1.5.1 全称量词与存在量词（教学课件）-2024-2025学年高一数学同步课堂系列（人教A版2019必修第一册）

1.5.1全称量词 与存在量词 1 温故知新 1.两个命题的条件和结论刚好反过来，两个命题就成为互逆命题，其中一个叫 ，另一个叫做原命题的 . 2.原命题和逆命题之间的真假关系并不总是对应的，也就是说原命题为真并不意味着其逆命题也为真，同理原命题为假也并不意味着其逆命题为假. 原命题 逆命题 温故知新 (1)如果“若p，则q”和它的逆命题“若q，则p”均是真命题，即既有______，又有 ，就记作 ，此时，p既是q的充分条件，也是q的必要条件，我们说p是q的充分必要条件，简称为 条件. p⇒q q⇒p p⇔q 充要 温故知新 (2)条件关系判定的常用结论： 条件p与结论q的关系 结论(p是q的) p⇒q，且q⇏p 充分不必要条件 q⇒p，且p⇏q 必要不充分条件 p⇒q，且q⇒p 充要条件 p⇏q，且q⇏p 既不充分也不必要条件 学习目标 1.通过生活和数学中的实例来理解全称量词的定义.(重点) 2.通过生活和数学中的实例来理解存在量词的定义.(重点) 3.能区分判断全称量词命题和存在量词命题，并用它们表达相应的数学内容， 提升一定的数学抽象思维和逻辑思维能力.(难点) 创设情境 同学们，我们已经知道命题是可以判断真假的陈述句.在数学中，有时会遇到一些含有变量的陈述句，比如像“x≦0”，由于不知道变量x代表什么数，无法判断真假，因此它们不是命题.然而，同学们，我们如果在原语句的基础上，用一个短语对变量x限定一个条件，比如“存在一个x∈R，x≦0”就可以判断真假了，从它变成了命题，我们把这样的短语称为量词.那有哪些量词呢？我们一起来探索吧！ 内容索引 一、全称量词与全称量词命题 二、存在量词与存在量词命题 三、依据含量词命题的真假求参数的取值范围 一 全称量词与全称量词命题 问题1　下列语句是命题吗？比较(1)和(3)，(2)和(4)，它们之间有什么关系？ (1)x<4； (2)2n-1是整数； (3)对所有的x∈R，x<4； (4)对任意一个n∈Z,2n-1是整数. 提示　语句(1)(2)中含有变量x和n，由于不知道变量代表什么数，无法判断它们的真假，所以它们不是命题. 语句(3)在(1)的基础上，用短语“所有的”对变量x进行限定； 语句(4)在(2)的基础上，用短语“任意一个”对变量n进行限定，从而使(3)(4)成为可以判断真假的语句，因此语句(3)(4)是命题. 全称量词与全称量词命题 全称量词 所有的、任意一个、一切、每一个、任给 符号表示 ___ 全称量词命题 含有 的命题 形式 “对M中 一个x，p(x)成立”，可用符号简记为“_____________” ∀ 全称量词 任意 ∀x∈M，p(x) 新知讲解 11 注意点： (1)从集合的观点看全称量词命题是陈述某集合中的所有的元素都具有某种性质的命题，全称量词表示的数量可能是有限的，也可能是无限的，由题目而定. (2)有些全称量词命题中的全称量词是省略的，理解时需要把它补充出来，例如：命题“平行四边形的对角线互相平分”应理解为“所有的平行四边形的对角线都互相平分”. 新知讲解 12 (3)要判定全称量词命题“∀x∈M，p(x)”是真命题，需要对集合M中每个元素x，证明p(x)成立. (4)要判定全称量词命题“∀x∈M，p(x)”是假命题，只需举出一个反例即可. 新知讲解 13 例1　判断下列命题是否为全称量词命题，并判断真假. (1)对任意直角三角形的两锐角A，B，都有sin A＝cos B； 含有全称量词“任意”，故是全称量词命题，真命题. (2)整数的平方大于零； 省略了全称量词，可以表示为∀n∈Z，n2>0. 故是全称量词命题，假命题. 14 (3)所有的正方形都是矩形 含有全称量词“所有的”，故是全称量词命题. 正方形是特殊的矩形，所以是真命题 (4)对任意的n∈Z，2n+1是奇数 含有全称量词“任意”，故是全称量词命题，真命题. 15 (1)全称量词命题的判断，主要看命题中是否有表示全体的量词，比如“所有的，任意一个，一切，每一个，任给”等，尤其是需要注意隐藏的全称量词. (2)判断真假时用直接法或间接法，直接法就是对陈述的集合中每一个元素都要使结论成立，间接法就是找到一个元素使结论不成立即可判断命题是假命题. 反思感悟 16 跟踪训练1　判断下列全称量词命题的真假. (1)所有的素数都是奇数； 假命题. (2)任何实数都有平方根； 负数没有平方根，假命题. (3)∀x∈R，|x|+1≧1. |x|≧0，所以|x|+1≧1，故是真命题. 17 二 存在量词与存在量词命题 问题2　下列语句是命题吗？比较(1)和(3)，(2)和(4)，它们之间有什么关系？ (1)2x＋1＝3； (2)x能被2和3整除； (3)存在一个x∈R，使2x＋1＝3； (4)至少有一个x∈Z，x能被2和3整除. 提示　容易判断，(1)(2)不是命题. 语句(3)在(1)的基础上，用短语“存在一个”对变量x的取值进行限定； 语句(4)在(2)的基础上，用“至少有一个”对变量x的取值进行限定，从而使(3)(4)变成了可以判断真假的陈述句，因此(3)(4)是命题. 存在量词与存在量词命题 存在量词 存在一个、至少有一个、有一个、有些、有的、对某些 符号表示 ____ 存在量词命题 含有 的命题 形式 “存在M中的元素x，p(x)成立”可用符号简记为“_____________” ∃ 存在量词 ∃x∈M，p(x) 新知讲解 21 注意点： (1)从集合的角度看，存在量词命题是陈述某集合中有或存在一些或至少一个元素具有某种性质的命题. (2)有些命题可能没有写出存在量词，但其意义具备“存在”“有一个”等特征的命题都是存在量词命题. 新知讲解 22 (3)要判断存在量词命题“∃x∈M，p(x)”是真命题，只需要在集合M中找到一个元素x，使p(x)成立即可. (4)要判断一个存在量词命题是假命题，需对集合M中的任意一个元素x，证明p(x)都不成立. 新知讲解 23 例2　判断下列命题是否为存在量词命题，并判断真假. (1)有些整数能同时被3和5整除； 存在量词命题，表示为∃x∈Z，比如15，能同时被3和5整除.真命题. (2)某个平行四边形是菱形； 存在量词命题，表示为∃x∈{y|y是菱形}，x是平行四边形.真命题. 24 (3)有的一次函数的图像经过原点； 含有存在量词“有的”.故为存在量词命题.正比例函数图像经过原点，故是真命题. (4)至少有一个实数x，使x2＋2x＋5＝0. 存在量词命题，由于Δ＝22－4×5＝－16<0，因此方程无实根.假命题. 25 (1)存在量词命题的判断，主要看命题中是否有“存在一个，至少有一个，有些，有一个，对某些，有的”等表示部分的量词，尤其是需要注意隐藏的存在量词. (2)判断真假时用直接法或间接法，直接法就是对陈述的集合中有一个元素使结论成立即可判断命题是真命题，间接法就是对集合中所有的元素使结论不成立可判断命题是假命题. 反思感悟 26 跟踪训练2　判断下列存在量词命题的真假. (1)平面内存在两条相交直线垂直于同一条直线； 平面内垂直于同一条直线的两条直线互相平行，故是假命题. (2)至少有一个整数n，使得n2＋n为奇数； n2＋n＝n(n＋1)，故n和n＋1必为一奇一偶，其乘积为偶数，假命题. 27 (3)∃x∈{y|y是无理数}，x2是无理数. 当x＝π时，x2仍是无理数，真命题. (4)∃x∈R，x2<0. 所有实数的平方都大于等于0，假命题. 28 三 依据含量词命题的真假 求参数的取值范围 例3　已知集合A＝{x|－2≤x≤5}，B＝{x|m＋1≤x≤2m－1}，且B≠∅，若命题p：“∀x∈B，x∈A”是真命题，求m的取值范围. 由于命题p：“∀x∈B，x∈A”是真命题， 解得2≤m≤3. 即m的取值范围为{m|2≤m≤3}. 30 含量词命题的真假求参数取值范围 把命题的真假问题转化为集合间的关系或函数的最值问题，再转化为关于参数的不等式(组)求参数的取值范围. 反思感悟 31 跟踪训练3　若命题“∃x∈R，x2－2x＋a≧0有解”为真命题，求实数a的取值范围. ∵命题“∃x∈R，x2－x＋a≧0有解”为真命题， ∴方程x2－2x＋a＝0存在实数根， 则Δ＝(－2)2－4a≥0，解得a≤1. 即实数a的取值范围为{a|a≤1}. 32 知识像一艘船让它载着我们驶向理想的彼岸 谢谢 所以B⊆A，因为B≠∅，所以 $$