精品解析：四川省泸州市合江县2023-2024学年高一下学期6月期末联合考试数学试题

2024年春期高2023级高一期末联合考试 数学试题 数学试卷分为第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分，共4页，满分150分. 注意事项： 1.答题前，考生务必将自己的姓名､班级､考号填写在答题卷上相应位置. 2.选择题答案使用2B铅笔填涂在答题卷对应题目号的位置上，填涂在试卷上无效. 第一卷选择题（58分） 一､选择题（本大题共8个小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.） 1. 已知集合M满足，那么这样的集合的个数为（ ） A. 6 B. 7 C. 8 D. 9 2. 使不等式成立一个充分不必要条件是（ ） A. B. C. D. 3. 已知，则的值为（ ） A. B. C. D. 4. 若角的终边过点，则（ ） A. B. C. D. 5. 幂函数上单调递减，则等于 A. 3 B. －2 C. －2 或3 D. －3 6. 设在海拔x m处的大气压强是y Pa，y与x之间的函数关系为y＝cekx，其中c，k为常量．已知海平面处的大气压强为1.01×105 Pa，在1 000 m高空处的大气压强为0.90×105 Pa，则在600 m高空处的大气压强约为(参考数据：0.890.6≈0.93)（ ） A. 9.4×104 Pa B. 9.4×106 Pa C. 9×103 Pa D. 9×105 Pa 7. 已知，且，若恒成立，则实数取值范围是 （ ） A. B. C. D. 8. 已知函数的值域为R，则实数a的取值范围为（ ） A. B. C. D. 二､多项选择题（每小题6分，共3小题，共18分.在每个小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.） 9. 设复数在复平面内对应的点为，原点为，为虚数单位，则下列说法正确的是（ ） A. 若，则或 B. 若点的坐标为，则对应的点在第三象限 C. 若，则的模为 D. 若，则点的集合所构成的图形的面积为 10. 已知是定义在闭区间上的偶函数，且在y轴右侧的图象是函数图象的一部分(如图所示)，则（ ） A. 的定义域为 B. 当时，取得最大值 C. 当时，的单调递增区间为 D. 当时，有且只有两个零点和 11. 在棱长为2的正方体中，，分别为棱，的中点，点在对角线上，则（ ） A. 的最小值为 B. 三棱锥体积为 C. 点到平面的距离为 D. 四面体外接球的表面积为 第二卷非选择题（92分） 三､填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分，把答案直接填在答题卡中的横线上.） 12. 若复数是纯虚数，则__________. 13 已知，则等于____________． 14. 已知边长为2的菱形中，是边所在直线上的一点，则的取值范围为___________． 四､解答题（本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.） 15. 如图所示，是△ABC的一条中线，点满足，过点的直线分别与射线，射线交于，两点. （1）若，求的值； （2）设，，，，求的值； 16. 已知函数的一部分图象如图所示，如果，，． （1）求函数的解析式； （2）当时，求函数的取值范围． 17. 在①，②，③这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并作答. 在中，角，，的对边分别为，，，且___________，. （1）求角的大小； （2）若，求的面积. 注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分. 18. 如图，正方体的棱长为1，，分别为，的中点. （1）证明：平面. （2）求异面直线与所成角的大小. （3）求直线与平面所成角的正切值. 19. 已知函数是奇函数.（e是自然对数的底） （1）求实数k的值； （2）若时，关于x的不等式恒成立，求实数m的取值范围； （3）设，对任意实数，若以a，b，c为长度线段可以构成三角形时，均有以，，为长度的线段也能构成三角形，求实数n的最大值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024年春期高2023级高一期末联合考试 数学试题 数学试卷分为第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分，共4页，满分150分. 注意事项： 1.答题前，考生务必将自己的姓名､班级､考号填写在答题卷上相应位置. 2.选择题答案使用2B铅笔填涂在答题卷对应题目号的位置上，填涂在试卷上无效. 第一卷选择题（58分） 一､选择题（本大题共8个小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.） 1. 已知集合M满足，那么这样的集合的个数为（ ） A. 6 B. 7 C. 8 D. 9 【答案】C 【解析】 【分析】由题意可知集合中一定包含元素1和2，集合其他元素构成的集合为集合的子集，从而可求出集合的个数. 【详解】因为 所以集合中一定包含元素1和2，集合其他元素构成的集合为集合的子集， 所以集合的个数为， 故选：C 2. 使不等式成立的一个充分不必要条件是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据充分不必要条件的知识确定正确答案. 【详解】不等式成立的一个充分不必要条件是， 是的必要不充分条件， 是的非充分非必要条件， 是的充分必要条件. 故选：A 3. 已知，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由平方关系、商数关系化成关于的齐次式即可求解. 【详解】由题意，因为， 所以 故选：B. 4. 若角的终边过点，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据余弦函数定义结合诱导公式计算求解即可. 【详解】因为角的终边过点，所以，所以. 故选：A 5. 幂函数在上单调递减，则等于 A 3 B. －2 C. －2 或3 D. －3 【答案】B 【解析】 【详解】试题分析： 为幂函数， ， 或，当时，，在单调增，当时，，在单调减． 故选B. 考点：1、幂函数的定义；2、幂函数的图像及单调性. 6. 设在海拔x m处的大气压强是y Pa，y与x之间的函数关系为y＝cekx，其中c，k为常量．已知海平面处的大气压强为1.01×105 Pa，在1 000 m高空处的大气压强为0.90×105 Pa，则在600 m高空处的大气压强约为(参考数据：0.890.6≈0.93)（ ） A. 9.4×104 Pa B. 9.4×106 Pa C. 9×103 Pa D. 9×105 Pa 【答案】A 【解析】 【分析】先求出c,再由0.90×105＝ce1 000k，求出e1 000k的值，即可求出当x=600时对应的值． 【详解】解:依题意得：1.01×105＝ce0＝c, 090×105＝ce1 000k， 因此e1 000k＝≈0.89， 因此当x＝600时， y＝1.01×105e600k＝1.01×105(e1 000k)0.6＝1.01×105×0.890.6≈9.4×104. 故选:A. 7. 已知，且，若恒成立，则实数的取值范围是 （ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用基本不等式求出的最小值，即可得到，从而得到，解得即可. 【详解】因为，，且， 所以 ， 当且仅当，即，时取等号， 所以，因为恒成立，所以， 即，解得，所以实数的取值范围是. 故选：C 8. 已知函数的值域为R，则实数a的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先求解的值域，结合的值域为，分析的单调性、值域即可. 【详解】因为函数在上单调递增， 故， 又因为的值域为， 则需满足， ，解得. 故选：B. 二､多项选择题（每小题6分，共3小题，共18分.在每个小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.） 9. 设复数在复平面内对应的点为，原点为，为虚数单位，则下列说法正确的是（ ） A 若，则或 B. 若点的坐标为，则对应的点在第三象限 C. 若，则的模为 D. 若，则点的集合所构成的图形的面积为 【答案】BD 【解析】 【分析】由复数的模判断AC；由复数的基本概念和几何意义判断BD． 【详解】对A,由，可得，且，故A错误； 对B,若点的坐标为，则故对应的点的坐标为，在第三象限，故B正确； 对C,若，则的模为，故C错误； 对D,设,若，则， 则点的集合所构成的图形的面积为，故D正确． 故选：BD． 10. 已知是定义在闭区间上的偶函数，且在y轴右侧的图象是函数图象的一部分(如图所示)，则（ ） A. 的定义域为 B. 当时，取得最大值 C. 当时，的单调递增区间为 D. 当时，有且只有两个零点和 【答案】BCD 【解析】 【分析】先利用待定系数法求出，再根据原点右侧的第二个零点为，即可判断A；求出的值即可判断B；求出当时的减区间，结合函数为偶函数即可判断C；求出当时的零点，结合函数为偶函数即可判断D. 【详解】由图得，且位于增区间上， 所以，又因为，所以， ， 则，得，所以， 所以， 由图可知，原点右侧的第二个零点为， 所以的定义域为，故A错误； 当时，， 因为为最大值，则当时，取得最大值，故B正确； 当时，令，则， 又因为， 所以当时，的减区间为， 因为函数为偶函数， 所以当时，的单调递增区间为，故C正确； 当时，，令， 得或，则或， 因为函数为偶函数， 所以当时，有且只有两个零点和，故D正确. 故选：BCD. 11. 在棱长为2的正方体中，，分别为棱，的中点，点在对角线上，则（ ） A. 的最小值为 B. 三棱锥体积为 C. 点到平面的距离为 D. 四面体外接球的表面积为 【答案】ABD 【解析】 【分析】对于A，根据正方体的性质，将点旋转使得共面，利用三角形的余弦定理，可得答案；对于B，根据正方体的性质，明确三棱锥的底面以及底面上的高，可得答案；对于C，利用求得的三棱锥的体积，利用勾股定理求得的三边长，结合余弦定理以及面积公式，可得答案；对于D，根据三棱锥的性质，设出外接球的球心，利用勾股定理，建立方程，结合球的面积公式，可得答案. 【详解】根据题意，可作图如下： 对于A，在正方体中，易知平面， 因为平面，所以， 将点绕旋转得到，使共面，如下图： 易知，在中，易知， 由余弦定理，， 则，故A正确； 对于B，在正方体中，平面， 在三棱锥中，以为底面，则为其高， 因为，易知为等腰直角三角形，且分别为的中点， 所以，且到距离为， 所以，故B正确； 对于C，在中，易知，则， 在中，易知，则， 在中，易知，则， 在中，由余弦定理，， 则，所以， 点到平面的距离为，故C不正确； 对于D，取的中点，易知为的外接圆圆心，连接， 作，取，连接，如下图： 因为，所以平面，由为的外接圆圆心， 则可设为三棱锥的外接球球心，即， 因为，所以易知四边形为矩形，则， 在中，，易知，则， 在中，由余弦定理得：， 在中，， 在中，， 则，解得，则球的表面积为，故D正确. 故选：ABD. 第二卷非选择题（92分） 三､填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分，把答案直接填在答题卡中的横线上.） 12. 若复数是纯虚数，则__________. 【答案】 【解析】 【分析】根据复数的除法运算化简，根据纯虚数的概念即可求得答案. 【详解】由题意， 由于为纯虚数，所以，，故. 故答案为：. 13. 已知，则等于____________． 【答案】## 【解析】 【分析】利用诱导公式确定目标式函数值与已知函数值的关系，即可得答案. 【详解】. 故答案为： 14. 已知边长为2的菱形中，是边所在直线上的一点，则的取值范围为___________． 【答案】 【解析】 【分析】取的中点，连接，利用平面向量的运算可得，结合菱形的几何性质可得答案. 【详解】 取的中点，连接，则， 所以， 当且仅当时，有最小值，则有最小值， 此时菱形的面积， 最小值为， 因为是边所在直线上的一点，所以无最大值，无最大值， 的取值范围为， 故答案为： 四､解答题（本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.） 15. 如图所示，是△ABC的一条中线，点满足，过点的直线分别与射线，射线交于，两点. （1）若，求的值； （2）设，，，，求的值； 【答案】（1）； （2）3. 【解析】 【分析】（1）利用向量的线性运算的几何表示，将用表示，进而即得； （2）由，将用表示，利用三点共线即得. 【小问1详解】 因， 所以， 又因为的中点， 所以， 所以，又， 所以； 【小问2详解】 因，，，， 所以，，又因， 所以， 又因，，三点共线， 所以，即. 16. 已知函数的一部分图象如图所示，如果，，． （1）求函数的解析式； （2）当时，求函数的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由函数的最大值和最小值求出，，由周期求出，由特殊点求出，即可求得函数解析式； （2）由求出的范围，再求出的取值范围，即可求得函数的取值范围. 【小问1详解】 由图象可知，，， 设最小正周期为，，∴， ∴， 又∵，且， ∴，，∴， ∴函数的解析式为. 【小问2详解】 当时，，， ∴函数的取值范围是. 17. 在①，②，③这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并作答. 在中，角，，的对边分别为，，，且___________，. （1）求角的大小； （2）若，求的面积. 注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分. 【答案】条件选择见解析；（1）；（2）. 【解析】 【分析】（1）若选①，用正弦定理求解；若选②，用余弦定理求解；若选③，用三角恒等变换求解； （2）先求得，再用正弦定理求得，进而可得的面积. 【详解】（1）若选择条件①： 因为， 所以， 由正弦定理得， 即， 因为，所以， 所以，所以. 若选择条件②： 由得， 由余弦定理得，所以. 所以， 所以，因为，所以. 若选择条件③： 由题意， 因为， 所以. 解得(舍)或， 因为，所以. （2）因为，所以， 所以. 因为，，， 由正弦定理得，所以， 所以的面积. 【点睛】方法点睛： 在处理三角形中的边角关系时，一般全部化为角的关系，或全部化为边的关系．题中若出现边的一次式一般采用正弦定理，出现边的二次式一般采用余弦定理．应用正、余弦定理时，注意公式变式的应用．解决三角形问题时，注意角的限制范围． 18. 如图，正方体的棱长为1，，分别为，的中点. （1）证明：平面. （2）求异面直线与所成角的大小. （3）求直线与平面所成角的正切值. 【答案】（1）证明见解析 （2） （3）. 【解析】 【分析】（1）利用线线平行证明线面平行即得； （2）利用平移得到与所成角为，解三角形即得； （3）连接，过作于点，先证平面，再证平面，即得直线与平面所成角，结合即可求得. 【小问1详解】 如图，连接交于点， 因为，分别为，的中点，所以. 因为平面，且平面， 所以平面. 【小问2详解】 因，且，易得， 则有，由（1）得，故与所成角为（或其补角）. 因为，所以， 即与所成角的大小为. 【小问3详解】 连接，过作于点. 因为平面，且平面， 所以，又且， 所以平面. 因为平面，所以， 又，且，平面， 所以平面， 所以直线与平面所成角为（或其补角）. 因为正方体的边长为1，所以，， 所以. 【点睛】思路点睛：解决异面直线的夹角问题，大多通过平移将两直线集中到一个三角形中，利用三角函数定义或正弦定理，余弦定理求解；对于线面所成角，一般需要作出并证明直线在平面上的射影，借助于直角三角形求解. 19. 已知函数是奇函数.（e是自然对数的底） （1）求实数k的值； （2）若时，关于x的不等式恒成立，求实数m的取值范围； （3）设，对任意实数，若以a，b，c为长度的线段可以构成三角形时，均有以，，为长度的线段也能构成三角形，求实数n的最大值. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据求出，再检验的奇偶性； （2）若，将关于x的不等式恒成立，转化为恒成立，利用基本不等式得，从而可得； （3）化简，设，得，且，根据题意得恒成立，根据基本不等式得，由求出的最大值即为的最大值. 【小问1详解】 因为是奇函数，且定义域为R，所以， 即，解得.经检验，此时是奇函数 所以. 【小问2详解】 由（1）知， 由时，恒成立，得， 因为，所以， 设， 因为，当且仅当时，等号成立，又，所以， 故， 所以. 【小问3详解】 由题意得： 不妨设， 以a，b，c为长度的线段可以构成三角形，即，且， 以，，为长度的线段也能构成三角形，则恒成立，得恒成立， 因为，仅当a=b时前一个等号成立， 所以，即，于是n的最大值为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$