精品解析：吉林省"BEST合作体”2023-2024学年高二下学期5月期中数学试题

高二数学试卷 注意事项： 1.答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 4.本试卷主要考试内容：人教A版选择性必修第二册至选择性必修第三册第六章6.1. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 某商场东面和西面均有4个门，北面和南面均有3个门，若某人从其中的任意一个门进入商场，则进入商场的不同方式共有（ ） A. 12种 B. 24种 C. 7种 D. 14种 2. 已知函数在处可导，若，则（ ） A. 22 B. 11 C. -22 D. -11 3. 在公差为的等差数列中，，则（ ） A. 44 B. 36 C. 30 D. 28 4. 已知函数在上单调递增，则的最大值为（ ） A. 3 B. C. D. 5. 已知数列的前n项和为，若，，则（ ） A. -3 B. 3 C. -2 D. 2 6. 定义新运算.已知函数，，，则下列区间中，单调递增的为（ ） A. B. C. D. 7. 等比数列的前n项和为，已知，，成等差数列，，则（ ） A. 28 B. 14 C. 20 D. 10 8. 已知函数，若，且，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 一个质量为4kg的物体做直线运动，该物体的位移y（单位：m）与时间t（单位：s）之间的关系为，且（表示物体的动能，单位：J；m表示物体的质量，单位：kg；v表示物体的瞬时速度，单位：m/s），则（ ） A. 该物体瞬时速度的最小值为1m/s B. 该物体瞬时速度的最小值为2m/s C. 该物体在第1s时的动能为16J D. 该物体在第1s时的动能为8J 10. 已知等差数列的前项和为，等比数列的前项积为，则（ ） A. 可能为等差数列 B. 不可能为等比数列 C. 是等差数列 D. 是等比数列 11. 已知函数，存在n个零点，，则（ ） A. 为偶数 B. C. D. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 从6件不同的礼物中选出3件送给3位同学，每人1件，不同的选法种数是________. 13. 若函数在区间上有极值，则a的取值范围为________. 14. 在数列中，，. 设数列的前项和为，若存在，使得不等式，则实数的取值范围为________. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 设数列的前n项和为，，. （1）证明：为等比数列. （2）若，，求数列的前n项和. 16. 已知函数． （1）当时，求在上的值域； （2）讨论的单调性． 17. 已知函数. （1）若曲线在点处的切线方程为，求a，b； （2）若，，求a的取值范围. 18. 已知函数. （1）求的极值. （2）已知，且. ①求的取值范围； ②证明:. 19. 函数称为取整函数，也称为高斯函数，其中表示不超过实数的最大整数，例如：．对于任意的实数，定义数列满足． （1）求的值； （2）设，从全体正整数中除去所有，剩下的正整数按从小到大的顺序排列得到数列． ①求的通项公式； ②证明：对任意的，都有． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高二数学试卷 注意事项： 1.答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 4.本试卷主要考试内容：人教A版选择性必修第二册至选择性必修第三册第六章6.1. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 某商场东面和西面均有4个门，北面和南面均有3个门，若某人从其中的任意一个门进入商场，则进入商场的不同方式共有（ ） A. 12种 B. 24种 C. 7种 D. 14种 【答案】D 【解析】 【分析】由分类加法计数原理即可求解. 【详解】由题意进入商场的不同方式共有种. 故选：D. 2. 已知函数在处可导，若，则（ ） A. 22 B. 11 C. -22 D. -11 【答案】A 【解析】 【分析】利用导数的定义分析求解即可. 【详解】因为 ,又， 所以. 故选：A. 3. 在公差为的等差数列中，，则（ ） A. 44 B. 36 C. 30 D. 28 【答案】B 【解析】 【分析】设出并求解出基本量，再转化目标式后求解即可. 【详解】设等差数列的首项为， 因为，所以， 解得，故，故B正确. 故选：B 4. 已知函数在上单调递增，则的最大值为（ ） A. 3 B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由题意可得恒成立，进而可得出答案. 【详解】， 因为函数在上单调递增， 所以恒成立， 则，解得， 所以的最大值为. 故选：C. 5. 已知数列的前n项和为，若，，则（ ） A. -3 B. 3 C. -2 D. 2 【答案】B 【解析】 【分析】根据递推关系，赋值即可求解． 【详解】若，，变形得到，， 当时，，解得； 当时，，解得； 当时，，解得； 故选：B. 6. 定义新运算.已知函数，，，则下列区间中，单调递增的为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用新定义可得，求导，令，求导可得结论. 【详解】因为， 所以， 所以，令，则 即，所以，所以， 所以，所以， 所以单调递增区间为. 故选：B. 7. 等比数列的前n项和为，已知，，成等差数列，，则（ ） A. 28 B. 14 C. 20 D. 10 【答案】A 【解析】 【分析】设公比为，然后根据已知条件列方程组可求出，再利用等比数列的求和公式可求得结果. 【详解】设公比为， 因为，，成等差数列， 所以，所以， 由，得， 所以， 所以， 因为，所以， 所以，得， 所以， 故选：A 8. 已知函数，若，且，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先计算出的范围以及之间的关系，再利用函数单调性求范围； 【详解】因为，，所以且，则， 故，令，则在上恒成立， 所以在上单调递增，则，即的取值范围是. 故选：C 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 一个质量为4kg的物体做直线运动，该物体的位移y（单位：m）与时间t（单位：s）之间的关系为，且（表示物体的动能，单位：J；m表示物体的质量，单位：kg；v表示物体的瞬时速度，单位：m/s），则（ ） A. 该物体瞬时速度的最小值为1m/s B. 该物体瞬时速度的最小值为2m/s C. 该物体在第1s时的动能为16J D. 该物体在第1s时的动能为8J 【答案】AD 【解析】 【分析】借助导数定义计算可得瞬时速度的最小值，借助所给动能公式计算即可得其动能. 【详解】由题意得， 则该物体瞬时速度的最小值为，A正确，B错误. 由，得，所以该物体在第时的动能为，C错误，D正确. 故选：AD. 10. 已知等差数列的前项和为，等比数列的前项积为，则（ ） A. 可能为等差数列 B. 不可能为等比数列 C. 是等差数列 D. 是等比数列 【答案】AC 【解析】 【分析】对于AB，举例判断，对于C，根据等差数列的定义结合题意分析判断，对于D，根据等比数列的定义结合题意分析判断， 【详解】对于A，当为常数列时，因为为等差数列，所以为等差数列，所以A正确． 对于B，当为常数列，且时，因为是等比数列，所以为等比数列，所以B错误． 对于C，设的公差为，则，得， 因为，所以数列是等差数列，所以C正确． 对于D，设的公比为，则， 当时，不是常数，所以不是等比数列，所以D错误． 故选：AC 11. 已知函数，存在n个零点，，则（ ） A. 为偶数 B. C. D. 【答案】AD 【解析】 【分析】分析函数的单调性，值域最值，结合函数的对称性求解. 【详解】对于A，当时，，且当时，， 则的图象关于直线对称，， 不妨设满足，则，则， 即的所有零点成对出现，故A正确； 对于B，当时，由，得， 若，则在上恒成立，在上单调递增， 则在上恒成立，不存在零点； 若，则当时，，单调递减， 当时，，单调递增， 由存在零点，得，解得，故B错误； 对于CD，若，则的所有零点为， 此时，． 若，则在上单调递减，在上单调递增，且当时，， 所以存在，，使得， 则的所有零点为，则， 由，得． 若，则， 若，则，即，解得， 由，得， 则，则， 则．令， 易知在上单调递增，则， 即， 从而，故C错误，D正确． 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 从6件不同的礼物中选出3件送给3位同学，每人1件，不同的选法种数是________. 【答案】120 【解析】 【分析】先从6件中任选3件，然后再每人分一件，利用分步乘法原理可求得结果. 【详解】由题意得，先从6件礼物中任选3件，共有不同的方法， 然后选出3件送给3位同学，每人1件，共有不同的方法， 所以由分步乘法原理可知共有不同的方法， 故答案为：120 13. 若函数在区间上有极值，则a的取值范围为________. 【答案】 【解析】 【分析】由函数有极值通过求导，得出导函数方程在区间上有实根，继续转化为函数与在区间上有交点，结合双勾函数的图象单调性即可求得 【详解】由求导可得，， 因函数在区间上有极值， 则方程在区间上有实根， 故须使，（若，得，此时，函数在上无极值） 解得或 且方程在区间上有实根， 也即函数与在区间上有交点. 因在上递减，在上递增，且，， 故，即，解得，又或， 故a的取值范围为. 故答案为：. 14. 在数列中，，. 设数列的前项和为，若存在，使得不等式，则实数的取值范围为________. 【答案】 【解析】 【分析】先利用递推式证得是等差数列，从而求得，再利用裂项相消法求得，证得，从而得解. 【详解】由已知有 ，故， 又，所以是等差数列，所以， 所以， 则 ， 所以， 因为存在，使得不等式， 所以，所以实数的取值范围是. 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 设数列的前n项和为，，. （1）证明：为等比数列. （2）若，，求数列的前n项和. 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）根据结合等比数列的定义证明即可； （2）由等差数列的定义及通项公式可得，再由错位相减法求出即可. 【小问1详解】 由，，可得，所以，解得， 当时，，又， 两式相减得，即，因为， 所以数列是首项为，公比为的等比数列； 【小问2详解】 因为，，，所以是首项为，公差为的等差数列， 所以，由（1）知，， 所以①， ②， ①-②得， 故. 16. 已知函数． （1）当时，求在上的值域； （2）讨论的单调性． 【答案】（1） （2）当时在上单调递减； 当时在上单调递减，在上单调递增. 【解析】 【分析】（1）求出函数的导函数，即可得到函数的单调性，求出区间端点值，即可得解； （2）求出函数的定义域与导函数，再分和两种情况讨论，分别求出函数的单调性. 【小问1详解】 当时，则， 当时恒成立，所以在上单调递增， 又，， 所以在上的值域为. 【小问2详解】 函数的定义域为， 又， 当，即时恒成立，所以在上单调递减； 当，即时，当时，当时， 所以在上单调递减，在上单调递增； 综上可得：当时在上单调递减； 当时在上单调递减，在上单调递增. 17. 已知函数. （1）若曲线在点处的切线方程为，求a，b； （2）若，，求a的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据导数的几何意义求出切线的斜率，进而求出切线方程； （2）分、和讨论，分离参数，利用导数研究函数的单调性，进一步求得函数最值，最后求交集即可得解. 【小问1详解】 因为，所以， 又，所以，由题意， 又即，两式联立解得. 【小问2详解】 由，得，即，当时，R， 当时，，当时，，记，则， 令，得，令，得， 所以在上单调递减，在上单调递增， 当时，，所以，当时，，所以， 综上，a的取值范围为. 18. 已知函数. （1）求的极值. （2）已知，且. ①求的取值范围； ②证明:. 【答案】（1）极小值0，极大值 （2）①； ②证明：因为，，由（1）的单调性可知， 令，则，因为，所以， 即，解得， 所以，要证，即证. 令，则， 所以在上单调递增，所以，故成立. 【解析】 【分析】（1）求出导数，判断单调性根据极值定义求解； （2）根据，，结合函数的单调性和极值求得的取值范围；利用单调性可知，令，则，求得，利用分析法将所要证明的问题转化为，构造函数利用导数证明即可. 【小问1详解】 由题意， 则当时，，当时，， 所以在和上单调递增，在上单调递减， 所以当时，取得极小值，当时，取得极大值. 【小问2详解】 ①因为当时，，且在和上单调递增，在上单调递减，且， 又，，所以的取值范围为. ②略 19. 函数称为取整函数，也称为高斯函数，其中表示不超过实数的最大整数，例如：．对于任意的实数，定义数列满足． （1）求的值； （2）设，从全体正整数中除去所有，剩下的正整数按从小到大的顺序排列得到数列． ①求的通项公式； ②证明：对任意的，都有． 【答案】（1），； （2）①； ②由，得，则为递增数列，， 当时，， 则 ， 所以对任意的，都有. 【解析】 【分析】（1）由，，利用给定的定义即可求出. （2）①按，分段讨论的取值，即可求出；②利用①的结论，结合单调性并借助裂项相消法求和即可推理得证. 【小问1详解】 由，得，则， 所以； 由，得，则， 所以. 【小问2详解】 ①依题意，，则， 对于给定的，存在唯一确定的，使得，即， 而，则当时，，设， 此时，即； 当时，，设， 此时，即， 因此， 恰好跳过，即所有正整数中恰好少了， 因为，所以. ②略 【点睛】易错点睛：裂项法求和时，要注意正负项相消时消去了哪些项，保留了哪些项，切不可漏写未被消去的项，未被消去的项有前后对称的特点，实质上造成正负相消是此法的根源与目的． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $