精品解析：江西省景德镇市乐平市2023-2024学年八年级下学期期末数学试题

江西省景德镇市乐平市2023-2024学年度下学期期末考试 八年级数学 一、单项选择题(本大题共6小题，每小题3分，共18分) 1. 下列垃圾分类标识的图案既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据轴对称图形和中心对称图形的概念逐项判断即可． 【详解】A．不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故此选项不符合题意； B．是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不符合题意； C．是轴对称图形，也是中心对称图形，故此选项符合题意； D．不轴对称图形，也不是中心对称图形，故此选项不符合题意， 故选：C． 【点睛】本题考查轴对称图形、中心对称图形，理解轴对称图形和中心对称图形是解答的关键． 2. 如图，将沿向右平移得到，若，，则的长是（ ） A. 2 B. C. 3 D. 5 【答案】A 【解析】 【分析】利用平移的性质得到，即可得到的长． 【详解】解：∵沿方向平移至处． ∴， 故选：A． 【点睛】本题考查了平移的性质：把一个图形整体沿某一直线方向移动，会得到一个新的图形，新图形与原图形的形状和大小完全相同；新图形中的每一点，都是由原图形中的某一点移动后得到的，这两个点是对应点．连接各组对应点的线段平行（或共线）且相等． 3. 下列各式从左到右的变形，因式分解正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据因式分解的概念可进行排除选项． 【详解】解：A、，属于整式的乘法，故不符合题意； B、，不符合几个整式乘积的形式，不是因式分解；故不符合题意； C、，属于因式分解，故符合题意； D、因为，所以因式分解错误，故不符合题意； 故选C． 【点睛】本题主要考查因式分解，熟练掌握因式分解的概念是解题的关键． 4. 函数的自变量的取值范围在数轴上可表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据二次根式有意义的条件，求出的解集，再在数轴上表示即可． 【详解】解：中，， ， 故在数轴上表示为： 故选：D． 【点睛】本题考查了在数轴上表示不等式的解集，要注意，不等式的解集包括1． 5. “孔子周游列国”是流传很广的故事．有一次他和学生到离他们住的驿站30里的书院参观，学生步行出发1小时后，孔子坐牛车出发，牛车的速度是步行的倍，孔子和学生们同时到达书院，设学生步行的速度为每小时里，则可列方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】设学生步行的速度为每小时里，则孔子做牛车的速度为每小时里，然后根据时间 路程速度列出方程即可． 【详解】解：设学生步行的速度为每小时里，则孔子做牛车的速度为每小时里， 由题意得，， 故选A． 【点睛】本题主要考查了从实际问题中抽象出分式方程，正确理解题意找到等量关系是解题的关键． 6. 如图，在中，，点P为上任意一点，连结，以为邻边作平行四边形，连结，则的最小值为（ ） A. B. C. 8 D. 4 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的性质、等腰直角三角形的性质以及垂线段最短的性质，设与交于点O，作于．首先求出，当P与重合时，的值最小，的最小值，从而求解． 【详解】解：设与交于点O，作于．如图所示： 在中，， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， 当P与重合时，的值最小，则的值最小， ∴的最小值． 故选：A． 二、填空题(本大题共6小题，每小题3分，共18分) 7. 分解因式：=____. 【答案】 【解析】 【分析】先提取公因式后继续应用平方差公式分解即可． 【详解】． 故答案为： 8. 若一个正边形的每一外角都等于，则的值是_______． 【答案】6 【解析】 【分析】本题考查了正多边形的外角和．熟练掌握正多边形的外角和为是解题的关键． 根据，计算求解即可． 【详解】解：由题意知，， 故答案为：6． 9. 如图，正比例函数和一次函数交于点A（a，2），则当时，自变量x的取值范围为______． 【答案】 【解析】 【分析】根据题意可求出a的值．再根据要使，即正比例函数图象在一次函数图象上方，且A为其交点，即可求出答案． 【详解】将A（a，2）代入，得：， 解得：． 要使，即正比例函数图象在一次函数图象上方即可． 根据图象可知当时，正比例函数图象在一次函数图象上方， ∴当时，． 故答案为：． 【点睛】本题考查正比例函数与一次函数的交点问题，解题的关键是学会利用图象法解决问题． 10. 如图，中，D、F分别是AC、BC的中点，E在DF上，且，若，，则______． 【答案】1 【解析】 【分析】根据三角形中位线定理求出DF，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半求出EF，计算即可． 【详解】解：∵D、F分别为AB、AC的中点， ∴DF＝AB＝4， ∵，F为BC的中点， ∴EF＝BC＝3， ∴DE＝DF﹣EF＝1， 故答案为：1． 【点睛】本题考查的是三角形中位线定理、直角三角形斜边上的中线，掌握三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半是解题的关键． 11. 已知关于x的分式方程的解为正数，则m的取值范围是____________． 【答案】且 【解析】 【分析】本题考查根据分式方程的解的情况，求参数的取值范围，先求出方程的解，根据解的情况结合分式有意义，列出不等式进行求解即可． 【详解】解：解，得：， ∵方程的解为正数，且， ∴且， ∴且． 12. 在ABCD中，AB＜BC，已知∠B=30°，AB=2，将△ABC沿AC翻折至△AB′C，使点B′落在ABCD所在的平面内，连接B′D．若△AB′D是直角三角形，则BC的长为_____． 【答案】4或6． 【解析】 【详解】试题分析：本题主要考查了翻折变换的性质，解题的关键是画出图形，发现存在两种情况，进行分类讨论．在ABCD中，AB＜BC，要使△AB′D是直角三角形，有两种情况：∠B′AD=90°或∠AB′D=90°，画出图形，分类讨论：（1）当∠B′AD=90°AB＜BC时，如图1，延长B′A交BC于点G，利用平行四边形和直角三角形的性质，可求出BC的长为6；（2）当∠AB′D=90°时，如图2，由平行四边形的性质可求出四边形ACDB′是等腰梯形，然后根据∠AB′D=90°，得出四边形ACDB′是矩形，再通过解直角三角形，得出BC的长为4． 解：当∠B′AD=90°AB＜BC时，如图1， ∵AD=BC，BC=B′C， ∴AD=B′C， ∵AC∥B′D，∠B′AD=90°， ∴∠B′GC=90°， ∵∠B=30°，AB=2， ∴∠AB′C=30°， ∴GC=B′C=BC， ∴G是BC的中点， 在RT△ABG中，BG=AB=×2=3， ∴BC=6； 当∠AB′D=90°时，如图2， ∵AD=BC，BC=B′C， ∴AD=B′C， ∵AC∥B′D， ∴四边形ACDB′是等腰梯形， ∵∠AB′D=90°， ∴四边形ACDB′是矩形， ∴∠BAC=90°， ∵∠B=30°，AB=2， ∴BC=AB÷=2×=4， ∴当BC的长为4或6时，△AB′D是直角三角形． 故答案为4或6． 考点：1．翻折变换（折叠问题）；2．平行四边形的性质；3．等腰梯形、矩形和直角三角形． 三、解答题(大题共5小题，每小题6分，共30分) 13. 计算： （1）分解因式：a2b﹣4ab2+4b3； （2）解方程：． 【答案】（1）；（2） 【解析】 【分析】（1）先提取公因式 再利用完全平方公式分解因式即可； （2）去分母，可得再解整式方程并检验即可得到答案． 【详解】解：（1） （2） 两边都乘以：得： 解得： 经检验：把代入得： 所以：是原方程的解 【点睛】本题考查的是因式分解，解分式方程，掌握以上知识是解题的关键． 14. 如图，已知，，四边形是平行四边形，请仅用无刻度的直尺按要求作图： （1）在图1中作的高； （2）在图2中边上做一点M，使． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 【解析】 【分析】（1）连接交于H，由平行四边形的性质可知点H是的中点，连接，由等腰三角形的性质可知是的高线； （2）根据三角形的三条中线交于一点可作出的中线，连接，可知是的中位线，根据三角形中位线的性质可得． 【小问1详解】 解：的高如图1所示： 【小问2详解】 解：点M如图2所示： 【点睛】本题考查了平行四边形的性质，等腰三角形的性质，三角形的中线和高线，三角形中位线的性质，灵活运用各性质是解题的关键． 15. 先化简，再求值：，然后从，0，1，3中选一个合适的数作为x的值代入求值． 【答案】；，原式= 【解析】 【分析】利用分式的运算法则将原式进行化简，然后根据分式有意义的条件确定x的值，再将其代入化简结果计算即可． 【详解】解：原式 ∵，， ∴，，， ∴， ∴原式． 【点睛】本题考查了分式的化简求值，熟练掌握运算法则是解题的关键． 16. 如图，在中，平分于点E，点F在上，．求证：． 【答案】见解析 【解析】 【分析】本题考查全等三角形的判定与性质、角平分线的性质，根据角平分线的性质和全等三角形的判定方法可以证明和全等，从而可以证明结论成立． 【详解】证明：∵平分，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴． 17. 已知满足不等式的最小整数是关于x的方程的解，求a的值． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查一元一次不等式的整数解、一元一次方程的解，解题的关键是明确一元一次不等式的解法和一元一次方程的解法． 解不等式求得它的解集，从而可以求得它的最小整数解，然后代入方程，从而可以得到a的值． 【详解】解：由不等式可得：， ∴不等式的最小整数是， 根据题意得， 解得， 四、解答题(本大题共3小题，每小题8分，共24分) 18. 已知E，F分别是的边，的中点． （1）求证：四边形是平行四边形． （2）若，，求的周长． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】本题考查平行四边形的判定与性质，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，平行四边形的周长等知识点，掌握相关定理是解题的关键． （1）利用平行四边形的性质得到，，结合利用点、分别是、的中点得到，从而得证； （2）利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得到，从而利用平行四边形周长公式计算即可． 【小问1详解】 证明：四边形是平行四边形， ，． 点、分别是平行四边形的边、的中点， ，， ， 又，即， 四边形是平行四边形； 【小问2详解】 ，，是的中点． ， 平行四边形的周长． 19. 已知关于、的方程组. （1）求方程组的解（用含的代数式表示）； （2）若方程组的解满足为非正数，为负数，求的取值范围： （3）在（2）的条件下，当为何整数时，不等式的解集为? 【答案】（1）；（2）-2＜m≤2；（3）当m为整数-1或0时，不等式（m-1）x＜m-1的解集为x＞1． 【解析】 【分析】（1）利用加减法解关于x、y的方程组； （2）利用方程组的解得到，然后解关于m的不等式组； （3）利用不等式性质得到m-1＜0，即m＜1，加上（2）的结论得到-2＜m＜1，然后写出此范围内的整数即可． 【详解】解：（1） 由①+②，得2x=4m-8，解得x=2m-4， 由①-②，得2y=-2m-4，解得y=-m-2， 所以原方程组的解是； （2）∵x为非正数，y为负数， ∴x≤0，y＜0， 即， 解这个不等式组得-2＜m≤2； （3）∵不等式（m-1）x＜m-1的解集为x＞1， ∴m-1＜0，即m＜1， ∵-2＜m≤2， ∴-2＜m＜1， ∴整数m为-1，0， 即当m为整数-1或0时，不等式（m-1）x＜m-1的解集为x＞1． 【点睛】本题考查了解一元一次不等式组：解一元一次不等式组时，一般先求出其中各不等式的解集，再求出这些解集的公共部分，利用数轴可以直观地表示不等式组的解集．解集的规律：同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到． 20. 如图，三角形是由三角形经过某种平移得到的，点A与点，点B与点，点C与点分别对应，且这六个点都在格点上，观察各点以及各点坐标之间的关系，解答下列问题： （1）分别写出点B和点的坐标，并说明三角形是由三角形经过怎样的平移得到的? （2）连接，直接写出与之间的数量关系； （3）若点是三角形ABC内一点，它随三角形按（1）中方式平移后得到的对应点为点，求a和b的值． 【答案】（1）B ， ，平移方式：先向左平移3个单位长度，再向下平移3个单位长度； （2） （3）的值是3，的值是4 【解析】 【分析】本题主要考查了坐标与图形，根据平移前后点的坐标判断平移方式，平移的性质，解题的关键在于能够熟练掌握点坐标平移的规律． （1）根据点在坐标轴的位置得到点B的坐标为，点的坐标为， 由此即可得到平移方式； （2）由平移的性质可得，则，再根据轴，得到，则； （3）根据平移方式可以得到，，由此求解即可． 【小问1详解】 解：由题图知，点B的坐标为，点的坐标为，， ∴三角形是由三角形先向左平移3个单位长度，再向下平移3个单位长度得到的． 【小问2详解】 与之间的数量关系为， 解：由平移性质可得， ∴， ∵点B的坐标为，点的坐标为， ∴轴， ∴， ∴， ∴与之间的数量关系为； 【小问3详解】 解：由平移方式可得是点先向左平移3个单位长度，再向下平移3个单位长度得到的， ∴，，， ∴，， ∴的值是3，的值是4． 五、解答题(本大题共2小题，每小题9分，共18分) 21. 端午节是中国传统节日，人们有吃粽子的习俗．今年端午节来临之际，某商场预测A粽子能够畅销．根据预测，每千克A粽子节前的进价比节后多2元，节前用240元购进A粽子的数量比节后用相同金额购进的数量少4千克．根据以上信息，解答下列问题： （1）该商场节后每千克A粽子进价是多少元？ （2）如果该商场在节前和节后共购进A粽子400千克，且总费用不超过4600元，并按照节前每千克20元，节后每千克16元全部售出，那么该商场节前购进多少千克A粽子获得利润最大？最大利润是多少？ 【答案】（1）节后每千克A粽子的进价为10元 （2）节前购进300千克A粽子获得利润最大，最大利润为3000元 【解析】 【分析】（1）设节后每千克A粽子的进价为x元，则每千克A粽子节前的进价为元，根据节前用240元购进A粽子的数量比节后用相同金额购进的数量少4千克，列出方程，解方程即可； （2）设该商场节前购进m千克A粽子，则节后购进千克A粽子，获得的利润为w元，根据利润售价进价列出关系式，根据总费用不超过4600元，求出m的范围，根据一次函数函数增减性，求出最大利润即可． 【小问1详解】 解：设节后每千克A粽子的进价为x元，则每千克A粽子节前的进价为元，根据题意得： ， 解得：，， 经检验，都是原方程的解，但不符合实际舍去， 答：节后每千克A粽子的进价为10元． 【小问2详解】 解：设该商场节前购进m千克A粽子，则节后购进千克A粽子，获得的利润为w元，根据题意得： ， ∵， ∴， ∵， ∴w随m的增大而增大， ∴当时，w取最大值，且最大值为：， 答：节前购进300千克A粽子获得利润最大，最大利润为3000元． 【点睛】本题主要考查了分式方程和一次函数的应用，解题的关键是根据等量关系列出方程和关系式． 22. 【阅读材料】形如的式子叫做完全平方式，有些多项式虽然不是完全平方式，但可以通过配凑等手段，得到局部完全平方式，再进行有关运算和解题，这种解题方法叫做配方法，配方法在因式分解、代数最值等问题中都有着广泛的应用 （1）用配方法因式分解：． 解：原式 （2）用配方法求代数式的最小值， 解：原式 ∵， ∴， ∴的最小值为． 【解决问题】（1）若代数式是完全平方式，则常数k的值为__________， （2）因式分解：； 【拓展应用】（3）用配方法求代数式的最小值． 【答案】（1）25；（2）；（3）4 【解析】 【分析】本题考查了完全平方公式、利用配方法因式分解，熟练掌握配方法是解题关键． （1）利用完全平方公式即可得； （2）利用配方法把配凑成，由此即可得； （3）将配凑成，利用完全平方公式求解即可得； 【详解】解：（1）∵代数式是完全平方式， ， ， ， （2） ， （3） ， ， ， 的最小值为4； 六、解答题(本大题共12分) 23. 【课本再现】（1）如图1，在中，，分别是边，的中点，在证明“三角形两边中点的连线与第三边的关系”时，小明通过延长到点，使，连接，得到四边形，先判断四边形的形状，并证明． 【类比迁移】（2）在四边形中，为的中点，点、分别在、上，连接、、，且． ①如图2，若四边形是正方形，、、之间的数量关系为 　　； ②如图3，若四边形是平行四边形，①中的结论是否成立，请说明理由． 【方法运用】（3）如图4，在四边形中，，，为的中点，、分别为、边上的点，若，，，求的长． 【答案】（1）四边形是平行四边形，证明见解析；（2）①；②仍然成立，理由见解析；（3） 【解析】 【分析】（1）先证明，得到，则，再证明，即可证明四边形是平行四边形； （2）①如图2，延长，交于点，证明，得到，，再证明垂直平分，得到，即可证明；②如图3，延长、交于点，证明，得到，，再证明垂直平分，得到，即可证明； （3）如图4，延长至点，使得，连接，，过点作，交的延长线于点，证明，得到，，求出，则，继而证明为等腰直角三角形，得到，则，利用勾股定理求出，同理可得． 【详解】 是平行四边形，理由如下： 证明：，分别是边，的中点， 是的中位线，， ，， ， ∴， ， 是的中点， ， ， 又， 四边形是平行四边形； （2）①，理由如下： 解：如图2，延长，交于点， 为中点， ， 四边形是正方形， ， 在和中， ， ， ，， ， 垂直平分， ，即； 故答案为：； ②①中结论仍然成立，理由如下： 解：如图3延长、交于点， 为中点， ， 四边形平行四边形， ， ， 和中， ， ， ，， ， 垂直平分， ，即； （3）证明：如图4，延长至点，使得，连接，，过点作，交的延长线于点， 为中点， ， 在和中 ， ， ，， ， ， ， 为等腰直角三角形， ， ， ， ，， 垂直平分， ， ． 【点睛】本题主要考查了正方形的性质，平行四边形的性质与判定，全等三角形的性质与判定，勾股定理，等腰直角三角形的性质与判定，旋转的性质等等，熟知全等三角形的“倍长中线”模型是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 江西省景德镇市乐平市2023-2024学年度下学期期末考试 八年级数学 一、单项选择题(本大题共6小题，每小题3分，共18分) 1. 下列垃圾分类标识的图案既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 如图，将沿向右平移得到，若，，则的长是（ ） A. 2 B. C. 3 D. 5 3. 下列各式从左到右的变形，因式分解正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 函数的自变量的取值范围在数轴上可表示为（ ） A. B. C. D. 5. “孔子周游列国”是流传很广的故事．有一次他和学生到离他们住的驿站30里的书院参观，学生步行出发1小时后，孔子坐牛车出发，牛车的速度是步行的倍，孔子和学生们同时到达书院，设学生步行的速度为每小时里，则可列方程为（ ） A. B. C. D. 6. 如图，在中，，点P为上任意一点，连结，以为邻边作平行四边形，连结，则的最小值为（ ） A. B. C. 8 D. 4 二、填空题(本大题共6小题，每小题3分，共18分) 7. 分解因式：=____. 8. 若一个正边形每一外角都等于，则的值是_______． 9. 如图，正比例函数和一次函数交于点A（a，2），则当时，自变量x的取值范围为______． 10. 如图，中，D、F分别是AC、BC的中点，E在DF上，且，若，，则______． 11. 已知关于x的分式方程的解为正数，则m的取值范围是____________． 12. 在ABCD中，AB＜BC，已知∠B=30°，AB=2，将△ABC沿AC翻折至△AB′C，使点B′落在ABCD所在平面内，连接B′D．若△AB′D是直角三角形，则BC的长为_____． 三、解答题(大题共5小题，每小题6分，共30分) 13. 计算： （1）分解因式：a2b﹣4ab2+4b3； （2）解方程：． 14. 如图，已知，，四边形是平行四边形，请仅用无刻度的直尺按要求作图： （1）在图1中作的高； （2）在图2中边上做一点M，使． 15. 先化简，再求值：，然后从，0，1，3中选一个合适的数作为x的值代入求值． 16. 如图，在中，平分于点E，点F在上，．求证：． 17. 已知满足不等式的最小整数是关于x的方程的解，求a的值． 四、解答题(本大题共3小题，每小题8分，共24分) 18. 已知E，F分别是的边，的中点． （1）求证：四边形是平行四边形． （2）若，，求的周长． 19. 已知关于、的方程组. （1）求方程组的解（用含的代数式表示）； （2）若方程组的解满足为非正数，为负数，求的取值范围： （3）在（2）的条件下，当为何整数时，不等式的解集为? 20. 如图，三角形是由三角形经过某种平移得到的，点A与点，点B与点，点C与点分别对应，且这六个点都在格点上，观察各点以及各点坐标之间的关系，解答下列问题： （1）分别写出点B和点的坐标，并说明三角形是由三角形经过怎样的平移得到的? （2）连接，直接写出与之间的数量关系； （3）若点是三角形ABC内一点，它随三角形按（1）中方式平移后得到的对应点为点，求a和b的值． 五、解答题(本大题共2小题，每小题9分，共18分) 21. 端午节是中国传统节日，人们有吃粽子的习俗．今年端午节来临之际，某商场预测A粽子能够畅销．根据预测，每千克A粽子节前的进价比节后多2元，节前用240元购进A粽子的数量比节后用相同金额购进的数量少4千克．根据以上信息，解答下列问题： （1）该商场节后每千克A粽子进价是多少元？ （2）如果该商场在节前和节后共购进A粽子400千克，且总费用不超过4600元，并按照节前每千克20元，节后每千克16元全部售出，那么该商场节前购进多少千克A粽子获得利润最大？最大利润是多少？ 22. 【阅读材料】形如式子叫做完全平方式，有些多项式虽然不是完全平方式，但可以通过配凑等手段，得到局部完全平方式，再进行有关运算和解题，这种解题方法叫做配方法，配方法在因式分解、代数最值等问题中都有着广泛的应用 （1）用配方法因式分解：． 解：原式 （2）用配方法求代数式的最小值， 解：原式 ∵， ∴， ∴最小值为． 【解决问题】（1）若代数式是完全平方式，则常数k的值为__________， （2）因式分解：； 【拓展应用】（3）用配方法求代数式的最小值． 六、解答题(本大题共12分) 23. 【课本再现】（1）如图1，在中，，分别是边，的中点，在证明“三角形两边中点的连线与第三边的关系”时，小明通过延长到点，使，连接，得到四边形，先判断四边形的形状，并证明． 【类比迁移】（2）在四边形中，为的中点，点、分别在、上，连接、、，且． ①如图2，若四边形是正方形，、、之间的数量关系为 　　； ②如图3，若四边形是平行四边形，①中的结论是否成立，请说明理由． 【方法运用】（3）如图4，在四边形中，，，为的中点，、分别为、边上的点，若，，，求的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$