精品解析：江苏省南京市建邺区2023-2024学年八年级下学期期末数学试题

初二数学期末调研测试试卷 时间：100分钟总分：100分 注意事项：本试卷共6页．考生答题全部答在答题卡上，答在本试卷上无效． 一、选择题（本大题共6小题，每小题2分，共12分．在每小题所给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项前的字母代号填涂在答题卡相应位置上） 1. 下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列事件中，属于必然事件的是（ ） A. 抛一枚硬币正面向上 B. 打开电视机正在播放广告 C. 在一个没有红球的盒子里，摸到红球 D. 任意画一个三角形，其内角和为 3. 如果把分式中的x和y都扩大为原来的2倍，那么分式的值（ ） A. 扩大为原来的4倍 B. 缩小为原来的 C. 扩大为原来的2倍 D. 不变 4. 与最接近的整数是（ ） A. 5 B. 4 C. 3 D. 2 5. 小明在学习“特殊平行四边形”一单元后，梳理了如图所示的特殊平行四边形之间的关系．以下选项分别表示A，B，C，D处填写的内容，则对应位置填写错误的选项是（ ） A. 对角线夹角为 B. 对角线垂直 C. 对角线与一边夹角 D. 对角线相等 6. 如图，点为反比例函数图象上从左到右的三个点，分别过这三个点作x轴，y轴的垂线，与y轴的交点分别为点，图中所构成的阴影部分的面积从左到右依次记为，，，其中，若，则（ ） A. 4 B. 5 C. 6 D. 7 二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分．请把答案填写在答题卡相应位置上） 7. 二次根式在实数范围内有意义，则的取值范围是_____． 8. 一次数学测试后，某班40名学生按成绩分成4组，第组的频数分别为12、10、6、则第4组的频率为 ___________． 9. 当______时，分式的值为0． 10. 在中，若，则________． 11. 已知反比例函数的图像经过点，则这个函数的图像位于第________象限． 12. 已知关于x的方程有增根，则m的值是________． 13. 一次函数y＝kx＋b与反比例函数y＝中，若x与y的部分对应值如下表： x … －3 －2 －1 1 2 3 … y＝k x＋b … 5 4 3 1 0 －1 … y＝ … 1 3 －3 － －1 … 则不等式≤k x＋b解集是_______． 14. 如图，在中，点D、E分别是边、的中点，连接，的平分线交于点F，若，，则的长为_____． 15. 如图，正方形对角线、相交于点，是上的一点，连接，过点作，交于点，若四边形的面积是，则的长为______． 16. 如图，在中，，，．将绕点按逆时针方向旋转后得，直线、相交于点．取的中点，连接，则长的最大值为__________． 三、解答题（本大题共10小题，共68分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17 计算： （1）； （2）． 18. 解方程 19. 先化简，再求值：，其中． 20. 如图，是由边长为1的小正方形构成的的网格图，请仅用无刻度的直尺，在给定的网格中，分别按下列要求画图． （1）在图①中画一个平行四边形，要求一条边长为且面积为12； （2）在图②中画一个矩形，要求一条边长为且面积为10． 21. 在读书月活动中，学校准备购买一批课外读物，为使课外读物满足同学们的需求，学校就“我最喜爱的课外读物”从文学、艺术、科普和其他四个类别进行了抽样调查（每位同学只选一类），如图是根据调查结果绘制的两幅不完整的统计图． 请你根据统计图提供的信息，解答下列问题： （1）本次调查中，一共调查了_____名同学； （2）条形统计图中，m＝_____，n＝_______； （3）扇形统计图中，艺术类读物所在扇形的圆心角是______度； （4）学校计划购买课外读物5000册，请根据样本数据，估计学校购买其他类读物多少册比较合理？ 22. 如图，在中，平分，交于点，平分，交于点． （1）求证：； （2）若，求证：四边形矩形． 23. 某车间加工1500个零件后，由于技术革新，工作效率提高到原来的倍，当再加工同样多的零件时，用时比以前少．该车间技术革新前每小时加工多少个零件？ 24. 《见微知著》谈到：从一个简单的经典问题出发，从特殊到一般，由简单到复杂；从部分到整体，由低维到高维．知识与方法上的类比是探索发展的重要途径，是思想阀门发现新问题、新结论的重要方法．在处理分数和分式的问题时，有时我们可以将分数（分式）拆分成一个整数（整式）与一个真分数（分式）的和（差）的形式．继而解决问题，我们称这种方法为分离常数法． 示例：将分式分离常数，则． （1）示例中，________； （2）参考示例方法，将分式分离常数； （3）借鉴研究反比例函数的经验，可以对函数的图像和性质进行探索，下列结论正确的是________（填写所有正确的序号）； ①图像与坐标轴没有交点； ②在第一象限内，y随着x的增大而减小； ③图像关于中心对称； ④图像关于直线成轴对称； （4）如果某个点的横、纵坐标均为整数，那么称这个点为“整数点”．直接写出函数图像上所有“整数点”的坐标． 25. （1）【感知】如图①，将沿过点D的直线折叠，使点A的对应点落在边上的点F处，得到折痕，连接．若，则四边形的周长为________； （2）【探究】如图②，点E、G分别是的边上的点，将四边形沿折叠，点A、D的对应点分别为、，点恰好落在边上． ①求证：四边形为菱形； ②若，，，，则的长为________． 26. 【项目式学习】探索凸透镜成像的奥秘 【项目背景】某学校科学小组的同学们尝试用数学的知识和方法来研究凸透镜成像规律． 【项目素材】 素材一：透镜成像中，光路图的规律：通过透镜中心的光线不发生改变；平行于主光轴的光线经过折射后光线经过焦点． 素材二：设物距为u、像距为v和焦距为f，小明在研究的过程中发现了物距u、像距v和焦距f之间在成实像时存在着关系：． 图① 图② 图③ 【项目任务】根据项目素材解决问题： （1）小明先取物距，然后画出光路图（如图①），其中为物体，O为凸透镜的光心，入射光线光轴，折射光线经过焦点，为所成的像．根据光路图①可知，当时，物体经凸透镜折射后成________（填“放大”或“缩小”或“等大”）的倒立实像； （2）小明又取物距． ①当时，________（用含有f代数式表示）； ②当时，物体经凸透镜折射后成________（填“放大”或“缩小”或“等大”）的倒立实像，请仿照图①的方法，在图②中画光路图，并用三角形全等的知识解释； （3）实际生活中，一个固定的凸透镜焦距f为定值．当时，请解答下列问题： ①请直接写出y与u之间的函数表达式，并在图③中画出函数v的图像； ②试说明：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 初二数学期末调研测试试卷 时间：100分钟总分：100分 注意事项：本试卷共6页．考生答题全部答在答题卡上，答在本试卷上无效． 一、选择题（本大题共6小题，每小题2分，共12分．在每小题所给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项前的字母代号填涂在答题卡相应位置上） 1. 下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查轴对称及中心对称图形的识别，熟练掌握概念是解题的关键．根据轴对称图形：“如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合”，及中心对称图形：“在平面内，把一个图形绕着某个点旋转，如果旋转后的图形能与原来的图形重合”，进而问题可求解． 【详解】解：A、是轴对称图形，但不是中心对称图形，故不符合题意； B、是轴对称图形，也是中心对称图形，故符合题意； C、是中心对称图形，但不是轴对称图形，故不符合题意； D、是轴对称图形，不是中心对称图形，故不符合题意； 故选：B． 2. 下列事件中，属于必然事件的是（ ） A. 抛一枚硬币正面向上 B. 打开电视机正在播放广告 C. 在一个没有红球的盒子里，摸到红球 D. 任意画一个三角形，其内角和为 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了随机事件和必然事件，解题的关键是掌握一定会发生的是必然事件，有可能发生，也有可能不发生的是随机事件，据此逐个判断即可． 【详解】解：A、抛一枚硬币，正面朝上是随机事件，不符合题意； B、打开电视，正在播放广告是随机事件，不符合题意； C、在一个没有红球的盒子里，摸到红球是不可能事件，不符合题意； D、任意一个三角形，其内角和为是必然事件，符合题意； 故选：D． 3. 如果把分式中的x和y都扩大为原来的2倍，那么分式的值（ ） A. 扩大为原来的4倍 B. 缩小为原来的 C. 扩大为原来的2倍 D. 不变 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了分式的基本性质，解题的关键是根据，的变化找出分子分母的变化．解决该题型题目时，根据分式的基本性质找出分式的变化是关键．根据，都扩大为原来的2倍，即可得出分子扩大为原来的4倍，分母扩大为原来的2倍，由此即可得出结论． 【详解】解：∵，都扩大为原来的2倍， ∴分子扩大为原来的4倍，分母扩大为原来的2倍， ∴分式的值扩大为原来的2倍． 故选：C． 4. 与最接近的整数是（ ） A. 5 B. 4 C. 3 D. 2 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了无理数的估算能力，关键是能准确理解并运用算术平方根知识进行求解． 【详解】解： ， ， 即与最接近的整数是3， 故选：C． 5. 小明在学习“特殊平行四边形”一单元后，梳理了如图所示的特殊平行四边形之间的关系．以下选项分别表示A，B，C，D处填写的内容，则对应位置填写错误的选项是（ ） A. 对角线夹角为 B. 对角线垂直 C. 对角线与一边夹角 D. 对角线相等 【答案】A 【解析】 【分析】此题考查了矩形，菱形和正方形的判定，根据矩形，菱形和正方形的判定定理求解即可． 【详解】A．对角线夹角为的平行四边形不一定是矩形，故A错误； B．对角线垂直的平行四边形是菱形，故B正确； C．对角线与一边夹角的矩形是正方形，故C正确； D．对角线相等的菱形是正方形，故D正确． 故选：A． 6. 如图，点为反比例函数图象上从左到右的三个点，分别过这三个点作x轴，y轴的垂线，与y轴的交点分别为点，图中所构成的阴影部分的面积从左到右依次记为，，，其中，若，则（ ） A. 4 B. 5 C. 6 D. 7 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查反比例函数系数的几何意义，矩形的性质等知识，解题的关键是学会利用参数解决问题． 由，得，，，所以，，根据，解得，即得，进而即可求得． 【详解】解：如图所示， ，， ，， ， ， 平分矩形， ，， ， ， ， ， ． 故选：B． 二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分．请把答案填写在答题卡相应位置上） 7. 二次根式在实数范围内有意义，则的取值范围是_____． 【答案】 【解析】 【分析】根据二次根式有意义的条件被开方数必须是非负数列出不等式，解不等式得到答案． 【详解】解：由题意得，3-x≥0， 解得，x≤3， 故答案为：x≤3． 【点睛】本题考查的是二次根式有意义的条件，掌握二次根式中的被开方数必须是非负数是解题的关键． 8. 一次数学测试后，某班40名学生按成绩分成4组，第组的频数分别为12、10、6、则第4组的频率为 ___________． 【答案】 【解析】 【分析】先求出第4组的频数，再根据频率频数总数进行求解即可． 【详解】解：由题意知，第4组的频数为， ∴第4组的频率为， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了求频率，正确求出第4组频数是解题的关键． 9. 当______时，分式的值为0． 【答案】2 【解析】 【分析】此题主要考查了分式的值为零的条件，直接利用分式的值为零则分子为零求出答案即可， 正确把握定义解题关键． 【详解】解：分式的值为0， ， 解得：． 故答案为：2． 10. 在中，若，则________． 【答案】##110度 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的性质，根据平行四边形的性质，得出对边平行，得出，再结合，即可作答． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． 11. 已知反比例函数的图像经过点，则这个函数的图像位于第________象限． 【答案】一、三##三、一 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数图象．熟练掌握反比例函数图象是解题的关键． 根据在第一或第三象限，求解作答即可． 【详解】解：由题意知，在第一或第三象限， ∴反比例函数的图像位于第一、三象限， 故答案为：一、三． 12. 已知关于x的方程有增根，则m的值是________． 【答案】 【解析】 【分析】此题考查了已知分式方程根的情况求参数，将分式方程去分母得整式方程，根据分式方程有增根，代入整式方程求出m的值即可，熟练掌握分式方程的增根的确定方法是解题的关键． 【详解】解：去分母得，， ∵分式方程有增根， ∴， ∴， 解得 故答案为：． 13. 一次函数y＝kx＋b与反比例函数y＝中，若x与y的部分对应值如下表： x … －3 －2 －1 1 2 3 … y＝k x＋b … 5 4 3 1 0 －1 … y＝ … 1 3 －3 － －1 … 则不等式≤k x＋b的解集是_______． 【答案】x≤－1或0＜x≤3 【解析】 【分析】先根据x与y的部分对应值求得交点坐标，即可得出关于x的不等式mx≤kx＋b的解集． 【详解】解：由表可知，一个交点坐标为（−1，3），另一个交点为（3，−1），且当x≤－1时，≤k x＋b，当0＜x≤3时，≤k x＋b， 故关于x的不等式≤k x＋b的解集是x≤-1或0＜x≤3． 故答案为：x≤－1或0＜x≤3． 【点睛】本题主要考查了反比例函数与一次函数的交点问题，由表格中的数据得出反比例函数与一次函数的两个交点坐标，是解题的关键． 14. 如图，在中，点D、E分别是边、的中点，连接，的平分线交于点F，若，，则的长为_____． 【答案】1 【解析】 【分析】本题考查了中位线的性质定理，等腰三角形的判定，平行线的性质和角平分线的定义，根据图形得到是解题的关键．由于，可先证得是的中位线，求得的长度，再利用平行线的性质和角平分线的定义证得，即可求解． 【详解】解：∵点、分别为边、的中点，， ∴，， ∴是的中位线， ∵， ∴，， ∴， ∵的平分线交线段于点， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：1 15. 如图，正方形的对角线、相交于点，是上的一点，连接，过点作，交于点，若四边形的面积是，则的长为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查正方形的性质和全等三角形的性质，熟悉性质是解题关键．先过作，，然后利用正方形的性质得出≌，从而得到四边形的面积与四边形的面积相等，等于正方形面积的，即可得到大正方形的面积，从而求出的长． 【详解】解：过作，，如图： 四边形是正方形， 平分， ，， ， ， ， ， ， 四边形的面积是， 正方形的面积为， ， 故答案为：． 16. 如图，在中，，，．将绕点按逆时针方向旋转后得，直线、相交于点．取的中点，连接，则长的最大值为__________． 【答案】 【解析】 【分析】设，可得，根据四边形内角和可得，取中点H，连接，则，继而可得，即可得到答案． 【详解】解：取的中点H，连接，如图： ∵是由绕C点旋转得到， ∴， 设，则， 在四边形中， 在中，，， ∴， 中，， ∵是中位线， ∴， 而， ∴当F、H、G在一条直线上时，最大，最大值为， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查旋转的性质、直角三角形的性质及勾股定理、中位线定理，构建以为边的三角形，根据三角形三边关系得出的长度范围是解题的关键． 三、解答题（本大题共10小题，共68分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 计算： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查二次根式的混合运算． （1）根据二次根式的乘除混合运算法则计算即可； （2）先将二次根式化为最简二次根式，再根据二次根式的加减混合运算计算即可． 【小问1详解】 解：； 【小问2详解】 解： ． 18. 解方程 【答案】x=-1． 【解析】 【分析】首先去掉分母，观察可得最简公分母是（x﹣2），方程两边乘最简公分母，可以把分式方程转化为整式方程求解，然后解一元一次方程，最后检验即可求解． 【详解】解：方程两边同乘x-2，得2x=x-2+1 解这个方程，得x= -1 检验：x= -1时，x-2≠0 ∴原方程的解是x= -1 19. 先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【解析】 【分析】首先进行分式的化简，再把x的值代入化简后的式子，即可求得其值． 【详解】解： 当时，原式． 【点睛】本题考查了分式的化简求值及分母有理化，熟练掌握和运用分式的化简是解决本题的关键． 20. 如图，是由边长为1的小正方形构成的的网格图，请仅用无刻度的直尺，在给定的网格中，分别按下列要求画图． （1）在图①中画一个平行四边形，要求一条边长为且面积为12； （2）在图②中画一个矩形，要求一条边长为且面积为10． 【答案】（1）见详解 （2）见详解 【解析】 【分析】本题考查了矩形的性质以及平行四边形的性质，网格与勾股定理，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）根据勾股定理，画出一条边长为，，再结合平行四边形面积等于长乘高，即长乘高为12，故另一边的长为4，即可作答． （2）根据勾股定理，画出一条边长为，，再结合矩形的面积等于长乘宽，即长乘宽为10，故另一边的长为，，即可作答． 【小问1详解】 解：如图所示： 【小问2详解】 解：如图所示： 21. 在读书月活动中，学校准备购买一批课外读物，为使课外读物满足同学们的需求，学校就“我最喜爱的课外读物”从文学、艺术、科普和其他四个类别进行了抽样调查（每位同学只选一类），如图是根据调查结果绘制的两幅不完整的统计图． 请你根据统计图提供的信息，解答下列问题： （1）本次调查中，一共调查了_____名同学； （2）条形统计图中，m＝_____，n＝_______； （3）扇形统计图中，艺术类读物所在扇形的圆心角是______度； （4）学校计划购买课外读物5000册，请根据样本数据，估计学校购买其他类读物多少册比较合理？ 【答案】（1）200；（2）40，60；（3）72；（4）学校购买其他类读物750册比较合理． 【解析】 【分析】（1）用文学的人数÷文学的百分比可得调查人数； （2）科普的百分比×抽样人数得科普人数，再用抽样人数减文学、科普和其他人数得艺术人数； （3）先求出艺术的百分比，再根据比例求得圆心角； （4）用5000乘其他读物的比例求得. 【详解】解：（1）根据条形图得出文学类人数为：70，利用扇形图得出文学类所占百分比为：35%， 故本次调查中，一共调查了：70÷35%＝200人， 故答案为：200； （2）根据科普类所占百分比为：30%， 则科普类人数为：n＝200×30%＝60人， m＝200﹣70﹣30﹣60＝40人， 故m＝40，n＝60； 故答案为：40，60； （3）艺术类读物所在扇形的圆心角是：×360°＝72°， 故答案为：72； （4）由题意，得5000×＝750（册）． 答：学校购买其他类读物750册比较合理． 【点睛】本题考查条形统计图与扇形统计图的综合应用，样本估计总体，能够从不同的统计图中得到有用信息是解题的关键. 22. 如图，在中，平分，交于点，平分，交于点． （1）求证：； （2）若，求证：四边形是矩形． 【答案】（1）见详解 （2）四边形是矩形 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的判定与性质，矩形的判定，等腰三角形的性质，角平分线的定义等知识，熟练掌握平行四边形的判定与性质是解题的关键． （1）由平行四边形的性质得出，由角平分线的定义得出，则，可证出结论； （2）由等腰三角形的性质得出，则可得出结论． 【小问1详解】 证明：四边形是平行四边形， ，， ， 平分，平分， ，， ， ∴， 又， 四边形是平行四边形． ． 【小问2详解】 证明：，平分， ， 又四边形是平行四边形， 四边形是矩形． 23. 某车间加工1500个零件后，由于技术革新，工作效率提高到原来的倍，当再加工同样多的零件时，用时比以前少．该车间技术革新前每小时加工多少个零件？ 【答案】该车间技术革新前每小时加工50个零件 【解析】 【分析】设该车间技术革新前每小时加工x个零件，则技术革新后每小时加工个零件，根据题意，找出等量关系累出方程求解即可． 【详解】解：设该车间技术革新前每小时加工x个零件，则技术革新后每小时加工个零件， ， 解得：， 经检验，是原分式方程的解； 答：该车间技术革新前每小时加工50个零件． 【点睛】本题主要考查了分式方程是实际应用，解题的关键是正确理解题意，根据题意找出等量关系列出方程求解． 24. 《见微知著》谈到：从一个简单的经典问题出发，从特殊到一般，由简单到复杂；从部分到整体，由低维到高维．知识与方法上的类比是探索发展的重要途径，是思想阀门发现新问题、新结论的重要方法．在处理分数和分式的问题时，有时我们可以将分数（分式）拆分成一个整数（整式）与一个真分数（分式）的和（差）的形式．继而解决问题，我们称这种方法为分离常数法． 示例：将分式分离常数，则． （1）示例中，________； （2）参考示例方法，将分式分离常数； （3）借鉴研究反比例函数的经验，可以对函数的图像和性质进行探索，下列结论正确的是________（填写所有正确的序号）； ①图像与坐标轴没有交点； ②在第一象限内，y随着x的增大而减小； ③图像关于中心对称； ④图像关于直线成轴对称； （4）如果某个点的横、纵坐标均为整数，那么称这个点为“整数点”．直接写出函数图像上所有“整数点”的坐标． 【答案】（1）1 （2） （3）②③④ （4），，， 【解析】 【分析】（1）根据示例计算即可得出答案； （2）根据示例计算即可得出答案； （3）根据函数的图象和性质分别求解即可． 【小问1详解】 解：， 示例中，； 故答案为：1； 【小问2详解】 解：依题意，； 【小问3详解】 解：， ①时，， 图象与轴交于点，故①错误； ②时，，且随的增大而减小， 在第一象限内，随着的增大而减小，故②正确； ③函数关于原点中心对称，而函数是由函数向左平移一个单位，再向上平移2个单位得到， 图象关于中心对称，故③正确； ④函数关于直线对称，而函数是由函数向左平移一个单位，再向上平移2个单位得到， 图象关于直线，即成轴对称，故④正确． 故答案为：②③④； 【小问4详解】 解：， 当或或3或，即或或2或时， 或或3或1， 函数图象上所有“整数点”的坐标为，，，． 【点睛】本题考查反比例函数的性质，一次函数的应用，坐标与图形变化对称，坐标与图形变化旋转，能够理解题意，根据已知条件将式子进行正确的分解，结合题中定义做出合理的推理分析是解题的关键． 25. （1）【感知】如图①，将沿过点D的直线折叠，使点A的对应点落在边上的点F处，得到折痕，连接．若，则四边形的周长为________； （2）【探究】如图②，点E、G分别是的边上的点，将四边形沿折叠，点A、D的对应点分别为、，点恰好落在边上． ①求证：四边形为菱形； ②若，，，，则的长为________． 【答案】（1）；（2）①见解析；② 【解析】 【分析】本题考查四边形综合应用，涉及翻折变换，菱形的判定，勾股定理及应用等知识，解题的关键是掌握翻折的性质 （1）【感知】根据折叠的性质，得，，，而，即得，故，可知四边形的周长为16， （2）【探究】①由折叠的性质，得，，即得，，故，而，从而可证四边形为菱形； ②过作交延长线于，设，则，可知，由，得，有，，在中，，得，进而得解． 【详解】解：（1）【感知】如图 沿过点的直线折叠，使点落在边上的点处， ，，， ， ， ， ， ， 四边形的周长为16， 即四边形的周长为16； （2）【探究】①证明：∵将四边形沿折叠，点A、D的对应点分别为、 ∴， ∵ ∴ ∴ ∴ ∵ ∴四边形为平行四边形 又 ∴四边形为菱形； ②．解：过作交延长线于，如图 四边形是平行四边形， ，，， 设，则， 四边形为菱形， ， ， ， ， ， 在中，， ， 解得， ． 26. 【项目式学习】探索凸透镜成像的奥秘 【项目背景】某学校科学小组的同学们尝试用数学的知识和方法来研究凸透镜成像规律． 【项目素材】 素材一：透镜成像中，光路图的规律：通过透镜中心的光线不发生改变；平行于主光轴的光线经过折射后光线经过焦点． 素材二：设物距为u、像距为v和焦距为f，小明在研究的过程中发现了物距u、像距v和焦距f之间在成实像时存在着关系：． 图① 图② 图③ 【项目任务】根据项目素材解决问题： （1）小明先取物距，然后画出光路图（如图①），其中为物体，O为凸透镜的光心，入射光线光轴，折射光线经过焦点，为所成的像．根据光路图①可知，当时，物体经凸透镜折射后成________（填“放大”或“缩小”或“等大”）的倒立实像； （2）小明又取物距． ①当时，________（用含有f的代数式表示）； ②当时，物体经凸透镜折射后成________（填“放大”或“缩小”或“等大”）的倒立实像，请仿照图①的方法，在图②中画光路图，并用三角形全等的知识解释； （3）实际生活中，一个固定的凸透镜焦距f为定值．当时，请解答下列问题： ①请直接写出y与u之间的函数表达式，并在图③中画出函数v的图像； ②试说明：． 【答案】（1）放大 （2）①；②等大，图见详解 （3）①，图见详解②见详解 【解析】 【分析】本题考查了函数解析式、反比例函数，全等三角形的判定与性质，作图，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）依题意，代入，化简得，再与比较，即可作答． （2）①把代入，得出， ②则结合全等三角形的判定与性质，即，得出，即可作答． （3）①结合当时，且，化简得，描点连线，在图③中画出函数v的图像,即可作答． ②∵，，则，所以，即可作答． 【小问1详解】 解：∵， 把代入 ∴ 得出 ∴ ∴物体经凸透镜折射后成放大的倒立实像， 故答案为：放大； 【小问2详解】 解：①∵小明在研究的过程中发现了物距u、像距v和焦距f之间在成实像时存在着关系：，且 ∴把代入 得 ∴ 故答案为：； ②当时，在图②中画光路图，如图所示： ∴物体经凸透镜折射后成等大的倒立实像，理由如下： 即 ∵ ∴ ∴ 即当时，物体经凸透镜折射后成等大的倒立实像， 【小问3详解】 解：①实际生活中，一个固定的凸透镜焦距f为定值．当时，且 ∴y与u之间的函数表达式 解：依题意，列表： 描点连线，在图③中画出函数v的图像，如图所示： ②∵， ∴ ∴ ∴ 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$