1.2一元二次方程的解法（讲义1）（暑期自学课）2024-2025学年苏科版数学九年级上册

2024-2025学年苏科版数学九年级上册 1.2一元二次方程的解法（讲义1） （暑期自学课） 【知识点一】直接开方法解一元二次方程 对于形如或的一元二次方程，即一元二次方程的一边是含有未知数的一次式的平方，而另一边是一个非负数，可用开平方法求解. 形如的方程的解法： （1）当时，; （2）当时，; （3）当时，方程无实数根。 【典型例题】 【例题1】方程x2＝1的根是（　　） A．1 B．﹣1 C．±1 D．2 【例题2】方程（x+1）2＝4的解是（　　） A．x1＝﹣3，x2＝3 B．x1＝﹣3，x2＝1 C．x1＝﹣1，x2＝1 D．x1＝1，x2＝3 【例题3】一元二次方程的根的情况是　　 A．有两个相等的实数根 B．有两个不相等的实数根 C．只有一个实数根 D．没有实数根 【例题4】用直接开平方的方法解方程（3x+1）2＝（2x﹣5）2，做法正确的是（　　） A．3x+1＝2x﹣5 B．3x+1＝﹣（2x﹣5） C．3x+1＝±（2x﹣5） D．3x+1＝±2x﹣5 【例题5】将一元二次方程（x﹣6）2＝25转化为两个一元一次方程，其中一个一元一次方程是x﹣6＝5，则另一个一元一次方程是（　　） A． x﹣6＝﹣5 B．x﹣6＝5 C．x+6＝﹣5 D．x+6＝5 【例题6】解方程： （1）； （2）； （3）． 【知识点二】配方法解一元二次方程 通过配方的方法把一元二次方程转化为的方程，再运用开平方法求解。 配方法的一般步骤： (1)移项：把一元二次方程中含有未知数的项移到方程的左边，常数项移到方程的右边； (2)“系数化1”：根据等式的性质把二次项的系数化为1； (3)配方：将方程两边分别加上一次项系数一半的平方，把方程变形为的形式； (4)求解：若时，方程的解为，若时，方程无实数解。 【典型例题】 【例题1】用配方法解方程时，原方程应变形为（   ） A． B． C． D． 【例题2】用配方法解方程，变形后的结果正确的是（    ） A． B． C． D． 【例题3】用配方法将变形，结果是（ ） A． B． C． D． 【例题4】用配方法解一元二次方程2x2﹣2x﹣1＝0，下列配方正确的是（　　） A． B． C． D． 【例题5】解下列方程： (1) 2 （2） 2x²-9x+8=0 【例题6】下而是小明解一元二次方程的过程，请认真阅读并完成相应的任务． 解： 二次系数化为1，得第一步 移项得：第二步 配方得：，即第三步 由此可得：第四步 所以，第五步 （1）小明同学解题过程中，从第　　步开始出现错误． （2）请给出正确的解题过程． 【知识点三】公式法解一元二次方程 一元二次方程的根 (1)当时，方程有两个实数根,且这两个实数根不相等； (2)当时，方程有两个实数根,且这两个实数根相等，写为； (3)当时，方程无实数根. 公式法的一般步骤： ①把一元二次方程化为一般式； ②确定的值； ③代入中计算其值，判断方程是否有实数根； ④若代入求根公式求值，否则，原方程无实数根。 【典型例题】 【例题1】下列方程中，没有实数根的是（　　） A．x2﹣2x﹣3＝0 B．（x﹣5）（x+2）＝0 C．x2﹣x+1＝0 D．x2＝1 【例题2】一元二次方程2x2﹣3x＝1，用求根公式求解时，a，b，c的值是（　　） A．2，﹣3，1 B．2，3，﹣1 C．2，﹣3，﹣1 D．2，3，1 【例题3】是下列哪个一元二次方程的根（　　） A．2x2+2x+1＝0 B．x2+2x+2＝0 C．x2﹣2x+2＝0 D．x2﹣2x﹣2＝0 【例题4】如果一元二次方程x2+px+q＝0能用公式法求解，那么必须满足的条件是（　　） A．p2﹣4q≥0 B．p2﹣4q≤0 C．p2﹣4q＞0 D．p2﹣4q＜0 【例题5】已知关于x的一元二次方程x2﹣m＝2x有两个不相等的实数根，则m的取值范围是　 　． 【例题6】用公式法解下列方程： (1)x²-2x-4=0 (2)2x2﹣3x+1＝0 (3) （4） ( 第 1 页 共 9 页 ) 学科网（北京）股份有限公司 $$