第06讲 概率的进一步认识（2大知识点+8大典例+变式训练+随堂检测）-（暑期衔接课堂）2024年暑假八升九数学衔接讲义（北师大版）

第06讲 概率的进一步认识（2大知识点+8大典例+变式训练+随堂检测） 题型一 几何概率 题型二 列举法求概率 题型三 列表法或树状图法求概率 题型四 游戏的公平性 题型五 求某事件的频率 题型六 由频率估计概率 题型七 概率的基他应用 题型八 用频率估计概率的综合应用 知识点01：用树状图或表格求概率 1.树状图 当一次试验要涉及3个或更多个因素时，为了不重不漏地列出所有可能的结果，通常采用树形图，也称树形图、树图. 树形图是用树状图形的形式反映事件发生的各种情况出现的次数和方式，以及某一事件发生的可能的次数和方式，并求出概率的方法. 要点： (1)树形图法适用于各种情况出现的总次数不是很大时，求概率的问题； (2)在用树形图法求可能事件的概率时，应注意各种情况出现的可能性务必相同. 2.列表法 当一次试验要涉及两个因素，并且可能出现的结果数目较多时，为不重不漏地列出所有可能的结果，通常采用列表法. 列表法是用表格的形式反映事件发生的各种情况出现的次数和方式，以及某一事件发生的可能的次数和方式，并求出概率的方法. 要点： （1）列表法适用于各种情况出现的总次数不是很大时，求概率的问题； （2）列表法适用于涉及两步试验的随机事件发生的概率. 3.用列举法求概率的一般步骤 （1）列举（列表、画树状图）事件所有可能出现的结果，并判断每个结果发生的可能性是否都相等； （2）如果都相等，再确定所有可能出现的结果的个数n和其中出现所求事件A的结果个数m； （3）用公式计算所求事件A的概率.即P（A）=. 知识点02：用频率估计概率 1.频率与概率的定义 频率：在相同条件下重复n次试验，事件A发生的次数m与试验总次数n的比值. 概率：事件A的频率接近与某个常数，这时就把这个常数叫做事件A的概率，记作P（A）. 2.频率与概率的关系 事件的概率是一个确定的常数，而频率是不确定的，当试验次数较少时，频率的大小摇摆不定，当试验次数增大时，频率的大小波动变小，并逐渐稳定在概率附近.可见，概率是频率的稳定值，而频率是概率的近似值. 要点： （1）频率本身是随机的，在试验前不能确定，无法从根本上来刻画事件发生的可能性的大小，在大量重复试验的条件下可以近似地作为这个事件的概率； （2）频率和概率在试验中可以非常接近，但不一定相等； （3）概率是事件在大量重复试验中频率逐渐稳定到的值，即可以用大量重复试验中事件发生的频率去估计得到事件发生的概率，但二者不能简单地等同，两者存在一定的偏差是正常的，也是经常的. 3.利用频率估计概率 当试验的可能结果不是有限个，或各种结果发生的可能性不相等时，一般用统计频率的方法来估计概率. 要点： 用试验去估计随机事件发生的概率应尽可能多地增加试验次数，当试验次数很大时，结果将较为精确. 【典型例题一 几何概率】 1．（23-24九年级上·四川广元·期末）如果小球在如图所示的图案上（去掉颜色的图案是中心对称图形也是轴对称图形）自由地滚动，并随机停留在某处，那么小球最终停留在灰色图案上的概率是（    ） A． B． C． D． 2．（23-24九年级上·广西南宁·阶段练习）如图所示，一个可以自由转动的自由盘，被分成了6个相同的扇形，转动转盘，转盘停止时，指针落在红色区域的概率等于（    ） A． B． C． D． 3．（23-24七年级下·山西太原·阶段练习）小球在如图所示的地板上自由地滚动，随机地停留在某块方砖上，最终停在白色区域上的概率是 ．    4．（2024·江苏苏州·中考真题）如图，正八边形转盘被分成八个面积相等的三角形，任意转动这个转盘一次，当转盘停止转动时，指针落在阴影部分的概率是 ． 5．（23-24九年级上·安徽淮南·阶段练习）一个小球在如图所示的方格地板上自由滚动，并随机停留在某块地板上，每块地板大小、质地完全相同，求该小球停留在黑色区域的概率． 6．（22-23七年级下·广东河源·期末）图、分别是两个可以自由转动的转盘，图的转盘被平均分成等分，图被分成大小不同的份，小明转动转盘，小亮转动转盘，并约定：当转盘停止时，指针指向红色区域的获胜． (1)小明转动转盘，指针指向蓝色区域的概率是______． (2)小亮转动转盘，指针指向蓝色区域的概率是_____，指向黄色区域的概率是______． (3)这个游戏对小明，小亮双方是否公平？请通过计算说明理由． 【典型例题二 列举法求概率】 1．（23-24九年级上·安徽阜阳·期末）某技工学校从成绩优秀的3名男同学和2名女同学中，随机选取2名同学参加全国实践操作技能大赛，则选取的2名同学恰好都是男同学的概率为（    ） A． B． C． D． 2．（2024·安徽合肥·二模）化学实验室有四种溶液：分别是氢氧化钠溶液，碳酸氢钠溶液，稀盐酸溶液和稀硫酸溶液，从中随机取出两种适量溶液，充分混合，有气体生成的概率是（　　） A． B． C． D． 3．（2023·重庆·模拟预测）在一个不透明的布袋中装有三个小球，小球上分别标有数字，1，3，它们除了数字不同外，其他都完全相同．小红先从布袋中随机摸出一个小球，记下数字作为的值，把此球放回袋中搅匀，再随机摸出一个小球，记下数字作为b的值，则反比例函数 ()经过第一、三象限的概率是 ． 4．（2024·河南周口·三模）第19届亚运会于2023年9月23日~10月8日在杭州举办，此次运动会的精神是：“用心交融”“互相包容”“团结向上”“紧密相拥”．它传递了亚洲人民的自信、乐观，不畏挑战，共赢美好的期许，寄托着面向未来，共建亚洲和人类命运共同体的良好愿望．现有四张卡片，正面写着这四个词语，它们除此之外完全相同，现反面朝上洗匀，从中随机抽取两张，则正面词语恰好是“团结向上”和“紧密相拥”的概率为 ． 5．（2024·江苏南京·一模）如图，某商场制作了一个抽奖转盘，分设一、二等奖，其中一等奖的扇形圆心角为．小丽在商场先后消费两次，获得两次转动转盘机会（指针指向分界处时重转一次）． (1)小丽第一次转到一等奖的概率是 ； (2)求小丽两次都转到一等奖的概率． 6．（23-24九年级下·福建福州·阶段练习）小榕同学将宋、元、明、清四个朝代的名称分别写在四张完全相同的卡片的正面，并将卡片背面朝上随机放好 (1)小闽同学从中随机抽取一张，恰好卡片上写着是“宋”字的概率是__________； (2)把这四张卡片分成两组，每组两张．求卡片上写着“清”、“明”两字分在同一组的概率． 【典型例题三 列表法或树状图法求概率】 1．（2024·山西吕梁·模拟预测）太原北齐壁画博物馆于2023年12月20日开馆，它是全国首座原址建设的北齐壁画博物馆，以北齐壁画展示为核心，解读北朝时期晋阳在文化交流、民族融合等方面的重要地位．场馆一层分三个展厅：第一展厅（别都华彩），第二展厅（一眼千年）和第三展厅（简易标美）．某中学两名学生计划利用周末时间随机选择一个展厅进行志愿者活动，则他俩恰好选择同一展厅的概率为（    ） A． B． C． D． 2．（2023·贵州黔西·模拟预测）小明和小刚各自掷一枚质地均匀的正方体骰子，若两人的点数之和是奇数，则小明积1分，若两人的点数之和是偶数，则小刚积1分，此游戏（    ） A．对小明有利 B．对小刚有利 C．是公平的 D．无法判断 3．（2024·黑龙江哈尔滨·模拟预测）从2，3，4这三个数字中，任意抽取两个不同数字组成一个两位数，则这个数能被4整除的概率是 ． 4．（23-24八年级下·重庆九龙坡·期末）“二十四节气”是上古农耕文明的智慧结晶．八年级计划围绕节气开展主题演讲．其中，小实和小外都打算从“立春”、“立夏”、“立秋”、“立冬”四个节气中选择一个节气进行主题演讲，则恰好他们两人选到同一节气的概率为 ． 5．（23-24九年级下·吉林白山·阶段练习）如图，现有三张正面印有“三牛”图案的不透明卡片A，B，C，卡片除正面图案不同外，其余均相同．将三张卡片正面向下洗匀，小吉同学从中随机抽取两张卡片，请用画树状图或列表的方法求小吉同学抽出的两张卡片分别是A和B的概率． 6．（2024·吉林长春·一模）某超市开展“端午节”大酬宾购物抽奖活动，奖项设置为面值不同的购物卡，分别是：一等奖120元，二等奖60元，三等奖10元．抽奖一次的过程如下：在一个不透明的袋子里装有三个小球，球面上分别标注数字“1”、“2”、“3”，它们除数字不同外其他均相同，先随机摸出一球，记下数字后，将小球放回袋中充分搅匀，再随机摸出一球，若两球标注的数字之和为6，则获一等奖，数字之和为5，则获二等奖，数字之和为4，则获三等奖，其余均不获奖．请用画树状图（或列表）的方法，求顾客抽奖一次获奖的概率． 【典型例题四 游戏的公平性】 1．（22-23九年级下·贵州贵阳·阶段练习）甲、乙两人各自掷一个普通的正方体骰子，如果两者之和为偶数，甲得1分；如果两者之和为奇数，乙得1分，此游戏（    ） A．是公平的 B．对乙有利 C．对甲有利 D．以上都不对 2．（22-23九年级上·河南南阳·期末）在掷一枚骰子次的试验中，“偶数朝上”的频数为，则“偶数朝上”的频率为（   ） A． B． C． D． 3．（23-24九年级上·吉林四平·期末）一个口袋中装有两个红球，一个白球，从口袋中随机摸出两球．若规定：是同一颜色，甲获胜；不是同一颜色，乙获胜，则可知甲、乙两人中 获胜的机会大． 4．（23-24七年级下·全国·课后作业）在一个不透明的纸盒中放入颜色分别为白色、红色、绿色的小球各 1个，每个小球除颜色不同外其他均相同，三人先后去摸球，一人摸一次，一次摸出一个小球，摸出后放回，摸出白球者赢，则这个游戏中先摸者赢的概率 后摸者赢的概率．（填“>”“<”或“=”） 5．（23-24九年级上·福建莆田·阶段练习）甲乙两人玩一种游戏：三张大小、质地都相同的卡片上分别标有数字，，，现将标有数字的一面朝下，洗匀后甲从中任意抽取一张，记下数字后放回；又将卡片洗匀，乙也从中任意抽取一张，计算甲乙两人抽得的两个数字之积，如果积为奇数则甲胜，若积为偶数则乙胜．用列表或画树状图等方法，请判断该游戏对甲乙双方是否公平？ 6．（23-24九年级上·山西临汾·阶段练习）平遥古城和云冈石窟是山西省著名的两个景区，甲、乙两人想用做游戏的方式决定去哪一个景区．他们准备了两个可以自由转动的转盘，每个转盘被分成面积相等的几个扇形，同时转动两个转盘，若两个指针指向的数字之积小于3，则去平遥古城，否则去云冈石窟，若指针刚好落在分割线上，则需要重新转动转盘，请用列表或画树状图的方法说明这个游戏是否公平． 【典型例题五 求某事件的频率】 1．（23-24八年级下·安徽淮北·期末）“长城是中华民族的骄傲”的英文是“”．在这句英文中，字母“i”出现的频率是（    ） A． B． C． D． 2．（2024·山东枣庄·一模）圆周率π是无限不循环小数．历史上，祖冲之、刘徽、韦达、欧拉等数学家都对π有过深入的研究．目前，超级计算机已计算出π的小数部分超过31.4万亿位．有学者发现，随着π小数部分位数的增加，0~9这10个数字出现的频率趋于稳定接近相同．从π的小数部分随机取出一个数字，估计数字是6的概率为（    ） A． B． C． D． 3．（23-24八年级下·江苏扬州·期中）在整数中，数字“”出现的频率是 ． 4．（23-24九年级上·北京海淀·阶段练习）每逢中秋佳节，赏月吃月饼是中国人的传统．有关部门对某食品生产企业生产的某一批次月饼进行抽样检测，结果如下表： 抽取月饼数量 50 100 200 500 1000 2000 优等品数量 45 92 194 474 951 1900 若从这批月饼中任取一个，则检测结果为优等品的概率约为 ．（精确到） 5．（22-23七年级下·山东烟台·期中）某公司的一批某品牌衬衣的质量抽检结果如下： 抽检件数 50 100 200 300 400 500 次品件数 0 4 16 18 24 30 抽到次品的频率 (1)将上表补充完整； (2)结合表格数据直接写出这批衬衣中任抽1件是次品的概率是______． 6．（22-23九年级上·浙江金华·阶段练习）小覃和小莫两位同学在学习“概率”时，做投掷骰子（质地均匀的正方体）实验，他们共做了100次试验，实验的结果如下： 向上点数 1 2 3 4 5 6 出现次数 12 19 15 18 20 x （1）求表格中x的值． （2）计算“3点朝上”的频率． （3）小覃说：“根据实验，一次实验中出现1点朝上的概率是12%”：小覃的这一说法正确吗？ （4）小莫说：“如果掷6000次，那么出现5点朝上的次数大概是1500次左右．”小莫的这一说法正确吗？为什么？ 【典型例题六 由频率估计概率】 1．（23-24八年级下·江苏徐州·期中）某小组做“用频率估计概率”的实验时，统计了某一结果出现的频率，绘制了如图的折线统计图，则符合这一结果的实验最有可能的是（    ）    A．在“石头、剪刀、布”的游戏中，小明随机出的是“剪刀” B．一副去掉大小王的普通扑克牌洗匀后，从中任抽一张牌的花色是黑桃 C．一只不透明袋子中有1个红球和3个绿球（除了颜色都相同），从中任摸出一个球是红球 D．掷一个质地均匀的正方体骰子，向上一面的点数是5 2．（2024·河北保定·一模）如图，将转盘八等分，分别涂上红、绿、蓝三种颜色，则转动的转盘停止时．指针落在蓝色区域的概率为（    ）    A． B． C． D． 3．（23-24八年级下·江苏常州·阶段练习）在一个不透明的袋中装有除颜色外其余均相同的个黄球和3个黑球，从袋中随机摸出一球，记下其颜色，把它放回袋中，搅匀后，再摸出一球，…，通过多次试验后，发现摸到黑球的频率稳定于，则的值大约是 ． 4．（23-24九年级上·山东威海·期末）林业部门要分析一种树苗移植的成活率，对该树苗移植后的成活情况进行了记录，并统计了如下表格： 树苗数 2000 4000 6000 8000 10000 12000 14000 成活树苗数 1862 3487 5343 7234 9108 10931 12752 成活频率 0.931 0.8718 0.8905 0.9043 0.9108 0.9109 0.9109 根据表格信息，可以估计该树苗移植成活的概率是 ．（精确到0.001） 5．（23-24九年级上·陕西咸阳·期中）一个不透明的口袋中有黄色和蓝色的玻璃球共80个，小华每次从口袋中摸出一个球记录下颜色后再放回，通过多次试验后发现，摸到黄色玻璃球的频率稳定在0.25左右，请估计口袋中蓝色玻璃球的个数． 6．（2023·安徽·模拟预测）一个不透明的箱子里装有蓝、白两种颜色的球共个，它们除颜色外，其他都相同．李明将球搅匀后从箱子中随机摸出个球，记下颜色后，再将它放回，不断重复实验．多次实验结果如表． 摸球次数 白球频率 (1)当摸球次数足够多时，摸到白球的频率将会稳定于______（精确到）左右，从箱子中摸一次球，估计摸到蓝球的概率是______． (2)从该箱子里随机摸出个球，不放回，再摸出个球．用列举法求摸到个蓝球、个白球的概率． 【典型例题七 概率的基他应用】 1．（22-23九年级上·山西阳泉·期末）如图是可以自由转动的转盘，转盘被等分成三个扇形，并分别标上1，2，3，转盘停止后，则指针指向的数字为奇数的概率是（    ） A． B． C． D． 2．（2023·浙江绍兴·一模）笼子里关着一只小松鼠（如图），笼子的主人决定把小松鼠放归大自然，将笼子所有的门都打开，松鼠要先经过第一道门（A，，或C），再经过第二道门（或）才能出去．问松鼠走出笼子的路线（经过的两道门）有（   ）种不同的可能？ A．12 B．6 C．5 D．2 3．（22-23九年级上·广东·单元测试）某船队要对下月是否出海作出决策，若出海后是好天气，可得收益5000元；若出海后天气变坏，将要损失2000元；若不出海，无论天气好坏都要承担1000元的损失费，船队队长通过上网查询下月的天气情况后，预测下月好天气的机会是，坏天气的机会是，则作出决策为 （填“出海”、“不出海”）． 4．（2023·北京门头沟·一模）下面是某小区随机抽取的100户家庭的月用电量情况统计表： 月户用电量x（千瓦时/户．月） 户数（户） 5 22 27 31 15 从中任意抽出一个家庭进行用电情况调查，则抽到的家庭月用电量为第二档（用电量大于240小于等于400为第二档）的概率为 ． 5．（22-23九年级上·全国·单元测试）有一个摆地摊的不法摊主，他拿出3个白球，3个黑球，放在一个袋子里（不透明），让人摸球中奖．只要交2元钱就可以从袋中摸出3个球，若摸到的3个球都是白球，就可得10元的回报，请你计算一下摸一次球的平均收益，并估算若1000有名学生每人摸一次，摊主将从同学的身上骗走多少钱？ 6．（2023·福建三明·二模）某商场举行促销活动，消费满一定金额的顾客可以通过参与摸球活动获得奖励．具体方法如下：从一个装有2个红球、3个黄球（仅颜色不同）的袋中摸出2个球，根据摸到的红球数确定奖励金额，具体金额设置如下表：现有两种摸球方案： 摸到的红球数 0 1 2 奖励（单位：元） 5 10 20 方案一：随机摸出一个球，记下颜色后不放回，再从中随机摸出一个球； 方案二：随机摸出一个球，记下颜色后放回，再从中随机摸出一个球． (1)求方案一中，两次都摸到红球的的概率； (2)请你从平均收益的角度帮助顾客分析，选择哪种摸球方案更有利? 【典型例题八 用频率估计概率的综合应用】 1．（2023·河南·模拟预测）一个口袋中有黄球和黑球共16个，这些球除颜色外都相同，将口袋中的球搅拌均匀，从中随机摸出一个球，记下它的颜色后放回，不断重复这一过程，共摸了200次球，发现有150次摸到黄球，请你估计这个口袋中黑球的个数（    ） A．3 B．4 C．6 D．12 2．（23-24九年级上·北京海淀·阶段练习）不透明的盒子中装有红、黄色的小球共20个，除颜色外无其他差别，随机摸出一个小球，记录颜色后放回并摇匀，再随机摸出一个．下图显示了某数学小组开展上述摸球活动的某次实验的结果． 下面有四个推断： ①当摸球次数是300时，记录“摸到红球”的次数是99，所以“摸到红球”的概率是0.33； ②随着试验次数的增加，“摸到红球”的频率总在0.35附近摆动，显示出一定的稳定性，可以估计“摸到红球”的概率是0.35； ③可以根据本次实验结果，计算出盒子中约有红球7个； ④若再次开展上述摸球活动，则当摸球次数为500时，“摸到红球”的频率一定是0.40． 所有合理推断的序号是（    ） A．①② B．②③ C．①②③ D．②③④ 3．（23-24九年级上·云南保山·期末）在一个不透明的袋子中，有白色棋子和黑色棋子共20颗，这些棋子除颜色外均相同，将袋中的棋子搅匀，从中随机摸出一颗棋子，记下颜色后再放回袋子中，不断重复这一过程，摸了100次后，发现有60次摸到黑色棋子，请你估计这个袋子中黑色棋子有 颗． 4．（23-24九年级上·山东济南·期末）二维码在日常生活中被广泛应用，某数学兴趣小组对其开展数学实验活动．如图，在边长为的正方形区域内利用计算机软件进行随机掷点模拟实验．经过大量重复实验，发现点落在黑色部分的频率稳定在0.7左右，据此可以估计这个正方形区域内黑色部分的面积为 ． 5．（23-24九年级上·陕西渭南·期末）一个不透明的袋中装有若干个红球，为了估计袋中红球的个数，在袋中放入3个除了颜色外其余均相同的白球，从袋子中随机摸出一个球，记录下颜色后，放回袋中并摇匀，通过大量重复这样的试验后发现，摸到白球的频率稳定在0.15附近，请估计袋子中红球的个数． 6．（23-24九年级上·陕西咸阳·期中）某运动员进行打靶训练，对该名运动员打靶正中靶心的情况进行统计，并绘制了如图所示的统计图，根据图中信息回答问题．    (1)估计该运动员正中靶心的概率为________；（结果精确到0.1） (2)在一次练习中，他一共打了160枪，试估计他正中靶心的枪数为多少枪？ 【变式训练1 几何概率】 1．（2024·广东汕尾·二模）某商场为吸引顾客设计了如图所示的自由转盘，每位顾客均能获得一次转动转盘的机会，如果转盘停止后，当指针指向阴影部分时，该顾客可获得奖品一份，那么该顾客获奖的概率为（    ） A． B． C． D． 2．（23-24九年级下·山东临沂·期中）如果一个三位数中任意两个相邻数字之差的绝对值不超过1，则称该三位数为“平稳数”．用4，5，6这三个数字随机组成一个无重复数字的三位数，恰好是“平稳数”的概率为（    ） A． B． C． D． 3．（2024·宁夏石嘴山·一模）如图，在正方形中，点在上，连接，，随机地往正方形内投一粒米（米粒大小忽略不计），则米落在阴影区域的概率为 ． 4．（2024·江苏苏州·一模）如图，一块矩形飞镖游戏板，对角线，相交于点，过点作分别交边，于点，．假设飞镖投中游戏板上的每一点是等可能的（若投中矩形中各三角形的边界或没有投中游戏板，则重投1次），现向该游戏板随机投掷飞镖1次，则飞镖投中阴影区域的概率为 ． 5．（22-23七年级下·广东佛山·阶段练习）某商场为了吸引顾客，设立了一个如图可以自由转动的转盘，并规定：顾客每购买30元的商品就能获得一次转动转盘的机会．如果转盘停止后，指针正好对准红、绿或黄色区域，顾客就可以获得100元、50元，20元的购物券，（转盘被等分成20个扇形），已知甲顾客购物32元．    (1)他获得购物券的概率是多少？ (2)他得到100元、50元、20元购物券的概率分别是多少？ 6．（22-23七年级下·辽宁铁岭·期末）如图，将一个封闭的圆形装置内部划分为三个区域，其中A、B两个区域为圆环，C区域为小圆． （1）求出A、B、C三个区域的面积； （2）若随机往装置内扔一粒黄豆，求黄豆落在B区域的概率． 【变式训练2 列举法求概率】 1．（23-24九年级上·江苏淮安·期中）张老师的渔具包内有，，，四种规格的鱼竿各一支，从中任意取出一支鱼竿长度是的概率是（    ） A．0 B． C． D． 2．（23-24九年级下·重庆·阶段练习）如图，有7张扑克牌，将其打乱顺序后，背面朝上放在桌上，若从中随机抽取一张，抽到方块的概率是（    ） A． B． C． D． 3．（2024·山西晋中·一模）某校计划组织“研学之旅”活动，准备从大同云冈石窟、平遥古城、祁县乔家大院三个地点中随机选择两个，每个地点被选中的可能性相同，则选中平遥古城和祁县乔家大院的概率为 ． 4．（23-24九年级上·浙江绍兴·阶段练习）17世纪的一天，保罗与著名的赌徒梅尔赌钱，每人拿出6枚金币，然后玩骰子，约定谁先胜三局谁就得到12枚金币，比赛开始后，保罗胜了一局，梅尔胜了两局，这时一件意外的事中断了他们的赌博，于是他们商量这12枚金币应该怎样分配才合理，保罗认为，根据胜的局数，他应得总数的三分之一，即4枚金币，但精通赌博的梅尔认为他赢得可能性大，所以他应得全部赌金．请你根据概率知识分析保罗应赢得 枚金币． 5．（23-24九年级上·浙江宁波·期中）在一个不透明的袋中装有1个红球、1个白球和1个黑球，共3个球，它们除颜色外都相同． (1)求从袋中摸出一个球是红球的概率； (2)摸出1个球，记下颜色后放回，并搅匀，再摸出1个球，求两次摸出的球恰好颜色相同的概率（要求画树状图或列表）． 6．（2023·陕西宝鸡·三模）张洋所住小区的每栋楼下均设有供业主使用的公共底面停车场，这天他放学回家时观察到位于他家楼下的停车场还剩余四个车位，小区规定每辆汽车停放时只能占用一个车位． (1)若此时有一辆汽车停车，则这辆车停在“003”号车位的概率是___________； (2)若此时有两辆汽车同时停车，求这两辆车停在相邻车位的概率． 【变式训练3 列表法或树状图法求概率】 1．（22-23九年级上·山东烟台·期末）九（1）班三名同学进行唱歌比赛，原定出场顺序是：甲第一个出场，乙第二个出场，丙第三个出场，后来要求这三名同学用抽签方式重新确定出场顺序，则抽签后每个同学的出场顺序都发生变化的概率为（    ） A． B． C． D． 2．（2024·湖南衡阳·模拟预测）某单位决定从A，B，C，D四名志愿者中通过抽签的方式确定两名志愿者参加某项活动，抽签规则：将四名志愿者的名字分别写在四张完全相同的不透明卡片的正面，把四张卡片背面朝上，洗匀后放在桌面上，先从中随机抽取一张卡片，记下名字，再从剩余的三张卡片中随机抽取第二张卡片，记下名字．按照抽签规则，A，B两名志愿者同时被抽中的概率为（    ） A． B． C． D． 3．（23-24八年级下·上海金山·期末）布袋里有3个红球、2个白球，它们除颜色外其他都相同，从中任意摸出两个球恰好是同颜色的概率的是 ． 4．（2024·辽宁抚顺·三模）某校组织“歌唱祖国”合唱比赛，七年一班准备从《我和我的祖国》、《国家》、《龙的传人》三首歌曲中选择两首进行排练，那么该班恰好选中《国家》、《龙的传人》这两首歌的概率是 ． 5．（2024·甘肃临夏·中考真题）物理变化和化学变化的区别在于是否有新物质的生成．某学习小组在延时课上制作了，，，四张卡片，四张卡片除图片内容不同外，其他没有区别，放置于暗箱中摇匀． (1)小临从四张卡片中随机抽取一张，抽中卡片的概率是______； (2)小夏从四张卡片中随机抽取两张，用列表法或画树状图法求小夏抽取两张卡片内容均为化学变化的概率． 6．（2024·云南昭通·二模）今年春节电影A《热辣滚烫》，B《飞驰人生2》，C《熊出没逆转时空》，D《第二十条》在网络上持续引发热议，根据国家电影局2月18日发布数据，我国2024年春节档电影票房达80.16亿元，创造了新的春节档票房纪录．甲、乙两位同学打算去观看这四部影片的其中一部： (1)甲选择看A电影的概率是_______________； (2)请用列表或画树状图的方法求甲乙两同学选择观看同一部电影的概率． 【变式训练4 游戏的公平性】 1．（22-23九年级上·全国·课后作业）甲、乙两人玩一个游戏，判定这个游戏公平的标准是（    ） A．游戏的规则由甲方确定 B．游戏的规则由乙方确定 C．游戏的规则由甲、乙双方商定 D．甲、乙双方赢的概率相等 2．（22-23九年级上·全国·课后作业）一个不透明的箱子中放有红色、黄色、黑色三种小球，三个人先后去摸球，一人摸一次，一次摸出一个小球，摸出后放回，摸出红色、黄色小球得0分，摸出黑色小球得1分，得分高者获胜，则这个游戏（    ） A．公平 B．不公平 C．先摸者赢的可能性大 D．后摸者赢的可能性大 3．（23-24七年级上·湖南衡阳·开学考试）小军和小红用2、3、4三张数字卡片做游戏，如果摆出的三位数是偶数，算小红赢，否则算小军赢，这个游戏规则 （填“公平“或“不公平”）． 4．（22-23九年级下·广东云浮·期末）甲、乙两班进行篮球比赛，裁判员采用同时抛掷两枚完全相同硬币的方法选择比赛场地：若两枚硬币朝上的面相同，则甲班先选择场地；否则乙班先选择场地．为了判断这种方法的公平性，明明画出树状图如图所示，根据树状图，这种选择场地的方法对两个班级 ．（填“公平”或“不公平”）    5．（2024·陕西西安·模拟预测）甲、乙两名同学玩一个游戏：将正面分别写有数字，0，1，2的四张卡片（这些卡片除数字外其余均相同）洗匀后，背面向上放在桌面上，甲先从中随机选择一张卡片，记录卡片上的数字为x，乙再从剩余的卡片中随机选择一张，记录卡片上的数字为y．若，则甲获胜，否则乙获胜．请用画树状图或列表的方法，说明这个游戏对双方是否公平． 6．（23-24七年级下·陕西西安·阶段练习）现有若干个除颜色外完全相同的球，从中选取10个球放入一个不透明的袋子里进行摸球游戏． (1)若袋子中装有5个红球、2个白球和3个黄球，从中任意摸出一个球，摸到红球的概率是　　　； (2)小明和小亮一起做游戏，若袋子中有4个红球和6个白球，从中任意摸出一个球，摸到红球小明获胜，摸到白球小亮获胜，这个游戏对双方公平吗？说明理由． 【变式训练5 求某事件的频率】 1．（22-23九年级上·浙江温州·阶段练习）已知不透明的袋中只装有黑、白两种球，这些球除颜色外都相同，其中白球有9个，黑球有n个，若随机地从袋子中摸出一个球，记录下颜色后，放回袋子中并摇匀，经过大量重复试验发现摸出黑球的频率稳定在0.4附近，则n的值为（　　） A．5 B．6 C．7 D．8 2．（22-23九年级上·河北保定·期中）在一个不透明的口袋中，放置6个黄球、1个红球和n个蓝球，这些小球除颜色外其余均相同，课外兴趣小组每次摸出一个球记录下颜色后再放回，并且统计了黄球出现的频率，如图，则n的值是（    ） A．2 B．3 C．5 D．8 3．（22-23八年级下·江苏连云港·期中）我们把一个样本的40个数据分成4组，其中第1、2、3组的频数分别为6、12、14，则第4组的频率为 ． 4．（22-23八年级上·云南红河·期末）某灯泡厂一次质量检查中，从300个灯泡中抽查了50个，其中有3个不合格，则出现不合格灯泡的频率是 ，在这300个灯泡中估计有 个为不合格产品． 5．（22-23七年级下·陕西汉中·期末）下表是某口罩生产厂对一批N95口罩质量检测的情况： 抽取口罩数 200 500 1000 1500 2000 3000 合格品数 188 471 946 1425 1898 2850 合格品频率 0.94 0.942 0.946 0.95 （1）求表中、的值； （2）从这批口罩中任意抽取一个是合格品的概率约是多少？（精确到0.01） 6．（2023八年级下·全国·专题练习）某篮球运动员在近几场大赛中罚球投篮的结果如下： 投篮次数n 8 10 12 9 16 10 进球次数m 6 8 9 7 12 7 进球频率 （1）计算表中各场次比赛进球的频率； （2）这位运动员每次投篮，进球的概率约为多少？ 【变式训练6 由频率估计概率】 1．（2024八年级下·上海·专题练习）在抛掷硬币的试验中，连续多次抛掷一枚硬币，每一次都记录出现的“正面”或“反面”．下面的说法正确的是（    ） A．随着试验次数的增加，出现“正面”的频率就越来越接近0.5 B．随着试验次数的增加，出现“正面”的频率就越来越远离0.5 C．随着试验次数的增加，出现“正面”的频率整体变化趋势越来越接近0.5 D．随着试验次数的增加，出现“正面”的频率整体变化趋势越来越接近0.6 2．（2024·吉林长春·二模）综合实践课上，同学们做用频率估计概率的试验．如图，一个质地均匀的转盘被平均分成等份，分别标有，，，，，，，，，．转盘的指针每次停止转动后，记录下指针指向的数字（指针指向边界时不记录结果，重新转动一次）．其中有一个小组将记录的试验数据进行整理，绘制的频率随试验次数变化趋势图如图所示，则这个小组记录的试验可能是（   ） A．指针指向的数字能被整除 B．指针指向的数字是偶数 C．指针指向的数字比大 D．指针指向的数字能被整除 3．（23-24九年级下·湖南长沙·阶段练习）数学兴趣小组做“任意抛掷一枚图钉”的重复试验，多次试验后获得如表数据： 重复试验次数 10 50 100 500 1000 钉尖朝上次数 5 15 36 205 403 由此可以估计任意抛掷一次图钉，钉尖朝上的概率约为 ．（精确到） 4．（23-24九年级上·广东江门·期中）“抛掷图钉实验”的结果如下： 抛掷次数 针尖不着地的频数 针尖不着地的频数 由表可知，“针尖不着地的”的概率的估计值是 （精确到0.1） 5．（23-24七年级下·福建漳州·期末）在5件同型号的产品中，有2件不合格品和3件合格品． (1)从这5件产品中随机抽取1件进行检测，求抽到的是不合格品的概率； (2)在这5件产品中加入x件合格品后，进行如下试验：随机抽取1件进行检测，然后放回，多次重复这个试验．通过大量重复试验后发现，抽到合格品的频率稳定在0.75，求x的值． 6．（23-24九年级下·江苏盐城·期中）主题为“安全骑行，从头盔开始”的安全教育活动在本市全面开展．为了解市民骑电动自行车出行自觉佩戴头盔的情况，某数学实践探究小组在某路口进行调查，经过连续6天的同一时段的调查统计，得到数据并整理如下表： 经过路口的电动自行车数量/辆 180 230 280 260 240 300 自觉佩戴头盔人数/人 171 216 266 250 228 285 自觉佩戴头盔的频率 0.95 0.94 0.95 0.96 0.95 m (1)表格中______； (2)由此数据可估计，经过该路口的电动自行车骑行者佩戴了头盔的概率为 （结果精确到0.01） (3)若该小组某天调查到经过该路口的电动自行车共有1000辆，请问其中佩戴了头盔的骑行者大约有多少人？ 【变式训练7 概率的基他应用】 1．（22-23九年级上·浙江杭州·期末）一个密码箱的密码，每个数位上的数都是从0到9的自然数．若要使不知道密码的人一次就拨对密码的概率小于，则密码的位数至少需要设（    ） A．五位 B．四位 C．三位 D．二位 2．（2024·河北沧州·一模）某小区门口的电子显示屏上滚动显示的内容和停留时间如图所示，小明抬头看显示屏时，最大可能看到的内容是（    ） 内容 时间/秒 日期 4 星期 3 时间 6 天气 3 A．日期 B．星期 C．时间 D．天气 3．（22-23九年级上·吉林·期末）在一个万人的小镇，随机调查了人，其中人会在日常生活中进行垃圾分类，那么在该镇随机挑一个人，会在日常生活中进行垃圾分类的概率是 ． 4．（22-23九年级上·浙江台州·期末）某水果公司以2．2元/千克的成本价购进苹果．公司想知道苹果的损坏率，从所有苹果中随机抽取若干进行统计，部分数据如下： 苹果损坏的频率 0.106 0.097 0.102 0.098 0.099 0.101 估计这批苹果损坏的概率为 精确到0.1），据此，若公司希望这批苹果能获得利润23000元，则销售时（去掉损坏的苹果）售价应至少定为 元/千克． 5．（22-23九年级上·甘肃兰州·期中）设计两个转盘进行“配紫色”游戏，使配得紫色的概率是． 6．（22-23九年级上·福建厦门·期末）某批发商从某节能灯厂购进了50盒额定功率为的节能灯．由于包装工人的疏忽，在包装时混进了的节能灯．每盒中混入的节能灯数如表： 每盒中混入的节能灯数 0 1 2 3 4 盒数 14 25 9 1 1 （1）平均每盒混入几个的节能灯？ （2）从这50盒中任意抽取一盒，记事件为：该盒中没有混入的节能灯，求事件的概率． 【变式训练8 用频率估计概率的综合应用】 1．（2024·四川达州·一模）在一个不透明的布袋中，红色、黑色、白色的玻璃球共有40个，除颜色外其他完全相同，小明通过多次摸球试验后发现从中摸到红色球、黑色球的频率稳定在和，则口袋中白色球的个数最有可能是（   ） A．6个 B．10个 C．16个 D．18个 2．（2024·山东潍坊·一模）如图，是用计算机模拟随机投掷一枚图钉的某次实验的结果．下面是根据实验结果所作出的四个推断，其中合理的是（   ） A．当投掷次数是1000时，“钉尖向上”的次数是620 B．当投掷第1000次时，“钉尖向上”的概率是0.620 C．随着实验次数的增加，“钉尖向上”的频率趋近于0.618，故可以估计其概率是0.618 D．若再次用计算机模拟实验，则当投掷次数为1000时，“钉尖向上”的频率一定是0.620 3．（2024·河南许昌·一模）《数书九章》是我国南宋数学家秦九韶所著的数学著作，标志着中国古代数学的高峰.书中记载有这样一道题目：粮仓开仓收粮，有人送来米2000石，验得米内夹谷，抽样取米一把，数得300粒米内夹谷36粒，则这批米内夹谷约为 石. 4．（23-24九年级上·广西河池·期末）某射击运动员在同一条件下的射击成绩记录如下： 射击次数 20 80 100 200 400 1000 “射中8环以上”的次数 18 68 82 168 327 823 “射中8环以上”的频率（结果保留两位小数） 0.90 0.85 0.82 0.84 0.82 0.82 根据频率的稳定性，估计这名运动员射击一次时“射中8环以上”的概率约是 . 5．（22-23九年级上·陕西榆林·阶段练习）在3件同型号的产品A、B、C中，A为不合格产品，其余2件为合格产品．在这3件产品中加入x件合格品后，进行如下试验：随机抽取1件进行检测，然后放回，多次重复这个试验，通过大量重复试验后发现，抽到合格品的频率稳定在，则可以推算出x的值大约是多少？ 6．（22-23八年级下·江苏无锡·期中）在一个不透明的盒子里装着除颜色外完全相同的黑、白两种小球共40个，小明做摸球试验，他将盒子里面的球搅匀后从中随机摸出一个球记下颜色，再把它放回盒子中，不断重复上述过程，如表是试验中的一组统计数据： 摸球的次数n 100 200 300 500 800 1000 3000 摸到白球的次数m 70 128 171 302 481 599 1806 摸到白球的频率 0.7 0.64 0.57 0.604 0.601 0.599 0.602 (1)请估计当n很大时，摸到白球的概率为（精确到0.1）． (2)估算盒子里有白球 ___________个． (3)若向盒子里再放入x个除颜色以外其他完全相同的球，这x个球中白球只有1个，每次将球搅拌均匀后，任意摸出一个球记下颜色再放回，通过大量重复摸球试验后发现，摸到白球的频率稳定在0.5，那么可以推测出x最有可能是多少？ 1．（2024·辽宁锦州·二模）如图，是由智力玩具七巧板的七块板拼成的正方形，其中1，2，3，5，7号板是等腰直角三角形，4号板是正方形，6号板是平行四边形．若随机向正方形上投掷一个米粒，那么米粒刚好停在7号板区域的概率是(    ) A． B． C． D． 2．（23-24九年级下·湖北武汉·阶段练习）小明要给小林打电话，他只记住了小林手机号码的前位，后三位是三个数字的某一种排列顺序，但具体顺序忘记了，那么小明第一次就拨通电话的概率是（    ） A． B． C． D． 3．（2024·山东·中考真题）某校课外活动期间开展跳绳、踢毽子、韵律操三项活动，甲、乙两位同学各自任选其中一项参加，则他们选择同一项活动的概率是（    ） A． B． C． D． 4．（22-23七年级下·辽宁沈阳·期末）甲乙两人玩一个游戏，判定这个游戏公平不公平的标准是（    ） A．游戏的规则由甲方确定 B．游戏的规则由乙方确定 C．游戏的规则由甲乙双方确定 D．游戏双方获胜的概率相等 5．（2024·甘肃金昌·一模）近日，甘肃天水这座历史悠久的文化古城，因一碗麻辣烫而迅速走红网络，成为旅游新热点．自天水火爆“出圈”以来，各级团组织迅速行动起来，全面承担起志愿服务工作，同时带领一大批青年志愿者积极响应团组织号召投入志愿服务工作．根据实际需要，志愿者被陆续分配到四合院美味城网红麻辣烫店、机场、火车站等区域开展志愿服务工作．某段时间内经过抽样调查，发现志愿者服务的区域主要有A，B，C，D，E五个．抽样调查的统计结果如下表， 则下列说法不正确的是（    ） 区域 A B C D E 人数 A．去区域服务的人数最少 B．去区域服务的人数的频率是 C．若有名志愿者参与服务，则约有人被分配到C区域服务 D．这次抽样调查的样本容量是 6．（23-24九年级上·重庆合川·期末）如图，飞镖游戏板由含大小相等的等腰直角三角形格子构成，小东向游戏板随机投掷一枚飞镖，击中黑色区域的概率是 ． 7．（2023·湖北武汉·模拟预测）甲、乙两同学手中各有分别标注1，2，3三个数字的纸牌，甲制定了游戏规则：两人同时各出一张牌，当两纸牌上的数字之和为偶数时甲赢，奇数时乙赢，则甲获胜的概率是 ． 8．（2024·黑龙江哈尔滨·三模）为了准备学校艺术节展示活动，需要从3名男生和2名女生中随机抽取2名学生做主持人，抽取的学生恰好是一名男生和一名女生的概率为 ． 9．（22-23九年级·全国·课后作业）如图所示，准备了三张大小相同的纸片，其中两张纸片上各画一个半径相等的半圆，另一张纸片上画一个正方形．将这三张纸片放在一个盒子里摇匀，随机地抽取两张纸片，若可以拼成一个圆形（取出的两张纸片都画有半圆形）则甲方赢；若可以拼成一个蘑菇形（取出的一张纸片画有半圆、一张画有正方形）则乙方赢．你认为这个游戏对双方是公平的吗？若不是，有利于谁？ ． 10．（2024八年级下·全国·专题练习）在一个不透明的口袋中有红色、黄色和绿色球共60个，它们除颜色外，其余完全相同．在不倒出球的情况下，要估计袋中各种颜色球的个数．同学们通过大量的摸球试验后，发现摸到红球和绿球的频率分别稳定在和．由此推测口袋中黄球的个数是 个． 11．（22-23九年级上·河南许昌·阶段练习）某商场今年国庆节期间举行有奖促销活动，凡购买一定金额的商品可参与转盘抽奖．如图，转盘分为“A”“B”“C”“D”四个区域，自由转动转盘，若指针落在字母“B”所在的区域内，则顾客中奖（转到公共线位置时重转）．若某顾客转动1次转盘，求其中奖的概率． 12．（2023·江苏苏州·一模）如图，三根同样的绳子、、穿过一块木板，姐妹两人分别站在木板的左、右两侧，每次各自选取本侧的一根绳子，每根绳子被选中的机会相等． (1)姐姐从这三根绳子中随机选一根，恰好选中绳子的概率为_______________； (2)在互相看不见的条件下，姐姐从左端A、B、C三个绳头中随机选两个打一个结，妹妹从右端、、三个绳头中随机选两个打一个结，求这三根绳子能连接成一根长绳的概率． 13．（2024·陕西西安·模拟预测）五一节期间，某商场为了吸引顾客，开展有奖促销活动，设立了一个可以自由转动的转盘，转盘被分成4个面积相等的扇形，四个扇形区域里分别标有“10元”、“20元”、“30元”、“40元”的字样（如图）．规定：同一天内，顾客在本商场每消费满100元就可以转动转盘一次，商场根据转盘指针指向区域所标金额返还相应数额的购物券，某顾客当天消费260元，转了两次转盘． (1)该顾客最少可得 元购物券，最多可得 元购物券； (2)请用画树状图或列表的方法，求该顾客所获购物券金额不低于50元的概率． 14．（23-24九年级上·甘肃武威·期末）小明和小华两人为了得到一张辩论赛的入场券，他们设计了一个方案；转动如图所示的转盘，如果指针停在阴影区域，那么小明得到入场券；如果指针停在白色区域，那么小华得到入场券（转盘被等分成6个扇形．若指针停在边界处，则重新转动转盘）．这个方案对双方来说是否公平？你是怎样判断的？ 15．（22-23八年级下·江苏苏州·期末）在一个不透明的口袋里装有只有颜色不同的黑、白两种颜色的球共20只，某学习小组做摸球实验，将球搅匀后从中随机摸出一个球记下颜色，再把它放回袋中，不断重复上述过程，下表是活动进行中的一组统计数据： 摸球的次数n 100 150 200 500 800 1000 摸到白球的次数m 58 96 116 295 484 601 摸到白球的频率 0.64 0.58 0.605 0.601 （1）请将表中的数据补充完整， （2）请估计：当n很大时，摸到白球的概率约是　 　．（精确到0.1） 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第06讲 概率的进一步认识（2大知识点+8大典例+变式训练+随堂检测） 题型一 几何概率 题型二 列举法求概率 题型三 列表法或树状图法求概率 题型四 游戏的公平性 题型五 求某事件的频率 题型六 由频率估计概率 题型七 概率的基他应用 题型八 用频率估计概率的综合应用 知识点01：用树状图或表格求概率 1.树状图 当一次试验要涉及3个或更多个因素时，为了不重不漏地列出所有可能的结果，通常采用树形图，也称树形图、树图. 树形图是用树状图形的形式反映事件发生的各种情况出现的次数和方式，以及某一事件发生的可能的次数和方式，并求出概率的方法. 要点： (1)树形图法适用于各种情况出现的总次数不是很大时，求概率的问题； (2)在用树形图法求可能事件的概率时，应注意各种情况出现的可能性务必相同. 2.列表法 当一次试验要涉及两个因素，并且可能出现的结果数目较多时，为不重不漏地列出所有可能的结果，通常采用列表法. 列表法是用表格的形式反映事件发生的各种情况出现的次数和方式，以及某一事件发生的可能的次数和方式，并求出概率的方法. 要点： （1）列表法适用于各种情况出现的总次数不是很大时，求概率的问题； （2）列表法适用于涉及两步试验的随机事件发生的概率. 3.用列举法求概率的一般步骤 （1）列举（列表、画树状图）事件所有可能出现的结果，并判断每个结果发生的可能性是否都相等； （2）如果都相等，再确定所有可能出现的结果的个数n和其中出现所求事件A的结果个数m； （3）用公式计算所求事件A的概率.即P（A）=. 知识点01：用频率估计概率 1.频率与概率的定义 频率：在相同条件下重复n次试验，事件A发生的次数m与试验总次数n的比值. 概率：事件A的频率接近与某个常数，这时就把这个常数叫做事件A的概率，记作P（A）. 2.频率与概率的关系 事件的概率是一个确定的常数，而频率是不确定的，当试验次数较少时，频率的大小摇摆不定，当试验次数增大时，频率的大小波动变小，并逐渐稳定在概率附近.可见，概率是频率的稳定值，而频率是概率的近似值. 要点： （1）频率本身是随机的，在试验前不能确定，无法从根本上来刻画事件发生的可能性的大小，在大量重复试验的条件下可以近似地作为这个事件的概率； （2）频率和概率在试验中可以非常接近，但不一定相等； （3）概率是事件在大量重复试验中频率逐渐稳定到的值，即可以用大量重复试验中事件发生的频率去估计得到事件发生的概率，但二者不能简单地等同，两者存在一定的偏差是正常的，也是经常的. 3.利用频率估计概率 当试验的可能结果不是有限个，或各种结果发生的可能性不相等时，一般用统计频率的方法来估计概率. 要点： 用试验去估计随机事件发生的概率应尽可能多地增加试验次数，当试验次数很大时，结果将较为精确. 【典型例题一 几何概率】 1．（23-24九年级上·四川广元·期末）如果小球在如图所示的图案上（去掉颜色的图案是中心对称图形也是轴对称图形）自由地滚动，并随机停留在某处，那么小球最终停留在灰色图案上的概率是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了几何概率，根据几何概率的求法可知，小球最终停在阴影区域的概率等于阴影区域的面积与总面积的比值；理解“几何概率相应的面积与总面积之比”是解题的关键． 【详解】解：去掉颜色的图案是中心对称图形也是轴对称图形， 灰色图案的面积是圆面积的， 小球最终停留在灰色图案上的概率是； 故选：C． 2．（23-24九年级上·广西南宁·阶段练习）如图所示，一个可以自由转动的自由盘，被分成了6个相同的扇形，转动转盘，转盘停止时，指针落在红色区域的概率等于（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】用红色区域的个数，除以所有区域的个数，即可求解，本题考查了概率的求法，解题的关键是：理解概率与区域数量之间的关系． 【详解】解：6个相同的扇形中，有2个红色区域， 转盘停止时，指针落在红色区域的概率等于：， 故选：． 3．（23-24七年级下·山西太原·阶段练习）小球在如图所示的地板上自由地滚动，随机地停留在某块方砖上，最终停在白色区域上的概率是 ．    【答案】 【分析】本题考查的是几何概率，用到的知识点为：停留在白砖上的概率=白砖的块数与方砖总块数之比．先求出方砖总块数，确定白色区域的方砖块数，根据概率公式即可得出结论． 【详解】解：方砖共块，白色区域的方砖相当于块， ∴停在白色区域上的概率是． 故答案为：． 4．（2024·江苏苏州·中考真题）如图，正八边形转盘被分成八个面积相等的三角形，任意转动这个转盘一次，当转盘停止转动时，指针落在阴影部分的概率是 ． 【答案】 【分析】首先确定在图中阴影区域的面积在整个面积中占的比例，根据这个比例即可求出指针指向阴影区域的概率． 本题考查几何概率的求法：首先根据题意将代数关系用面积表示出来，一般用阴影区域表示所求事件（A），然后计算阴影区域的面积在总面积中占的比例，这个比例即事件（A）发生的概率． 【详解】解：∵转盘被分成八个面积相等的三角形，其中阴影部分占3份， ∴指针落在阴影区域的概率为， 故答案为：． 5．（23-24九年级上·安徽淮南·阶段练习）一个小球在如图所示的方格地板上自由滚动，并随机停留在某块地板上，每块地板大小、质地完全相同，求该小球停留在黑色区域的概率． 【答案】 【分析】本题主要考查了几何概率计算，解题的关键是熟练掌握概率公式． 【详解】解：由图可知，黑色方砖6块，总共有方砖16块， ∴． 6．（22-23七年级下·广东河源·期末）图、分别是两个可以自由转动的转盘，图的转盘被平均分成等分，图被分成大小不同的份，小明转动转盘，小亮转动转盘，并约定：当转盘停止时，指针指向红色区域的获胜． (1)小明转动转盘，指针指向蓝色区域的概率是______． (2)小亮转动转盘，指针指向蓝色区域的概率是_____，指向黄色区域的概率是______． (3)这个游戏对小明，小亮双方是否公平？请通过计算说明理由． 【答案】(1) (2)； (3)这个游戏对小明，小亮双方不公平，理由见解析 【分析】（1）转盘1被平均分成等分，蓝色占2份，即可得； （2）转盘，黄色区域占，蓝色区域占，即可得； （3）转盘1被平均分成等分，红色占4份，则小明转动转盘，指针指向蓝色区域的概率是 ，根据转盘，黄色区域占，蓝色区域占得红色区域占，即可得小亮转动转盘，指向红色区域的概率是，根据 ，即可得． 【详解】（1）解：∵转盘1被平均分成等分，蓝色占2份， ∴小明转动转盘，指针指向蓝色区域的概率是：， 故答案为：． （2）解：∵转盘，黄色区域占，蓝色区域占， ∴小亮转动转盘，指针指向蓝色区域的概率是：，指向黄色区域的概率是：， 故答案为：； ． （3）解：∵转盘1被平均分成等分，红色占4份， ∴小明转动转盘，指针指向蓝色区域的概率是： ， ∵转盘，黄色区域占，蓝色区域占， ∴红色区域占：， ∴小亮转动转盘，指向红色区域的概率是：， ∵ ， ∴这个游戏对小明，小亮双方不公平． 【点睛】本题考查了概率，解题的关键是理解题意，掌握概率的计算方法． 【典型例题二 列举法求概率】 1．（23-24九年级上·安徽阜阳·期末）某技工学校从成绩优秀的3名男同学和2名女同学中，随机选取2名同学参加全国实践操作技能大赛，则选取的2名同学恰好都是男同学的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查列举法求概率，先列出所有的可能结果，然后数出2名同学恰好都是男同学的结果数，利用公式求概率即可． 【详解】解：设名男同学分别为，，，2名女同学分别为，，从成绩优秀的名男同学和名女同学中，随机选取名同学参加全国实践技能大赛，基本事件有，共种，它们是等可能性的，选取的名同学恰好都是男同学的事件有，，，共种，所以选取的名同学恰好都是男同学的概率为 故选C． 2．（2024·安徽合肥·二模）化学实验室有四种溶液：分别是氢氧化钠溶液，碳酸氢钠溶液，稀盐酸溶液和稀硫酸溶液，从中随机取出两种适量溶液，充分混合，有气体生成的概率是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】：此题考查的是用列表法或树状图法求概率，列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件，用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比． 根据题意列出图表得出所有等可能的情况数，找出符合条件的情况数，然后根据概率公式即可得出答案， 【详解】解：氢氧化钠溶液，碳酸氢钠溶液，稀盐酸溶液和稀硫酸溶液，分别用表示， 画树状图如图： 四种溶液中随机取出两种溶液，共有12种可能，其中两种溶液混合后产生气体的有：（）碳酸氢钠溶液和稀盐酸溶液、（）碳酸氢钠溶液和稀硫酸溶液4种情况，所以有气体生成的概率是． 故选：C． 3．（2023·重庆·模拟预测）在一个不透明的布袋中装有三个小球，小球上分别标有数字，1，3，它们除了数字不同外，其他都完全相同．小红先从布袋中随机摸出一个小球，记下数字作为的值，把此球放回袋中搅匀，再随机摸出一个小球，记下数字作为b的值，则反比例函数 ()经过第一、三象限的概率是 ． 【答案】 【分析】本题考查直接列举法求概率，利用直接列举法展示所有等可能的结果n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，然后利用概率公式计算事件A或事件B的概率． 【详解】解：小红两次摸出小球的所有结果为共种等可能结果，其中能使反比例函数 ()经过第一、三象限的有种，即， 故反比例函数 ()经过第一、三象限的概率是， 故答案为：． 4．（2024·河南周口·三模）第19届亚运会于2023年9月23日~10月8日在杭州举办，此次运动会的精神是：“用心交融”“互相包容”“团结向上”“紧密相拥”．它传递了亚洲人民的自信、乐观，不畏挑战，共赢美好的期许，寄托着面向未来，共建亚洲和人类命运共同体的良好愿望．现有四张卡片，正面写着这四个词语，它们除此之外完全相同，现反面朝上洗匀，从中随机抽取两张，则正面词语恰好是“团结向上”和“紧密相拥”的概率为 ． 【答案】 【分析】本题考查列举法求概率，用分别表示“用心交融”“互相包容”“团结向上”“紧密相拥”，列举法求出所用的可能性，利用概率公式进行计算即可． 【详解】解：，用分别表示“用心交融”“互相包容”“团结向上”“紧密相拥”，随机抽取2张，共有6种情况，其中正面词语恰好是“团结向上”和“紧密相拥”的结果有1种， ∴； 故答案为：． 5．（2024·江苏南京·一模）如图，某商场制作了一个抽奖转盘，分设一、二等奖，其中一等奖的扇形圆心角为．小丽在商场先后消费两次，获得两次转动转盘机会（指针指向分界处时重转一次）． (1)小丽第一次转到一等奖的概率是 ； (2)求小丽两次都转到一等奖的概率． 【答案】(1) (2)小丽两次都转到一等奖的概率为． 【分析】本题考查了用树状图或列表法求概率，掌握概率的计算公式是解题的关键． （）用除以即可求解； （）利用列举法求出总的结果数和小丽转两次转盘的结果数，再利用概率公式计算即可求解． 【详解】（1）解：小丽第一次转到一等奖的概率是； 故答案为：； （2）解：将一等奖区域记为A，二等奖区域平均划分为两个区域，分别记为B，C． 小丽转两次转盘的结果有：（A，A）、（A，B）、（A，C）、（B，A）、（B，B）、（B，C）、（C，A）、（C，B），（C，C）共有9种结果，它们出现的可能性相同． 满足两次一等奖的结果有1种，即（A，A），所以小丽两次都转到一等奖的概率为． 6．（23-24九年级下·福建福州·阶段练习）小榕同学将宋、元、明、清四个朝代的名称分别写在四张完全相同的卡片的正面，并将卡片背面朝上随机放好 (1)小闽同学从中随机抽取一张，恰好卡片上写着是“宋”字的概率是__________； (2)把这四张卡片分成两组，每组两张．求卡片上写着“清”、“明”两字分在同一组的概率． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查列举法求概率，掌握概率公式是解题的关键． （1）直接利用概率公式进行计算即可； （2）列举法求概率即可． 【详解】（1）小闽同学从中随机抽取一张，恰好卡片上写着是“宋”字的概率是； 故答案为：； （2）解∶这四张卡片分成两组，每组两张．有如下3种情况∶ “宋”、“元”与“清”、“明”；“宋”、“明”与“元”、“清”；“宋”、“清”与“元”、“明”， 并且它们出现的可能性相等， 其中“清”、“明”两字分在同一组有1种情况 ∴卡片上写着“清”、“明”两字分在同一组的概率为． 【典型例题三 列表法或树状图法求概率】 1．（2024·山西吕梁·模拟预测）太原北齐壁画博物馆于2023年12月20日开馆，它是全国首座原址建设的北齐壁画博物馆，以北齐壁画展示为核心，解读北朝时期晋阳在文化交流、民族融合等方面的重要地位．场馆一层分三个展厅：第一展厅（别都华彩），第二展厅（一眼千年）和第三展厅（简易标美）．某中学两名学生计划利用周末时间随机选择一个展厅进行志愿者活动，则他俩恰好选择同一展厅的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查列表法与树状图法求概率，熟练掌握概率的计算方法是解题的关键． 利用树状图展示出所有可能的结果，然后确定符合事件的情况进行计算即可． 【详解】解：利用树状图求出两位学生选择展厅的情况： 即共有9种情况，两位学生恰好选择同一展厅的情况有3种， ∴ 故选：D． 2．（2023·贵州黔西·模拟预测）小明和小刚各自掷一枚质地均匀的正方体骰子，若两人的点数之和是奇数，则小明积1分，若两人的点数之和是偶数，则小刚积1分，此游戏（    ） A．对小明有利 B．对小刚有利 C．是公平的 D．无法判断 【答案】C 【分析】游戏是否公平，关键要看游戏双方取胜的机会是否相等，即判断双方取胜的概率是否相等，或转化为在总情况明确的情况下，判断双方取胜所包含的情况数目是否相等，据此来求解． 【详解】解：解：设(x，y)表示小明抛掷骰子点数是x，小刚抛掷骰子点数是y，则该概率属于古典概型．所有的基本事件是： (1， 1)，(1，2)，(1，3)，(1，4)，(1，5)，(1，6)， (2，1)，(2，2)，(2，3)，(2，4)，(2，5)，(2，6)， (3，1)，(3，2)，(3，3)，(3，4)，(3，5)，(3，6)， (4，1)，(4，2)，(4，3)，(4，4)，(4，5)，(4，6)， (5，1)，(5，2)，(5，3)，(5，4)，(5，5)，(5，6)， (6，1)，(6，2)，(6，3)，(6，4)，(6，5)，(6，6)， 即有36种基本事件， 其中点数之和为奇数的基本事件有： (1，2)， (1，4)， (1，6)，(2，1)， (2，3)， (2，5)， (3，2)， (3，4)， (3，6)，(4，1)， (4，3)， (4，5)，(5，2)， (5，4)， (5，6)，(6，1)， (6，3)， (6，5)， 即有18种， 所以小刚得(1分)的概率是， 则小明得(1分)的概率是， 则小明获胜的概率与小刚获胜的概率相同，游戏公平． 故选：C． 【点睛】本题考查的是游戏公平性的判断，判断游戏公平性就要计算每个事件的概率，概率相等就公平，否则就不公平，概率＝所求情况数与总情况数之比． 3．（2024·黑龙江哈尔滨·模拟预测）从2，3，4这三个数字中，任意抽取两个不同数字组成一个两位数，则这个数能被4整除的概率是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了求概率，根据题意画树状图，再得出总的结果和能被4整数的结果，最后根据概率公式求解即可． 【详解】解：画树状图如下： 一共组成6个数：23，24，32，34，42，43， 能被4整除的有2个：24，32， ∴从2，3，4这三个数字中，任意抽取两个不同数字组成一个两位数，则这个数能被4整除的概率是． 故答案为：． 4．（23-24八年级下·重庆九龙坡·期末）“二十四节气”是上古农耕文明的智慧结晶．八年级计划围绕节气开展主题演讲．其中，小实和小外都打算从“立春”、“立夏”、“立秋”、“立冬”四个节气中选择一个节气进行主题演讲，则恰好他们两人选到同一节气的概率为 ． 【答案】 【分析】本题考查列表法或画树状图法求概率，先画出树状图得到所有等可能的结果，找出符合题意的结果数，然后利用概率公式求解即可． 【详解】解：分别设“立春”、“立夏”、“立秋”、“立冬”为A、B、C、D， 画树状图如图： 共有16种等可能的结果，其中恰好他们两人选到同一节气的有4种， ∴恰好他们两人选到同一节气的概率为， 故答案为：． 5．（23-24九年级下·吉林白山·阶段练习）如图，现有三张正面印有“三牛”图案的不透明卡片A，B，C，卡片除正面图案不同外，其余均相同．将三张卡片正面向下洗匀，小吉同学从中随机抽取两张卡片，请用画树状图或列表的方法求小吉同学抽出的两张卡片分别是A和B的概率． 【答案】 【分析】本题考查的是用列表法或树状图法求概率．列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件．用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比． 画出树状图，共有6个等可能的结果，小吉同学抽出的两张卡片分别是A和B的结果有2种，再由概率公式求解即可． 【详解】解：根据题意画树状图如下： 共有6个等可能的结果，小吉同学抽出的两张卡片分别是A和B的结果有2种， 所以，小吉同学抽出的两张卡片分别是A和B的概率． 6．（2024·吉林长春·一模）某超市开展“端午节”大酬宾购物抽奖活动，奖项设置为面值不同的购物卡，分别是：一等奖120元，二等奖60元，三等奖10元．抽奖一次的过程如下：在一个不透明的袋子里装有三个小球，球面上分别标注数字“1”、“2”、“3”，它们除数字不同外其他均相同，先随机摸出一球，记下数字后，将小球放回袋中充分搅匀，再随机摸出一球，若两球标注的数字之和为6，则获一等奖，数字之和为5，则获二等奖，数字之和为4，则获三等奖，其余均不获奖．请用画树状图（或列表）的方法，求顾客抽奖一次获奖的概率． 【答案】 【分析】本题考查树状图法或列表法求概率，列出表格，再利用概率公式进行计算即可． 【详解】解：由题意，列表如下： 1 2 3 1 2 3 4 2 3 4 5 3 4 5 6 共9种等可能的结果，其中和为4，5，6的结果共有种， ∴顾客抽奖一次获奖的概率为． 【典型例题四 游戏的公平性】 1．（22-23九年级下·贵州贵阳·阶段练习）甲、乙两人各自掷一个普通的正方体骰子，如果两者之和为偶数，甲得1分；如果两者之和为奇数，乙得1分，此游戏（    ） A．是公平的 B．对乙有利 C．对甲有利 D．以上都不对 【答案】A 【分析】甲、乙两人各自掷一个普通的正方体骰子，共有36种结果，其中两者之和为偶数有18种，两者之和为奇数有18种，据此计算两种情况的概率即可. 【详解】解：甲、乙两人各自掷一个普通的正方体骰子，共有36种结果，其中两者之和为偶数有18种，两者之和为奇数有18种，两者之和为偶数的概率为，则两者之积为奇数的概率为，， 故选择A. 【点睛】本题考查了利用概率判断游戏的公平性，掌握概率的计算是解题的关键. 2．（22-23九年级上·河南南阳·期末）在掷一枚骰子次的试验中，“偶数朝上”的频数为，则“偶数朝上”的频率为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用频率频数总次数，进行计算即可解答．本题考查了频数与频率，熟练掌握频率频数总次数是解题的关键． 【详解】解：由题意得： ， “偶数朝上”的频率为， 故选：C． 3．（23-24九年级上·吉林四平·期末）一个口袋中装有两个红球，一个白球，从口袋中随机摸出两球．若规定：是同一颜色，甲获胜；不是同一颜色，乙获胜，则可知甲、乙两人中 获胜的机会大． 【答案】乙 【分析】本题主要考查的是用列表法或树状图法求概率，列表法可以重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件，树状图法适合两步或两步以上完成的事件，用到的知识点为：概率等于所求情况数与总情况数之比． 【详解】解：画出树状图如图： ， 共有6种等可能出现的结果，其中摸出的两球是同一颜色的结果有2种，不同颜色的结果有4种， 甲获胜的概率为，乙获胜的概率为， ， 甲、乙两人中乙获胜的机会大， 故答案为：乙． 4．（23-24七年级下·全国·课后作业）在一个不透明的纸盒中放入颜色分别为白色、红色、绿色的小球各 1个，每个小球除颜色不同外其他均相同，三人先后去摸球，一人摸一次，一次摸出一个小球，摸出后放回，摸出白球者赢，则这个游戏中先摸者赢的概率 后摸者赢的概率．（填“>”“<”或“=”） 【答案】 【分析】本题考查了概率的意义理解，根据每次摸球的条件相同，可得到概率相同，准确理解概率的意义是解题的关键． 【详解】解：∵不透明的纸盒中放有白色，红色，绿色的小球各1个，三个人先后去摸球，一人摸一次，一次摸出一个小球，摸出后放回， ∴三个人摸到每个球的概率均相等， 即这个游戏中先摸者赢的概率等于后摸者赢的概率， 故答案为：． 5．（23-24九年级上·福建莆田·阶段练习）甲乙两人玩一种游戏：三张大小、质地都相同的卡片上分别标有数字，，，现将标有数字的一面朝下，洗匀后甲从中任意抽取一张，记下数字后放回；又将卡片洗匀，乙也从中任意抽取一张，计算甲乙两人抽得的两个数字之积，如果积为奇数则甲胜，若积为偶数则乙胜．用列表或画树状图等方法，请判断该游戏对甲乙双方是否公平？ 【答案】该游戏对甲乙双方不公平 【分析】本题考查了游戏的公平性，以及列表法与树状图，列表得出所有可能的情况数，分别找出甲乙两人获胜的情况数，比较即可得到结果，掌握列表法与树状图是解题的关键． 【详解】解：该游戏对甲乙双方不公平，理由为： 列表如下： 所有等可能的情况有种，分别为，，，，，，；，， ∴甲乙两人抽得的数字之积所有可能出现的情况有，，，，，，，，，共种，其中积为奇数的情况有种，偶数有种， ∴， ∴该游戏对甲乙双方不公平． 6．（23-24九年级上·山西临汾·阶段练习）平遥古城和云冈石窟是山西省著名的两个景区，甲、乙两人想用做游戏的方式决定去哪一个景区．他们准备了两个可以自由转动的转盘，每个转盘被分成面积相等的几个扇形，同时转动两个转盘，若两个指针指向的数字之积小于3，则去平遥古城，否则去云冈石窟，若指针刚好落在分割线上，则需要重新转动转盘，请用列表或画树状图的方法说明这个游戏是否公平． 【答案】这个游戏公平，理由见解析 【分析】本题考查的是游戏公平性的判断．判断游戏公平性就要计算每个事件的概率，概率相等就公平，否则就不公平．首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与数字之积小于3的情况，再利用概率公式求出去平遥古城和去云冈石窟的概率，然后进行比较，即可得出答案． 【详解】 共有6种等可能的结果，其中两个指针指向的数字之积小于3的结果有3种， 大于等于3的结果有3种． ∴去平遥古城的概率为，去云冈石窟的概率为      ∴这个游戏公平． 【典型例题五 求某事件的频率】 1．（23-24八年级下·安徽淮北·期末）“长城是中华民族的骄傲”的英文是“”．在这句英文中，字母“i”出现的频率是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查求频率，直接利用频率公式进行计算即可． 【详解】解：一共40个字母，字母“i”出现了4次， ∴； 故选C． 2．（2024·山东枣庄·一模）圆周率π是无限不循环小数．历史上，祖冲之、刘徽、韦达、欧拉等数学家都对π有过深入的研究．目前，超级计算机已计算出π的小数部分超过31.4万亿位．有学者发现，随着π小数部分位数的增加，0~9这10个数字出现的频率趋于稳定接近相同．从π的小数部分随机取出一个数字，估计数字是6的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查利用频率估计概率．根据随着π小数部分位数的增加，这10个数字出现的频率趋于稳定接近相同，进行求解即可． 【详解】解：∵随着π小数部分位数的增加，这10个数字出现的频率趋于稳定接近相同， ∴从π的小数部分随机取出一个数字，估计数字是6的概率为； 故选D． 3．（23-24八年级下·江苏扬州·期中）在整数中，数字“”出现的频率是 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了频率的计算方法，掌握频率的计算公式是解题的关键． 根据整数可知共有8种等可能结果，出现0的有两种，根据频率等于可能出现的结果除以总的结果即可求解． 【详解】解：整数中有8位数字，共有8种等可能结果，出现0的结果有2中， ∴0出现的频率为， 故答案为： ． 4．（23-24九年级上·北京海淀·阶段练习）每逢中秋佳节，赏月吃月饼是中国人的传统．有关部门对某食品生产企业生产的某一批次月饼进行抽样检测，结果如下表： 抽取月饼数量 50 100 200 500 1000 2000 优等品数量 45 92 194 474 951 1900 若从这批月饼中任取一个，则检测结果为优等品的概率约为 ．（精确到） 【答案】 【分析】本题考查用频率估计概率，随着抽取球数目的增加，频率值都在常数的附近摆动，由此能求出任意抽取一个乒乓球检测时，其为优等品的概率．其做法是取多次试验发生的频率稳定值来估计概率．掌握用频率估计概率是解题的关键． 【详解】解：根据题意可得， 抽取月饼数量 50 100 200 500 1000 2000 优等品数量 45 92 194 474 951 1900 优等品频率 0.900 0.920 0.970 0.948 0.951 0.950 随着抽取球数目的增加，计算得到的频率值虽然不同，但都在常数的附近摆动， ∴任意抽取一个乒乓球检测时，其为优等品的概率约为． 答案为：． 5．（22-23七年级下·山东烟台·期中）某公司的一批某品牌衬衣的质量抽检结果如下： 抽检件数 50 100 200 300 400 500 次品件数 0 4 16 18 24 30 抽到次品的频率 (1)将上表补充完整； (2)结合表格数据直接写出这批衬衣中任抽1件是次品的概率是______． 【答案】(1)表格中从左到右依次填：0，0.04，0.08，0.06，0.06，0.06 (2)0.06 【分析】（1）根据频率=频数÷数据总数进行计算即可； （2）由（1）的结果根据频率估计概率可得答案． 【详解】（1）解：0÷50=0，4÷100=0.04，16÷200=0.08，18÷300=0.06，24÷400=0.06，30÷500=0.06， 故答案为：表格中从左到右依次填：0，0.04，0.08，0.06，0.06，0.06； （2）由（1）可知，随着抽检件数的增加，频率逐渐稳定在0.06左右， 所以根据频率估计概率可得这批衬衣中任抽1件是次品的概率约为0.06． 【点睛】本题主要考查利用频率估计概率，大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率． 6．（22-23九年级上·浙江金华·阶段练习）小覃和小莫两位同学在学习“概率”时，做投掷骰子（质地均匀的正方体）实验，他们共做了100次试验，实验的结果如下： 向上点数 1 2 3 4 5 6 出现次数 12 19 15 18 20 x （1）求表格中x的值． （2）计算“3点朝上”的频率． （3）小覃说：“根据实验，一次实验中出现1点朝上的概率是12%”：小覃的这一说法正确吗？ （4）小莫说：“如果掷6000次，那么出现5点朝上的次数大概是1500次左右．”小莫的这一说法正确吗？为什么？ 【答案】（1）16；（2）；（3）不正确；（4）不正确，见解析． 【分析】（1）总次数减去1、2、3、4、5点出现的总次数即可求得； （2）利用频率公式计算即可； （3）利用大量重复试验下事件发生的频率可以估计该事件发生的概率即可完成； （4）根据随机事件发生的概率的意义回答即可答案． 【详解】（1）由题意得：x=100-12-19-15-18-20=16 （2）“3点朝上”出现的次数是15，所以“3点朝上”的频率为： （3）小覃的这一说法不正确．因为1点朝上的频率是12%，不能说明1点朝上的概率是12%，只有当实验的次数足够多时，事件发生的频率才稳定在事件发生的概率附近，才可以把这个频率的稳定值作为该事件发生的概率． （4）小莫说法不正确的，因为5点朝上的频率是20%，所以掷6000次，则出现5点朝上的次数大概是1200次左右． 【点睛】本题考查了频率的计算，用频率估计概率，关键是了解“大量重复实验下事件发生的频率可以估计该事件发生的概率”． 【典型例题六 由频率估计概率】 1．（23-24八年级下·江苏徐州·期中）某小组做“用频率估计概率”的实验时，统计了某一结果出现的频率，绘制了如图的折线统计图，则符合这一结果的实验最有可能的是（    ）    A．在“石头、剪刀、布”的游戏中，小明随机出的是“剪刀” B．一副去掉大小王的普通扑克牌洗匀后，从中任抽一张牌的花色是黑桃 C．一只不透明袋子中有1个红球和3个绿球（除了颜色都相同），从中任摸出一个球是红球 D．掷一个质地均匀的正方体骰子，向上一面的点数是5 【答案】D 【分析】此题考查了利用频率估计概率，大量反复试验下频率稳定值即概率．根据统计图可知，试验结果在0.17附近波动，即其概率，计算四个选项的概率，约为0.17者即为正确答案．用到的知识点为：频率所求情况数与总情况数之比． 【详解】解：A、在“石头、剪刀、布”的游戏中，小明随机出的是“剪刀“的概率为，错误，不符合题意； B、一副去掉大小王的普通扑克牌洗匀后，从中任抽一张牌的花色是黑桃的概率是：，错误，不符合题意； C、一只不透明袋子中有1个红球和3个绿球（除了颜色都相同），从中任摸出一个球是红球的概率为，错误，不符合题意； D、掷一个质地均匀的正六面体骰子，向上的面点数是5的概率为，正确，符合题意． 故选：D． 2．（2024·河北保定·一模）如图，将转盘八等分，分别涂上红、绿、蓝三种颜色，则转动的转盘停止时．指针落在蓝色区域的概率为（    ）    A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查求概率，根据蓝色区域所占的份数进行求解即可． 【详解】解：由图可知：指针落在蓝色区域的概率为； 故选A． 3．（23-24八年级下·江苏常州·阶段练习）在一个不透明的袋中装有除颜色外其余均相同的个黄球和3个黑球，从袋中随机摸出一球，记下其颜色，把它放回袋中，搅匀后，再摸出一球，…，通过多次试验后，发现摸到黑球的频率稳定于，则的值大约是 ． 【答案】7 【分析】 本题考查了利用频率估计概率，在同样条件下，大量反复试验时，随机事件发生的频率逐渐稳定在概率附近，据此可得，求解即可． 【详解】 解：由题意可得，， 解得，． 经检验，是原方程的根， 故估计n大约有7个． 故答案为：7． 4．（23-24九年级上·山东威海·期末）林业部门要分析一种树苗移植的成活率，对该树苗移植后的成活情况进行了记录，并统计了如下表格： 树苗数 2000 4000 6000 8000 10000 12000 14000 成活树苗数 1862 3487 5343 7234 9108 10931 12752 成活频率 0.931 0.8718 0.8905 0.9043 0.9108 0.9109 0.9109 根据表格信息，可以估计该树苗移植成活的概率是 ．（精确到0.001） 【答案】0.911 【分析】此题主要考查了利用频率估计概率，大量反复试验下频率稳定值即概率．用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率． 【详解】解：由表格数据可得，随着样本数量不断增加，这种树苗移植成活的频率稳定在0.911左右， 故估计银杏树苗在一定条件下移植成活的概率为0.911． 故答案为：0.911 5．（23-24九年级上·陕西咸阳·期中）一个不透明的口袋中有黄色和蓝色的玻璃球共80个，小华每次从口袋中摸出一个球记录下颜色后再放回，通过多次试验后发现，摸到黄色玻璃球的频率稳定在0.25左右，请估计口袋中蓝色玻璃球的个数． 【答案】估计口袋中蓝色玻璃球有60个 【分析】本题考查了利用频率估计概率．利用频率估计概率得到摸到黄色玻璃球的概率为0.25，则摸到蓝色玻璃球的概率为0.75，然后根据概率公式计算即可． 【详解】解：通过多次试验后发现，摸到黄色玻璃球的频率稳定在0.25左右， 估计摸到黄色玻璃球的概率为0.25， 摸到蓝色玻璃球的概率为， （个， 答：估计口袋中蓝色玻璃球有60个． 6．（2023·安徽·模拟预测）一个不透明的箱子里装有蓝、白两种颜色的球共个，它们除颜色外，其他都相同．李明将球搅匀后从箱子中随机摸出个球，记下颜色后，再将它放回，不断重复实验．多次实验结果如表． 摸球次数 白球频率 (1)当摸球次数足够多时，摸到白球的频率将会稳定于______（精确到）左右，从箱子中摸一次球，估计摸到蓝球的概率是______． (2)从该箱子里随机摸出个球，不放回，再摸出个球．用列举法求摸到个蓝球、个白球的概率． 【答案】(1)；（或） (2)摸到个蓝球、个白球的概率为 【分析】（1）运用频率估算概率的方法即可求解；根据概率和为即可求解； （2）运用列表或画树状图求随机事件的概率的方法即可求解． 【详解】（1）解：根据表格信息可得，摸到白球的频率将会稳定于，摸到蓝球的概率是， 故答案为：；（或） （2）解：由（1）知，袋中白球的个数约为，蓝球的个数约为， 列表如下： 蓝 蓝 由表知，共有种等可能的结果，其中摸到1个蓝球、1个白球的结果有6种， 摸到1个蓝球、1个白球的概率为． 【典型例题七 概率的基他应用】 1．（22-23九年级上·山西阳泉·期末）如图是可以自由转动的转盘，转盘被等分成三个扇形，并分别标上1，2，3，转盘停止后，则指针指向的数字为奇数的概率是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据概率公式求解． 【详解】解：由转盘被等分成三个扇形可知：有3种等可能的结果，转盘停止后指向奇数的情况有2种， 所以指针指向的数字为奇数的概率是． 故选D． 【点睛】本题考查的是概率公式的应用，正确理解题意是解题的关键． 2．（2023·浙江绍兴·一模）笼子里关着一只小松鼠（如图），笼子的主人决定把小松鼠放归大自然，将笼子所有的门都打开，松鼠要先经过第一道门（A，，或C），再经过第二道门（或）才能出去．问松鼠走出笼子的路线（经过的两道门）有（   ）种不同的可能？ A．12 B．6 C．5 D．2 【答案】B 【分析】解决本题的关键是分析两道门各自的可能性情况，然后再进行组合得到打开两道门的方法，这类题要读懂题意，从中找出组合的规律进行求解，本题不同的是首先分析每道门的情况数，然后整体进行组合即可得解． 【详解】解：因为第一道门有A、B、C三个出口，所以出第一道门有三种选择；又因第二道门有两个出口，故出第二道门有D、E两种选择，因此小松鼠走出笼子的路线有6种选择，分别为AD、AE、BD、BE、CD、CE． 故选：B． 【点睛】本题考查了概率、所有可能性统计，通过列举法可以举出所有可能性的路径． 3．（22-23九年级上·广东·单元测试）某船队要对下月是否出海作出决策，若出海后是好天气，可得收益5000元；若出海后天气变坏，将要损失2000元；若不出海，无论天气好坏都要承担1000元的损失费，船队队长通过上网查询下月的天气情况后，预测下月好天气的机会是，坏天气的机会是，则作出决策为 （填“出海”、“不出海”）． 【答案】出海 【分析】利用概率算出获得收益的平均值比较即可． 【详解】解：预测下月好天气的机会是，坏天气的机会是，， 下月是好天气的可能性坏天气的可能性； 又若出海后是好天气，可得收益5000元；若出海后天气变坏，将要损失2000元；若不出海，无论天气好坏都要承担1000元的损失费， 出海的话，获得平均收益（获得收益的数学期望）（元， 不出海：（元， ， 船队队长作出决策为：出海． 故答案为：出海． 【点睛】本题主要考查概率的实际应用，能够通过概率算出平均收获是解题关键． 4．（2023·北京门头沟·一模）下面是某小区随机抽取的100户家庭的月用电量情况统计表： 月户用电量x（千瓦时/户．月） 户数（户） 5 22 27 31 15 从中任意抽出一个家庭进行用电情况调查，则抽到的家庭月用电量为第二档（用电量大于240小于等于400为第二档）的概率为 ． 【答案】0.8． 【分析】根据用电量大于240小于等于400为第二档，即可得出结论． 【详解】由表格可知这100户中， 有户为第二档人， ∴， 故答案为：0.8． 【点睛】本题考查了概率问题，正确读懂表格是解题的关键． 5．（22-23九年级上·全国·单元测试）有一个摆地摊的不法摊主，他拿出3个白球，3个黑球，放在一个袋子里（不透明），让人摸球中奖．只要交2元钱就可以从袋中摸出3个球，若摸到的3个球都是白球，就可得10元的回报，请你计算一下摸一次球的平均收益，并估算若1000有名学生每人摸一次，摊主将从同学的身上骗走多少钱？ 【答案】1500元 【分析】根据概率公式求出一次摸到3个白球的概率，则得到每摸一次的平均收益，继而可求若1000有名学生每人摸一次，摊主将从同学的身上骗走多少钱． 【详解】解：∵一次摸到3个白球的概率为， 每摸一次平均收益为：， ∴元， ∴每摸一次球平均获利1.5元，1000名学生每人摸一次，摊主将从同学们身上骗走1500元． 【点睛】此题考查了概率公式的应用，注意用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比． 6．（2023·福建三明·二模）某商场举行促销活动，消费满一定金额的顾客可以通过参与摸球活动获得奖励．具体方法如下：从一个装有2个红球、3个黄球（仅颜色不同）的袋中摸出2个球，根据摸到的红球数确定奖励金额，具体金额设置如下表：现有两种摸球方案： 摸到的红球数 0 1 2 奖励（单位：元） 5 10 20 方案一：随机摸出一个球，记下颜色后不放回，再从中随机摸出一个球； 方案二：随机摸出一个球，记下颜色后放回，再从中随机摸出一个球． (1)求方案一中，两次都摸到红球的的概率； (2)请你从平均收益的角度帮助顾客分析，选择哪种摸球方案更有利? 【答案】(1) (2)从平均收益的角度看，顾客选择方案二更有利 【分析】（1）通过列表的形式表示出所有等可能的结果，再用概率公式求解即可． （2）分别计算方案一和方案二的平均收益，再进行比较后选择即可． 【详解】（1）解：对于方案一，列表如下． 由上表可知，共有20种等可能的结果，两次都摸到红球的结果数是2． 故采用方案一摸球，两次都摸到红球的概率为． （2）解：由（1）中表可知，采用方案一，两次都摸到红球的概率为，摸到一次红球的概率为，没有摸到红球的概率为． 平均收益为元． 对于方案二，列表如下． 由上表可知，共有25种等可能的结果，两次摸到红球的结果数是4，摸到一次红球的结果数是12，没有摸到红球的结果数是9． 所以两次都摸到红球的概率为，摸到一次红球的概率为，没有摸到红球的概率为． 平均收益为元． ∵， ∴从平均收益的角度看，顾客选择方案二更有利． 【点睛】本题考查列表法求概率，概率的实际应用，熟练掌握这些知识点是解题关键． 【典型例题八 用频率估计概率的综合应用】 1．（2023·河南·模拟预测）一个口袋中有黄球和黑球共16个，这些球除颜色外都相同，将口袋中的球搅拌均匀，从中随机摸出一个球，记下它的颜色后放回，不断重复这一过程，共摸了200次球，发现有150次摸到黄球，请你估计这个口袋中黑球的个数（    ） A．3 B．4 C．6 D．12 【答案】B 【分析】 本题考查了利用频率估计概率：大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率．用频率估计概率得到的是近似值，随实验次数的增多，值越来越精确． 利用频率估计概率可估计摸到黄球的概率为，然后根据概率公式计算这个口袋中黄球的数量进而可得黑球的数量． 【详解】摸到黄球的频率为，故口袋中有黄球个． 黑球有个． 故选B. 2．（23-24九年级上·北京海淀·阶段练习）不透明的盒子中装有红、黄色的小球共20个，除颜色外无其他差别，随机摸出一个小球，记录颜色后放回并摇匀，再随机摸出一个．下图显示了某数学小组开展上述摸球活动的某次实验的结果． 下面有四个推断： ①当摸球次数是300时，记录“摸到红球”的次数是99，所以“摸到红球”的概率是0.33； ②随着试验次数的增加，“摸到红球”的频率总在0.35附近摆动，显示出一定的稳定性，可以估计“摸到红球”的概率是0.35； ③可以根据本次实验结果，计算出盒子中约有红球7个； ④若再次开展上述摸球活动，则当摸球次数为500时，“摸到红球”的频率一定是0.40． 所有合理推断的序号是（    ） A．①② B．②③ C．①②③ D．②③④ 【答案】B 【分析】本题考查了利用频率估计概率，一般地，随着试验次数的增大，频率偏离概率的幅度会缩小，即事件发生的频率会逐渐稳定于事件发生的概率，我们称频率的这个性质为频率的稳定性，据此即可求解． 【详解】解：①当摸球次数是300时，记录“摸到红球”的次数是99，所以“摸到红球”的频率是0.33；故①错误； ②根据频率的稳定性可知②正确； ③可以根据本次实验结果，计算出盒子中约有红球个；故③正确； ④由于每次试验的频率会发生变化，故若再次开展上述摸球活动，则当摸球次数为500时，“摸到红球”的频率不一定是0.40．故④错误； 故选：B 3．（23-24九年级上·云南保山·期末）在一个不透明的袋子中，有白色棋子和黑色棋子共20颗，这些棋子除颜色外均相同，将袋中的棋子搅匀，从中随机摸出一颗棋子，记下颜色后再放回袋子中，不断重复这一过程，摸了100次后，发现有60次摸到黑色棋子，请你估计这个袋子中黑色棋子有 颗． 【答案】12 【分析】本题考查了利用频率估计概率（大量反复试验下频率稳定值即概率），同时也考查了概率公式的应用，熟练掌握概率的相关知识是解题关键．用到的知识点为：根据=所求情况数与总情况数之比．首先求出摸到的黑色棋子的频率，用频率去估计概率即可求出袋中黑色棋子的个数． 【详解】解：∵摸了100次后，发现有60次摸到黑色棋子， ∴摸到黑色棋子的频率是． ∵袋子中有白色棋子、黑色棋子共20个， ∴袋子中黑色棋子约有（个）． 故答案为：12． 4．（23-24九年级上·山东济南·期末）二维码在日常生活中被广泛应用，某数学兴趣小组对其开展数学实验活动．如图，在边长为的正方形区域内利用计算机软件进行随机掷点模拟实验．经过大量重复实验，发现点落在黑色部分的频率稳定在0.7左右，据此可以估计这个正方形区域内黑色部分的面积为 ． 【答案】 【分析】 本题主要考查利用频率估计概率，可以用频率的集中趋势来估计概率．用正方形的面积乘以点落在区域内黑色部分的频率稳定值即可． 【详解】 解：根据题意，估计这个区域内黑色部分的总面积约为， 故答案为：． 5．（23-24九年级上·陕西渭南·期末）一个不透明的袋中装有若干个红球，为了估计袋中红球的个数，在袋中放入3个除了颜色外其余均相同的白球，从袋子中随机摸出一个球，记录下颜色后，放回袋中并摇匀，通过大量重复这样的试验后发现，摸到白球的频率稳定在0.15附近，请估计袋子中红球的个数． 【答案】17个 【分析】本题考查利用频率估计概率，利用概率公式求数量，根据摸到白球的频率稳定在0.15附近，得到摸到白球的的概率为0.15，设袋子中红球的个数为个，利用概率公式列出方程求解即可． 【详解】解：设袋子中红球的个数为个， 根据题意得：，解得， 经检验是原方程的解， 估计袋子中红球的个数为17个． 6．（23-24九年级上·陕西咸阳·期中）某运动员进行打靶训练，对该名运动员打靶正中靶心的情况进行统计，并绘制了如图所示的统计图，根据图中信息回答问题．    (1)估计该运动员正中靶心的概率为________；（结果精确到0.1） (2)在一次练习中，他一共打了160枪，试估计他正中靶心的枪数为多少枪？ 【答案】(1)0.8 (2)128枪 【分析】本题考查了频率，用频率估计概率，用样本估计总体等知识．解题的关键在于从图中获取准确的信息． （1）由图可确定频率，根据频率与概率的关系确定概率即可； （2）根据估计他正中靶心的枪数为，计算求解即可． 【详解】（1）解：由图可知，该运动员正中靶心的频率在0.8附近摆动，他正中靶心的概率估计值为0.8， 故答案为：0.8； （2）解：由题意知，， ∴估计他正中靶心的枪数为128枪． 【变式训练1 几何概率】 1．（2024·广东汕尾·二模）某商场为吸引顾客设计了如图所示的自由转盘，每位顾客均能获得一次转动转盘的机会，如果转盘停止后，当指针指向阴影部分时，该顾客可获得奖品一份，那么该顾客获奖的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题考查了几何概率，阴影部分的圆心角占的比值即为概率，由此可得到答案； 【详解】解：指针指向阴影部分的概率是， 该顾客获奖的概率为． 故选：． 2．（23-24九年级下·山东临沂·期中）如果一个三位数中任意两个相邻数字之差的绝对值不超过1，则称该三位数为“平稳数”．用4，5，6这三个数字随机组成一个无重复数字的三位数，恰好是“平稳数”的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了列举法求概率．根据题意列出所有可能，根据新定义，得出2种可能是“平稳数”，根据概率公式即可求解． 【详解】解：依题意，用4，5，6这三个数字随机组成一个无重复数字的三位数， 可能结果有456，465，546，564，645，654，共六种可能， 只有456，654是“平稳数”， ∴恰好是“平稳数”的概率为． 故选：C． 3．（2024·宁夏石嘴山·一模）如图，在正方形中，点在上，连接，，随机地往正方形内投一粒米（米粒大小忽略不计），则米落在阴影区域的概率为 ． 【答案】/ 【分析】本题考查几何概率,将图中阴影面积除以正方形面积即可求出米粒落在图中阴影部分的概率． 【详解】解：∵ ∴米落在阴影区域的概率为 故答案为：． 4．（2024·江苏苏州·一模）如图，一块矩形飞镖游戏板，对角线，相交于点，过点作分别交边，于点，．假设飞镖投中游戏板上的每一点是等可能的（若投中矩形中各三角形的边界或没有投中游戏板，则重投1次），现向该游戏板随机投掷飞镖1次，则飞镖投中阴影区域的概率为 ． 【答案】 【分析】本题考查了几何概率的知识．利用阴影部分的面积除以矩形的面积即可求得答案． 【详解】解：矩形关于中心对称， ， ， 飞镖投中阴影区域的概率为， 故答案为：． 5．（22-23七年级下·广东佛山·阶段练习）某商场为了吸引顾客，设立了一个如图可以自由转动的转盘，并规定：顾客每购买30元的商品就能获得一次转动转盘的机会．如果转盘停止后，指针正好对准红、绿或黄色区域，顾客就可以获得100元、50元，20元的购物券，（转盘被等分成20个扇形），已知甲顾客购物32元．    (1)他获得购物券的概率是多少？ (2)他得到100元、50元、20元购物券的概率分别是多少？ 【答案】(1) (2) 【分析】(1)找到红色、绿色或黄色区域的份数之和占总份数的多少即为获得购物券的概率； (2)分别找到红色、绿色或黄色区域的份数占总份数的多少即为得到100元,50元、20元购物券的概率． 【详解】（1）解： ； 答：他获得购物券的概率是． （2）解： ； ； ． 答：他得到100元、50元、20元购物券的概率分别是． 【点睛】本题主要考查了概率公式，准确无误的找到红色、黄色或绿色区域的份数和总份数是解答本题的关键． 6．（22-23七年级下·辽宁铁岭·期末）如图，将一个封闭的圆形装置内部划分为三个区域，其中A、B两个区域为圆环，C区域为小圆． （1）求出A、B、C三个区域的面积； （2）若随机往装置内扔一粒黄豆，求黄豆落在B区域的概率． 【答案】（1）SA=45πcm2，SB=27πcm2，SC=9πcm2；（2）． 【分析】（1）根据圆面积S=πr2，圆环面积S=π（R2﹣r2），进行计算即可； （2）求出B区域占整体的几分之几即可． 【详解】解：（1）SA=π（92﹣62）=45π（cm2）， SB=π（62﹣32）=27π（cm2）， SC=π×32=9π（cm2）， （2）黄豆落在B区域的概率为． 【点睛】本题考查了几何概率，求出相应部分所占整体的几分之几是求出概率的关键． 【变式训练2 列举法求概率】 1．（23-24九年级上·江苏淮安·期中）张老师的渔具包内有，，，四种规格的鱼竿各一支，从中任意取出一支鱼竿长度是的概率是（    ） A．0 B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了运用列举法求概率，熟练掌握公式是解题的关键． 【详解】解：因为随机取出一支鱼竿共有，，，四种等可能结果，其中长为有一种等可能性，即概率为， 故选D． 2．（23-24九年级下·重庆·阶段练习）如图，有7张扑克牌，将其打乱顺序后，背面朝上放在桌上，若从中随机抽取一张，抽到方块的概率是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了简单的概率计算，运用列举法求出花色是方片的概率是解题的关键． 【详解】解：∵一共有张扑克牌，每张牌被抽到的概率相同，抽到方片牌有张， ∴抽到的花色是方片的概率为， 故选B． 3．（2024·山西晋中·一模）某校计划组织“研学之旅”活动，准备从大同云冈石窟、平遥古城、祁县乔家大院三个地点中随机选择两个，每个地点被选中的可能性相同，则选中平遥古城和祁县乔家大院的概率为 ． 【答案】 【分析】本题考查了列举法求概率，概率公式：随机事件的概率事件可能出现的结果数除以所有可能出现的结果数． 【详解】解：从中随机选择两个地点共有：大同云冈石窟、平遥古城，大同云冈石窟、祁县乔家大院，平遥古城、祁县乔家大院，3种等可能结果，选择平遥古城和祁县乔家大院的只有1种结果， 所以选择动物园的概率为， 故答案为：． 4．（23-24九年级上·浙江绍兴·阶段练习）17世纪的一天，保罗与著名的赌徒梅尔赌钱，每人拿出6枚金币，然后玩骰子，约定谁先胜三局谁就得到12枚金币，比赛开始后，保罗胜了一局，梅尔胜了两局，这时一件意外的事中断了他们的赌博，于是他们商量这12枚金币应该怎样分配才合理，保罗认为，根据胜的局数，他应得总数的三分之一，即4枚金币，但精通赌博的梅尔认为他赢得可能性大，所以他应得全部赌金．请你根据概率知识分析保罗应赢得 枚金币． 【答案】3 【分析】本题考查了概率的公式，掌握的理解题意是解题的关键．根据保罗胜了一局，梅尔胜了两局得到要再玩两局，才会决定胜负，根据要再玩两局出现的结果即可得到结论． 【详解】解：∵要再玩两局，才会决定胜负， ∴会出现四种可能的结果：（梅尔胜，保罗胜），（保罗胜，梅尔胜），（梅尔胜，梅尔胜），（保罗胜，保罗胜），其中前三种结果都是梅尔胜，只有第四种结果是保罗胜， ∴梅尔取胜的概率是，保罗取胜的概率是， ∴梅尔赢得枚金币，保罗应赢，枚金币， 故答案为：3． 5．（23-24九年级上·浙江宁波·期中）在一个不透明的袋中装有1个红球、1个白球和1个黑球，共3个球，它们除颜色外都相同． (1)求从袋中摸出一个球是红球的概率； (2)摸出1个球，记下颜色后放回，并搅匀，再摸出1个球，求两次摸出的球恰好颜色相同的概率（要求画树状图或列表）． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查列表法与树状图法、概率公式，熟练掌握列表法与树状图法以及概率公式是解答本题的关键． （1）直接利用概率公式可得答案； （2）画树状图得出所有等可能的结果数以及两次摸出的球恰好颜色相同的结果数，再利用概率公式可得出答案． 【详解】（1）解：从袋子中摸出1个球，可能是红球、白球、黑球共种结果，其中是红球的有种，故摸出一个球是红球的概率为； （2）解：画树状图为 共有种等可能的结果，其中两次摸出的球恰好颜色相同的结果有种， ∴两次摸出的球恰好颜色相同的概率为 ． 6．（2023·陕西宝鸡·三模）张洋所住小区的每栋楼下均设有供业主使用的公共底面停车场，这天他放学回家时观察到位于他家楼下的停车场还剩余四个车位，小区规定每辆汽车停放时只能占用一个车位． (1)若此时有一辆汽车停车，则这辆车停在“003”号车位的概率是___________； (2)若此时有两辆汽车同时停车，求这两辆车停在相邻车位的概率． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据概率计算公式求解即可， （2）先列出表格得到所有的等可能性的结果数，再找到符合题意的结果数，最后根据概率计算公式求解即可． 【详解】（1）解：据题意，停车位共有4种情况，停在“003”号车位是其中一种，故概率为． 故答案为． （2）解：设这四个车位分别用表示，列表如下： 由表格可知一共有12种等可能性的结果数，其中两辆车停在相邻车位的结果数有6种， ∴两辆车停在相邻车位的概率为． 【点睛】本题主要考查了简单的概率计算，树状图或者列表法求解概率，正确列出表格或者画出树状图是解题的关键． 【变式训练3 列表法或树状图法求概率】 1．（22-23九年级上·山东烟台·期末）九（1）班三名同学进行唱歌比赛，原定出场顺序是：甲第一个出场，乙第二个出场，丙第三个出场，后来要求这三名同学用抽签方式重新确定出场顺序，则抽签后每个同学的出场顺序都发生变化的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了列表法或树状图法求概率，正确画出树状图成为解题的关键． 首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与抽签后每个运动员的出场顺序都发生变化的情况，再利用概率公式即可解答． 【详解】解：画树状图得： ∵共有6种等可能的结果，抽签后每个运动员的出场顺序都发生变化有2种情况， ∴抽签后每个运动员的出场顺序都发生变化的概率=． 故答案为：． 2．（2024·湖南衡阳·模拟预测）某单位决定从A，B，C，D四名志愿者中通过抽签的方式确定两名志愿者参加某项活动，抽签规则：将四名志愿者的名字分别写在四张完全相同的不透明卡片的正面，把四张卡片背面朝上，洗匀后放在桌面上，先从中随机抽取一张卡片，记下名字，再从剩余的三张卡片中随机抽取第二张卡片，记下名字．按照抽签规则，A，B两名志愿者同时被抽中的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题考查的是用树状图法求概率．树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合两步或两步以上完成的事件；注意概率所求情况数与总情况数之比． 画树状图，共有12种等可能的结果，其中则A，B两名志愿者被选中的结果有2种，再由概率公式求解即可． 【详解】解：画树状图如下：    共有12种等可能的结果，其中则A，B两名志愿者被选中的结果有2种， ∴则A，B两名志愿者被选中的概率为， 故选：B． 3．（23-24八年级下·上海金山·期末）布袋里有3个红球、2个白球，它们除颜色外其他都相同，从中任意摸出两个球恰好是同颜色的概率的是 ． 【答案】 【分析】本题考查了树状图或列表法求出事件的概率；关键是用树状图或列表法求出所有可能事件的结果数，某一事件发生的所有可能结果数．用列表法求解即可． 【详解】解：设三个红球分别记为A、B、C，两个白球记为D、E，列表如下： A B C D E A B C D E 由表知，所有可能的结果数为20种，摸出两个球恰好是同颜色的结果数为8种，则任意摸出两个球恰好是同颜色的概率的是； 故答案为：． 4．（2024·辽宁抚顺·三模）某校组织“歌唱祖国”合唱比赛，七年一班准备从《我和我的祖国》、《国家》、《龙的传人》三首歌曲中选择两首进行排练，那么该班恰好选中《国家》、《龙的传人》这两首歌的概率是 ． 【答案】 【分析】本题考查的是用列表法或树状图法求概率．列表得出共有6种等可能的结果，其中该班恰好选中《国家》、《龙的传人》这两首歌的结果有2种，再由概率公式求解即可． 【详解】解：把《我和我的祖国》、《国家》、《龙的传人》三首歌曲分别记为A、B、C， 列表如下： 歌曲 A B C A B C 由上表可知，共有6种等可能的结果，其中该班恰好选中《国家》、《龙的传人》这两首歌的结果有2种， ∴该班恰好选中《国家》、《龙的传人》这两首歌的概率是， 故答案为：． 5．（2024·甘肃临夏·中考真题）物理变化和化学变化的区别在于是否有新物质的生成．某学习小组在延时课上制作了，，，四张卡片，四张卡片除图片内容不同外，其他没有区别，放置于暗箱中摇匀． (1)小临从四张卡片中随机抽取一张，抽中卡片的概率是______； (2)小夏从四张卡片中随机抽取两张，用列表法或画树状图法求小夏抽取两张卡片内容均为化学变化的概率． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查简单的概率计算，列表法或画树状图法求概率，掌握概率公式和正确的列出表格或画出树状图是解题关键． （1）直接利用概率公式计算即可； （2）根据题意列出表格或画出树状图表示出所有等可能的结果，再找出抽取两张卡片内容均为化学变化的结果，最后根据概率公式计算即可． 【详解】（1）解：小临从四张卡片中随机抽取一张，抽中卡片的概率是． 故答案为：； （2）解：根据题意可列表格如下， A B C D A A，B A，C A，D B B，A B，C B，D C C，A C，B C，D D D，A D，B D，C 根据表格可知共有12种等可能的结果，其中抽取两张卡片内容均为化学变化的结果有2种， ∴抽取两张卡片内容均为化学变化的概率为． 6．（2024·云南昭通·二模）今年春节电影A《热辣滚烫》，B《飞驰人生2》，C《熊出没逆转时空》，D《第二十条》在网络上持续引发热议，根据国家电影局2月18日发布数据，我国2024年春节档电影票房达80.16亿元，创造了新的春节档票房纪录．甲、乙两位同学打算去观看这四部影片的其中一部： (1)甲选择看A电影的概率是_______________； (2)请用列表或画树状图的方法求甲乙两同学选择观看同一部电影的概率． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查列表法或树状图法求概率： （1）直接利用概率公式进行计算即可； （2）列出表格，利用概率公式进行计算即可． 【详解】（1）解：甲选择看A电影的概率是； 故答案为：． （2）列表如下： 甲   乙 A B C D A B C D 由表知共有16等可能出现的结果，其中甲乙两同学选择同一部电影的有4种； ． 【变式训练4 游戏的公平性】 1．（22-23九年级上·全国·课后作业）甲、乙两人玩一个游戏，判定这个游戏公平的标准是（    ） A．游戏的规则由甲方确定 B．游戏的规则由乙方确定 C．游戏的规则由甲、乙双方商定 D．甲、乙双方赢的概率相等 【答案】D 【分析】根据游戏共是否公平的取决于游戏双方要各有50%赢的机会，游戏是否公平不在于谁定游戏规则，分别判定即可． 【详解】根据游戏是否公平不在于谁定游戏规则，游戏共是否公平的取决于游戏双方要各有50%赢的机会， ∴A.游戏的规则由甲方确定，故此选项错误； B. 游戏的规则由乙方确定，故此选项错误； C. 游戏的规则由甲乙双方商定，故此选项错误； D. 游戏双方赢的概率相等，故此选项正确. 故选D. 【点睛】此题考查游戏公平性，解题关键在于掌握游戏是否公平的意义. 2．（22-23九年级上·全国·课后作业）一个不透明的箱子中放有红色、黄色、黑色三种小球，三个人先后去摸球，一人摸一次，一次摸出一个小球，摸出后放回，摸出红色、黄色小球得0分，摸出黑色小球得1分，得分高者获胜，则这个游戏（    ） A．公平 B．不公平 C．先摸者赢的可能性大 D．后摸者赢的可能性大 【答案】A 【分析】三个人摸到每种球的概率均相等，所以游戏公平． 【详解】∵一个箱子中放有红、黄、黑三种小球，三个人先后去摸球，一人摸一次，一次摸出一个小球，摸出后放回， ∴三个人摸到每种球的概率均相等，故这个游戏是公平的. 故选A. 【点睛】此题考查游戏公平性，解题关键在于利用概率进行分析. 3．（23-24七年级上·湖南衡阳·开学考试）小军和小红用2、3、4三张数字卡片做游戏，如果摆出的三位数是偶数，算小红赢，否则算小军赢，这个游戏规则 （填“公平“或“不公平”）． 【答案】不公平 【分析】分别求出小红和小军获胜的概率，然后进行比较即可． 【详解】解：∵当末位数字是2或4时，摆出的三位数是偶数，当末位数字为3时，摆出的三位数是奇数， ∴摆出的三位数是偶数的概率为，摆出的三位数不是偶数的概率为， ∵， ∴这个游戏不公平， 故答案为：不公平． 【点睛】本题主要考查了概率的计算，解题的关键是分别求出小红和小军获胜的概率． 4．（22-23九年级下·广东云浮·期末）甲、乙两班进行篮球比赛，裁判员采用同时抛掷两枚完全相同硬币的方法选择比赛场地：若两枚硬币朝上的面相同，则甲班先选择场地；否则乙班先选择场地．为了判断这种方法的公平性，明明画出树状图如图所示，根据树状图，这种选择场地的方法对两个班级 ．（填“公平”或“不公平”）    【答案】公平 【分析】要判断这种方法是否公平，只要看所选取的方法，使这两个队优先选择比赛场地的可能性是否相等即可． 【详解】解：根据题意画树状图如下：    由上图可知， 甲班优先选择场地的概率， 乙班优先选择场地的概率， 故这两个队优先选择比赛场地的可能性相等， ∴这种选择场地的方法对两个班级公平． 故答案为：公平． 【点睛】本题主要考查了游戏规则公平性的判断，会画树状图求等概率事件的概率是做出本题的关键． 5．（2024·陕西西安·模拟预测）甲、乙两名同学玩一个游戏：将正面分别写有数字，0，1，2的四张卡片（这些卡片除数字外其余均相同）洗匀后，背面向上放在桌面上，甲先从中随机选择一张卡片，记录卡片上的数字为x，乙再从剩余的卡片中随机选择一张，记录卡片上的数字为y．若，则甲获胜，否则乙获胜．请用画树状图或列表的方法，说明这个游戏对双方是否公平． 【答案】公平，理由见解析 【分析】本题考查了用列举法求等可能事件的概率，掌握用列表法或画树状图法求等可能事件的概率是解题的关键． 用列表法（或画树状图法），分别求出甲、乙获胜的概率，即得答案． 【详解】这个游戏公平， 由题意可列表如下，      0 1 2 0 1 2 由表可知，可能出现的等可能结果共有12种； 的情况有6种， 甲获胜的概率 ∵的情况有6种， 乙获胜的概率， 这个游戏对双方公平． 6．（23-24七年级下·陕西西安·阶段练习）现有若干个除颜色外完全相同的球，从中选取10个球放入一个不透明的袋子里进行摸球游戏． (1)若袋子中装有5个红球、2个白球和3个黄球，从中任意摸出一个球，摸到红球的概率是　　　； (2)小明和小亮一起做游戏，若袋子中有4个红球和6个白球，从中任意摸出一个球，摸到红球小明获胜，摸到白球小亮获胜，这个游戏对双方公平吗？说明理由． 【答案】(1) (2)不公平，理由见详解 【分析】本题主要考查概率公式与游戏的公平性，判断游戏公平性需要先计算每个事件的概率，然后比较概率的大小，概率相等就公平，否则就不公平． （1）利用概率公式求解即可； （2）根据概率公式分别计算出摸到红球和白球的概率，比较大小即可得出答案． 【详解】（1）解：， 摸到红球的概率是， 故答案为：； （2）解：不公平，理由如下： 共有10个球，其中4个红球、6个白球，摸到每一个球的可能性相同， （摸到红球），（摸到白球）， 这个游戏对双方不公平． 【变式训练5 求某事件的频率】 1．（22-23九年级上·浙江温州·阶段练习）已知不透明的袋中只装有黑、白两种球，这些球除颜色外都相同，其中白球有9个，黑球有n个，若随机地从袋子中摸出一个球，记录下颜色后，放回袋子中并摇匀，经过大量重复试验发现摸出黑球的频率稳定在0.4附近，则n的值为（　　） A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】B 【分析】根据题意可得＝0.4，解方程即可求解． 【详解】根据题意得： ＝0.4， 解得：n＝6， 经检验：n＝6是分式方程的解且符合题意， 故选：B． 【点睛】本题考查了频率估计概率，利用频率估计概率的计算方法列式是解题的关键． 2．（22-23九年级上·河北保定·期中）在一个不透明的口袋中，放置6个黄球、1个红球和n个蓝球，这些小球除颜色外其余均相同，课外兴趣小组每次摸出一个球记录下颜色后再放回，并且统计了黄球出现的频率，如图，则n的值是（    ） A．2 B．3 C．5 D．8 【答案】B 【分析】先根据图得到黄球出现的频率稳定在0.6附近，再根据概率公式列出方程，最后解方程即可求出n． 【详解】解：由图可知，经过大量实验发现，黄球出现的频率稳定在0.6附近， ∴ 解得 n=3 故选：B． 【点睛】本题考查了用频率估计概率及用概率求数量，解题的关键是熟练掌握概率公式． 3．（22-23八年级下·江苏连云港·期中）我们把一个样本的40个数据分成4组，其中第1、2、3组的频数分别为6、12、14，则第4组的频率为 ． 【答案】0.2/ 【分析】首先计算出第4组的频数，然后再计算出第4组的频率即可． 【详解】解：第4组的频数为：40-6-12-14=8， 频率为：=0.2， 故答案为：0.2． 【点睛】此题主要考查了频数与频率，关键是掌握频率=频数÷总数． 4．（22-23八年级上·云南红河·期末）某灯泡厂一次质量检查中，从300个灯泡中抽查了50个，其中有3个不合格，则出现不合格灯泡的频率是 ，在这300个灯泡中估计有 个为不合格产品． 【答案】 18 【分析】根据频率的概念计算即可． 【详解】解：50个灯泡中有3个不合格， 则出现不合格灯泡的频率为：， 这300个灯泡中，不合格产品数有0.06×300=18（个）． 故答案为：0.06，18． 【点睛】本题考查了频率及其应用，掌握频率是指每个对象出现的次数与总次数的比值是解题的关键． 5．（22-23七年级下·陕西汉中·期末）下表是某口罩生产厂对一批N95口罩质量检测的情况： 抽取口罩数 200 500 1000 1500 2000 3000 合格品数 188 471 946 1425 1898 2850 合格品频率 0.94 0.942 0.946 0.95 （1）求表中、的值； （2）从这批口罩中任意抽取一个是合格品的概率约是多少？（精确到0.01） 【答案】（1）0.949，0.950；（2）0.95 【分析】（1）根据合格品数÷抽取数=合格品频率计算即可； （2）由表中数据可以判断频率在0.95左右摆动，故判断任取一套是合格品的概率估计值为0.95． 【详解】解：（1）1898÷2000=0.949，2850÷3000=0.950； 故答案为：0.949，0.950； （2）由表格可知，随着抽取的口罩数量不断增大，任意抽取一个是合格的频率在0.95附近波动， 所以任意抽取的一个是合格品的概率估计值是0.95． 【点睛】本题主要考查利用频率估计概率，理解随样品数增多，概率值越精确是解题的关键． 6．（2023八年级下·全国·专题练习）某篮球运动员在近几场大赛中罚球投篮的结果如下： 投篮次数n 8 10 12 9 16 10 进球次数m 6 8 9 7 12 7 进球频率 （1）计算表中各场次比赛进球的频率； （2）这位运动员每次投篮，进球的概率约为多少？ 【答案】（1）0.75，0.8，0.75，0.78，0.75，0.7；（2）0.75 【分析】（1）根据表中信息，用进球次数除以投篮次数，得到频率； （2）由于试验次数较多，可以用频率估计概率． 【详解】（1）∵进球频率进球次数投篮次数, ∴进球频率 从左至右依次为,,,, 所以表中所填数据应该为,,,,． （2） 由第（1）问估计该运动员进球的概率P(进球)． 【点睛】本题考查了频率的计算，以及频率与概率的关系，当大量重复试验时，频率会稳定在概率附近． 【变式训练6 由频率估计概率】 1．（2024八年级下·上海·专题练习）在抛掷硬币的试验中，连续多次抛掷一枚硬币，每一次都记录出现的“正面”或“反面”．下面的说法正确的是（    ） A．随着试验次数的增加，出现“正面”的频率就越来越接近0.5 B．随着试验次数的增加，出现“正面”的频率就越来越远离0.5 C．随着试验次数的增加，出现“正面”的频率整体变化趋势越来越接近0.5 D．随着试验次数的增加，出现“正面”的频率整体变化趋势越来越接近0.6 【答案】C 【分析】此题主要考查了利用频率估计概率．大量反复试验下频率稳定值即概率．注意随机事件发生的概率在0和1之间． 机会均等就出现的可能性是相同的，但不一定在有限的实验中出现的次数相同，只是在大量实验时，两者出现的次数接近． 【详解】解：“正面”和出现“反面”的机会均等，随着试验次数的增加，出现“正面”的频率整体变化趋势越来越接近0.5． 故选：C． 2．（2024·吉林长春·二模）综合实践课上，同学们做用频率估计概率的试验．如图，一个质地均匀的转盘被平均分成等份，分别标有，，，，，，，，，．转盘的指针每次停止转动后，记录下指针指向的数字（指针指向边界时不记录结果，重新转动一次）．其中有一个小组将记录的试验数据进行整理，绘制的频率随试验次数变化趋势图如图所示，则这个小组记录的试验可能是（   ） A．指针指向的数字能被整除 B．指针指向的数字是偶数 C．指针指向的数字比大 D．指针指向的数字能被整除 【答案】A 【分析】本题考查利用频率估计概率，根据图可知，试验的概率为，逐一进行判断即可，熟练掌握利用频率估计概率的方法是解题的关键． 【详解】解：由图可知，当转动次数为次时，频率为，故该事件的概率约为． 、转动转盘后，出现能被整除的数有个，概率为，符合题意； 、转动转盘后，数字是偶数的有个，概率为，不符合题意； 、转动转盘后，数字比大的数有个，概率为，不符合题意； 、转动转盘后，数字能被整除的数有个，概率为，不符合题意； 故选：． 3．（23-24九年级下·湖南长沙·阶段练习）数学兴趣小组做“任意抛掷一枚图钉”的重复试验，多次试验后获得如表数据： 重复试验次数 10 50 100 500 1000 钉尖朝上次数 5 15 36 205 403 由此可以估计任意抛掷一次图钉，钉尖朝上的概率约为 ．（精确到） 【答案】 【分析】此题主要考查了利用频率估计概率，首先通过实验得到事件的频率，然后用频率估计概率即可解决问题． 观察表格的数据求出每次试验得到的频率可以得到图钉钉尖朝上的频率，然后用频率估计概率即可求解． 【详解】解：表中图钉钉尖朝上的频率分别为 ，图钉钉尖朝上频率逐渐稳定在左右， 估计任意抛掷一枚图钉，图钉钉尖朝上的概率约为． 故答案为：． 4．（23-24九年级上·广东江门·期中）“抛掷图钉实验”的结果如下： 抛掷次数 针尖不着地的频数 针尖不着地的频数 由表可知，“针尖不着地的”的概率的估计值是 （精确到0.1） 【答案】 【分析】本题考查了利用频率估计概率；由表中数据可判断频率在左右摆动，于是利于频率估计概率即可判断． 【详解】解：由表可知，随着抛掷次数的增加，频率逐渐稳定在附近， 故“针尖不着地的”的概率的估计值是， 故答案为：． 5．（23-24七年级下·福建漳州·期末）在5件同型号的产品中，有2件不合格品和3件合格品． (1)从这5件产品中随机抽取1件进行检测，求抽到的是不合格品的概率； (2)在这5件产品中加入x件合格品后，进行如下试验：随机抽取1件进行检测，然后放回，多次重复这个试验．通过大量重复试验后发现，抽到合格品的频率稳定在0.75，求x的值． 【答案】(1) (2)3 【分析】本题主要考查频率与概率及分式方程的应用，熟练掌握频率与概率及分式方程的应用是解题的关键． （1）根据从这5件产品中随机抽取1件进行检测，有5种等可能的结果，其中抽到不合格品的情况有2种，利用概率公式求解即可； （2）根据通过大量重复试验后发现，抽到合格品的频率稳定在0.75，可得抽到合格品的概率等于0.75，然后根据题意可列方程为，进而求解即可． 【详解】（1）解： 从这5件产品中随机抽取1件进行检测，有5种等可能的结果，其中抽到不合格品的情况有2种，   抽到的是不合格品的概率． 答：抽到的是不合格品的概率． （2）解：  加入x件合格品后，共有件产品，其中2件不合格品，件合格品，随机抽取1件进行检测，有种等可能的结果，其中抽到合格品的情况有种，由于通过大量重复试验后发现，抽到合格品的频率稳定在0.75， 抽到合格品的概率为， 解得， 经检验，是所列方程的根． 答：x的值是3． 6．（23-24九年级下·江苏盐城·期中）主题为“安全骑行，从头盔开始”的安全教育活动在本市全面开展．为了解市民骑电动自行车出行自觉佩戴头盔的情况，某数学实践探究小组在某路口进行调查，经过连续6天的同一时段的调查统计，得到数据并整理如下表： 经过路口的电动自行车数量/辆 180 230 280 260 240 300 自觉佩戴头盔人数/人 171 216 266 250 228 285 自觉佩戴头盔的频率 0.95 0.94 0.95 0.96 0.95 m (1)表格中______； (2)由此数据可估计，经过该路口的电动自行车骑行者佩戴了头盔的概率为 （结果精确到0.01） (3)若该小组某天调查到经过该路口的电动自行车共有1000辆，请问其中佩戴了头盔的骑行者大约有多少人？ 【答案】(1)0.95 (2)0.95 (3)950人 【分析】本题考查利用频率估计概率，利用概率求数量： （1）直接利用频数除以总数进行计算即可； （2）利用频率估算概率即可； （3）总数乘以概率即可． 【详解】（1）解：； 故答案为：0.95； （2）由表格可知：经过该路口的电动自行车骑行者佩戴了头盔的概率为0.95； 故答案为：0.95； （3）（人）． 【变式训练7 概率的基他应用】 1．（22-23九年级上·浙江杭州·期末）一个密码箱的密码，每个数位上的数都是从0到9的自然数．若要使不知道密码的人一次就拨对密码的概率小于，则密码的位数至少需要设（    ） A．五位 B．四位 C．三位 D．二位 【答案】B 【分析】分别求出取一位数、两位数、三位数、四位数时一次就拨对密码的概率，再根据所在的范围解答即可． 【详解】解：∵取一位数时一次就拨对密码的概率为； 取两位数时一次就拨对密码的概率为； 取三位数时一次就拨对密码的概率为； 取四位数时一次就拨对密码的概率为； ∵， ∴密码的位数至少需要四位，故选项B正确． 故选：B． 【点睛】本题考查概率的求法与运用，一般方法为：如果一个事件有种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件出现种结果，那么事件的概率． 2．（2024·河北沧州·一模）某小区门口的电子显示屏上滚动显示的内容和停留时间如图所示，小明抬头看显示屏时，最大可能看到的内容是（    ） 内容 时间/秒 日期 4 星期 3 时间 6 天气 3 A．日期 B．星期 C．时间 D．天气 【答案】C 【分析】本题考查概率的应用，计算出所有情况的概率直接比较判断即可得到答案； 【详解】解：由题意可得， ，，，， ∵， ∴大可能看到的内容是时间， 故选：C． 3．（22-23九年级上·吉林·期末）在一个万人的小镇，随机调查了人，其中人会在日常生活中进行垃圾分类，那么在该镇随机挑一个人，会在日常生活中进行垃圾分类的概率是 ． 【答案】 【分析】根据概率的概念，由符合条件的人数除以样本容量，即可得解. 【详解】由题意，得 故答案为：. 【点睛】此题主要考查概率的求解，熟练掌握，即可解题. 4．（22-23九年级上·浙江台州·期末）某水果公司以2．2元/千克的成本价购进苹果．公司想知道苹果的损坏率，从所有苹果中随机抽取若干进行统计，部分数据如下： 苹果损坏的频率 0.106 0.097 0.102 0.098 0.099 0.101 估计这批苹果损坏的概率为 精确到0.1），据此，若公司希望这批苹果能获得利润23000元，则销售时（去掉损坏的苹果）售价应至少定为 元/千克． 【答案】 0.1 5 【分析】根据利用频率估计概率得到随实验次数的增多，发芽的频率越来越稳定在0.1左右，由此可估计苹果的损坏概率为0.1；根据概率计算出完好苹果的质量为10000×0.9=9000千克，设每千克苹果的销售价为x元，然后根据“售价=进价+利润”列方程解答． 【详解】解：根据表中的损坏的频率，当实验次数的增多时，苹果损坏的频率越来越稳定在0.1左右， 所以苹果的损坏概率为0.1． 根据估计的概率可以知道，在10000千克苹果中完好苹果的质量为10000×0.9=9000千克． 设每千克苹果的销售价为x元，则应有9000x=2.2×10000+23000， 解得x=5． 答：出售苹果时每千克大约定价为5元可获利润23000元． 故答案为：0.1，5． 【点睛】本题考查了利用频率估计概率：用到的知识点为：频率=所求情况数与总情况数之比．得到售价的等量关系是解决（2）的关键． 5．（22-23九年级上·甘肃兰州·期中）设计两个转盘进行“配紫色”游戏，使配得紫色的概率是． 【答案】答案见详解. 【分析】可把一个转盘分成面积相等的红、蓝两部分，另一个转盘被分成面积相等的红、蓝、白三部分，这样可进行“配紫色”游戏，且使配得紫色的概率是. 【详解】解：两个转盘，其中一个转盘被分成面积相等的红、蓝两部分，另一个转盘被分成面积相等的红、蓝、白三部分，同时转动两个转盘，把转盘停止时指针所指的两种颜色进行配色，求配得紫色的概率． 如图，画树状图： 共有6种可能的结果数，其中配得紫色（红+蓝）的结果数为2，所以配得紫色的概率＝． 【点睛】考查了列表法或树状图法：通过列表法或树状图法展示所有等可能的结果求出n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，然后根据概率公式求出事件A或B的概率． 6．（22-23九年级上·福建厦门·期末）某批发商从某节能灯厂购进了50盒额定功率为的节能灯．由于包装工人的疏忽，在包装时混进了的节能灯．每盒中混入的节能灯数如表： 每盒中混入的节能灯数 0 1 2 3 4 盒数 14 25 9 1 1 （1）平均每盒混入几个的节能灯？ （2）从这50盒中任意抽取一盒，记事件为：该盒中没有混入的节能灯，求事件的概率． 【答案】（1）1；（2） 【分析】（1）根据图表，直接用混入的的节能灯的个数除以50，求平均数即可； （2）已知没有混入的节能灯的盒数为14,14除以50即为事件A的概率． 【详解】解：（1）， 答：平均每盒混入的节能灯的个数为1； （2）已知没有混入的节能灯的盒数为14， 则， 答：事件的概率为． 【点睛】本题考查平均数以及概率的求解，属于基础题，掌握平均数以及概率的求解方法是解决本题的关键． 【变式训练8 用频率估计概率的综合应用】 1．（2024·四川达州·一模）在一个不透明的布袋中，红色、黑色、白色的玻璃球共有40个，除颜色外其他完全相同，小明通过多次摸球试验后发现从中摸到红色球、黑色球的频率稳定在和，则口袋中白色球的个数最有可能是（   ） A．6个 B．10个 C．16个 D．18个 【答案】C 【分析】本题考查了概率的意义，大量反复试验下频率稳定值即概率．关键是算出摸到白球的频率．由题意“小明通过多次摸球试验后发现”知所得频率可以近似地认为是概率，再由概率之和为1计算出白球的频率，最后由数据总数频率频数，计算白球的个数即可． 【详解】解： 摸到红色球、黑色球的频率稳定在和， 摸到白球的频率为， 故口袋中白色球的个数可能是个． 故选：C． 2．（2024·山东潍坊·一模）如图，是用计算机模拟随机投掷一枚图钉的某次实验的结果．下面是根据实验结果所作出的四个推断，其中合理的是（   ） A．当投掷次数是1000时，“钉尖向上”的次数是620 B．当投掷第1000次时，“钉尖向上”的概率是0.620 C．随着实验次数的增加，“钉尖向上”的频率趋近于0.618，故可以估计其概率是0.618 D．若再次用计算机模拟实验，则当投掷次数为1000时，“钉尖向上”的频率一定是0.620 【答案】C 【分析】本题考查利用频率估计概率，解答本题的关键是明确概率的定义，利用数形结合的思想解答． 根据图形和各个选项的说法可以判断是否正确，从而可以解答本题． 【详解】解：当投掷次数是1000时，此次计算机记录“钉尖向上”的频率是0.620，故此次次数约是，A不合题意； 当投掷次数是1000时，此时“钉尖向上”的频率是0.620，但“钉尖向上”的概率不一定是0.620，B不合题意； 随着实验次数的增加，“钉尖向上”的频率总在0.618附近摆动，显示出一定的稳定性，可以估计“钉尖向上”的概率是0.618．C符合题意； 若再次用计算机模拟实验，则当投掷次数为1000时，“钉尖向上”的频率可能是0.620，但不一定是0.620，D不符合题意． 故选：C． 3．（2024·河南许昌·一模）《数书九章》是我国南宋数学家秦九韶所著的数学著作，标志着中国古代数学的高峰.书中记载有这样一道题目：粮仓开仓收粮，有人送来米2000石，验得米内夹谷，抽样取米一把，数得300粒米内夹谷36粒，则这批米内夹谷约为 石. 【答案】240 【分析】本题主要考查了用频率估计概率，根据多次实验得到的频率约等于概率得出方程，求出解即可． 【详解】解：设这批米内夹谷约为x石，根据题意，得 ， 解得． 所以这批米内夹谷约为240石． 故答案为：240． 4．（23-24九年级上·广西河池·期末）某射击运动员在同一条件下的射击成绩记录如下： 射击次数 20 80 100 200 400 1000 “射中8环以上”的次数 18 68 82 168 327 823 “射中8环以上”的频率（结果保留两位小数） 0.90 0.85 0.82 0.84 0.82 0.82 根据频率的稳定性，估计这名运动员射击一次时“射中8环以上”的概率约是 . 【答案】 【分析】本题考查用频率估计概率，根据大量的实验结果稳定在，即可得出结论． 【详解】解：由题知，射击次数越多，“射中8环以上”的频率越接近， 所以这名运动员射击一次时“射中8环以上”的概率约是． 故答案为：． 5．（22-23九年级上·陕西榆林·阶段练习）在3件同型号的产品A、B、C中，A为不合格产品，其余2件为合格产品．在这3件产品中加入x件合格品后，进行如下试验：随机抽取1件进行检测，然后放回，多次重复这个试验，通过大量重复试验后发现，抽到合格品的频率稳定在，则可以推算出x的值大约是多少？ 【答案】17 【分析】根据频率估计出概率，利用概率公式列式计算即可求得x的值． 【详解】解：∵大量重复试验后发现，抽到合格品的频率稳定在， ∴抽到合格品的概率等于， 根据题意得， 解得：， 经检验是原方程的解， 答：x的值大约是17． 【点睛】本题考查的是利用频率估计概率及概率，解答本题的关键是掌握概率的定义及计算公式． 6．（22-23八年级下·江苏无锡·期中）在一个不透明的盒子里装着除颜色外完全相同的黑、白两种小球共40个，小明做摸球试验，他将盒子里面的球搅匀后从中随机摸出一个球记下颜色，再把它放回盒子中，不断重复上述过程，如表是试验中的一组统计数据： 摸球的次数n 100 200 300 500 800 1000 3000 摸到白球的次数m 70 128 171 302 481 599 1806 摸到白球的频率 0.7 0.64 0.57 0.604 0.601 0.599 0.602 (1)请估计当n很大时，摸到白球的概率为（精确到0.1）． (2)估算盒子里有白球 ___________个． (3)若向盒子里再放入x个除颜色以外其他完全相同的球，这x个球中白球只有1个，每次将球搅拌均匀后，任意摸出一个球记下颜色再放回，通过大量重复摸球试验后发现，摸到白球的频率稳定在0.5，那么可以推测出x最有可能是多少？ 【答案】(1)0.6 (2)24 (3)10 【分析】（1）大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率，据此可得； （2）用总球数乘以摸到白球的概率即可得出答案； （3）根据概率公式和摸到白球的个数，即可求出x的值． 本题主要考查利用频率估计概率，解题的关键是掌握大量重复试验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率． 【详解】（1）解：根据表中的数据可知，估计当n很大时，摸到白球的概率为0.6； （2）估算盒子里约有白球（个）， 故答案为：24； （3）根据题意知，， 解得， 答：可以推测出x最有可能是10． 1．（2024·辽宁锦州·二模）如图，是由智力玩具七巧板的七块板拼成的正方形，其中1，2，3，5，7号板是等腰直角三角形，4号板是正方形，6号板是平行四边形．若随机向正方形上投掷一个米粒，那么米粒刚好停在7号板区域的概率是(    ) A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查几何概型概率的求法，勾股定理，正方形的性质；设号板正方形的边长为，则号板直角边长为，号板斜边长为，号板斜边长为，直角边长为，则大正方形边长为，据此知大正方形的面积为，号板的面积为，再根据概率公式求解可得． 【详解】解：设号板正方形的边长为，则号板直角边长为，号板斜边长为， 号板斜边长为，直角边长为，则大正方形边长为， 号板的面积为， 大正方形的面积为， 从这个正方形内任取一点，则刚好停在号板区域的概率是， 故选：C． 2．（23-24九年级下·湖北武汉·阶段练习）小明要给小林打电话，他只记住了小林手机号码的前位，后三位是三个数字的某一种排列顺序，但具体顺序忘记了，那么小明第一次就拨通电话的概率是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题考查列举法求概率，列出所有排序的结果，再根据概率公式计算即可求解，正确列出所有排序的结果是解题的关键． 【详解】解：因为后位是三个数字的某一种排列顺序，所以顺序可以是：；；；；；；共种情况，而正确的只有种，所以第一次就拨通电话的概率是， 故选：． 3．（2024·山东·中考真题）某校课外活动期间开展跳绳、踢毽子、韵律操三项活动，甲、乙两位同学各自任选其中一项参加，则他们选择同一项活动的概率是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了用列表法或画树状图法求概率．首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果以及甲与乙恰好选择同一项活动的情况，再利用概率公式求解即可求得答案． 【详解】解：设跳绳、踢毽子、韵律操分别为A、B、C， 画树状图如下， 共有9种等可能的结果，甲、乙恰好选择同一项活动的有3种情况， 故他们选择同一项活动的概率是， 故选：C． 4．（22-23七年级下·辽宁沈阳·期末）甲乙两人玩一个游戏，判定这个游戏公平不公平的标准是（    ） A．游戏的规则由甲方确定 B．游戏的规则由乙方确定 C．游戏的规则由甲乙双方确定 D．游戏双方获胜的概率相等 【答案】D 【分析】判断游戏是否公平不取决于谁制定游戏规则，而取决于游戏双方获胜的概率相等． 【详解】解：游戏的规则由甲方确定，获胜概率不一定不相等，故A不符合题意； 游戏的规则由乙方确定，获胜概率不一定不相等，故B不符合题意； 游戏的规则由甲乙双方确定，获胜概率不一定不相等，故C不符合题意； 游戏双方获胜的概率相等，故D符合题意． 故选：D． 【点睛】本题考查的是游戏公平性的判断．游戏公平是指要计算每个参与者获胜的概率，概率相等就公平，否则就不公平．准确理解定义是解题的关键． 5．（2024·甘肃金昌·一模）近日，甘肃天水这座历史悠久的文化古城，因一碗麻辣烫而迅速走红网络，成为旅游新热点．自天水火爆“出圈”以来，各级团组织迅速行动起来，全面承担起志愿服务工作，同时带领一大批青年志愿者积极响应团组织号召投入志愿服务工作．根据实际需要，志愿者被陆续分配到四合院美味城网红麻辣烫店、机场、火车站等区域开展志愿服务工作．某段时间内经过抽样调查，发现志愿者服务的区域主要有A，B，C，D，E五个．抽样调查的统计结果如下表， 则下列说法不正确的是（    ） 区域 A B C D E 人数 A．去区域服务的人数最少 B．去区域服务的人数的频率是 C．若有名志愿者参与服务，则约有人被分配到C区域服务 D．这次抽样调查的样本容量是 【答案】C 【分析】本题考查了样本容量，频率，用样本估计总体．熟练掌握样本容量，频率，用样本估计总体是解题的关键． 由表格可知，去区域服务的人数最少，可判断A的正误；样本容量为，可判断D的正误；去区域服务的人数的频率是，可判断B的正误；若有名志愿者参与服务，则约有人被分配到C区域服务，可判断C的正误． 【详解】解：由表格可知，去区域服务的人数最少，正确，故A不符合要求； 样本容量为，正确，故D不符合要求； 去区域服务的人数的频率是，正确，故B不符合要求； 若有名志愿者参与服务，则约有人被分配到C区域服务，错误，故C符合要求； 故选：C． 6．（23-24九年级上·重庆合川·期末）如图，飞镖游戏板由含大小相等的等腰直角三角形格子构成，小东向游戏板随机投掷一枚飞镖，击中黑色区域的概率是 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了几何概率，熟练掌握概率的计算公式是解题的关键，注意数量之比就是几何概率，因此求出黑色三角形的数量与三角形的总数量之比即可． 【详解】因为飞镖游戏板由大小相等的等腰直角三角形格子构成． 所以黑色三角形有个，总三角形有个． 则黑色三角形的数量与三角形的总数量之比为：． 即小东向游戏板随机投掷一枚飞镖，击中黑色区域的概率是：． 故答案为：． 7．（2023·湖北武汉·模拟预测）甲、乙两同学手中各有分别标注1，2，3三个数字的纸牌，甲制定了游戏规则：两人同时各出一张牌，当两纸牌上的数字之和为偶数时甲赢，奇数时乙赢，则甲获胜的概率是 ． 【答案】 【分析】根据列举法可进行求解概率． 【详解】解：由题意可知两纸牌上的数字之和有以下几种情况： ；；；；；；；；共9种情况， 其中5个偶数，4个奇数． ∴甲获胜的概率是， 故答案为． 【点睛】本题主要考查概率，熟练掌握概率的求法是解题的关键． 8．（2024·黑龙江哈尔滨·三模）为了准备学校艺术节展示活动，需要从3名男生和2名女生中随机抽取2名学生做主持人，抽取的学生恰好是一名男生和一名女生的概率为 ． 【答案】/0.6 【分析】本题考查了列表或画树状图求概率，列表后利用概率计算公式求解即可，掌握列表或画树状图求概率的方法是解题的关键． 【详解】解：列表如下： 男 男 男 女 女 男 （男，男） （男，男） （男，女） （男，女） 男 （男，男） （男，男） （男，女） （男，女） 男 （男，男） （男，男） （男，女） （男，女） 女 （女，男） （女，男） （女，男） （女，女） 女 （女，男） （女，男） （女，男） （女，女） 共有种等可能结果，其中一名男生和一名女生的结果有种， 抽取的学生恰好是一名男生和一名女生的概率为， 故答案：． 9．（22-23九年级·全国·课后作业）如图所示，准备了三张大小相同的纸片，其中两张纸片上各画一个半径相等的半圆，另一张纸片上画一个正方形．将这三张纸片放在一个盒子里摇匀，随机地抽取两张纸片，若可以拼成一个圆形（取出的两张纸片都画有半圆形）则甲方赢；若可以拼成一个蘑菇形（取出的一张纸片画有半圆、一张画有正方形）则乙方赢．你认为这个游戏对双方是公平的吗？若不是，有利于谁？ ． 【答案】不公平，乙有利 【分析】分别计算二者获胜的概率，进行比较，即可得出结论． 【详解】解：根据游戏规则可知：从三张大小相同的纸片中随机地抽取两张纸片，共3种情况； 可以拼成一个圆形的有1种；可以拼成一个蘑茹形有2种； 故乙取胜的概率大于甲取胜的概率； 故这个游戏不公平，且对乙有利． 故答案为：不公平，乙有利． 【点睛】本题考查的是游戏公平性的判断．判断游戏公平性就要计算每个参与者取胜的概率，概率相等就公平，否则就不公平．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比． 10．（2024八年级下·全国·专题练习）在一个不透明的口袋中有红色、黄色和绿色球共60个，它们除颜色外，其余完全相同．在不倒出球的情况下，要估计袋中各种颜色球的个数．同学们通过大量的摸球试验后，发现摸到红球和绿球的频率分别稳定在和．由此推测口袋中黄球的个数是 个． 【答案】24 【分析】本题主要考查利用频率估计概率，大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率． 【详解】用球的总个数乘以摸到黄色球的频率的稳定值即可． 解：（个）， 故答案为：24． 11．（22-23九年级上·河南许昌·阶段练习）某商场今年国庆节期间举行有奖促销活动，凡购买一定金额的商品可参与转盘抽奖．如图，转盘分为“A”“B”“C”“D”四个区域，自由转动转盘，若指针落在字母“B”所在的区域内，则顾客中奖（转到公共线位置时重转）．若某顾客转动1次转盘，求其中奖的概率． 【答案】． 【分析】求出字母“”所在的区域的圆心角度数，再根据概率公式即可求解． 【详解】解：由图知字母“”所在的区域的圆心角度数为， ∴当转盘停止转动后，指针落在字母“”所在的区域内的概率是，即中奖的概率为． 【点睛】本题考查几何概率的求法：首先根据题意将代数关系用面积表示出来，一般用阴影区域表示所求事件（A）；然后计算阴影区域的面积在总面积中占的比例，这个比例即事件（A）发生的概率． 12．（2023·江苏苏州·一模）如图，三根同样的绳子、、穿过一块木板，姐妹两人分别站在木板的左、右两侧，每次各自选取本侧的一根绳子，每根绳子被选中的机会相等． (1)姐姐从这三根绳子中随机选一根，恰好选中绳子的概率为_______________； (2)在互相看不见的条件下，姐姐从左端A、B、C三个绳头中随机选两个打一个结，妹妹从右端、、三个绳头中随机选两个打一个结，求这三根绳子能连接成一根长绳的概率． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由三根同样的绳子、、穿过一块木板，直接利用概率公式求解即可求得答案； （2）利用列举法可得：，，，其中符合题意的有2种、，然后直接利用概率公式求解即可求得答案． 【详解】（1）解：共有三根同样的绳子、、穿过一块木板， 姐姐从这三根绳子中随机选一根，恰好选中绳子的概率为：； 故答案为：； （2）解：列举得：，，，，，，，，； 共有9种等可能的结果，其中符合题意的有6种， 这三根绳子能连接成一根长绳的概率是：． 【点睛】此题考查了列举法求概率的知识．用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比． 13．（2024·陕西西安·模拟预测）五一节期间，某商场为了吸引顾客，开展有奖促销活动，设立了一个可以自由转动的转盘，转盘被分成4个面积相等的扇形，四个扇形区域里分别标有“10元”、“20元”、“30元”、“40元”的字样（如图）．规定：同一天内，顾客在本商场每消费满100元就可以转动转盘一次，商场根据转盘指针指向区域所标金额返还相应数额的购物券，某顾客当天消费260元，转了两次转盘． (1)该顾客最少可得 元购物券，最多可得 元购物券； (2)请用画树状图或列表的方法，求该顾客所获购物券金额不低于50元的概率． 【答案】(1)20，80 (2) 【分析】本题考查的是用列表法或画树状图法求概率． （1）首先根据题意画出树状图，然后由树状图即可求得该顾客最少可得20元购物券，最多可得元购物券； （2）由（1）中的树状图即可求得所有等可能的结果与该顾客所获购物券金额不低于元的情况，然后利用概率公式求解即可求得答案． 【详解】（1）解：画树状图得 则该顾客最少可得元购物券，最多可得元购物券； 故答案为：，； （2）∵共有种等可能的结果，该顾客所获购物券金额不低于元的有种情况， ∴该顾客所获购物券金额不低于元的概率为： 14．（23-24九年级上·甘肃武威·期末）小明和小华两人为了得到一张辩论赛的入场券，他们设计了一个方案；转动如图所示的转盘，如果指针停在阴影区域，那么小明得到入场券；如果指针停在白色区域，那么小华得到入场券（转盘被等分成6个扇形．若指针停在边界处，则重新转动转盘）．这个方案对双方来说是否公平？你是怎样判断的？ 【答案】公平，理由见解析 【分析】本题考查了概率的应用，分别求出这个方案中，小明与小华获得入场券的概率，若相等，则公平，否则不公平． 【详解】解：公平，理由如下： 转盘被等分成个扇形，转动转盘一次指针停在某一区域的共有种等可能的结果数，阴影区域的有种等可能的结果数，白色区域的有种等可能的结果数， 小明与小华获得辩论赛的入场券的可能性大小相等，都为， 公平． 15．（22-23八年级下·江苏苏州·期末）在一个不透明的口袋里装有只有颜色不同的黑、白两种颜色的球共20只，某学习小组做摸球实验，将球搅匀后从中随机摸出一个球记下颜色，再把它放回袋中，不断重复上述过程，下表是活动进行中的一组统计数据： 摸球的次数n 100 150 200 500 800 1000 摸到白球的次数m 58 96 116 295 484 601 摸到白球的频率 0.64 0.58 0.605 0.601 （1）请将表中的数据补充完整， （2）请估计：当n很大时，摸到白球的概率约是　 　．（精确到0.1） 【答案】（1）0.58，0.59；（2）0.6. 【分析】（1）利用频率＝频数÷样本容量直接求解即可； （2）根据统计数据，当n很大时，摸到白球的频率接近0.6． 【详解】解：（1）填表如下： 摸球的次数n 100 150 200 500 800 1000 摸到白球的次数m 58 96 116 295 484 601 摸到白球的频率 0.58 0.64 0.58 0.59 0.605 0.601 故答案为0.58，0.59； （2）当n很大时，摸到白球的概率约是0.6， 故答案为0.6． 【点睛】本题考查了利用频率估计概率：大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率． 学科网（北京）股份有限公司 $$