，则___________． 【变式训练2 比例线段】 1．（23-24九年级上·安徽六安·期中）若线段，，则（    ） A． B．5 C． D．2 2．（23-24九年级上·广西贺州·期中）小红的爸爸是汽车制造厂的工程师．他要将一个长毫米、宽毫米的零件画在一张纸（）上，适合的比例尺是（　　） A． B． C． D． 3．（23-24九年级上·上海奉贤·期中）已知线段厘米，厘米，则它们的比例中项b为 . 4．（23-24九年级上·安徽合肥·期中）在比例尺为的地图上，测得 A、B 两地间的图上距离为3厘米，则其实际距离为 米． 5．（22-23九年级上·全国·课后作业）如图：点C是线段AB上的点，点D是线段BC的中点，若AC：BC=3：2，且AD=8，求线段AB的长． 6．（23-24七年级上·浙江宁波·开学考试）上午9时，小丽和小芳为了测量一根旗杆的高度，在同一时间同一地点做了以下实验（如图），根据下面的实验，请你求出这根旗杆的高度．    【变式训练3 成比例线段】 1．（23-24九年级上·四川成都·期中）在比例尺为的交通地图上，宝应到扬州的长度约为，则它的实际长度约为（    ） A． B． C． D． 2．（23-24九年级上·海南海口·阶段练习）下面四条线段成比例的是（    ） A． B． C． D． 3．（23-24九年级上·上海·期中）已知线段厘米，厘米，那么线段和的比例中项 厘米． 4．（2023·浙江丽水·模拟预测）已知三条线段的长度分别是3，6，5，试写出另一条线段的长度 ，使这四条线段成比例线段． 5．（23-24九年级上·湖南常德·期中）若，求的值． 6．（23-24九年级上·安徽合肥·期中）已知 ，，是a，b的比例中项，求c的值； 【变式训练4 黄金分割】 1．（23-24九年级上·浙江金华·阶段练习）已知C是的黄金分割点，若，则的长为（　　） A． B． C． D． 2．（23-24九年级上·辽宁朝阳·期末）小颖同学是校园艺术节的主持人，学完黄金分割后她想，主持节目时如果站在舞台长的黄金分割点的位置，会让台下的同学们看起来效果更好，于是她将舞台的长看作线段，量得米，若点是线段的黄金分割点，则线段的长为（    ） A． B． C． D． 3．（2024·陕西西安·三模）如图，点是线段的黄金分割点（即），若以为边的正方形的面积为100，则长为，宽为的矩形的面积为 ． 4．（2024·陕西西安·模拟预测）战至终章，逐梦不止．第19届杭州亚运会的会徽，名为“潮涌”，它象征着新时代中国特色社会主义大潮的涌动和发展．其中浪潮设计借助了黄金分割比．如图，若点C可看做是线段的黄金分割点（），，则 ．（结果保留根号） 5．（23-24九年级上·湖南永州·阶段练习）美是一种感觉，当人体下半身长与身高的比值越接近0.618时，越给人美感．数学老师身高为160，下半身长x与身高h的比值是0.60，为尽可能达到最好的效果，请你帮她算一算，她应该穿的高跟鞋的高度大约是多少？(结果保留整数)． 6．（23-24九年级上·江西鹰潭·期中）人体上半身长和下半身长的黄金比为，这时人的身长比例看上去更美观．某演员的身长情况如图所示，她想通过穿高跟鞋使身长比例更美观，于是她购买了一双6厘米的高跟鞋．请依据“黄金比”判断这双高跟鞋的高度是偏高还是偏低？    【变式训练5 由平行判断成比例的线段】 1．（2023九年级·江苏·专题练习）如图，已知，那么下列结论正确的是（　　） A． B． C． D． 2．（22-23九年级上·安徽六安·阶段练习）已知线段a，b，c，求作线段x，使x满足的作图中不正确的是（　　） A． B． C． D． 3．（22-23九年级上·河南新乡·阶段练习）如图，交于点，，，，当 时，可与平行． 4．（23-24九年级上·吉林长春·阶段练习）如图，，直线，与这三条平行线分别交于点，，和点，，，若，，，则的长等于 ． 5．（23-24九年级上·陕西西安·期中）如图，在中，，且，，，求的长．    6．（23-24九年级上·广东佛山·阶段练习）如图，在中，是边上的中线，M是的中点，的延长线交于N．求证：．    【变式训练6 由平行截线求相关线段的长或比值】 1．（23-24九年级上·浙江绍兴·期末）为制作风筝，小明做了如图所示的风筝支架示意图，已知点、点分别在射线与上，且，则的长是（    ） A． B． C． D． 2．（23-24九年级上·河南焦作·期中）如图，．若，，则的长为（    ）    A．6 B．8 C．10 D．12 3．（23-24八年级下·上海青浦·期末）如图，已知，如果，，那么的长等于 ． 4．（22-23九年级上·河南南阳·期中）如图，已知在中，点D、E、F分别是边上的点，，且，那么等于 ． 5．（23-24九年级上·四川眉山·阶段练习）如图，．若，，求的长． 6．（2024·陕西渭南·一模）如图，在中，点D、E分别在边上，连接，若，，，求的长． 【变式训练7 相似图形】 1．（23-24九年级上·上海青浦·期末）下列图形中，一定相似的是（    ） A．两个等腰三角形 B．两个菱形 C．两个正方形 D．两个等腰梯形 2．（22-23九年级上·河南新乡·阶段练习）下列图形中，不是相似图形的一组是（    ） A．   B．   C．   D．   3．（22-23九年级下·全国·课前预习）形状相同的图形叫做 ． 两个图形相似是指它们的 相同，与它们的位置无关； 是一种特殊的相似图形，不仅形状相同，大小也相同． 4．（2023九年级上·全国·专题练习）如图：梯形ADFE相似于梯形EFCB，若AD＝3，BC＝4，则 ． 5．（2023九年级上·全国·专题练习）如图，左边是一个横放的长方形，右边的图形是把左边的长方形各边放大两倍，并竖立起来以后得到的，这两个图形是相似的吗？ 6．（22-23九年级下·全国·课后作业）如图，图形（a）~（f）中，哪些与图形（1）或（2）相似？ 【变式训练8 相似多边形】 1．（22-23九年级上·广东佛山·阶段练习）如图，有三个矩形，其中是相似矩形的是（    ）      A．甲与乙 B．甲与丙 C．乙与丙 D．以上都不对 2．（22-23九年级上·安徽蚌埠·期末）下列说法正确的有个（    ） （1）任意两个矩形都相似  （2）任意两个正方形都相似 （3）任意两个等边三角形都相似  （4）任意两个菱形都相似． A．0 B．1 C．2 D．3 3．（22-23九年级上·江苏南通·阶段练习）如图，一块长3m、宽1.5m的矩形黑板，镶在其外围的木质边框宽7.5cm，边框的内外边缘所成的两矩形 （填“是”或“不是”）相似矩形. 4．（22-23九年级上·山西吕梁·期末）如图所示，复印纸的型号有A0，A1，A2，A3，A4等，它们之间存在着这样一种关系：将其中某一型号（如A3）的复印纸沿较长边的中点对折，就能得到两张下一型号（A4）的复印纸，且得到的两个矩形都和原来的矩形相似，那么这些型号的复印纸的长、宽之比为 ． 5．（22-23九年级上·全国·课后作业）图中每组两个矩形相似吗？说说你的理由． 6．（22-23九年级上·吉林长春·期中）如图，作出与四边形的相似的新四边形，使新图形与原图形的相似比为2：1． 【变式训练9 相似多边形的性质】 1．（23-24九年级上·山东聊城·期中）在如图所示的三个矩形中，相似的是（    ）    A．甲和乙 B．甲和丙 C．乙和丙 D．都不相似 2．（23-24九年级上·陕西咸阳·期中）已知五边形五边形，且，若，则的长为（    ） A．4 B．6 C．9 D．12 3．（23-24九年级上·河南洛阳·阶段练习）若两个相似多边形的相似比为，则它们周长的比为 ． 4．（23-24九年级上·海南海口·期末）如图是两个形状相同的举重图案，则x的值是 ． 5．（23-24九年级上·吉林长春·期中）如图，四边形四边形．若，，，，，，求线段的长和的大小． 6．（23-24九年级上·安徽安庆·期中）如图所示，一般书本的纸张是原纸张多次对开（对折）得到，矩形沿对开后，再把矩形沿对开，依次类推，若各种开本的矩形都相似，求的值．      1．（23-24九年级上·浙江绍兴·期末）若，则的值为（    ） A． B． C．4 D． 2．（23-24九年级上·辽宁朝阳·期末）下列四条线段成比例的是（    ） A． B． C． D． 3．（22-23九年级上·山西吕梁·期末）在设计人体雕塑时，雕塑的腰部以下的高度与全身的高度的比值接近，可以增加视觉美感，这体现了数学中的（   ）    A．轴对称 B．旋转 C．黄金分割 D．平移 4．（2023九年级下·全国·专题练习）如图，直线，直线m分别与a、b、c交于点A、C、E，直线n分别与a、b、c交于点B、D、F，若，则（　　） A．3 B．4 C． D． 5．（22-23九年级上·四川成都·期末）如图所示的两个四边形相似，则下列结论不正确的是（    ） A． B． C． D． 6．（2024·福建宁德·二模）若，则 ． 7．（22-23九年级上·全国·课后作业）已知线段是线段和线段的比例中项，若，，则 ． 8．（2024·陕西渭南·二模）如图，在中，，，以为圆心，为半径，两弧交于点，此时，点为线段的黄金分割点，若，则的长为 ． 9．（22-23九年级上·河南周口·期末）如图，，则的长为 ．    10．（22-23九年级上·山西太原·期中）如图，正方形ABCD中，点E是对角线BD上的一点，BE=BC，过点E作EF⊥AB，EG⊥BC，垂足分别为点F，G，则正方形FBGE与正方形ABCD的相似比为 ． 11．（23-24九年级上·上海·期中）已知线段、、满足，且，求线段、、的长． 12．（2023九年级上·全国·专题练习）已知线段的长度为，点P在线段上，，求线段的长． 13．（23-24九年级上·陕西咸阳·期中）如图，在中，D、E、F分别是AB、BC上的点，且，，，，求EF和FC的长． 14．（23-24九年级上·陕西榆林·期中）如图，四边形四边形，，，，求x的值和的度数．        15．（22-23九年级·全国·假期作业）如图所示，有矩形ABCD和矩形，AB＝8cm，BC＝12cm，＝4cm，＝6cm． (1)求和； (2)线段，AB，，BC是成比例线段吗？ 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第07讲 比例线段与相似多边形（8大知识点+9大典例+变式训练+随堂检测） 题型一 比例的性质 题型二 比例线段 题型三 成比例线段 题型四 黄金分割 题型五 由平行判断成比例的线段 题型六 由平行截线求相关线段的长或比值 题型七 相似图形 题型八 相似多边形 题型九 相似多边形的性质 知识点01： 成比例线段 对于四条线段a、b、c、d，如果其中两条线段的比与另两条线段的比相等，如a:b=c:d，我们就说这四条线段是成比例线段，简称比例线段． 知识点02： 比例的性质 （1）基本性质：若a:b=c:d ，则ad=bc； （2）合比性质：如果 如果 （3）等比性质：如果 （4）比例中项：若a:b=b:c ，则 =ac，b称为a、c的比例中项． 要点： 通常四条线段a,b,c,d的单位应该一致，但有时为了计算方便，a,b的单位一致，c,d的单位一致也可以。 知识点03： 黄金分割 如果点P把线段AB分割成AP和PB,(AP>PB)两段，其中AP是AB和PB的比例中项，那么就称这种分割为黄金分割，点P是线段AB的黄金分割点. ≈0.618AB(叫做黄金分割值). 要点： 线段的黄金分割点有两个. 知识点04： 平行线截线段成比例 基本事实：两条直线被一组平行线(不少于3条)所截，所得的对应线段成比例 已知如图，直线l1、l2、l3是一组等距离的平行线，l4、l5是任意画的两条直线，分别于这组平行线一下相交于点A，B，C，D，E，F，则比例式 成立. 要点： (1).对应线段成比例可用下面的语言形象表示： 等等. （2）有推论可以得出以下结论： 知识点05： 把已知线段AB五等分 已知线段AB，请利用尺规作图把线段AB五等分. 作法 1. 以A为端点作一条射线，并在射线上依次截取线段AA1=A1A2=A2A3=A3A4=A4A5. 2. 连结A5B，并过点A1，A2，A3，A4分别作A5B的平行线，依次交AB于点B1，B2，B3，B4.则点B1，B2，B3，B4就是所求作的把线段AB五等分的点. 依据：实际上，过点A作l∥A5B，根据平行线分线段成比例的基本事实，就可以得到如下关系式 ∵ AA1=A1A2=A2A3=A3A4=A4A5， ∴ AB1=B1B2=B2B3=B3B4=B4B, ∴点B1，B2，B3，B4把线段AB五等分. 要点：在射线上截取等长的线段时使用的作图工具是圆规,不能使用直尺进行量取,尺规作图中的直尺是没有刻度的,它的用途是画线或者连线. 知识点06： 相似图形及比例线段 相似图形：在数学上，我们把形状相同的图形称为相似图形. 要点： 　 (1) 相似图形就是指形状相同，但大小不一定相同的图形； (2) “全等”是“相似”的一种特殊情况，即当“形状相同”且“大小相同”时，两 个图形全等； 知识点07： 相似三角形 在和中，如果我们就说与相似，记作∽.k就是它们的相似比，“∽”读作“相似于” 知识点08： 相似多边形 相似多边形的性质： （1）相似多边形的对应角相等，对应边的比相等． （2）相似多边形的周长比等于相似比． （3）相似多边形的面积比等于相似比的平方． 要点： 用相似多边形定义判定特殊多边形的相似情况： （1）对应角都相等的两个多边形不一定相似，如：矩形； （2）对应边的比都相等的两个多边形不一定相似，如：菱形； （3）边数相同的正多边形都相似，如：正方形，正五边形. 【典型例题一 比例的性质】 1．（2024·甘肃陇南·二模）若，则（   ） A． B．1 C． D．35 【答案】D 【分析】本题考查了比例的性质，熟练掌握比例的性质是解题的关键．根据比例的性质“若，则”，即得答案． 【详解】， ． 故选D． 2．（23-24九年级下·甘肃定西·阶段练习）已知，那么下列等式成立的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查的是比例的基本性质，掌握比例的基本性质进行变形是解题的关键．由，可得，再利用比例的基本性质逐一分析各选项，即可得到答案． 【详解】解：∵， ∴， 由可得：，与不符，故A不符合题意， 由可得：，故B符合题意； 由可得：，故C不符合题意， 由可得：，与不符，故D不符合题意， 故选：B 3．（2024·浙江·三模）已知 则代数式 的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查比例的性质，先由题意得到，然后代入代数式化简解题即可． 【详解】解：∵ ∴， ∴， 故答案为：． 4．（2024·广东清远·三模）若，则 ． 【答案】 【分析】此题考查了比例的基本性质，由题意得到，再利用比例的基本性质即可得到答案． 【详解】解：∵， ∴， ∴． 故答案为： 5．（23-24九年级上·安徽六安·阶段练习）若，求的值． 【答案】 【分析】本题主要考查了比例的性质，解题的关键是直接利用已知设，，，进而代入得出答案． 【详解】解：∵， ∴设，，， ∴． 6．（23-24九年级上·安徽六安·期中）已知，求和值． 【答案】， 【分析】根据比例的性质和计算方法即可求解． 【详解】解：∵， ∴，， ∴，． 【点睛】本题主要考查比的性质和计算，掌握其运算方法是解题的关键． 【典型例题二 比例线段】 1．（23-24九年级上·安徽合肥·阶段练习）一种精密零件长毫米，把它画在图纸上，图上零件长厘米，这张图纸的比例尺是（   ） A． B．500:1 C．1:50 D．50:1 【答案】D 【分析】本题考查比例尺，关键是掌握比例尺的定义．比例尺图上距离与实际距离的比，由此即可计算． 【详解】解：厘米毫米， ：：， 这张图纸的比例尺是：． 故选：D． 2．（23-24九年级上·云南文山·期中）在一幅比例尺为的地图上，量得某座大桥长厘米，这座大桥的实际长度是（    ） A．55米 B．10千米 C．55千米 D．千米 【答案】C 【分析】本题考查了比例线段，根据比例尺的定义列式计算，然后再把单位换算为千米即可． 【详解】解：（厘米）， 厘米千米． 故大桥的实际长度是55千米． 故选：C． 3．（23-24九年级上·江苏常州·期中）线段的比例中项为 ． 【答案】 【分析】本题考查了比例中项的定义，根据比例中项的定义列出方程，解方程即可求解，理解比例中项的定义是解题的关键． 【详解】解：设它们的比例中项是， 则， ∴, ∵线段的长度是正数， ∴， ∴比例中项为， 故答案为：． 4．（23-24九年级上·河北石家庄·期中）点在线段上，若  ，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了线段的比；根据题意，设，根据题意可得，进而即可求解． 【详解】解：∵ 设 ∴ ∴ 故答案为：． 5．（23-24九年级上·浙江宁波·阶段练习）已知三条线段，，满足，且. (1)求，，的值； (2)若线段是线段和的比例中项，求的值. 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了比例的性质，比例线段； （1）设，用含的代数式分别表示出，再由，建立关于的方程，解方程求出的值，从而可求出的值； （2）由已知线段 是线段 和 的比例中项，可得到，代入计算求出的值． 【详解】（1）解：设，则， ∵ ∴ 即， 解得：， ∴； （2）解：∵线段是线段和的比例中项， ∴， ∵ ∴． 6．（23-24八年级上·山东聊城·期中）已知线段a、b、c满足，且． (1)求a、b、c的值； (2)若线段，线段x是线段a、d的比例中项，求x． 【答案】(1)，， (2) 【分析】本题考查了比例的性质，比例线段，熟记比例中项的概念是解决问题的关键，同时利用“设k法”用k表示出可以使计算更加简便． （1）设，然后用k表示出，再代入求解得到k，即可得到的值； （2）根据比例中项的定义列式得到，然后根据算术平方根的定义求解．求解即可求出线段x的长． 【详解】（1）解：设， 则，，， 所以， 解得， 所以，，； （2）解：∵线段， ∴． ∵线段x是线段a、d的比例中项， ∴， ∴线段（，故舍去） 【典型例题三 成比例线段】 1．（2024九年级下·全国·专题练习）下列各组中的四条线段成比例的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题考查了成比例线段，若，则a，b，c，d成比例，据此进行计算判断即可． 【详解】解：A、，故此选项中四条线段不成比例，不符合题意； B、，故此选项中四条线段不成比例，不符合题意； C、，故此选项中四条线段成比例，符合题意； D、，故此选项中四条线段不成比例，不符合题意， 故选：C． 2．（2024九年级下·全国·专题练习）下列各组线段的长度成比例的是（　　） A．0.3m，0.6m，0.5m，0.9m B．30cm，20cm，90cm，60cm C．1cm，2cm，3cm，4cm D．2cm，3cm，4cm，5cm 【答案】B 【分析】本题主要考查相似图形，根据四条线段成比例的定义逐项判断即可． 【详解】A、，各组线段的长度不成比例，该选项不符合题意； B、，各组线段的长度成比例，该选项符合题意； C、，各组线段的长度不成比例，该选项不符合题意； D、，各组线段的长度不成比例，该选项不符合题意． 故选：B 3．（23-24八年级下·山东烟台·期中）已知线段，，，是成比例线段，其中，，，则的值是 ． 【答案】 【分析】本题考查成比例线段（如果四条线段，，，成比例，则，注意顺序，位置不能随意颠倒），解题的关键是根据成比例线段列式计算即可． 【详解】解：∵线段，，，是成比例线段，，，， ∴， ∴， ∴的值是． 故答案为：． 4．（23-24八年级下·福建福州·期末）已知线段，，，是成比例线段，其中，，，则的值是 . 【答案】 【分析】本题主要考查了比例线段，熟练掌握比例线段的性质是解题的关键．根据比例线段的定义得到，即可得到答案． 【详解】解：由于线段，，，是成比例线段， 故， 即 解得 故答案为：． 5．（23-24九年级上·浙江·期末）已知线段a，b的长分别是，，求线段a，b的比例中项线段． 【答案】 【分析】本题考查了比例的性质，根据比例中项的定义列出方程求解即可． 【详解】解：设线段a，b的比例中项线段为c， 由题意得， ∴， ∵， ∴， 故线段a，b的比例中项线段为． 6．（23-24九年级上·贵州黔东南·阶段练习）与在网格中的位置如图所示，如果每个小正方形的边长都是1． (1)求，，的值； (2)求的周长与的周长的比； (3)在，，，，，这六条线段中，指出其中三组成比例的线段． 【答案】(1) (2)的周长与的周长的比为 (3)，，，，是成比例线段；，，，是成比例线段；，，，是成比例线段 【分析】（1）根据图象，求出，，，，，的长度，即可求解， （2）计算，即可求解， （3）根据成比例线段的定义，即可求解， 本题考查了成比例线段，解题的关键是：熟练掌握成比例线段概念． 【详解】（1）解：由图可知，，，，，， ∴，， 故答案为：， （2）解：， 故答案为：的周长与的周长的比为， （3）， ，，，，是成比例线段； ， ，，，是成比例线段； ， ，，，是成比例线段， 故答案为：，，，，是成比例线段；，，，是成比例线段；，，，是成比例线段． 【典型例题四 黄金分割】 1．（23-24九年级上·安徽宿州·期中）已知点P是线段的黄金分割点，那么的长是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查黄金分割点：线段上一点分线段对应成比例，且短比长等于长比全，等于，则这个点叫做线段的黄金分割点，据此进行求解即可． 【详解】解：由题意，得：， ∴； 故选C． 2．（2023·广东佛山·一模）如图，点是线段的黄金分割点，下列结论错误的是（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查黄金分割点：线段上一点分线段对应成比例，且短比长等于长比全，等于，则这个点叫做线段的黄金分割点，据此进行判断即可． 【详解】解：∵点是线段的黄金分割点， ∴， ∴， 故错误的是选项B， 故选B． 3．（23-24八年级下·上海青浦·期末）点是线段上的一点，如果，，那么 ． 【答案】 【分析】本题考查了黄金分割，由题意得出点是的黄金分割点，得到，结合，，代入计算即可得出答案． 【详解】解：∵， ∴， ∴点是的黄金分割点， ∴， ∵，， ∴， 解得：， 故答案为：． 4．（2024·湖南益阳·二模）如图，乐器上的一根弦，两个端点固定在乐器面板上，支撑点是靠近点的黄金分割点，支撑点是靠近点的黄金分割点，则点到点的距离为 ．（结果保留根号） 【答案】 【分析】本题考查了黄金分割．熟练掌握黄金分割是解题的关键． 由题意知，，，则，即，整理得，，可求满足要求的解，根据，计算求解即可． 【详解】解：由题意知，，， ∴，即，整理得，， 解得，或（舍去）， ∴， 故答案为：． 5．（2024九年级下·江苏·专题练习）如图，点是线段的黄金分割点，，计算线段的黄金比的值． 【答案】 【分析】本题考查了黄金分割，根据黄金分割点的比例公式即可解答，熟练掌握黄金分割的定义是解题的关键． 【详解】解：点是线段的黄金分割点，， ， 线段的黄金比的值为． 6．（23-24七年级上·福建龙岩·开学考试）黄金分割具有严格的比例性、艺术性、和谐性，蕴藏着丰富的美学价值，这一比值能够引起人们的美感，被认为是建筑和艺术中最理想的比例．人体上半身长和下半身长的黄金比为，这时人的身长比例看上去更美观．乐乐的妈妈上半身长68厘米，下半身长104厘米，她想通过穿高跟鞋，使身长的比例更美观，于是她购买了一双6厘米高的高跟鞋．依据黄金比，这双高跟鞋的高度合适吗？请说明理由． 【答案】这双高跟鞋合适，理由见解析． 【分析】本题考查了黄金分割，以及比例的性质，根据黄金分割的定义，进行计算即可解答． 【详解】解：这双高跟鞋合适，理由如下： （）， ， 答：这双高跟鞋合适，穿起来后上半身长与下半身长正好成黄金比． 【典型例题五 由平行判断成比例的线段】 1．（22-23九年级上·上海杨浦·阶段练习）已知线段a，b，c，求作线段x，使得，下列作图正确的是（    ） A．   B．   C．   D．   【答案】B 【分析】结合题中线段的平行关系，得出对应边成比例，逐项分析即可． 【详解】解：A、图中线段满足，故不合题意； B、图中线段满足，故符合题意； C、图中线段满足，故不合题意； D、图中线段满足，故不合题意； 故选：B． 【点睛】本题考查的是平行线分线段成比例定理，灵活运用定理，找准对应关系是解题的关键． 2．（23-24九年级上·安徽宿州·阶段练习）如图，，直线，与这三条平行线分别交于点A，B，C和点D，E，F．下列结论：①；②；③；④．其中正确的个数为（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】本题主要考查平行线分线段成比例的性质，直接利用平行线分线段成比例定理进而得出结论． 【详解】解：∵， ∴，故①正确； ，故②错误； ，故③正确； ，故④正确， 正确的个数3个， 故选：C． 3．（23-24九年级上·上海宝山·期中）如图，点A、B、C和点D、E、F分别位于同一条直线上，如果，且，，那么 . 【答案】6 【分析】本题考查了平行线分线段成比例，熟练掌握平行线分线段成比例得比值是解题的关键． 【详解】解：， ， ， ， ， ， 故答案为：6． 4．（22-23九年级上·湖南永州·期末）已知：如下图，，，，，则 ． 【答案】8 【分析】根据平行线分线段成比例求出，减去可得结果． 【详解】解：∵， ∴，即， ∴， ∴， 故答案为：8． 【点睛】本题考查了平行线分线段成比例定理，关键是能根据平行线得出正确的比例式． 5．（22-23九年级下·全国·单元测试）已知，如图，在中，，求证：      (1) (2)． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）根据成比例线段的性质求解即可； （2）根据成比例线段的性质求解即可． 【详解】（1）证明：∵ ∴ ∴； （2）证明：∵ ∴， ∴． 【点睛】此题考查了成比例线段，解题的关键是熟练掌握线段成比例的性质． 6．（22-23九年级·全国·假期作业）如图，延长正方形ABCD的一边CB至E，ED与AB相交于点F，过F作FG∥BE交AE于点G，求证：GF＝FB． 【答案】见解析 【分析】利用平行线分线段成比例，求出＝，＝，通过等量代换得到GF＝FB． 【详解】证明：∵四边形ABCD为正方形， ∴BFCD， ∴＝， ∵FGBE， ∴GFAD， ∴＝， ∴＝，且AD＝CD， ∴GF＝BF． 【点睛】本题考查了平行线分线段成比例，熟练运用平行线分线段成比例定理列出相关线段比例关系是解题关键． 【典型例题六 由平行截线求相关线段的长或比值】 1．（23-24九年级上·浙江温州·阶段练习）如图，直线，直线交，，于点，，；直线交，，于点，，，若，，则的长为(  ) A．2 B．4 C．5 D．10 【答案】B 【分析】本题考查了平行线分线段成比例定理，根据平行线分线段成比例定理即可求得的长． 【详解】解：， ∴， ∵，， ∴， 故选：B． 2．（23-24九年级上·贵州毕节·期末）如图，直线，直线a，b相交于点，且与分别相交于点B，C和点D，E．若，，则的长为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】 本题考查平行线分线段成比例，根据平行线分线段乘比例，列出比例式求解即可． 【详解】解：∵ ∴，即：， ∴； 故选B． 3．（2024·四川成都·一模）如图，，，则BC的长为 ． 【答案】18 【分析】本题主要考查了平行线分线段成比例．根据平行线分线段成比例，即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， 解得：． 故答案为：18 4．（22-23九年级上·新疆喀什·期末）如图，已知直线分别交直线于点A、B、 C，交直线 交于点D、 E、F，且，，则 ． 【答案】6 【分析】本题考查平行线分线段成比例，根据题意，列出比例式进行求解即可． 【详解】解：∵，， 即 ∴， 故答案为： 6． 5．（22-23九年级上·陕西咸阳·阶段练习）如图，直线，直线分别交、、于点A、B、C，直线分别交、、于点D、E、F．若，，求线段的长．    【答案】 【分析】本题考查了平行线分线段成比例：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例． 【详解】∵， ∴，即， ∴， ∴． 6．（23-24九年级上·安徽宿州·阶段练习）如图，在中，点D，E，F分别是边上的点，且，且，，求的长．    【答案】 【分析】本题考查平行线分线段成比例，先得出，进而可得出答案． 【详解】解：， ． ， ， ， ． 【典型例题七 相似图形】 1．（23-24九年级上·河南安阳·期末）下面几对图形中，相似的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查的是相似图形的判断，掌握相似图形的概念及特征是解决此题的关键； 根据形状相同对应角相等、对应边成比例的图形为相似图形，对各组图形逐一进行分析，即可得到结果； 【详解】根据题意得：C选项的两个图象，形状相同、对应角相等、对应边成比例，为相似图形， 故选：C． 2．（23-24九年级上·云南昆明·阶段练习）下面几对图形中，相似的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据相似图形的形状相同，进行判断即可． 【详解】解：A，B，D三个选项中的图形形状不同，不相似，C选项中的两个图形形状相同，相似； 故选：C． 3．（22-23九年级上·上海静安·课后作业）相似的两个图形，它们的大小 (填“一定”，“不一定”，“一定不”)相同． 【答案】不一定 【分析】根据相似图形的定义判断即可． 【详解】相似的两个图形形状相同，但大小不一定相等，只有两个图形全等时大小才相等，全等是相似的一种特殊情况． 故答案为：不一定． 【点睛】本题考查相似图形，明确相似图形的定义是解题的关键． 4．（22-23九年级上·山东菏泽·期中）下面关于两个图形相似的判断：①两个等腰三角形相似；②两个等边三角形相似；③两个等腰直角三角形相似；④两个正方形相似；⑤两个等腰梯形相似．其中正确的是 ．（填写序号） 【答案】②③④ 【分析】根据相似图形的定义一一分析． 【详解】①两个等腰三角形顶角不一定相等，故不一定相似； ②两个等边三角形，角都是60°，故相似； ③两个等腰直角三角形，都有一个直角和45°的锐角，故相似． ④两个正方形，对应角相等，对应边成比例，故相似； ⑤两个等腰梯形不一定对应角相等，对应边成比例，故不相似． 故答案为：②③④． 【点睛】考查了相似形的定义，联系图形，即图形的形状相同，但大小不一定相等． 5．（22-23九年级上·上海·课后作业）（1）四个内角都对应相等的两个四边形一定相似吗？为什么？ （2）所有的等边三角形都一定相似吗？所有菱形呢？为什么？ 【答案】（1）不一定,因为对应边不一定成比例；（2）一定相似，因为等边三角形形状相同，只是大小不同；不一定相似，因为对应角不一定对应相等. 【分析】（1）根据相似多边形的对应角相等且对应边成比例判断即可； （2）根据相似三角形、相似多边形的对应角相等且对应边成比例判断即可． 【详解】（1）四个内角对应相等的两个四边形不一定相似，如两个矩形，虽然四个内角都相等，但不相似，因为对应边不一定成比例； （2）等边三角形形状相同，只是大小不同，所以所有的等边三角形都相似；所有的菱形，边的比一定相等，而对应角不一定对应相等，所以不一定相似． 【点睛】本题考查相似形的识别，解题的关键是熟悉相似图形的对应角相等且对应边成比例． 6．（22-23九年级·全国·假期作业）网格中每个小正方形的边长为1，每个小正方形的顶点为格点，三角形和长方形的顶点都在格点上． (1)在图1的网格中按2：1画出网格中三角形放大后的图形①； (2)在图2的网格中按1：2画出网格中长方形缩小后的图形②； (3)请直接写出图形①的面积与图形②的面积的最简整数比为 ． 【答案】(1)图见解析 (2)图见解析 (3)9：4 【分析】（1）原三角形的底和高都是3和3，根据图形放大与缩小的方法，把三角形的底和高按2:1扩大后，得到的是底为6，高为6的三角形，由此可画出这个三角形； （2）原长方形的长和宽分别是8和4，根据图形变大与缩小的变化方法，把长方形的长和宽按1:2缩小后，得到的是长为4宽为2的长方形，由此可画出这个长方形； （3）根据三角形的面积=×底×高和长方形面积=长×宽，分别计算出所画图形的面积，然后计算它们的比． 【详解】（1）解：如图1，①即为所求． （2）解：如图2，②即为所求． （3）解：①的面积： ②的面积： 面积比：18:8=9:4 ∴图形①的面积与图形②的面积最简整数比为9:4． 故答案为：9:4． 【点睛】本题考查图形的放大与缩小（按一定比例把图形放大或缩小，形状不变，边和大小会发生变化，各边的变化都符合指定的比，面积会扩大或者缩小比的平方倍），化简整数比（把比的前项和后项同时除以他们的最大公因数），初步体会图形的相似．解题的关键是理解按2：1放大就是把原图的各边长放大2倍，按1：2缩小就是把原图的各边长乘以及化简比结果是一个比，有比号． 【典型例题八 相似多边形】 1．（2023九年级上·黑龙江哈尔滨·专题练习）下列说法中错误的是（    ）． A．所有等边三角形都相似 B．和同一个三角形相似的两个三角形也相似 C．所有菱形都相似 D．所有的正方形都相似 【答案】C 【分析】利用相似图形的定义逐一判断即可求解． 【详解】解：A、等边三角形的角都为，所有等边三角形都相似， 则A选项正确，故不符合题意； B、相似三角形对应角相等，则和同一个三角形相似的两个三角形也相似，则B选项正确，故不符合题意； C、菱形的对应角不一定相等，则所有菱形不一定相似，则C选项错误，故符合题意； D、正方形的每个内角都为，所有的正方形都相似，则D选项正确，故不符合题意， 故选C． 【点睛】本题考查了相似图形的定义，熟练掌握其定义是解题的关键． 2．（23-24九年级上·广西桂林·期中）下列图形是相似多边形的是（    ） A．所有的等边三角形 B．所有的矩形 C．所有的菱形 D．所有的平行四边形 【答案】A 【分析】本题考查了相似多边形的判定，对应角相等，对应边成比例的多边形是相似多边形，据此即可作答． 【详解】解：A、所有的等边三角形满足对应角相等，对应边成比例，故该选项是正确的； B、所有的矩形对应角相等，边不一定成比例，故该选项是错误的； C、所有的菱形的对应角不一定相等，边不一定成比例，故该选项是错误的； D、所有的平行四边形的对应角不一定相等，边不一定成比例，故该选项是错误的； 故选：A 3．（2023九年级上·全国·专题练习）各角分别相等，各边 的两个多边形叫做相似多边形；相似多边形对应边的比叫做 ． 【答案】 对应成比例 相似比 【解析】略 4．（22-23九年级上·陕西榆林·期中）如图，五边形五边形，则五边形与五边形的相似比是 ．    【答案】 【分析】相似图形的相似比等于对应边之比；再由五边形 五边形 可得相似比为，进而求解即可． 【详解】解：设横向相邻的两点距离为1，则，， ∴五边形 五边形 可得相似比为． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了相似图形的相似比，掌握相似比的定义是解题的关键． 5．（22-23八年级下·山东青岛·期末）已知四边形ABCD，请你作出一个新图形，使新图形与四边形ABCD的相似比为2：1，用圆规、直尺作图，不写作法，但要保留作图痕迹． 【答案】见解析. 【分析】根据新图形与四边形ABCD的相似比为2：1，连接BD，延长BA、BD与BC在延长线上截取BA=AE，BD =DF，BC =CG，即可得出所画图形． 【详解】解：如图所示． 连接BD，延长BA、BD与BC在延长线上截取BA=AE，BD =DF，BC =CG，连接EF，FG，四边形BEFG即所画图形． 【点睛】本题考查相似变换的性质，根据相似比得出BE、BF、BG与BA、BD、BC的关系是解决问题的关键． 6．（22-23九年级·全国·课后作业）如图，点、为梯形两腰的中点，问梯形与梯形相似吗？为什么？ 【答案】梯形与梯形不相似，理由详见解析. 【分析】根据相似多边形的定义，对应角相等，对应边成比例进行判断即可. 【详解】∵在梯形中，点、分别为两腰中点， ∴． ∴，，，． 而，，， ∴梯形与梯形不相似． 【点睛】本题考查相似多边形的判定，熟记相似多边形的定义是关键. 【典型例题九 相似多边形的性质】 1．（23-24九年级上·四川成都·期末）若四边形四边形，且，已知，则BC的长是（    ） A．25 B．9 C．20 D．15 【答案】B 【分析】本题考查相似多边形的性质，关键是掌握相似多边形的性质：相似多边形的对应边成比例． 由相似多边形的性质推出，代入有关数据，即可求出的值． 【详解】解：∵四边形四边形， ∴， ∵，， ∴． 故选：B． 2．（23-24九年级上·河北廊坊·期末）如图，用放大镜看到的多边形与原多边形相比较，不发生改变的是（    ） A．周长 B．面积 C．每个内角的度数 D．每条边的长度 【答案】C 【分析】本题考查了相似多边形的性质，熟记相关结论即可解答． 【详解】解：由题意得：用放大镜看到的多边形与原多边形是相似的关系， 用放大镜看到的多边形与原多边形相比较，周长、面积、每条边的长度的长度均增大了， 每个内角的度数保持不变， 故选：C． 3．（2024九年级下·全国·专题练习）一个六边形六边长分别为3，4，5，6，7，8，另一个与它相似的六边形的最短边为6，则其周长为 ． 【答案】66 【分析】本题主要考查了相似多边形的性质，根据相似多边形的周长之比等于相似比进行求解即可得到答案． 【详解】解：∵一个六边形六边长分别为3，4，5，6，7，8，另一个与它相似的六边形的最短边为6， ∴两个相似多边形的相似比， ∴两个相似多边形的周长比为， ∴另一个与它相似的六边形的最短边为6，其周长为， 故答案为：66． 4．（23-24九年级下·甘肃武威·阶段练习） 五边形五边形，相似比为，若，则 ． 【答案】6 【分析】本题考查的是相似多边形的性质，熟记相似多边形的对应边的比即为相似比是解本题的关键．利用相似五边形的对应边之比等于相似比求解即可． 【详解】解：五边形五边形相似比为． ， ， ． 故答案为：6 5．（22-23九年级下·全国·课后作业）任意两个矩形相似吗？为什么？ 【答案】不一定相似，虽然两个矩形的角分别相等，但它们的边不一定成比例 【分析】根据图形的相似定义，对应角相等且对应边成比例的两个图形相似，可判断两个矩形不一定相似． 【详解】不一定相似，虽然两个矩形的角分别相等，但它们的边不一定成比例． 【点睛】本题考查了相似的定义，正确理解图形的相似是解题的关键． 6．（22-23九年级上·全国·单元测试）观察下面这张残破的图（如图所示），其中残破的七边形与七边形相似，如果量得，，你能求出七边形的面积吗？    【答案】能， 【分析】先得出两个相似图形的相似比，再根据相似多边形面积比等于相似比的平方，即可求解． 【详解】解：能．求解过程如下： 七边形与七边形相似，且其相似比等于， 七边形与七边形的面积比为，则， ． 故七边形的面积为． 【点睛】本题主要考查了相似图形的性质，解题的关键是掌握相抵图形面积比等于相似比的平方． 【变式训练1 比例的性质】 1．（23-24九年级上·浙江宁波·阶段练习）如果，那么的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查比例的性质，利用设参法进行求解即可． 【详解】解：∵， ∴设， ∴； 故选B． 2．（23-24九年级上·湖北鄂州·阶段练习）已知，下列等式错误的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查比例性质．根据题意逐一对选项进行分析即可得到本题答案． 【详解】解：∵， ∴，，， ∴不成立， 故选：D． 3．（23-24八年级下·山东烟台·期中）已知，那么的值为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了比例的性质，先求出，再把代入所求式子中进行求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 故答案为：． 4．（2024·山西吕梁·模拟预测）如图称为桔槔，俗称“吊杆”“称杆”，是一种原始的汲水工具．在图2的桔槔模型中，设支点O离物体A的桔槔端点距离为，离物体B的桔槔端点距离为，若，且物体A的质量为，则能汲起水的质量B为 ．    【答案】9 【分析】题目主要考查比例的性质及杠杆平衡原理，根据题意得出，然后确定即可求解，理解是解题关键． 【详解】解：根据题意得， ∵， ∴， ∵物体A的质量为， ∴， 故答案为：9． 5．（22-23九年级上·安徽·期中）已知：，试说明：． 【答案】见解析 【分析】根据比例的性质即可求解． 【详解】证明：∵， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了比例线段，熟练掌握比例的性质是解题的关键． 6．（22-23九年级·上海·假期作业）（1）若，则___________； （2）若，则___________； （3）若，则___________． 【答案】（1）；（2）；（3）． 【分析】（1）对化简得，再把代入，即可； （2）根据，得，把的值代入，即可； （3）对化简，得，把的值代入，即可 【详解】（1）∵， ∴； 故答案为：． （2）∵， ∴， ∴， 故答案为：． （3）∵， ∴， ∴ ． 故答案为：． 【点睛】考查比例性质运用中的基本计算，关键是掌握比例的基本性质． 【变式训练2 比例线段】 1．（23-24九年级上·安徽六安·期中）若线段，，则（    ） A． B．5 C． D．2 【答案】B 【分析】本题考查的是线段比例问题，解题的关键是要统一单位再代入求值． 【详解】解：， ， 故选：B． 2．（23-24九年级上·广西贺州·期中）小红的爸爸是汽车制造厂的工程师．他要将一个长毫米、宽毫米的零件画在一张纸（）上，适合的比例尺是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题考查了比例尺的计算方法，图上距离和实际距离已知，依据“比例尺=图上距离:实际距离”即可求得适合的比例尺.，解题的关键要掌握比例尺的计算方法． 【详解】解：∵零件的实际长度为，零件的图上长度为，即， ∴适合的比例尺， 故选：． 3．（23-24九年级上·上海奉贤·期中）已知线段厘米，厘米，则它们的比例中项b为 . 【答案】厘米/12cm 【分析】根据比例中项的性质：比例中项平方等于两外项的积直接求解即可得到答案； 【详解】解：∵线段厘米，厘米，它们的比例中项为b， ∴， 解得：（厘米），（厘米）（不符合题意舍去）， 故答案为：厘米； 4．（23-24九年级上·安徽合肥·期中）在比例尺为的地图上，测得 A、B 两地间的图上距离为3厘米，则其实际距离为 米． 【答案】 【分析】根据比例尺的定义，即可解答． 【详解】解：设实际距离为x米， 3厘米米， ， 解得：， 故答案为：60． 【点睛】本题主要考查了比例尺的定义，解题的关键是掌握比例尺是图上距离与实际距离之比，注意单位的统一． 5．（22-23九年级上·全国·课后作业）如图：点C是线段AB上的点，点D是线段BC的中点，若AC：BC=3：2，且AD=8，求线段AB的长． 【答案】10 【分析】先设AC=3x，BC=2x，根据AC+CD=8，可得3x+x=8，求得x=2，进而得到线段AB的长． 【详解】解：设AC=3x，BC=2x，则CD=x，AB=5x， ∵AD=8， ∴AC+CD=8，即3x+x=8， ∴4x=8， ∴x=2， ∴AB=5×2=10． 【点评】本题主要考查了比例线段以及两点间的距离，解题时注意运用线段中点的意义及线段的和差运算． 6．（23-24七年级上·浙江宁波·开学考试）上午9时，小丽和小芳为了测量一根旗杆的高度，在同一时间同一地点做了以下实验（如图），根据下面的实验，请你求出这根旗杆的高度．    【答案】这根旗杆的高度为米 【分析】设这根旗杆的高度为x米，根据题意得，即可得． 【详解】解：设这根旗杆的高度为x米， ， ， ， ， 即这根旗杆的高度为米． 【点睛】本题考查了比例的应用，解题的关键是理解题意，根据题意列出比例． 【变式训练3 成比例线段】 1．（23-24九年级上·四川成都·期中）在比例尺为的交通地图上，宝应到扬州的长度约为，则它的实际长度约为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查比例尺、比例性质，根据比例尺=图上距离：实际距离求解即可，注意换算单位． 【详解】解：设实际长度约为， 根据题意，得， 解得， ， 故它的实际长度约为， 故选：C． 2．（23-24九年级上·海南海口·阶段练习）下面四条线段成比例的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查比例线段，理解成比例线段的概念，判断四条线段是否成比例，必须将所给线段按照一定的顺序重排，通常按照从小到大即可，在线段两两相乘的时候，要让最小的和最大的相乘，中间两条相乘，看它们的积是否相等即可确定． 【详解】解：A、按照从小到大排列：，，，，则，故本选项符合题意； B、按照从小到大排列：，则，故本选项不符合题意； C、按照从小到大排列：，则，故本选项不符合题意； D、按照从小到大排列：，则，故本选项不符合题意； 故选：A． 3．（23-24九年级上·上海·期中）已知线段厘米，厘米，那么线段和的比例中项 厘米． 【答案】 【分析】本题考查了成比例线段，根据比例中项的定义，即可求解． 【详解】解：依题意，厘米，厘米， ∴厘米， 故答案为：． 4．（2023·浙江丽水·模拟预测）已知三条线段的长度分别是3，6，5，试写出另一条线段的长度 ，使这四条线段成比例线段． 【答案】10或或 【分析】本题考查了成比例线段的关系．设所加的线段是x，则得到：或或，即可求得． 【详解】解：设所加的线段是x，则得到： 或或， 解得：或或． 故答案为：10或或． 5．（23-24九年级上·湖南常德·期中）若，求的值． 【答案】5 【分析】设，得到，进而可解答； 本题主要考查成比例线段的应用，掌握相关求解方法是解题的关键． 【详解】解：设， ∴， ∴． 6．（23-24九年级上·安徽合肥·期中）已知 ，，是a，b的比例中项，求c的值； 【答案】4 【分析】本题考查了比例线段，比例中项的定义，掌握若，则b是a、c比例中项是解决问题的关键． 利用比例中项的定义得到，然后求出16的算术平方根即可． 【详解】解：∵c是a，b的比例中项， ∴， 而，， ∴， 而， ∴． 【变式训练4 黄金分割】 1．（23-24九年级上·浙江金华·阶段练习）已知C是的黄金分割点，若，则的长为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了黄金分割比，即“把一条线段分成两部分，使其中较长的线段为全线段与较短线段的比例中项，这样的线段分割叫做黄金分割，他们的比值叫做黄金比”．根据黄金比值，即可求出较长线段的值． 【详解】解：C是的黄金分割点，且， ， ， ， 故选：A． 2．（23-24九年级上·辽宁朝阳·期末）小颖同学是校园艺术节的主持人，学完黄金分割后她想，主持节目时如果站在舞台长的黄金分割点的位置，会让台下的同学们看起来效果更好，于是她将舞台的长看作线段，量得米，若点是线段的黄金分割点，则线段的长为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查黄金分割定理，解题关键是理解黄金分割的概念，熟悉黄金比的值．把一条线段分成两部分，使其中较长的线段为全线段与较短线段的比例中项，这样的线段分割叫做黄金分割，它们的比值（）叫做黄金比，由此进行求解即可． 【详解】解：线段，点是黄金分割点，， ． 故选． 3．（2024·陕西西安·三模）如图，点是线段的黄金分割点（即），若以为边的正方形的面积为100，则长为，宽为的矩形的面积为 ． 【答案】100 【分析】本题考查了黄金分割的定义：一个点把一条线段分成较长线段和较短线段，并且较长线段是较短线段和整个线段的比例中项，那么就说这个点把这条线段黄金分割，这个点叫这条线段的黄金分割点．根据题意，代入数据计算即可． 【详解】详解：∵C是线段的黄金分割点，且， ∴， 又∵以为边的正方形的面积为100，矩形的长为，宽为， ∴， 故答案为：100． 4．（2024·陕西西安·模拟预测）战至终章，逐梦不止．第19届杭州亚运会的会徽，名为“潮涌”，它象征着新时代中国特色社会主义大潮的涌动和发展．其中浪潮设计借助了黄金分割比．如图，若点C可看做是线段的黄金分割点（），，则 ．（结果保留根号） 【答案】/ 【分析】本题考查了黄金分割，解题的关键是根据黄金分割的定义列式计算，即可解答． 【详解】解：点可看作是线段的黄金分割点，， ， 故答案为：． 5．（23-24九年级上·湖南永州·阶段练习）美是一种感觉，当人体下半身长与身高的比值越接近0.618时，越给人美感．数学老师身高为160，下半身长x与身高h的比值是0.60，为尽可能达到最好的效果，请你帮她算一算，她应该穿的高跟鞋的高度大约是多少？(结果保留整数)． 【答案】8 【分析】本题主要考查黄金分割的应用，先求得下半身的实际高度，再根据黄金分割的定义列方程求解． 【详解】解：设她应该穿的高跟鞋的高度大约是， 根据题意得：，即 ， ∴， 解得： 答：她应该穿的高跟鞋的高度大约是8． 6．（23-24九年级上·江西鹰潭·期中）人体上半身长和下半身长的黄金比为，这时人的身长比例看上去更美观．某演员的身长情况如图所示，她想通过穿高跟鞋使身长比例更美观，于是她购买了一双6厘米的高跟鞋．请依据“黄金比”判断这双高跟鞋的高度是偏高还是偏低？    【答案】这双高跟鞋的高度偏高 【分析】本题主要考查了黄金分割比例，设出人体上半身长和下半身长成黄金比例时，高跟鞋的高，利用黄金比例求出此时高跟鞋的高是解题的关键. 【详解】解：设这双高跟鞋的高度为时，人体上半身长和下半身长成黄金比例， 由题意得：， 解得：， ， 这双高跟鞋的高度偏高． 【变式训练5 由平行判断成比例的线段】 1．（2023九年级·江苏·专题练习）如图，已知，那么下列结论正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据平行线分线段成比例定理逐个判断即可． 【详解】解：A．∵， ∴，故本选项不符合题意； B．∵， ∴，故本选项不符合题意； C．∵， ∴，故本选项不符合题意； D．∵， ∴，故本选项符合题意； 故选：D． 【点睛】本题考查了平行线分线段成比例定理，能根据平行线分线段成比例定理得出正确的比例式是解此题的关键． 2．（22-23九年级上·安徽六安·阶段练习）已知线段a，b，c，求作线段x，使x满足的作图中不正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据平行线分线段成比例依次判断即可． 【详解】解：A、作， 则，本选项作图正确，不符合题意； B、作， 则，本选项作图不正确，符合题意； C、作， 则，本选项作图正确，不符合题意； D、作， 则，本选项作图正确，不符合题意； 故选：B． 【点睛】题目主要考查平行线分线段成比例，熟练掌握此性质是解题关键． 3．（22-23九年级上·河南新乡·阶段练习）如图，交于点，，，，当 时，可与平行． 【答案】 【分析】本题考查平行线截线段对应成比例，根据平行线截线段对应成比例求解即可得到答案； 【详解】解：当时， ∵， ∴， ∵，，， ∴， 解得：， ∴， 故答案为：． 4．（23-24九年级上·吉林长春·阶段练习）如图，，直线，与这三条平行线分别交于点，，和点，，，若，，，则的长等于 ． 【答案】 【分析】此题考查了平行线分线段成比例定理，根据平行线分线段成比例定理列出比例式，把已知数据代入计算，得到答案，灵活运用定理、找准对应关系是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∵，，， ∴， 解得：， 故答案为：． 5．（23-24九年级上·陕西西安·期中）如图，在中，，且，，，求的长．    【答案】 【分析】本题主要考查了平行线分线段成比例． 根据平行线分线段成比例，可得，即可求解． 【详解】解：， ． ∵，，， ∴． 6．（23-24九年级上·广东佛山·阶段练习）如图，在中，是边上的中线，M是的中点，的延长线交于N．求证：．    【答案】见解析 【分析】过D作交于N，证明，，即可证明结论． 【详解】证明：过D作交于N，如图所示：    ，， ∵M为的中点， ， ， 是边上的中线， ， ， ， ∴． 【点睛】本题主要考查了平行线分线段成比例，正确作出辅助线是解题关键． 【变式训练6 由平行截线求相关线段的长或比值】 1．（23-24九年级上·浙江绍兴·期末）为制作风筝，小明做了如图所示的风筝支架示意图，已知点、点分别在射线与上，且，则的长是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查平行线分线段成比例．根据，得到，进而求出的长，再用，进行计算即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴； 故选D． 2．（23-24九年级上·河南焦作·期中）如图，．若，，则的长为（    ）    A．6 B．8 C．10 D．12 【答案】D 【分析】本题考查平行线分线段成比例．根据题意利用比例关系和线段和即可得到本题答案． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故选：D． 3．（23-24八年级下·上海青浦·期末）如图，已知，如果，，那么的长等于 ． 【答案】 【分析】本题考查了平行线分线段成比例定理，根据平行线分线段成比例定理列出比例式，进而即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． 4．（22-23九年级上·河南南阳·期中）如图，已知在中，点D、E、F分别是边上的点，，且，那么等于 ． 【答案】 【分析】本题考查了平行线分线段成比例：平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线），所得的对应线段成比例．根据平行线分线段成比例定理，由得到，则利用比例性质得到，然后利用可得到． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴． 故答案为：． 5．（23-24九年级上·四川眉山·阶段练习）如图，．若，，求的长． 【答案】6 【分析】本题考查了平行线分线段成比例定理，三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例，根据即可求得答案． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴． 6．（2024·陕西渭南·一模）如图，在中，点D、E分别在边上，连接，若，，，求的长． 【答案】 【分析】 本题考查平行线分线段成比例定理，由平行线分线段成比例得，即可求解，掌握平行线分线段成比例定理是解决问题的关键． 【详解】解：∵， ∴， 又∵， ∴， ∴． 【变式训练7 相似图形】 1．（23-24九年级上·上海青浦·期末）下列图形中，一定相似的是（    ） A．两个等腰三角形 B．两个菱形 C．两个正方形 D．两个等腰梯形 【答案】C 【分析】本题主要考查了相似图形的定义，根据“对应角相等，对应边成比例的图形相似”逐个判断即可． 【详解】解：A、两个等腰三角形的边不一定成比例，角不一定相等，所以不一定相似，故本选项不符合题意． B、两个菱形的对应边成比例，角不一定相等，所以不一定相似，故本选项不符合题意； C、两个正方形角都是直角一定相等，四条边都相等一定成比例，所以一定相似，故本选项符合题意； D、两个等腰梯形的边不一定成比例，角不一定相等，所以不一定相似，故本选项不符合题意； 故选C． 2．（22-23九年级上·河南新乡·阶段练习）下列图形中，不是相似图形的一组是（    ） A．   B．   C．   D．   【答案】D 【分析】根据相似图形的定义，形状相同但大小不同的图形，是相似图形，依次判断，即可求解，本题考查了相似图形的识别，解题的关键是：明确相似图形的定义． 【详解】解： 、具有相同的形状，是相似图形，不符合题意， 、具有相同的形状，是相似图形，不符合题意， 、具有相同的形状，是相似图形，不符合题意， 、不具有相同的形状，不是相似图形，符合题意， 故选：． 3．（22-23九年级下·全国·课前预习）形状相同的图形叫做 ． 两个图形相似是指它们的 相同，与它们的位置无关； 是一种特殊的相似图形，不仅形状相同，大小也相同． 【答案】 相似图形 形状 全等图形 【解析】略 4．（2023九年级上·全国·专题练习）如图：梯形ADFE相似于梯形EFCB，若AD＝3，BC＝4，则 ． 【答案】 【分析】根据相似的性质，列出比例式，根据已知条件即可求得． 【详解】因为梯形ADFE相似于梯形EFCB，所以，即EF＝， 所以 故答案为： 【点睛】本题考查了相似图形的性质，掌握相似图形的性质是解题的关键． 5．（2023九年级上·全国·专题练习）如图，左边是一个横放的长方形，右边的图形是把左边的长方形各边放大两倍，并竖立起来以后得到的，这两个图形是相似的吗？ 【答案】相似 【分析】根据相似图形的概念进行判断，即可得到答案． 【详解】解：根据题意，这两个图形是相似的，这两个图形形状是一样，对应线段的比都是1∶2，四个角分别对应相等，符合相似图形的定义，虽然它们的摆放方法、位置不一样，但这并不会影响到它们相似性． 【点睛】本题考查了相似图形的定义，解题的关键是掌握相似图形的定义进行判断． 6．（22-23九年级下·全国·课后作业）如图，图形（a）~（f）中，哪些与图形（1）或（2）相似？ 【答案】d与（1）相似，e与（2）相似 【分析】观察比较图形，根据相似图形的定义即可得出本题答案． 【详解】解：d与（1）相似，e与（2）相似 理由是：（1）图形是半圆，而在图形中，只有（d）是半圆，所以图形与图形相似； 图形（2）是由五个小正方形组成，而在图形中，只有（e）是由五个小正方形组成，所以图形与图形相似； 故答案是： d与（1）相似，e与（2）相似． 【点睛】本题主要考查了图形相似的知识点． 【变式训练8 相似多边形】 1．（22-23九年级上·广东佛山·阶段练习）如图，有三个矩形，其中是相似矩形的是（    ）      A．甲与乙 B．甲与丙 C．乙与丙 D．以上都不对 【答案】B 【分析】根据矩形相似的条件，判断对应边的比是否相等即可． 【详解】解：矩形甲长与宽比为， 矩形乙长与宽比为， 矩形丙长与宽比为， ∴所以甲和丙的长与宽的比相等，故这两个矩形相似， 故选：B． 【点睛】本题考查了相似多边形的判定，解题关键是运用了对应角相等，对应边成比例的多边形是相似多边形这一知识点． 2．（22-23九年级上·安徽蚌埠·期末）下列说法正确的有个（    ） （1）任意两个矩形都相似  （2）任意两个正方形都相似 （3）任意两个等边三角形都相似  （4）任意两个菱形都相似． A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】C 【分析】利用相似多边形的定义：如果两个边数相同的多边形的对应角相等，对应边成比例，这两个多边形叫做相似多边形，即可进行判断． 【详解】解：（1）虽然两个矩形的对应角都是直角，但是对应边不一定成比例，所以任意两个矩形不一定相似，故说法错误； （2）两个正方形的对应边成比例，对应角都是直角，所以任意两个正方形一定相似，故说法正确； （3）两个等边三角形的对应边一定成比例，对应角都是，所以任意两个等边三角形一定相似，故说法正确； （4）两个菱形的对应边一定成比例，对应角不一定相等，所以任意两个菱形不一定相似，故说法错误． 故选C． 【点睛】本题考查了相似多边形的定义．注意从对应边与对应角两个方面考虑． 3．（22-23九年级上·江苏南通·阶段练习）如图，一块长3m、宽1.5m的矩形黑板，镶在其外围的木质边框宽7.5cm，边框的内外边缘所成的两矩形 （填“是”或“不是”）相似矩形. 【答案】不是. 【分析】先求出大矩形的长和宽，再分别求出小矩形和大矩形的长之比和宽之比，根据相似图形的定义判断即可. 【详解】解：3m=300cm，1.5m=150cm ∴大矩形的长为：300＋7.5×2=315cm，宽为：150＋7.5×2=165cm ∵ ∴两矩形不相似 故答案为：不是. 【点睛】此题考查的是相似图形的判定，掌握相似图形的定义是解决此题的关键. 4．（22-23九年级上·山西吕梁·期末）如图所示，复印纸的型号有A0，A1，A2，A3，A4等，它们之间存在着这样一种关系：将其中某一型号（如A3）的复印纸沿较长边的中点对折，就能得到两张下一型号（A4）的复印纸，且得到的两个矩形都和原来的矩形相似，那么这些型号的复印纸的长、宽之比为 ． 【答案】 【分析】设这些型号的复印纸的长、宽分别为b、a，根据相似多边形的对应边的比相等列出比例式，计算即可． 【详解】解：设这些型号的复印纸的长、宽分别为b、a， ∵得到的矩形都和原来的矩形相似， ∴， 则， ∴， ∴这些型号的复印纸的长宽之比为， 故答案为：． 【点睛】本题考查的是相似多边形的性质，相似多边形的性质为：①对应角相等；②对应边的比相等． 5．（22-23九年级上·全国·课后作业）图中每组两个矩形相似吗？说说你的理由． 【答案】第（1）组的两个矩形相似；第（2）组的两个矩形不相以，证明见解析． 【分析】利用相似多边形的判定定理进行证明即可． 【详解】解：第（1）组的两个矩形相似； ， 第（1）组的两个矩形相似； ， 第（2）组的两个矩形不相似． 【点睛】本题考查了相似多边形的判定定理，解题的关键是掌握相应的判定定理． 6．（22-23九年级上·吉林长春·期中）如图，作出与四边形的相似的新四边形，使新图形与原图形的相似比为2：1． 【答案】见解析 【分析】根据相似图形的性质，分别将四边形的四条边扩大2倍即可． 【详解】如图，四边形EFGH即为所求， 【点睛】此题主要考查作图（相似变换），解题关键是熟练掌握相似的性质． 【变式训练9 相似多边形的性质】 1．（23-24九年级上·山东聊城·期中）在如图所示的三个矩形中，相似的是（    ）    A．甲和乙 B．甲和丙 C．乙和丙 D．都不相似 【答案】B 【分析】本题考查了相似图形的性质，根据相似图形对应边成比例，逐个进行判断即可． 【详解】解：A、，故甲和乙不相似，不符合题意； B、，，故甲和丙相似，符合题意； C、，故乙和丙不相似，不符合题意； D、由B可知，甲和丙相似，故D不符合题意； 故选：B． 2．（23-24九年级上·陕西咸阳·期中）已知五边形五边形，且，若，则的长为（    ） A．4 B．6 C．9 D．12 【答案】A 【分析】本题考查相似多边形的性质，掌握相似多边形的面积比等于相似比的平方是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∵五边形五边形， ∴， ∴或（舍去）， ∵， ∴， 故选A． 3．（23-24九年级上·河南洛阳·阶段练习）若两个相似多边形的相似比为，则它们周长的比为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了相似多边形的性质．熟练掌握相似多边形周长之比等于相似比，是解决问题的关键． 根据相似多边形周长之比等于相似比解答． 【详解】∵相似多边形的相似比是，周长的比等于相似比， ∴周长的比是． 故答案为：． 4．（23-24九年级上·海南海口·期末）如图是两个形状相同的举重图案，则x的值是 ． 【答案】 【分析】本题考查了相似多边形的性质，如果两个多边形相似，那么它们对应边的比相等，对应角相等，对应周长的比都等于相似比；它们对应面积的比等于相似比的平方． 根据相似多边形的性质：对应线段的比等于相似比列式求解即可． 【详解】解：由题意得， ∴． 故答案为：． 5．（23-24九年级上·吉林长春·期中）如图，四边形四边形．若，，，，，，求线段的长和的大小． 【答案】27，． 【分析】本题考查了相似多边形的性质，根据四边形内角和得出，根据对应边成比例得出的长． 【详解】解：∵四边形四边形 ， ∴，，， ∵， ∴， ∵，，， ∴， ∴． 6．（23-24九年级上·安徽安庆·期中）如图所示，一般书本的纸张是原纸张多次对开（对折）得到，矩形沿对开后，再把矩形沿对开，依次类推，若各种开本的矩形都相似，求的值．      【答案】 【分析】此题考查了相似多边形的性质，设，，则，，根据相似多边形的性质得到，然后代入求解即可．解题的关键是熟练掌握相似多边形的性质：对应边成比例，对应角相等． 【详解】设，，则，， 由相似图形的性质得：，即， 解得或（不符题意，舍去）， 则． 1．（23-24九年级上·浙江绍兴·期末）若，则的值为（    ） A． B． C．4 D． 【答案】A 【分析】本题考查比例的性质，用表示是关键． 根据等式的性质，用表示，再利用分式的性质化简即可． 【详解】解：由得， ∴． 故选A． 2．（23-24九年级上·辽宁朝阳·期末）下列四条线段成比例的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题考查了比例线段，理解成比例线段的概念，根据比例线段的概念，让最小的和最大的相乘，另外两条相乘，看它们的积是否相等即可得出答案． 【详解】解：A、， ∴四条线段不成比例； B、， ∴四条线段不成比例； C、， ∴四条线段成比例； D、， ∴四条线段不成比例． 故选：C． 3．（22-23九年级上·山西吕梁·期末）在设计人体雕塑时，雕塑的腰部以下的高度与全身的高度的比值接近，可以增加视觉美感，这体现了数学中的（   ）    A．轴对称 B．旋转 C．黄金分割 D．平移 【答案】C 【分析】根据黄金分割的应用求解即可． 【详解】解：腰部以下的高度与全身的高度的比值接近，即为黄金分割比， 故选C． 【点睛】本题考查了黄金分割，解决本题的关键是掌握黄金分割是一种数学比例，常用于一些建筑与产品的设计中． 4．（2023九年级下·全国·专题练习）如图，直线，直线m分别与a、b、c交于点A、C、E，直线n分别与a、b、c交于点B、D、F，若，则（　　） A．3 B．4 C． D． 【答案】C 【分析】此题考查了平行线分线段成比例定理，根据平行线分线段成比例定理得到，代入数值即可得到答案． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， 解得：， 故选：C． 5．（22-23九年级上·四川成都·期末）如图所示的两个四边形相似，则下列结论不正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由相似三角形的性质：对应角相等，对应边成比例，即可求解． 【详解】因为两个图形相似： 解得： A选项正确，不符合题意； B选项错误，符合题意； C选项正确，不符合题意； ， D选项正确，不符合题意； 故选：B． 【点睛】本题考查了相似多边形的性质；根据性质求出对应边和对应角是解题的关键． 6．（2024·福建宁德·二模）若，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了比例的性质，根据题意可设，代入代数式，即可求解． 【详解】解：∵， 设， ∴ 故答案为：． 7．（22-23九年级上·全国·课后作业）已知线段是线段和线段的比例中项，若，，则 ． 【答案】4 【分析】根据比例中项的定义，若是和的比例中项，则，进行计算即可得到答案． 【详解】解：线段是线段和线段的比例中项， ， ，， ， 故答案为：4． 【点睛】本题考查了线段的比例中项的定义，熟练掌握此知识点是解题的关键，注意线段不能为负． 8．（2024·陕西渭南·二模）如图，在中，，，以为圆心，为半径，两弧交于点，此时，点为线段的黄金分割点，若，则的长为 ． 【答案】 【分析】本题考查的是黄金分割的概念，本题中经分析，因为点为线段的黄金分割点，所以把线段分成两条线段和，且使是和的比例中项，即 ，把代入计算，即可作答． 【详解】解：，，以为圆心，为半径，两弧交于点， ∵点为线段的黄金分割点， ∴是和的比例中项， ， ∵ ∴ 故答案为： 9．（22-23九年级上·河南周口·期末）如图，，则的长为 ．    【答案】4.5/ 【分析】由平行线分线段成比例定理得出比例式，即可得出结果． 【详解】 即 解得 故答案为：4.5． 【点睛】本题考查了平行线分线段成比例定理，熟练掌握平行线分线段成比例定理是解题的关键． 10．（22-23九年级上·山西太原·期中）如图，正方形ABCD中，点E是对角线BD上的一点，BE=BC，过点E作EF⊥AB，EG⊥BC，垂足分别为点F，G，则正方形FBGE与正方形ABCD的相似比为 ． 【答案】 【分析】设BG=x，则BE=x，即BC=x，则正方形FBGE与正方形ABCD的相似比=BG：BC=x：x=：2. 【详解】设BG=x， 则BE=x， ∵BE=BC， ∴BC=x， 则正方形FBGE与正方形ABCD的相似比=BG：BC=x：x=：2. 故答案为． 【点睛】本题主要考查正方形的性质，图形相似的的性质.解此题的关键在于根据正方形的性质得到相关边长的比. 11．（23-24九年级上·上海·期中）已知线段、、满足，且，求线段、、的长． 【答案】 【分析】此题主要考查了比例的性质，根据已知得出， ， ，进而得出a、b、c的值是解题关键． 根据题意可设，然后用k的代数式分别表示出a、b、c，再代入可求得k，即可求得答案． 【详解】解：设，则 ∵， ∴， 解得， ∴ 12．（2023九年级上·全国·专题练习）已知线段的长度为，点P在线段上，，求线段的长． 【答案】 【分析】由题意得点P是线段的黄金分割点，再列式计算即可． 【详解】解：点P在线段上，， 点P是线段的黄金分割点，且， ， 线段的长度为， ． 【点睛】本题考查了黄金分割点的定义，解题的关键是掌握黄金分割的几何含义并熟记其比值． 13．（23-24九年级上·陕西咸阳·期中）如图，在中，D、E、F分别是AB、BC上的点，且，，，，求EF和FC的长． 【答案】；． 【分析】本题考查了平行线分线段成比例．根据平行线分线段成比例定理，由得，可计算出，则，然后再由得到，可计算出，所以． 【详解】解：∵， ，即， ， ， ∵， ，即， ， ． 14．（23-24九年级上·陕西榆林·期中）如图，四边形四边形，，，，求x的值和的度数．        【答案】，． 【分析】本题主要考查了相似多边形的性质．根据“相似多边的对应角相等，对应边成比例”，即可求解． 【详解】解：∵，，， ∴． ∵四边形四边形， ∴，， ∴， ∴． 15．（22-23九年级·全国·假期作业）如图所示，有矩形ABCD和矩形，AB＝8cm，BC＝12cm，＝4cm，＝6cm． (1)求和； (2)线段，AB，，BC是成比例线段吗？ 【答案】(1)， (2)线段，AB，，BC是成比例线段． 【分析】（1）根据已知条件，代入和，即可求得结果； （2）根据和的值相等，即可判断线段A′B′，AB，B′C′，BC是成比例线段． 【详解】（1）∵AB＝8cm，BC＝12cm，A′B′＝4cm，B′C′＝6cm． ∴＝＝ ，＝＝ （2）由（1）知＝＝ ，＝＝； ∴＝， ∴线段A′B′，AB，B′C′，BC是成比例线段． 【点睛】本题考查了比例线段，知道成比例线段的条件是解题的关键． 学科网（北京）股份有限公司 $$