精品解析：2024年山东省东营市东营区九年级下学期第二阶段质量评估数学试题

山东省东营市东营区2023-2024学年下学期毕业学科第二阶段质量评估九年级数学试题 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 的绝对值是（ ） A. B. C. D. 2. 下列计算正确的是（ ） A B. C. D. 3. 如图所示，量角器的圆心O在矩形ABCD的边AD上，直径经过点C，则∠OCB的度数为（ ） A. 30° B. 40° C. 50° D. 60° 4. 小明忘记了旅行箱密码后两位数字，只记得都是奇数，且这两个数字不同，小明随机输入，则他一次能打开密码锁的概率为（ ） A. B. C. D. 5. 重庆一中初三学生小欣暑假骑车沿直线旅行，先前进了1000米，休息了一段时间，又原路返回500米，再前进了1000米，则她离起点距离s与时间t的关系示意图是（ ） A. B. C. D. 6. 小颖为了解本班同学一周课外阅读量，随机抽取班上15名同学进行调查，并将调查结果绘制成如图所示的折线统计图．下列说法正确的是（ ） A. 平均数是，中位数是3 B. 平均数是2，众数是6 C. 众数是2，中位数是2 D. 众数是2，中位数是3 7. 如图所示，在中，，，，以点B为圆心，长为半径画弧，与交于点D，再分别以A、D为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点E、F，作直线，分别交于点P、Q，则的长度为（ ） A. B. C. D. 8. 用长的篱笆，围成一个一面靠墙面积为的长方形场地，求这个长方形的长和宽．设平行于墙的一边为，可得方程（ ） A. B. C. D. 9. 如图，中，，，点B的坐标为，将绕点A逆时针旋转得到，当点O对应点C在上时，点D的坐标为（ ） A. B. C. D. 10. 如图，在 ABCD中，CD=2AD，BE⊥AD于点E，F为DC的中点，连接EF、BF，下列结论：①∠ABC=2∠ABF；②EF=BF；③S四边形DEBC=2S△EFB；④∠CFE=3∠DEF,其中正确结论的个数共有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 二、填空题：本题共8小题，11-14题每小题3分，15-18题每小题3分，共28分． 11. 习近平总书记指出“善于学习，就是善于进步”．“国家中小学智慧云平台”上线的某天，全国大约有5450000人在平台上学习，将这个数据用科学记数法表示为 ___________． 12. 分解因式：______． 13. 若关于的方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是_____． 14. 如图，在平面直角坐标系中，与位似，原点O是位似中心，且．若，则点的坐标是___________． 15. 如图，已知公路l上A，B两点之间的距离为20米，点B在C的南偏西30°的方向上，A在C的南偏西60°方向上，则点C到公路l的距离为______米． 16. 如图，是反比例函数的图象与的一个交点，图中阴影部分的面积为，则k的值为_____． 17. 如图，在平面直角坐标系中，O为原点，，，点为平面内一动点，，连接，点是线段上的一点，且满足．则线段的最大值为______． 18. 如图，在平面直角坐标系中，直线：与直线交于点，过作x轴的垂线，垂足为，过作的平行线交于，过作轴的垂线，垂足为，过作的平行线交于，过作轴的垂线，垂足为按此规律，则点的纵坐标为_______． 三、解答题：本题共7小题，共62分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 19. （1）计算：． （2）先化简，然后从中选择一个你最喜欢的整数作为的值代入求值． 20. 《义务教育课程方案》和《义务教育劳动课程标准（2022年版）》正式发布，劳动课正式成为中小学的一门独立课程，日常生活劳动设定四个任务群：A清洁与卫生，B整理与收纳，C家用器具使用与维护，D烹饪与营养．学校为了较好地开设课程，对学生最喜欢的任务群进行了调查，并将调查结果绘制成以下两幅不完整的统计图． 请根据统计图解答下列问题： （1）本次调查中，一共调查了___________名学生，其中选择“C家用器具使用与维护”的女生有___________名，“D烹饪与营养”的男生有___________名． （2）补全上面的条形统计图和扇形统计图； （3）学校想从选择“C家用器具使用与维护”学生中随机选取两名学生作为“家居博览会”的志愿者，请用画树状图或列表法求出所选的学生恰好是一名男生和一名女生的概率． 21. 如图所示，双曲线的图象与一次函数的图象交于，两点． （1）求反比例函数的解析式； （2）设直线与轴交于点，若为轴正半轴上一点，当的面积为3时，求点的坐标． 22. 某商场计划购进一批篮球和足球，其中篮球的单价比足球的单价多元，已知用元购进的足球和用元购进的篮球数量相等． （1）篮球和足球的单价各是多少元？ （2）若篮球售价为每个元，足球售价为每个元，商场售出足球的数量比篮球数量的三分之一还多个，且获利超过元，问篮球最少要卖多少个？ 23. 如图，四边形内接于，为的直径，分别延长，，交点为，连接，直线是的切线． （1）求证：． （2）若，，求的值． 24. 如图，抛物线y＝ax2+bx+4经过点A（﹣2，0），点B（4，0），与y轴交于点C，过点C作直线CD//x轴，与抛物线交于点D，作直线BC，连接AC． （1）求抛物线的函数表达式，并用配方法求抛物线的顶点坐标； （2）E是抛物线上的点，求满足∠ECD＝∠ACO的点E的坐标； （3）点M在y轴上，且位于点C的上方，点N在直线BC上，点P为直线BC上方抛物线上一点，若以点C，M，N，P为顶点的四边形是菱形，求菱形的边长． 25. 【问题情境】：如图，点为正方形内一点，，，，将直角三角形绕点逆时针方向旋转度（）点、的对应点分别为点，． 【问题解决】： （1）如图，在旋转的过程中，点落在了上．则 ； （2）若，如图3，得到（此时与重合），延长交于点， ①试判断四边形的形状，并说明理由； ②连接，求的长； （3）在直角三角形绕点逆时针方向旋转过程中，直接写出线段长度的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 山东省东营市东营区2023-2024学年下学期毕业学科第二阶段质量评估九年级数学试题 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 的绝对值是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查的是绝对值的含义，直接利用数对应的点与原点的距离可得答案． 【详解】解：， 故选：C． 2. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】直接利用完全平方公式以及二次根式的加减运算法则、合并同类项法则、同底数幂的乘法运算法则分别化简，进而判断得出答案． 【详解】解：A．，故此选项不合题意； B．，故此选项不合题意； C．，故此选项不合题意； D．，故此选项符合题意． 故选：D． 【点睛】此题主要考查了完全平方公式以及二次根式的加减运算、合并同类项、同底数幂的乘法运算，正确掌握相关运算法则是解题关键． 3. 如图所示，量角器的圆心O在矩形ABCD的边AD上，直径经过点C，则∠OCB的度数为（ ） A. 30° B. 40° C. 50° D. 60° 【答案】B 【解析】 【分析】根据矩形的性质得到BC∥AD，即可根据平行线的性质求解． 【详解】解：如图， ∵∠AOE＝40°，∠AOE＝∠DOC， ∴∠DOC＝40°， ∵四边形ABCD是矩形， ∴BC∥AD， ∴∠OCB＝∠DOC＝40°， 故选：B． 【点睛】此题考查了矩形的性质，熟记矩形的对边平行是解题的关键． 4. 小明忘记了旅行箱密码的后两位数字，只记得都是奇数，且这两个数字不同，小明随机输入，则他一次能打开密码锁的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】画树状图，共有20种等可能的结果，其中小明一次能打开密码锁的结果有1种，再由概率公式求解即可． 【详解】解：由题意画树状图如下： 共有20种等可能的结果，其中小明一次能打开密码锁的结果有1种， ∴小明一次能打开密码锁的概率为， 故选：D． 【点睛】此题考查了树状图法以及概率公式．正确画出树状图是解题的关键，用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比． 5. 重庆一中初三学生小欣暑假骑车沿直线旅行，先前进了1000米，休息了一段时间，又原路返回500米，再前进了1000米，则她离起点的距离s与时间t的关系示意图是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查利用函数的图象解决实际问题，正确理解函数图象横纵坐标表示的意义，理解问题的过程，就能够通过图象得到解决． 根据休息时，离开起点的s不变，返回时s变小，再前进时s逐渐变大得出函数图象，然后选择即可． 【详解】解：前进了1000米图象为一条线段，休息了一段时间，离开起点的s不变，又原路返回500米，离开起点的s变小，再前进1000米，离开起点的s逐渐变大，纵观各选项图象，只有C选项符合． 故选：C 6. 小颖为了解本班同学一周的课外阅读量，随机抽取班上15名同学进行调查，并将调查结果绘制成如图所示的折线统计图．下列说法正确的是（ ） A. 平均数是，中位数是3 B. 平均数是2，众数是6 C. 众数是2，中位数是2 D. 众数是2，中位数是3 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了求中位数，众数和平均数，根据中位数，众数和平均数的定义求解判断即可得到答案． 【详解】解：由题意得，平均数为， ∵阅读量为2本的人数最多， ∴众数是2， 把这15名同学的阅读量从低到高排列，处在第8名的阅读量为2本， ∴中位数是2， 故选：C． 7. 如图所示，在中，，，，以点B为圆心，长为半径画弧，与交于点D，再分别以A、D为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点E、F，作直线，分别交于点P、Q，则的长度为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据勾股定理求出根据作图可得，可得，垂直平分，即可得到，易得，即可得到答案． 【详解】解：∵，，， ∴， ∵以点B为圆心，长为半径画弧，与交于点D， ∴， ∴， 由作图方法可知垂直平分， ∴，， ∵， ∴， ∴，即， ∴， 故选B． 【点睛】本题主要考查了勾股定理，垂直平分线的尺规作图，三角形相似的判定与性质，解题的关键是根据勾股定理及垂直平分线得到． 8. 用长的篱笆，围成一个一面靠墙面积为的长方形场地，求这个长方形的长和宽．设平行于墙的一边为，可得方程（ ） A B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，解题的关键是找准等量关系，正确列出一元二次方程．根据长方形的面积公式列方程即可得到结论． 【详解】解：设长方形的长为，则宽为， 根据题意得，， 故选：B． 9. 如图，中，，，点B的坐标为，将绕点A逆时针旋转得到，当点O对应点C在上时，点D的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】如图，过点D作轴于点E，证明是等边三角形，即得出，，从而可求出，再结合含30度角的直角三角形的性质和勾股定理求解即可． 【详解】如图，过点D作轴于点E， ∵， ∴． 由旋转的性质可知，，， ∴为等边三角形， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∴． 故选A． 【点睛】本题主要考查旋转变换，含30度角的直角三角形的性质，勾股定理，等边三角形的判定和性质，坐标与图形等知识，解题的关键是正确作出辅助线构造直角三角形． 10. 如图，在 ABCD中，CD=2AD，BE⊥AD于点E，F为DC的中点，连接EF、BF，下列结论：①∠ABC=2∠ABF；②EF=BF；③S四边形DEBC=2S△EFB；④∠CFE=3∠DEF,其中正确结论的个数共有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】D 【解析】 【分析】如图延长EF交BC的延长线于G，取AB的中点H连接FH．证明△DFE≌△FCG 得EF=FG，BE⊥BG，四边形BCFH是菱形即可解决问题. 【详解】解：如图延长EF交BC的延长线于点G，取AB的中点H，连接FH． ∵CD=2AD，DF=FC， ∴CF=CB， ∴∠CFB=∠CBF， ∵CD∥AB， ∴∠CFB=∠FBH， ∴∠CBF=∠FBH， ∴∠ABC=2∠ABF．故①正确， ∵DE∥CG， ∴∠D=∠FCG， ∵DF=FC，∠DFE=∠CFG， ∴△DFE≌△FCG， ∴FE=FG， ∵BE⊥AD， ∴∠AEB=90°， ∵AD∥BC， ∴∠AEB=∠EBG=90°， ∴BF=EF=FG，故②正确， ∵， ∴，故③正确， ∵AH=HB，DF=CF，AB=CD， ∴CF=BH，∵CF∥BH， ∴四边形BCFH是平行四边形， ∵CF=BC， ∴四边形BCFH是菱形， ∴∠BFC=∠BFH， ∵FE=FB，FH∥AD，BE⊥AD， ∴FH⊥BE， ∴∠BFH=∠EFH=∠DEF， ∴∠EFC=3∠DEF，故④正确， 故选：D． 【点睛】本题考查平行四边形的性质和判定、菱形的判定和性质、直角三角形斜边中线的性质、全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题． 二、填空题：本题共8小题，11-14题每小题3分，15-18题每小题3分，共28分． 11. 习近平总书记指出“善于学习，就是善于进步”．“国家中小学智慧云平台”上线的某天，全国大约有5450000人在平台上学习，将这个数据用科学记数法表示为 ___________． 【答案】 【解析】 【分析】科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，n是正数；当原数的绝对值时，n是负数． 【详解】解：， 故答案为： 【点睛】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值． 12. 分解因式：______． 【答案】 【解析】 【分析】题目中每项都含有x，提取公因式x；先提取公因式，再用完全平方公式即可得出答案． 【详解】 故答案为． 【点睛】本题考查了整式因式分解，提公因式法和公式法，熟练掌握提公因式法分解因式、完全平方公式法分解因式是解题关键． 13. 若关于的方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是_____． 【答案】 【解析】 【分析】利用一元二次方程根的判别式的意义可以得到，然后解关于的不等式即可． 【详解】根据题意得， 解得． 故答案为． 【点睛】本题考查一元二次方程根的判别式.一元二次方程的根与有如下关系：当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程无实数根． 14. 如图，在平面直角坐标系中，与位似，原点O是位似中心，且．若，则点的坐标是___________． 【答案】 【解析】 【分析】直接利用位似图形的性质得出相似比进而得出对应线段的长． 【详解】解∶设 ∵与位似，原点是位似中心，且．若， ∴位似比为， ∴， 解得，， ∴ 故答案为： 【点睛】此题主要考查了位似变换，正确得出相似比是解题关键． 15. 如图，已知公路l上A，B两点之间的距离为20米，点B在C的南偏西30°的方向上，A在C的南偏西60°方向上，则点C到公路l的距离为______米． 【答案】 【解析】 【分析】过点作公路于点，证，得米，再在中，根据计算求得的长即可． 【详解】解：如图，过点作公路于点， 则，，，米， ，， ， 米， 在中，， （米）， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了解直角三角形的应用、等腰三角形的判定等知识，正确作出辅助线构造直角三角形是解决问题的关键． 16. 如图，是反比例函数的图象与的一个交点，图中阴影部分的面积为，则k的值为_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查反比例函数图象和圆的对称性，根据对称性得到阴影部分的面积等于圆面积的四分之一，进而求得圆的半径，利用勾股定理求得即可求得k值． 【详解】解：设的半径为r，根据圆和反比例函数图象的对称性得阴影部分的面积等于圆面积的四分之一， ∴，则， ∵是反比例函数的图象与的一个交点， ∴，， 则，故， 故答案为：． 17. 如图，在平面直角坐标系中，O为原点，，，点为平面内一动点，，连接，点是线段上的一点，且满足．则线段的最大值为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了坐标与图形性质及相似三角形的判定与性质，能根据相似三角形的性质得出点的运动路径是解题的关键． 根据题意可得出点的运动轨迹，在上取点，使，利用相似三角形的性质得出点的运动轨迹即可解决问题． 【详解】解：由题知， 点在以点为圆心，1为半径的圆上， 在上取点，使得， ， ， 则， 又， ， ， 又， ， 点在以点为圆心，为半径的圆上， 则当点在与的远端交点处时，取得最大值． 过点作轴垂线，垂足为， ，， ，， 是等腰直角三角形， 又， ， ． 在中， ， ， 即的最大值为． 故答案为：． 18. 如图，在平面直角坐标系中，直线：与直线交于点，过作x轴的垂线，垂足为，过作的平行线交于，过作轴的垂线，垂足为，过作的平行线交于，过作轴的垂线，垂足为按此规律，则点的纵坐标为_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了坐标规律探究，两直线的交点，一次函数图象性质．总结归纳出点A纵坐标变化规律是解题的关键． 联立直线与直线的表达式并解得：，，故，依次求出：点的纵坐标为、的纵坐标为，…，的纵坐标为即可求解． 【详解】解：联立直线与直线的表达式并解得：，，故； 则点，则直线的表达式为：， 将点坐标代入上式并解得：直线的表达式为：， 将表达式与直线的表达式联立并解得：，，即点的纵坐标为； 同理可得的纵坐标为， 的纵坐标为 按此规律，则点的纵坐标为， 故答案为：． 三、解答题：本题共7小题，共62分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 19. （1）计算：． （2）先化简，然后从中选择一个你最喜欢的整数作为的值代入求值． 【答案】（1）；（2），当时，原式；当时，原式 【解析】 【分析】本题主要考查了分式的化简求值，求特殊角三角函数值，零指数幂： （1）先计算特殊角三角函数值和零指数幂，再计算乘方，最后计算加减法即可得到答案； （2）先把小括号内的式子通分，再把除法变成乘法，然后约分化简，最后根据分式有意义的条件代入合适的值计算求解即可． 【详解】解：（1） ； （2） ， ∵分式要有意义， ∴， ∴且， 当时，原式；当时，原式． 20. 《义务教育课程方案》和《义务教育劳动课程标准（2022年版）》正式发布，劳动课正式成为中小学的一门独立课程，日常生活劳动设定四个任务群：A清洁与卫生，B整理与收纳，C家用器具使用与维护，D烹饪与营养．学校为了较好地开设课程，对学生最喜欢的任务群进行了调查，并将调查结果绘制成以下两幅不完整的统计图． 请根据统计图解答下列问题： （1）本次调查中，一共调查了___________名学生，其中选择“C家用器具使用与维护”女生有___________名，“D烹饪与营养”的男生有___________名． （2）补全上面的条形统计图和扇形统计图； （3）学校想从选择“C家用器具使用与维护”的学生中随机选取两名学生作为“家居博览会”的志愿者，请用画树状图或列表法求出所选的学生恰好是一名男生和一名女生的概率． 【答案】（1） （2）图见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）利用组人数除以所占的百分比求出总数，总数乘以组的百分比，求出组人数，进而求出组女生人数，总数乘以组的百分比，求出组的人数，进而求出组男生人数； （2）根据（1）中所求数据，补全图形即可； （3）利用列表法求出概率即可． 【小问1详解】 解：（人）， ∴一共调查了20人； ∴组人数为：（人）， ∴组女生有：（人）； 由扇形统计图可知：组的百分比为， ∴组人数为：（人）， ∴组男生有：（人）； 故答案为： 【小问2详解】 补全图形如下： 【小问3详解】 用表示名男生，用表示两名女生，列表如下： A B C D E A B C D E 共有20种等可能的结果，其中所选的学生恰好是一名男生和一名女生的结果有12种， ∴． 【点睛】本题考查扇形图与条形图的综合应用，以及利用列表法求概率．从统计图中有效的获取信息，利用频数除以百分比求出总数，熟练掌握列表法求概率，是解题的关键． 21. 如图所示，双曲线的图象与一次函数的图象交于，两点． （1）求反比例函数的解析式； （2）设直线与轴交于点，若为轴正半轴上一点，当的面积为3时，求点的坐标． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】(1)根据直线经过，两点．确定，，代入解析式计算即可． (2) 设点，直线与轴交于点，结合，确定，，利用，列式计算即可． 本题考查了反比例函数与一次函数综合，熟练掌握交点的意义，是解题的关键． 【小问1详解】 ∵直线经过，两点． ∴，， ∴， 解得， 故反比例函数解析式为． 【小问2详解】 设点，直线与轴交于点， ∵， ∴，， ∵， ∴， ∴， 解得， 故． 22. 某商场计划购进一批篮球和足球，其中篮球的单价比足球的单价多元，已知用元购进的足球和用元购进的篮球数量相等． （1）篮球和足球的单价各是多少元？ （2）若篮球售价为每个元，足球售价为每个元，商场售出足球的数量比篮球数量的三分之一还多个，且获利超过元，问篮球最少要卖多少个？ 【答案】（1）足球单价为元，篮球单价为元； （2）获利超过元，篮球最少要卖31个． 【解析】 【分析】（）利用分式方程即可求出篮球和足球的单价； （）设购买篮球个，则购买足球个，根据题意列不等式即可； 本题考查了分式方程以及一元一次不等式的应用，解题的关键是弄清题意找准等量关系和不等量关系，正确列出方程和不等式． 【小问1详解】 解：设足球单价为元，则篮球单价为元， 由题意得：， 解得， 经检验：是原分式方程的解， 则， 答：足球单价为元，篮球单价为元； 【小问2详解】 解：设购买篮球个，则购买足球个， 由题意得：， 解得， ∵为整数， ∴篮球最少要卖个， 答：获利超过元，篮球最少要卖个． 23. 如图，四边形内接于，为的直径，分别延长，，交点为，连接，直线是的切线． （1）求证：． （2）若，，求的值． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】本题考查的是切线的性质、圆内接四边形的性质、直角三角形的性质，掌握圆的切线垂直于经过切点的半径是解题的关键． （1）根据切线的性质得到，根据圆内接四边形的性质得到，证明结论； （2）连接，根据等腰直角三角形的性质得到，根据含角的直角三角形的性质得到，进而得到答案． 【小问1详解】 证明：直线是的切线， ， 四边形内接于， ， ， ， ； 【小问2详解】 解：连接， 为的直径， ， 四边形内接于，， ， ， ，， ， ， ． 24. 如图，抛物线y＝ax2+bx+4经过点A（﹣2，0），点B（4，0），与y轴交于点C，过点C作直线CD//x轴，与抛物线交于点D，作直线BC，连接AC． （1）求抛物线的函数表达式，并用配方法求抛物线的顶点坐标； （2）E是抛物线上的点，求满足∠ECD＝∠ACO的点E的坐标； （3）点M在y轴上，且位于点C的上方，点N在直线BC上，点P为直线BC上方抛物线上一点，若以点C，M，N，P为顶点的四边形是菱形，求菱形的边长． 【答案】（1）yx2+x+4；顶点坐标为（1，）；（2）点E的坐标为（3，）；或（1，）；（3）菱形的边长为 【解析】 【分析】（1）将点A（﹣2，0），点B（4，0）代入二次函数解析式求解即可确定二次函数的一般式，利用配方法变换为顶点式，即可得出顶点坐标； （2）分两种情况：①当点E位于直线CD下方时，过点E作EF⊥CD，垂足为F，设满足条件的点， ②当点E'位于直线CD上方时，过点E'作E'F'⊥直线CD，垂足为F'，设，分别利用正切函数求解即可得； （3）根据题意，分两种情况进行讨论：①CM为菱形的边，在第一象限内取点P′，过点P′作轴，交BC于N′，过点P′作，交y轴于M′，根据平行四边形及菱形的性质求解可得；②CM为菱形的对角线，在第一象限内抛物线上取点P，过点P作，交y轴于点M，连接CP，过点M作，交BC于N，利用平行四边形及菱形的性质求解即可． 【详解】解：（1）∵抛物线的图象经过点A（﹣2，0），点B（4，0）， ∴， ∴解得， ∴抛物线解析式为， ∵， ∴抛物线的顶点坐标为（1，）； （2）如图1， ①当点E位于直线CD下方时，过点E作EF⊥CD，垂足为F，设满足条件的点在抛物线上： 则，，， 根据题意，当时，， 即， ∴， 解得（舍去），， ∴； ②当点E'位于直线CD上方时，过点E'作E'F'⊥直线CD，垂足为F'，设 则，，， 根据题意，当时，， 即， ∴， 解得（舍去），， ∴， 所以，点E的坐标为或； （3）①CM为菱形的边，如图2， 在第一象限内取点P′，过点P′作轴，交BC于N′，过点P′作，交y轴于M′， ∴四边形CM′P′N′是平行四边形， ∵四边形CM′P′N′是菱形， ∴， 过点P′作轴，垂足为Q′， ∵，， ∴， ∴，设点， 在中，，， ∵，， ∴直线BC的解析式为， ∵轴， ∴， ∴， ∴， 解得：（舍）或， 菱形CM′P′N′的边长为； ②CM为菱形的对角线，如图3， 在第一象限内抛物线上取点P，过点P作，交y轴于点M，连接CP，过点M作，交BC于N， ∴四边形CPMN是平行四边形，连接PN交CM于点Q， ∵四边形CPMN是菱形， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 设点， ∴，， ∴ ∴（舍）， ∴此种情况不存． 综上，菱形的边长为． 【点睛】题目主要考查二次函数与菱形的综合，包括待定系数法确定二次函数解析式，利用正切函数解三角形，平行四边形及菱形的性质等，理解题意，作出相应图形结合这些知识点是解题关键． 25. 【问题情境】：如图，点为正方形内一点，，，，将直角三角形绕点逆时针方向旋转度（）点、的对应点分别为点，． 【问题解决】： （1）如图，在旋转的过程中，点落在了上．则 ； （2）若，如图3，得到（此时与重合），延长交于点， ①试判断四边形的形状，并说明理由； ②连接，求的长； （3）在直角三角形绕点逆时针方向旋转过程中，直接写出线段长度的取值范围． 【答案】（1） （2）①四边形是正方形，理由见详解；② （3） 【解析】 【分析】本题主要考查了正方形的判定与性质、旋转变换的性质、矩形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的性质、勾股定理等知识；熟练掌握正方形的性质和旋转变换的性质，证明是解题的关键． （1）由勾股定理得的长度，再由正方形的性质得的长度，然后由旋转的性质得，即可求解； （2）①由旋转的性质得，，，再证四边形是矩形，即可得出结论；②过点作于点，证，得，，再由勾股定理求解即可； （3）当点的运动轨迹是以点为圆心，为半径的圆上，即可得出答案． 【小问1详解】 解：，，， ， 四边形是正方形， ，， ， 由旋转的性质得：， ； 【小问2详解】 解：①四边形是正方形，理由如下： 由旋转的性质得：，，， ， 四边形是矩形， ， 四边形是正方形， ②过点作于点，如图所示： 则， ， ， 在和中， ， ， ，， ∴， ， 【小问3详解】 解：∵点的运动轨迹是以点为圆心，为半径的圆上， 的最小值为， 当落在的延长线上时，， 最长， 线段长度的取值范围是 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $