第11讲 一次函数与正比例函数（1大知识点+5大典例+变式训练+随堂检测）-（暑期衔接课堂）2024年暑假七升八数学衔接讲义（北师大版）

第11讲 一次函数与正比例函数（1大知识点+5大典例+变式训练+随堂检测） 题型一 正比例函数的定义 题型二 识别一次函数 题型三 根据一次图数的定义求参数 题型四 求一次函数自变量或函数值 题型五 列一次函数解析式并求值 知识点01 一次函数的概念 一般地，形如（，是常数，≠0）的函数，叫做一次函数. 要点诠释：当＝0时，即，所以说正比例函数是一种特殊的一次函数.一次函数的定义是根据它的解析式的形式特征给出的，要注意其中对常数，的要求，一次函数也被称为线性函数. 一次函数有三种表示方法，如下： 1、解析式法 用含自变量x的式子表示函数的方法叫做解析式法。 2、列表法 把一系列x的值对应的函数值y列成一个表来表示的函数关系的方法叫做列表法。 3、图像法 用图象来表示函数关系的方法叫做图象法。 【典型例题一 正比例函数的定义】 1．（22-23八年级下·黑龙江哈尔滨·阶段练习）下列函数是正比例函数的是（    ） A． B． C． D． 2．（22-23八年级下·广东汕头·期末）下列函数中，表示y是x的正比例函数的是（    ） A． B． C． D． 3．（22-23八年级上·江苏盐城·阶段练习）若函数是正比例函数，则m的值是 ． 4．（22-23九年级下·黑龙江鸡西·期中）若函数是关于的正比例函数，则 ． 5．（22-23八年级下·全国·课后作业）下列式子中，哪些表示y是x的正比例函数？ （1）；（2）；（3）；（4）． 6．（22-23八年级·全国·课后作业）小明准备买本练习本，已知练习本的单价为3元. （1）写出小明所花的钱数（元）与本数（本）之间的表达式； （2）当时，求的值. 【典型例题二 识别一次函数】 1．（22-23八年级下·广东广州·期末）下列函数中，是一次函数的是（    ） A． B． C． D． 2．（22-23八年级下·河南安阳·阶段练习）函数①；②；③；④；⑤．是一次函数的有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 3．（22-23八年级上·广东揭阳·期中）下列函数：①y＝，②y＝2x﹣1，③y＝，④y＝2﹣3x，⑤y＝x2﹣1，其中是一次函数的有 （填序号）． 4．（22-23八年级·全国·课后作业）下列各题：①汽车以60千米/时的速度行驶，行驶路程（千米）与行驶时间（时）之间的关系；②圆的面积（）与它的半径（）之间的关系；③一棵树现在高50 ，每个月长高2 ，个月后这棵树的高度为（）；④某种大米的单价是2.2元/千克，花费（元）与购买大米（千克）之间的关系．其中是的一次函数的是 （填序号）． 5．（22-23八年级上·全国·课后作业）下列函数中，哪些是一次函数？哪些是正比例函数？系数k和常数项b的值各是多少？ ，，，，． 6．（22-23八年级·全国·课后作业）写出下列各题中关于的函数关系式，并判断是否为的一次函数，是否为正比例函数． （1）长方形的面积为20，长方形的长与宽之间的函数关系式； （2）刚上市时西瓜每千克3.6元，买西瓜的总价元与所买西瓜千克之间的函数关系式； （3）仓库内有粉笔400盒，如果每个星期领出36盒，仓库内余下的粉笔盒数与星期数之间的函数关系式； （4）爸爸为小林存了一份教育储蓄，首次存入10 000元，以后每个月存入500元，存入总数元与月数之间的函数关系式． 【典型例题三 根据一次图数的定义求参数】 1．（22-23八年级下·河北邢台·期末）在函数中，的值为（    ） A． B．2 C．5 D． 2．（22-23八年级下·海南省直辖县级单位·阶段练习）若是一次函数，则a的值是（   ） A．－2 B．2 C．±2 D．± 3．（22-23八年级上·辽宁本溪·期末）若点在直线上，且m，n都是正整数，则点P坐标是 ． 4．（22-23八年级上·重庆北碚·期末）若点（m，n）在函数y＝2x+1的图象上，则n﹣2m的值是 ． 5．（22-23八年级上·广东湛江·期末）函数 y=(m-2)x+m2-4 (m为常数). (1)当m取何值时, y是x的正比例函数? (2) 当m取何值时, y是x的一次函数? 6．（22-23八年级下·全国·假期作业）已知函数y=(2-m)x+2n-3．求当m为何值时． （1）此函数为一次函数? （2）此函数为正比例函数? 【典型例题四 求一次函数自变量或函数值】 1．（22-23八年级下·重庆长寿·期末）下列给出的四个点中，不在直线上的是（    ） A． B． C． D． 2．（22-23八年级下·天津·期末）当时，函数的值是（   ） A． B．5 C． D．3 3．（22-23八年级下·广东江门·期中）若点在一次函数的图像上，则a的值为 ． 4．（22-23八年级上·江苏盐城·期中）已知函数，当时， ； 5．（22-23八年级·上海·假期作业）已知点，并且点在直线上，求的面积． 6．（22-23八年级下·河南南阳·期中）已知一次函数的图象经过点(3，3)，(1，－1)． (1)求这个一次函数的表达式； (2)画出这个一次函数的图象； (3)观察函数图象，直接写出取什么值时，函数值大于0． 【典型例题五 列一次函数解析式并求值】 1．（22-23八年级下·山东临沂·期末）在平面直角坐标系中，已知点A（a，b）在直线y＝－2x＋1上，则2a＋b的值为（    ） A．1 B．2 C．-1 D．-2 2．（22-23八年级下·湖北黄石·期末）一次函数的图象经过点，若也在此函数图象上，则的值为（      ） A． B． C． D． 3．（22-23八年级下·广东江门·阶段练习）已知矩形周长为18，其中一条边长为x，设另一边长为y．则y与x的函数关系式为 ． 4．（22-23八年级上·广东茂名·期末）弹簧挂上物体后会伸长，测得一弹簧长度与所挂物体质量有下面关系∶那么弹簧总长与所挂物体质量之间关系式是 ． 5．（22-23八年级·全国·单元测试）过点的一条直线与轴、轴分别相交于点，，且与直线平行，求在线段上横、纵坐标都是整数的点的坐标. 6．（22-23八年级下·云南临沧·阶段练习）一次函数的图象经过点（1，2）和点（-2，5）． （1）求出该一次函数的解析式； （2）当x=10时，y的值是多少？ （3）当y=12时，x的值是多少？ 【变式训练1 正比例函数的定义】 1．（23-24七年级上·海南海口·开学考试）若（x，y均不为0），则x和y成（      ） A．正比例 B．反比例 C．不成比例 D．无法判断 2．（22-23八年级上·陕西西安·期中）已知函数是正比例函数，则m的值为（    ） A． B． C． D．1 3．（22-23八年级下·河北秦皇岛·期末）若一次函数是正比例函数，则 ． 4．（22-23八年级上·江苏盐城·期末）已知y关于x的函数是正比例函数，则m的值是 ． 5．（23-24八年级下·福建福州·期中）已知与成正比，当时，，求当时的值． 6．（23-24八年级下·河北唐山·期中）已知y是x的正比例函数，x与y的部分对应值如表： x … m … y … 8 … (1)求y与x解析式； (2)求m的值． 【变式训练2 识别一次函数】 1．（22-23八年级下·上海长宁·期末）下列函数中，一次函数是(    ) A． B． C． D． 2．（22-23八年级下·湖南怀化·期末）下列函数是关于自变量的一次函数的是（　　） A． B． C． D． 3．（22-23八年级下·广西来宾·期末）已知下列函数：；；.其中是一次函数的有 ．（填序号） 4．（22-23八年级下·全国·期末）下列函数中：（1），（2），（3），（4）、是常数），一次函数有 （填序号）. 5．（22-23八年级·全国·假期作业）已知，则函数是什么函数？当x时，函数值y是多少？ 6．（22-23八年级上·安徽亳州·期末）学校阅览室有一种能坐4人的方桌，如果多于4人，就把方桌按图中的方式摆放，2张方桌摆放到一起能坐6人，请你结合这个规律，回答问题： (1)写出总人数y（人）与方桌数x（张）之间的函数解析式（不要求写自变量的取值范围），并判断y是不是x的一次函数； (2)若八年级（1）班有42人去阅览室看书，则需要多少张这样的方桌？ 【变式训练3根据一次图数的定义求参数】 1．（22-23八年级下·云南昭通·期末）若y＝（k﹣2）x|k﹣1|+1表示一次函数，则k等于（　　） A．0 B．2 C．0或2 D．﹣2或0 2．（2023·山西·模拟预测）如图，一次函数的图象经过点和，则的值为（    ） A． B． C．36 D．12 3．（22-23八年级下·福建福州·期中）若直线上的两点分别为、，则a的值为 ． 4．（22-23八年级上·江苏泰州·期末）已知点在一次函数的图像上，则的值是 ． 5．（22-23八年级上·安徽淮北·阶段练习）当为何值时，函数是一次函数？求该一次函数的表达式． 6．（22-23八年级上·陕西咸阳·阶段练习）已知函数是关于的一次函数． (1)求的值； (2)判断点、是否在此函数图象上，并说明理由． 【变式训练4 求一次函数自变量或函数值】 1．（22-23八年级下·四川内江·期中）下列哪个点在函数的图像上（    ） A． B． C． D． 2．（22-23八年级下·山东济宁·期末）在平面直角坐标系中，已知点在直线上，则的值为（    ） A．1 B． C．2 D． 3．（23-24八年级上·安徽滁州·阶段练习）已知直线经过，则的值为 ． 4．（22-23八年级上·安徽芜湖·阶段练习）在平面直角坐标系中，直线过点，则的值为 ． 5．（22-23八年级下·河北邢台·阶段练习）已知一次函数． (1)当时，求x． (2)当时，求x的取值范围． 6．（22-23八年级下·湖北襄阳·阶段练习）已知与成正比例，并且当时， (1)写出y与x之间的函数关系式 ； (2)当时，求y的值； (3)当时，求x的值． 【变式训练5 列一次函数解析式并求值】 1．（22-23八年级下·山东青岛·单元测试）已知水池的容量为 V m 3 ，每小时灌水量为 50 m 3 ，灌满水所需时间为 t (h)，那么 V 与 t 之间的函数关系式是（ ） A．V ＝50 t B．V ＝50－ t C．v= D．V ＝50+ t 2．（22-23八年级下·天津和平·阶段练习）一次函数中，当时，可以消去，求出结合一次函数图象可知，无论取何值，一次函数的图象一定过定点，则定义像这样的一次函数图象为“点旋转直线”若一次函数y=的图象为“点旋转直线”，那么它的图象一定经过点（  ） A．（1，3） B．（－1，6） C．（1，－6） D．（－1，3） 3．（22-23八年级下·上海松江·期中）汽车油箱中现有汽油60升，若每小时耗油10升，则油箱中剩余油量（升）与燃烧的时间（小时）之间的函数关系式是 ． 4．（22-23七年级下·山东济南·期中）某水果店卖出的香蕉数量（千克）与售价（元）之间的关系如表： 数量（千克） 1 1.5 2 2.5 3 …… 售价（元） 3 4.5 6 7.5 9 …… 如果卖出的香蕉数量用x（千克）表示，售价用y（元）表示，则y与x的关系式为 ． 5．（22-23八年级上·全国·课后作业）我国某地区现有人工造林面积12万公顷，规划今后10年每年新增造林面积大致相同，约为0.61至0.62万公顷．请估算6年后该地区的造林总面积达到多少万公顷． 6．（22-23八年级上·贵州贵阳·期中）甲、乙两地相距120km，现有一列火车从乙地出发，以80km/h的速度向甲地行驶．设x（h）表示火车行驶的时间，y（km）表示火车与甲地的距离． （1）写出y与x之间的关系式，并判断y是否为x的一次函数； （2）当x=0.5时，求y的值． 1．（22-23八年级下·江西赣州·期末）下列式子中，表示是的正比例函数的是（   ） A． B． C． D． 2．（22-23八年级上·安徽合肥·阶段练习）下列函数：（1）；（2）；（3）；（4）；（5）中，是一次函数的有（    ）个 A．4 B．3 C．2 D．1 3．（2023·陕西西安·二模）若点关于轴的对称点在一次函数的图象上，则的值为（    ） A． B．0 C． D． 4．（2024·湖北武汉·模拟预测）预防高血压不容忽视，“千帕”和“毫米汞柱”都是表示血压的单位，请你根据表格提供的信息判断，下列各组换算正确的是（   ） 千帕 … 10 12 14 … 毫米汞柱 … 75 90 105 … A． B． C． D． 5．（2023·浙江嘉兴·一模）目前，我国大约有1.3亿高血压病患者，占15岁以上总人口数的10%﹣15%，预防高血压不容忽视．“千帕kpa”和“毫米汞柱mmHg”都是表示血压的单位，前者是法定的国际计量单位，而后者则是过去一直广泛使用的惯用单位．请你根据下表所提供的信息，判断下列各组换算不正确的是（    ） 千帕kpa 10 12 16 … 毫米汞柱mmHg 75 90 120 … A．18kpa=135mmHg B．21kpa=150mmHg C．8kpa=60mmHg D．32kpa=240mmHg 6．（23-24八年级上·安徽宣城·期中）函数是正比例函数，则 ． 7．（22-23八年级·全国·假期作业）下列函数关系式：①y＝kx+1；②y＝；③y＝x2+1；④y＝22﹣x．其中是一次函数的有 个． 8．（23-24七年级上·山东威海·期末）已知函数是关于的一次函数，则 ． 9．（23-24八年级上·江苏泰州·阶段练习）定义：对于给定的一次函数（a，b为常数，且），把形如 的函数称为一次函数的“衍生函数”，已知一次函数，若点在这个一次函数的“衍生函数”图像上，则m的值是 ． 10．（2023·江苏南通·一模）下表中记录了一次试验中时间和温度的数据．若温度的变化是均匀的，则18分钟时的温度是 °C． 时间/分钟 0 5 10 15 20 25 温度/°C 10 25 40 55 70 85 11．（22-23八年级下·甘肃平凉·阶段练习）若函数是正比例函数，求k的值． 12．（22-23八年级下·北京昌平·阶段练习）已知函数； (1)当取何值时，这个函数是正比例函数？ (2)当在什么范围内取值时，这个函数是一次函数？ 13．（22-23八年级下·湖北襄阳·期末）已知y与x+1成正比例，且当x＝1时，y＝6； (1)求出y与x之间的函数关系式； (2)当x＝﹣3时，求y的值． 14．（22-23八年级·全国·假期作业）正方形的面积S是边长x的函数，它的表达式是S＝x2．如果正方形的边长的变化范围很小，例如x从1变到1.08，我们来观察面积S的变化情况： x 1 1.02 1.04 1.06 1.08 S 1 1.040 1.082 1.124 1.166 （1）分别计算x从1变到1.02，从1.02变到1.04，从1.04变到1.06，从1.06变到1.08时，面积S增大了多少； （2）根据第（1）题的计算结果，当边长x从1变到1.08时，正方形的面积S可不可以看成边长x的一次函数？由此受到启发，你能做出什么猜测？ 15．（2023·陕西西安·二模）北京冬季奥运会和冬残奥运会的吉祥物“冰墩墩”和“雪容融”深受全世界人民的喜爱，某生产厂家经授权每天生产两种吉祥物挂件共600件，且当天全部售出，原料成本、销售单价及工人生产提成如表所示：设该厂每天制作“冰墩墩”挂件x件，每天获得的利润为y元． 原料成本（元/件） 生产提成（元/件） 销售单价（元/件） “冰墩墩” 32 5 45 “雪容融” 28 6 40 (1)求出y与x之间的函数关系式； (2)若该厂每天生产“雪容融”200件，该厂一天所获得的总利润是多少？ 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第11讲 一次函数与正比例函数（1大知识点+5大典例+变式训练+随堂检测） 题型一 正比例函数的定义 题型二 识别一次函数 题型三 根据一次图数的定义求参数 题型四 求一次函数自变量或函数值 题型五 列一次函数解析式并求值 知识点01 一次函数的概念 一般地，形如（，是常数，≠0）的函数，叫做一次函数. 要点诠释：当＝0时，即，所以说正比例函数是一种特殊的一次函数.一次函数的定义是根据它的解析式的形式特征给出的，要注意其中对常数，的要求，一次函数也被称为线性函数. 一次函数有三种表示方法，如下： 1、解析式法 用含自变量x的式子表示函数的方法叫做解析式法。 2、列表法 把一系列x的值对应的函数值y列成一个表来表示的函数关系的方法叫做列表法。 3、图像法 用图象来表示函数关系的方法叫做图象法。 【典型例题一 正比例函数的定义】 1．（22-23八年级下·黑龙江哈尔滨·阶段练习）下列函数是正比例函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】形如(k是常数，)的函数是正比例函数，根据定义解答． 【详解】解：A、符合定义，是正比例函数； B、不符合定义，故不是正比例函数； C、不符合定义，故不是正比例函数； D、不符合定义，故不是正比例函数； 故选：A． 【点睛】此题考查了正比例函数的定义，熟记定义是解题的关键． 2．（22-23八年级下·广东汕头·期末）下列函数中，表示y是x的正比例函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】形如的函数是正比例函数，根据定义判断． 【详解】解：只有符合正比例函数的定义， 故选：D． 【点睛】此题考查了正比例函数的定义，熟记定义是解题的关键． 3．（22-23八年级上·江苏盐城·阶段练习）若函数是正比例函数，则m的值是 ． 【答案】1 【分析】根据正比例函数的定义，即可求解． 【详解】解：∵函数是正比例函数， ∴， 解得：． 故答案为：±1. 【点睛】本题主要考查了正比例函数的定义，熟练掌握形如（其中k，b为常数）的函数称为y关于x的一次函数，特别是当b=0时，称为正比例函数是解题的关键． 4．（22-23九年级下·黑龙江鸡西·期中）若函数是关于的正比例函数，则 ． 【答案】/不等于4 【分析】根据形如y=kx（k是不为零的常数），可得答案． 【详解】解：由是关于x的正比例函数，得:， 解得， 故答案为：． 【点睛】此题考查了正比例函数的定义，解题关键是掌握正比例函数的定义条件：正比例函数y=kx的定义条件是：k为常数且k≠0，自变量次数为1，常数项为零． 5．（22-23八年级下·全国·课后作业）下列式子中，哪些表示y是x的正比例函数？ （1）；（2）；（3）；（4）． 【答案】（1）（2） 【分析】根据正比例函数的定义，即一般地，形如y=kx（k是常数，k≠0）的函数叫做正比例函数，其中k叫做比例系数．可得答案． 【详解】解：（1）；（2）是正比例函数， 故答案为：（1）（2） 【点睛】本题考查了正比例函数，熟知一般地，形如y＝kx（k是不等于零的常数）的函数，叫做正比例函数是解题关键． 6．（22-23八年级·全国·课后作业）小明准备买本练习本，已知练习本的单价为3元. （1）写出小明所花的钱数（元）与本数（本）之间的表达式； （2）当时，求的值. 【答案】（1）；（2）18 【分析】（1）根据每本练习本的价格及练习本的数量得出关系式即可； （2）再把a=6代入求出y的值即可. 【详解】(1)小明所花的钱数y(元)与本数a(本)之间的关系式 y=3a； (2)当a=6时，y=3×6=18. 答：(1)小明所花的钱数y(元)与本数a(本)之间的关系式，y=3a； (2)当a=6时，y的值为18. 【点睛】本题考查正比例函数，熟练掌握正比例函数的应用是解题的关键.在本题中一定要清楚总价=单价×数量. 【典型例题二 识别一次函数】 1．（22-23八年级下·广东广州·期末）下列函数中，是一次函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据一次函数是形如（为常数）的函数逐项判断即可解答． 【详解】解：∵项是二次函数，不是一次函数，∴项不符合题意； ∵项是常数函数，不是一次函数，∴项不符合题意； ∵项是反比例函数，不是一次函数，∴项不符合题意； ∵项是一次函数，∴项符合题意； 故选． 【点睛】本题考查了一次函数是形如（为常数）的函数，理解一次函数的定义是解题的关键． 2．（22-23八年级下·河南安阳·阶段练习）函数①；②；③；④；⑤．是一次函数的有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】根据一次函数的定义，函数式为整式且自变量的最高次数为1，一次项系数不为0，逐一判断． 【详解】解：①是一次函数； ②是一次函数； ③是反比例函数，不是一次函数； ④是一次函数； ⑤是二次函数， 综上分析可知，①②④是一次函数，共3个，故C正确． 故选：C． 【点睛】本题考查了一次函数的定义.关键是明确一次函数解析式为整式，自变量的最高次数为1，一次项系数不为0． 3．（22-23八年级上·广东揭阳·期中）下列函数：①y＝，②y＝2x﹣1，③y＝，④y＝2﹣3x，⑤y＝x2﹣1，其中是一次函数的有 （填序号）． 【答案】①②④ 【分析】根据一次函数的定义：形如y=kx＋b（k≠0，k、b为常数）的函数叫做一次函数，判断即可. 【详解】解：①y＝，②y＝2x﹣1，④y＝2﹣3x符合一次函数的定义，符合题意； ③y＝属于反比例函数，不符合题意； ⑤y＝x2﹣1属于二次函数，不符合题意． 故答案是：①②④． 【点睛】此题考查的是一次函数的判断，掌握一次函数的定义：形如y=kx＋b（k≠0，k、b为常数）的函数叫做一次函数是解决此题的关键. 4．（22-23八年级·全国·课后作业）下列各题：①汽车以60千米/时的速度行驶，行驶路程（千米）与行驶时间（时）之间的关系；②圆的面积（）与它的半径（）之间的关系；③一棵树现在高50 ，每个月长高2 ，个月后这棵树的高度为（）；④某种大米的单价是2.2元/千克，花费（元）与购买大米（千克）之间的关系．其中是的一次函数的是 （填序号）． 【答案】①③④ 【分析】根据题意列出表达式，再根据一次函数的定义进行解答． 【详解】解：根据题意列出函数表达式： ①y＝60x； ②y＝πx2； ③y＝2x＋50； ④y＝2.2x； 符合一次函数定义的有①③④， 故答案为①③④． 【点睛】本题考查了一次函数的定义，一次函数y＝kx＋b的定义条件是：k、b为常数，k≠0，自变量次数为1． 5．（22-23八年级上·全国·课后作业）下列函数中，哪些是一次函数？哪些是正比例函数？系数k和常数项b的值各是多少？ ，，，，． 【答案】见解析 【分析】根据一次函数与正比例函数逐个分析判断即可求解．一般地，两个变量、之间的关系式可以表示成形如的函数（为常数，的次数为，且），那么就叫做正比例函数．一次函数的定义：一次函数中为常数，，自变量次数为． 【详解】，是正比例函数，； 是一次函数，，； 不是一次函数，也不是正比例函数； ，是一次函数，，； ，不是正比例函数也不是一次函数． 【点睛】本题考查了正比例函数与一次函数的定义，掌握正比例函数与一次函数的定义是解题的关键． 6．（22-23八年级·全国·课后作业）写出下列各题中关于的函数关系式，并判断是否为的一次函数，是否为正比例函数． （1）长方形的面积为20，长方形的长与宽之间的函数关系式； （2）刚上市时西瓜每千克3.6元，买西瓜的总价元与所买西瓜千克之间的函数关系式； （3）仓库内有粉笔400盒，如果每个星期领出36盒，仓库内余下的粉笔盒数与星期数之间的函数关系式； （4）爸爸为小林存了一份教育储蓄，首次存入10 000元，以后每个月存入500元，存入总数元与月数之间的函数关系式． 【答案】（1），不是一次函数，也不是正比例函数；（2），是正比例函数，也是一次函数；（3），是一次函数，不是正比例函数；（4），是一次函数，不是正比例函数． 【分析】根据题意列出表达式，再根据一次函数及正比例函数的定义进行解答． 【详解】（1），不是一次函数，也不是正比例函数． （2），是正比例函数，也是一次函数． （3），是一次函数，不是正比例函数． （4），是一次函数，不是正比例函数． 【点睛】本题考查了一次函数、正比例函数的定义．一次函数y＝kx＋b的定义条件是：k、b为常数，k≠0，自变量次数为1． 【典型例题三 根据一次图数的定义求参数】 1．（22-23八年级下·河北邢台·期末）在函数中，的值为（    ） A． B．2 C．5 D． 【答案】A 【分析】根据一次函数的定义，从而求得的值． 【详解】解：根据一次函数的定义得，对应的的值为； 故答案选A． 【点睛】此题主要考查了一次函数的定义，熟练掌握一次函数的形式是解题的关键． 2．（22-23八年级下·海南省直辖县级单位·阶段练习）若是一次函数，则a的值是（   ） A．－2 B．2 C．±2 D．± 【答案】A 【分析】根据形如y=kx+b（k≠0，k、b是常数）的函数，叫做一次函数可得a2-3=1，且a-2≠0，再解即可． 【详解】解：由题意得：a2-3=1，且a-2≠0， 解得：a=-2， 故选：A． 【点睛】此题主要考查了一次函数定义，关键是掌握一次函数形如y=kx+b（k≠0，k、b是常数），一次函数解析式的结构特征：k≠0；自变量的次数为1；常数项b可以为任意实数． 3．（22-23八年级上·辽宁本溪·期末）若点在直线上，且m，n都是正整数，则点P坐标是 ． 【答案】 【分析】利用一次函数图象即可求解． 【详解】解：直线图象如下： 当 时， ，点 ，满足条件， 当 时， ，不符合题意， 故答案为：． 【点睛】本题考查一次函数的图象与性质，解题关键是掌握一次函数的图象与性质． 4．（22-23八年级上·重庆北碚·期末）若点（m，n）在函数y＝2x+1的图象上，则n﹣2m的值是 ． 【答案】1 【分析】直接把点（m，n）代入函数y＝2x+1即可得出结论． 【详解】∵点（m，n）在函数y＝2x+1的图象上， ∴2m+1＝n，即n﹣2m＝1． 故答案为：1． 【点睛】本题考查的是一次函数图象上点的坐标特点，熟知一次函数图象上各点的坐标一定适合此函数的解析式是解答此题的关键． 5．（22-23八年级上·广东湛江·期末）函数 y=(m-2)x+m2-4 (m为常数). (1)当m取何值时, y是x的正比例函数? (2) 当m取何值时, y是x的一次函数? 【答案】（1）m=-2;(2) m ≠2时，y是x的一次函数 【分析】（1）根据正比例函数的定义：一般地，形如y=kx（k是常数，k ≠0）的函数，叫做正比例函数,即可求解； （2）根据一次函数的定义：一般地，形如y=kx+b（k，b是常数，k ≠0）的函数，叫做一次函数,即可求解. 【详解】（1）当m2-4=0且m-2≠0时，y是x的正比例函数，                  解得m=-2; （2）当m-2≠0时，即m ≠2时，y是x的一次函数 . 【点睛】本题考查正比例函数的定义，一次函数的定义. 6．（22-23八年级下·全国·假期作业）已知函数y=(2-m)x+2n-3．求当m为何值时． （1）此函数为一次函数? （2）此函数为正比例函数? 【答案】（1）m≠2；（2）m≠2且n=． 【分析】（1）根据一次函数的定义得，2-m≠0，即可求得m的取值； （2）满足两个条件：2-m≠0且2n－3=0，即可得到m与n的取值． 【详解】（1）由题意得，2-m≠0，解得m≠2． （2）由题意得，2-m≠0且2n-3=0，解得m≠2且n=． 【点睛】本题考查了一次函数与正比例函数的定义，要注意两种函数既有联系又有区别． 【典型例题四 求一次函数自变量或函数值】 1．（22-23八年级下·重庆长寿·期末）下列给出的四个点中，不在直线上的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】只需把每个点的横坐标即的值分别代入，计算出对应的值，然后与对应的纵坐标比较即可． 【详解】解：A.当时，，则在直线上； B.当时，，则不在直线上； C.当时，，则在直线上； D.当时，，则在直线上． 故选：B． 【点睛】本题考查判断点是否在直线上，知识点是：在这条直线上的各点的坐标一定适合这条直线的解析式，掌握判断方法是解题的关键． 2．（22-23八年级下·天津·期末）当时，函数的值是（   ） A． B．5 C． D．3 【答案】C 【分析】将代入中即可． 【详解】解：将代入中， ． 故选：C． 【点睛】本题主要考查函数的值，掌握函数值的计算是解题的关键． 3．（22-23八年级下·广东江门·期中）若点在一次函数的图像上，则a的值为 ． 【答案】 【分析】将点代入函数解析式，即可求解． 【详解】解：点代入函数，可得， 故答案为： 【点睛】此题考查了一次函数的性质，解题的关键是掌握一次函数的性质． 4．（22-23八年级上·江苏盐城·期中）已知函数，当时， ； 【答案】7 【分析】把代入，求出y的值即可． 【详解】解：把代入得： ． 故答案为：7． 【点睛】本题主要考查了求一次函数值，解题的关键是准确计算． 5．（22-23八年级·上海·假期作业）已知点，并且点在直线上，求的面积． 【答案】9 【分析】画出函数图象，由直线解析式求出B点纵坐标，然后求以为底边，以B点纵坐标的绝对值为高的三角形的面积即可. 【详解】解：如图函数图象为：      ∵点在直线上， ∴， ∴， ∴； 【点睛】考查正比例函数图像上的点坐标和解析式的关系，注意点坐标与线段长度之间的转换． 6．（22-23八年级下·河南南阳·期中）已知一次函数的图象经过点(3，3)，(1，－1)． (1)求这个一次函数的表达式； (2)画出这个一次函数的图象； (3)观察函数图象，直接写出取什么值时，函数值大于0． 【答案】(1) (2)见解析 (3) 【分析】（1）利用待定系数法及可求出解析式； （2）列表得出函数图象与坐标轴的交点，进行描点连线即可； （3）根据函数图象即可求出x的取值范围． 【详解】（1）解：设这个一次函数的表达式为，把点（3，3），（1，-1）代入得：， 解得：， ∴这个一次函数的表达式为：； （2）列表为： x 0 y -3 0 描点并连线，函数图象如图所示： . （3）由图可知：当时，函数值大于0． 【点睛】本题主要考查的是一次函数的基础应用以及画图，掌握一次函数的基础性质是解题的关键． 【典型例题五 列一次函数解析式并求值】 1．（22-23八年级下·山东临沂·期末）在平面直角坐标系中，已知点A（a，b）在直线y＝－2x＋1上，则2a＋b的值为（    ） A．1 B．2 C．-1 D．-2 【答案】A 【分析】将点代入直线的解析式即可得． 【详解】解：由题意，将点代入直线得：， 则， 故选：A． 【点睛】本题考查了一次函数的求值，理解一次函数图象上的点是解题关键． 2．（22-23八年级下·湖北黄石·期末）一次函数的图象经过点，若也在此函数图象上，则的值为（      ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先将点代入一次函数可求出m的值，继而求出函数解析式，再根据也在此函数图象上，即可求解． 【详解】∵一次函数的图象经过点， ∴有 ，解得： ， ∴该函数解析式为 又∵也在此函数图象上， ∴ ，解得： 故选：A 【点睛】本题主要考查了一次函数解析式的求解及点在图象上，求点的坐标，解题的关键是熟练掌握一次函数解析式的求解方法． 3．（22-23八年级下·广东江门·阶段练习）已知矩形周长为18，其中一条边长为x，设另一边长为y．则y与x的函数关系式为 ． 【答案】y=9-x 【分析】直接利用矩形周长求法得出y与x之间的函数关系式. 【详解】解：∵矩形周长为18，其中一条边长为x，设另一边长为y， ∴2（x＋y）＝18，则y＝9−x， 故答案为y＝9−x. 【点睛】此题主要考查了列函数关系式，根据矩形周长求法得出函数关系式是解题关键． 4．（22-23八年级上·广东茂名·期末）弹簧挂上物体后会伸长，测得一弹簧长度与所挂物体质量有下面关系∶那么弹簧总长与所挂物体质量之间关系式是 ． 【答案】y=0.5x+12 【分析】根据题意可知，弹簧总长度y（cm）与所挂物体质量x(kg)之间符合一次函数关系，可设y=kx+b（k≠0），在根据题目所给数据代入求解 【详解】根据题意可得弹簧的长度与所挂物体的重量为一次函数关系，设函数关系式为y=kx+b（k≠0），将（0，12），（1，12.5）代入函数解析式，得 12=b，k+b=12.5 解得 b=12，k=0.5 因此函数关系式为：y=0.5x+12 所以，弹簧总长y（cm）与所挂物体质量x（kg）之间的函数关系式为y=0.5x+12． 【点睛】本题主要考查了用待定系数法求函数的解析式，关键是根据弹簧总长度y与所挂物体质量x之间符合一次函数关系求解． 5．（22-23八年级·全国·单元测试）过点的一条直线与轴、轴分别相交于点，，且与直线平行，求在线段上横、纵坐标都是整数的点的坐标. 【答案】. 【分析】依据与直线平行设出直线AB的解析式；代入点（-1，7）即可求得b，然后求出与x轴的交点横坐标，列举才符合条件的x的取值，依次代入即可． 【详解】过点的一条直线与直线平行，设直线AB为，把代入，得，解得，直线AB的解析式为，令，解得，的整数解为1，2，3，把x等于1，2，3分别代入解析式得y等于4，，1. 在AB线段上，横、纵坐标都是整数的点的坐标是. 【点睛】本题考查两条直线相交或平行问题，解题的关键是熟练掌握待定系数法. 6．（22-23八年级下·云南临沧·阶段练习）一次函数的图象经过点（1，2）和点（-2，5）． （1）求出该一次函数的解析式； （2）当x=10时，y的值是多少？ （3）当y=12时，x的值是多少？ 【答案】（1）；（2）-7；（3）-9. 【分析】（1）用待定系数法即可得到答案； （2）将x=10代入一次函数即可得到答案； （3）将y=12代入一次函数即可得到答案. 【详解】（1）设函数解析式为： 因为图象经过点（1，2）和点（-2，5），代入得 有            解得， 与的函数关系式为： （2）当=10时， （3）当y=12时，x=-9. 【点睛】本题考查一次函数，解题的关键是熟练掌握待定系数法. 【变式训练1 正比例函数的定义】 1．（23-24七年级上·海南海口·开学考试）若（x，y均不为0），则x和y成（      ） A．正比例 B．反比例 C．不成比例 D．无法判断 【答案】A 【分析】根据得到，结合成正比定义判断即可得到答案； 【详解】解：∵， ∴， ∴x和y成正比例， 故选：A； 【点睛】本题考查成正比例的定义：若两个数的商是一个不为0的常数则说这两个数成正比例． 2．（22-23八年级上·陕西西安·期中）已知函数是正比例函数，则m的值为（    ） A． B． C． D．1 【答案】B 【分析】根据正比例函数的定义，可得，，即可求解． 【详解】解：根据题意，得，， 解得． 故选：B． 【点睛】本题考查了正比例函数的定义，理解正比例函数的定义是解题的关键． 3．（22-23八年级下·河北秦皇岛·期末）若一次函数是正比例函数，则 ． 【答案】0 【分析】根据正比例函数的定义可得，即可求得结果． 【详解】解：∵一次函数是正比例函数， ∴． 故答案为：0． 【点睛】本题考查正比例函数的定义，熟练掌握正比例函数的常数项为0是解题的关键． 4．（22-23八年级上·江苏盐城·期末）已知y关于x的函数是正比例函数，则m的值是 ． 【答案】 【分析】根据正比例函数定义可得，且，再解即可． 【详解】解：解：由题意得：，且， 解得：， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了正比例函数定义，关键是掌握形如（k是常数，）的函数叫做正比例函数． 5．（23-24八年级下·福建福州·期中）已知与成正比，当时，，求当时的值． 【答案】0 【分析】本题考查了正比例函数关系式为：，只需一组对应量就可确定解析式．也考查了给定自变量会求对应的函数值． 设，把，代入，求出k的值，确定x，y的关系式，然后把，代入解析式求对应的函数值即可． 【详解】解：∵y与成正比例， ∴设， 把，代入， 可得 ∴， ∴ ∴当时，． 6．（23-24八年级下·河北唐山·期中）已知y是x的正比例函数，x与y的部分对应值如表： x … m … y … 8 … (1)求y与x解析式； (2)求m的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了待定系数法求正比例函数解析式，求函数值等问题，解题的关键是： （1）设y与x解析式为，把，代入求解即可； （2）把，代入（1）中所求解析式，即可求解． 【详解】（1）解：设， 将，代入得：， 解得：， ∴解析式为：． （2）解：由题得，将，代入得：， 解得：． 【变式训练2 识别一次函数】 1．（22-23八年级下·上海长宁·期末）下列函数中，一次函数是(    ) A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据一次函数的定义即可求解．一次函数中、为常数，，自变量次数为． 【详解】解：A.     ，不是一次函数，故该选项不正确，不符合题意； B. ，不是一次函数，故该选项不正确，不符合题意；     C. ，不是一次函数，故该选项不正确，不符合题意；     D. ，是一次函数，故该选项正确，符合题意； 故选：D． 【点睛】本题考查了一次函数的定义，熟练掌握一次函数的定义是解题的关键． 2．（22-23八年级下·湖南怀化·期末）下列函数是关于自变量的一次函数的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据一次函数的定义逐项判断即可． 【详解】解：A.，是反比例函数，不是一次函数，故本选项不符合题意； B.，是二次函数，不是一次函数，故本选项不符合题意； C.，是一次函数，故本选项符合题意； D.，是常数函数，不是一次函数，故本选项不符合题意； 故选：C． 【点睛】本题考查了一次函数，解题的关键是掌握一次函数的定义，注意：形如（，，为常数）的函数，叫一次函数． 3．（22-23八年级下·广西来宾·期末）已知下列函数：；；.其中是一次函数的有 ．（填序号） 【答案】 【分析】根据一次函数的定义进行判断即可. 【详解】解：，是一次函数； ，自变量的次数为2，故不是一次函数； 是一次函数. 故答案为. 【点睛】本题主要考查一次函数的定义，一次函数解析式 y=kx+b 的结构特征： （1）k是常数，k≠0 ；（2）自变量x的次数是1；（3）常数项b可以为任意实数． 4．（22-23八年级下·全国·期末）下列函数中：（1），（2），（3），（4）、是常数），一次函数有 （填序号）. 【答案】（1）（3） 【分析】本题考查了一次函数的定义，即的形式，当时，是正比例函数，且正比例函数是一次函数的特殊形式，根据一次函数的定义条件进行逐一分析即可． 【详解】解：（1）符合一次函数的定义，是一次函数； （2），自变量次数不是1，故不是一次函数； （3），是一次函数； （4）、是常数），当时不是一次函数， 故答案为（1）（3）． 5．（22-23八年级·全国·假期作业）已知，则函数是什么函数？当x时，函数值y是多少？ 【答案】一次函数， 【分析】先根据非负数的性质求出a和b的值，再把a和b的值代入函数解析式即可判断出函数的种类，再把x的值代入求解即可． 【详解】解：∵， ∴，， ∴， ∴函数是一次函数， 当x时， ． 【点睛】本题考查的是一次函数的定义，要根据非负数的性质解答，初中非负数有三种：绝对值，偶次方，二次根式，一次函数y＝kx+b的定义条件是：k、b为常数，k≠0，自变量次数为1． 6．（22-23八年级上·安徽亳州·期末）学校阅览室有一种能坐4人的方桌，如果多于4人，就把方桌按图中的方式摆放，2张方桌摆放到一起能坐6人，请你结合这个规律，回答问题： (1)写出总人数y（人）与方桌数x（张）之间的函数解析式（不要求写自变量的取值范围），并判断y是不是x的一次函数； (2)若八年级（1）班有42人去阅览室看书，则需要多少张这样的方桌？ 【答案】(1) (2)20张 【分析】（1）根据第一张桌子可坐4人，以后每多一张桌子多2人，可列函数关系式，再判断即可； （2）将y=42代入（1）中的函数关系式即可求出． 【详解】（1）解：∵一张方桌坐4人，每多一张方桌就多坐2人， ∴如果是x张方桌，则所坐人数是． ∴y与x之间的函数解析式为， （2）解：把代入， 得，解得． 答：需要20张这们样的方桌． 【点睛】本题考查了根据图形求一次函数的解析式，及一次函数的判断、求自变量的取值，根据图形列出函数表达式是解题的关键． 【变式训练3根据一次图数的定义求参数】 1．（22-23八年级下·云南昭通·期末）若y＝（k﹣2）x|k﹣1|+1表示一次函数，则k等于（　　） A．0 B．2 C．0或2 D．﹣2或0 【答案】A 【分析】依据一次函数的定义可知|k﹣1|＝1且k﹣2≠0，从而可求得k的值． 【详解】解：∵函数y＝（k﹣2）x|k﹣1|+3是一次函数， ∴|k﹣1|＝1且（k﹣2）≠0， 解得：k＝0． 故选：A． 【点睛】此题考查一次函数的定义，注意一次项系数不为0是关键，难度一般． 2．（2023·山西·模拟预测）如图，一次函数的图象经过点和，则的值为（    ） A． B． C．36 D．12 【答案】C 【分析】将P、Q两点坐标代入一次函数解析式即可求出a+b和c+d的值，在将变形得，最后整体代入求值即可． 【详解】解：将P、Q两点坐标代入一次函数解析式得：，即． ∵， ∴将代入上式得：． 故选：C． 【点睛】本题考查一次函数图象上点的坐标特征以及代数式求值．掌握直线上点的坐标满足其解析式是解答本题的关键． 3．（22-23八年级下·福建福州·期中）若直线上的两点分别为、，则a的值为 ． 【答案】 【分析】根据题意可得，进一步求解即可． 【详解】解：∵直线上的两点分别为、， ∴， 解得， 故答案为：． 【点睛】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，熟练掌握一次函数图象上点的坐标特征是解题的关键． 4．（22-23八年级上·江苏泰州·期末）已知点在一次函数的图像上，则的值是 ． 【答案】6 【分析】直接把点代入一次函数，求出的值，代入代数式进行计算即可． 【详解】解：点在一次函数的图象上， ， ， ． 故答案为：6． 【点睛】本题考查的是一次函数图象上点的坐标特点，熟知一次函数图象上各点的坐标一定适合此函数的解析式是解题的关键． 5．（22-23八年级上·安徽淮北·阶段练习）当为何值时，函数是一次函数？求该一次函数的表达式． 【答案】时是一次函数， 【分析】根据一次函数的定义得到，求出m，舍去不符合的结果，即可得到函数解析式． 【详解】解：由题意得：．解得或， 当时，， 所以应舍去， 所以， 这个一次函数表达式为． 【点睛】此题考查了一次函数的定义，求一次函数的解析式，正确掌握一次函数的定义是解题的关键． 6．（22-23八年级上·陕西咸阳·阶段练习）已知函数是关于的一次函数． (1)求的值； (2)判断点、是否在此函数图象上，并说明理由． 【答案】(1) (2)点不在此函数图象上，点在此函数图象上，理由见解析 【分析】（1）先根据一次函数的定义求出m的值； （2）把和代入一次函数的解析式，若计算出来的值等于纵坐标，则点在一次函数图象上，否则不在． 【详解】（1）解：因为函数是关于的一次函数， 所以，所以． 又因为当时，，不合题意，舍去； 所以的值为． （2））由（1）可知，此函数的表达式为． 当时，， 所以点不在此函数图象上；     当时，， 所以点在此函数图象上． 【点睛】本题主要考查了一次函数的定义，一次函数的定义条件是：k、b为常数，，自变量次数为1． 【变式训练4 求一次函数自变量或函数值】 1．（22-23八年级下·四川内江·期中）下列哪个点在函数的图像上（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】将点代入函数解析式，进行判断即可． 【详解】解：A、当时，，符合题意； B、当时，，不符合题意； C、当时，，不符合题意； D、当时，，不符合题意； 故选A． 【点睛】本题考查一次函数图象上的点的特征，解题的关键是掌握直线上的点的横纵坐标，满足一次函数的解析式． 2．（22-23八年级下·山东济宁·期末）在平面直角坐标系中，已知点在直线上，则的值为（    ） A．1 B． C．2 D． 【答案】C 【分析】将代入，变形即可得答案． 【详解】解：∵点在直线上， ∴， ∴， 故选∶C． 【点睛】本题考查一次函数图象上点坐标的特征，解题的关键是掌握一个点在函数图象上，则这个点的坐标满足该函数的解析式． 3．（23-24八年级上·安徽滁州·阶段练习）已知直线经过，则的值为 ． 【答案】8 【分析】把代入直线可得，从而可得答案． 【详解】解：∵直线经过， ∴， ∴即， 故答案为：8 【点睛】本题考查的是一次函数的性质，理解一次函数图象上点的坐标含义是解本题的关键． 4．（22-23八年级上·安徽芜湖·阶段练习）在平面直角坐标系中，直线过点，则的值为 ． 【答案】2019 【分析】把代入即可得到，代入即可求解． 【详解】解：直线过点， ， ， ， 故答案为：2019． 【点睛】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，牢记直线上任意一点的坐标都满足函数关系是解题的关键． 5．（22-23八年级下·河北邢台·阶段练习）已知一次函数． (1)当时，求x． (2)当时，求x的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）把代入中得，再解方程即可； （2）由题意可得不等式，再解不等式组即可． 【详解】（1）把代入中得， 解得：； （2）∵， ∴， 解得：． 【点睛】此题主要考查了一次函数，根据题意得出关于x的不等式和方程是解答此题的关键． 6．（22-23八年级下·湖北襄阳·阶段练习）已知与成正比例，并且当时， (1)写出y与x之间的函数关系式 ； (2)当时，求y的值； (3)当时，求x的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）设，再把、代入求得的值，然后将k代入化简整理即可得与的函数关系式； （2）把代入（1）中所得的函数解析式，求出的值即可； （3）把代入（1）中所得函数解析式，解方程可求得的值即可． 【详解】（1）解：∵与成正比例， ∴设， ∵当时，， ∴，解得：， ∴，即， ∴与的函数关系式为：． （2）解：当时，． （3）解：由可得：，解得：． 【点睛】本题主要考查了求一次函数解析式、正比例的定义、求函数值或自变量等知识点，掌握待定系数法求解函数解析式是解本题的关键． 【变式训练5 列一次函数解析式并求值】 1．（22-23八年级下·山东青岛·单元测试）已知水池的容量为 V m 3 ，每小时灌水量为 50 m 3 ，灌满水所需时间为 t (h)，那么 V 与 t 之间的函数关系式是（ ） A．V ＝50 t B．V ＝50－ t C．v= D．V ＝50+ t 【答案】A 【详解】分析：根据等量关系“体积=流速×时间”列出关系式即可． 详解： ∵体积=流速×时间， ∴V与t之间的函数关系式为：V=50t. 故选A. 点睛：考查了学生列一次函数的能力，解题关键是找出题中的等量关系：“体积=流速×时间”，根据等量关系列关系式即可. 2．（22-23八年级下·天津和平·阶段练习）一次函数中，当时，可以消去，求出结合一次函数图象可知，无论取何值，一次函数的图象一定过定点，则定义像这样的一次函数图象为“点旋转直线”若一次函数y=的图象为“点旋转直线”，那么它的图象一定经过点（  ） A．（1，3） B．（－1，6） C．（1，－6） D．（－1，3） 【答案】B 【分析】把一次函数 整理为，再令，求出y的值即可． 【详解】解：一次函数整理得 ， ∴令，则， ∴， ∴它的图象一定经过点． 故选：B． 【点睛】本题考查的是一次函数图象上点的坐标特点，熟知一次函数图象上各点的坐标一定适合此函数的解析式是解答此题的关键． 3．（22-23八年级下·上海松江·期中）汽车油箱中现有汽油60升，若每小时耗油10升，则油箱中剩余油量（升）与燃烧的时间（小时）之间的函数关系式是 ． 【答案】y=60-10x 【分析】由剩余油量=原有油量-耗油量可得解析式． 【详解】解：原有油量为60升，每小时耗油10升， ∴y=60-10x． 故答案为：y=60-10x． 【点睛】本题考查一次函数求解析式，解题关键是通过题意列出代数式． 4．（22-23七年级下·山东济南·期中）某水果店卖出的香蕉数量（千克）与售价（元）之间的关系如表： 数量（千克） 1 1.5 2 2.5 3 …… 售价（元） 3 4.5 6 7.5 9 …… 如果卖出的香蕉数量用x（千克）表示，售价用y（元）表示，则y与x的关系式为 ． 【答案】y=3x 【分析】根据表格中两个变量的对应值，得出两个变量的商是一定的，进而得出函数关系式． 【详解】解：由表格中两个变量的对应值可得， ， 所以y与x之间的函数关系式为y=3x， 故答案为：y=3x． 【点睛】本题考查函数关系式，通过表格中两个变量的对应值得出这两个变量的商一定是解决问题的关键． 5．（22-23八年级上·全国·课后作业）我国某地区现有人工造林面积12万公顷，规划今后10年每年新增造林面积大致相同，约为0.61至0.62万公顷．请估算6年后该地区的造林总面积达到多少万公顷． 【答案】15.66万至15.72万公顷 【分析】根据题意列出一次函数，在自变量的取值范围中求出函数值的取值． 【详解】解  设p表示今后10年每年新增造林的公顷数，则．设6年后该地区的造林总面积为S万公顷，则． 这个一次函数中，一次项系数，所以S随p的增大而增大． ∵， ∴，即． 答：6年后该地区的造林总面积达到15.66万至15.72万公顷． 【点睛】本题考查列一次函数并求函数值，自变量的取值范围是解题的关键． 6．（22-23八年级上·贵州贵阳·期中）甲、乙两地相距120km，现有一列火车从乙地出发，以80km/h的速度向甲地行驶．设x（h）表示火车行驶的时间，y（km）表示火车与甲地的距离． （1）写出y与x之间的关系式，并判断y是否为x的一次函数； （2）当x=0.5时，求y的值． 【答案】（1），y是x的一次函数；（2） 【分析】（1）根据题意，首先计算得出y与x之间的关系式，再根据一次函数的性质分析，即可得到答案； （2）根据（1）的结论，将x=0.5代入到一次函数并计算，即可得到答案． 【详解】（1）根据题意，火车与乙地的距离表示为：80x（km） ∵甲、乙两地相距120km ∴火车与甲地的距离表示为：（km），即； 当火车到达甲地时，即 ∴，即火车行驶1.5h到达甲地 ∴ y是x的一次函数； （2）根据（1）的结论，得：． 【点睛】本题考查了一次函数的知识；解题的关键是熟练掌握一次函数的性质，从而完成求解． 1．（22-23八年级下·江西赣州·期末）下列式子中，表示是的正比例函数的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据正比例函数的定义解答即可． 【详解】解：A．的自变量的次数是，不是正比例函数，故此选项不符合题意； B．的分母中含有自变量，不是正比例函数，故此选项不符合题意； C．是正比例函数，故此选项符合题意； D．不是正比例函数，故此选项不符合题意． 故选：C． 【点睛】本题考查正比例函数的识别，一般地，形如（是常数且）的函数叫做正比例函数，注意条件：是常数且，自变量次数为．掌握正比例函数的定义是解题的关键． 2．（22-23八年级上·安徽合肥·阶段练习）下列函数：（1）；（2）；（3）；（4）；（5）中，是一次函数的有（    ）个 A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】B 【分析】根据一次函数的定义：，逐一进行判断即可． 【详解】解：（1）是正比例函数，也是一次函数； （2）是一次函数； （3）的分母含有自变量x，不是一次函数； （4）是二次函数，不是一次函数； （5）是正比例函数，也是一次函数． 是一次函数的有3个， 故选B． 【点睛】本题考查一次函数的识别．熟练掌握一次函数的定义，是解题的关键． 3．（2023·陕西西安·二模）若点关于轴的对称点在一次函数的图象上，则的值为（    ） A． B．0 C． D． 【答案】A 【分析】依题意，点 关于轴的对称点为，然后将点带入一次函数解析式即可； 【详解】由题知，点关于轴的对称点坐标的规律---横坐标变为相反数，纵坐标不变， 可得：对称点 将点代入一次函数，即为，可得：； 故选：A 【点睛】本题主要考查点的对称、一次函数解析式的性质，难点在熟悉二者的衔接； 4．（2024·湖北武汉·模拟预测）预防高血压不容忽视，“千帕”和“毫米汞柱”都是表示血压的单位，请你根据表格提供的信息判断，下列各组换算正确的是（   ） 千帕 … 10 12 14 … 毫米汞柱 … 75 90 105 … A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了一次函数的应用，解决本题的关键是利用待定系数法求一次函数解析式，是基础题，比较简单．通过观察，我们不难发现，千帕每增加2，毫米汞柱升高15，然后利用待定系数法求出一次函数解析式，再对各选项进行验证即可得解． 【详解】解：根据题意得每增加2千帕，增加15毫米汞柱， 设x千帕，毫米汞柱为y，开始时毫米汞柱为b， 故千帕与毫米汞柱的关系式为， 将点代入得：， 解得：， ∴关系式为：； A、当时，，即，故本选项错误，不符合题意； B、当时，，即，故本选项错误，不符合题意； C、当时，，即，故本选项错误，不符合题意； D、当时，，即，故本选项正确，符合题意；． 故选：D． 5．（2023·浙江嘉兴·一模）目前，我国大约有1.3亿高血压病患者，占15岁以上总人口数的10%﹣15%，预防高血压不容忽视．“千帕kpa”和“毫米汞柱mmHg”都是表示血压的单位，前者是法定的国际计量单位，而后者则是过去一直广泛使用的惯用单位．请你根据下表所提供的信息，判断下列各组换算不正确的是（    ） 千帕kpa 10 12 16 … 毫米汞柱mmHg 75 90 120 … A．18kpa=135mmHg B．21kpa=150mmHg C．8kpa=60mmHg D．32kpa=240mmHg 【答案】B 【分析】由表可得：千帕每增加2，毫米汞柱升高15，然后设千帕与毫米汞柱的关系式为y=kx+b（k≠0），利用待定系数法求出一次函数解析式，再对各选项进行验证即可得解： 【详解】设千帕与毫米汞柱的关系式为y=kx+b（k≠0），则 ，解得 ． ∴千帕与毫米汞柱的关系式为y=7.5x． A、x=18时，y=18×7.5=135，即18kpa=135mmHg，选项正确，不符合题意； B、x=21时，y=21×7.5=157.5，即，21kpa=157.5mmHg，选项错误，符合题意； C、x=8时，y=8×7.5=60，即8kpa=60mmHg，选项正确，不符合题意； D、x=32时，y=32×7.5=240，即32kpa=240mmHg，选项正确，不符合题意． 故选B． 【点睛】本题考查用表格法表示函数，通过分析表格求出函数的解析式是解题的关键． 6．（23-24八年级上·安徽宣城·期中）函数是正比例函数，则 ． 【答案】 【分析】根据正比例函数的定义：“形如，这样的函数叫做正比例函数”，得到，求解即可． 【详解】解：∵是正比例函数， ∴， ∴； 故答案为：2． 7．（22-23八年级·全国·假期作业）下列函数关系式：①y＝kx+1；②y＝；③y＝x2+1；④y＝22﹣x．其中是一次函数的有 个． 【答案】1 【分析】根据一次函数的定义解答即可． 【详解】解：①当k=0时，y＝kx+1不是一次函数； ②y＝的右边不是整式，不是一次函数； ③y＝x2+1的自变量的次数是2，不是一次函数； ④y＝22﹣x是一次函数． 故答案为：1． 【点睛】本题考查了一次函数的定义，一般地，形如y=kx+b，（k为常数，k≠0）的函数叫做一次函数． 8．（23-24七年级上·山东威海·期末）已知函数是关于的一次函数，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了一次函数的定义．熟练掌握一次函数的定义是解题的关键． 由题意得，，计算求出满足要求的解即可． 【详解】解：∵函数是关于的一次函数， ∴， 解得，， ∴， 故答案为：． 9．（23-24八年级上·江苏泰州·阶段练习）定义：对于给定的一次函数（a，b为常数，且），把形如 的函数称为一次函数的“衍生函数”，已知一次函数，若点在这个一次函数的“衍生函数”图像上，则m的值是 ． 【答案】 【分析】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，根据“衍生函数”的定义，找出一次函数的“衍生函数”是解题的关键． 【详解】解：由定义知，一次函数的“衍生函数”为， ∵点在一次函数的“衍生函数”图象上，， ∴． 故答案为：． 10．（2023·江苏南通·一模）下表中记录了一次试验中时间和温度的数据．若温度的变化是均匀的，则18分钟时的温度是 °C． 时间/分钟 0 5 10 15 20 25 温度/°C 10 25 40 55 70 85 【答案】64 【分析】根据表格中的数据可知温度随时间的增加而上升，且每分钟上升，写出函数关系式，进而把代入计算即可． 【详解】解：根据表格中的数据可知温度随时间的增加而上升，且每分钟上升， 则关系式为：， 当时，． 故分钟时的温度是． 故答案为：64． 【点睛】本题考查了一次函数的应用，解题的关键是分析表格得出温度与时间的关系式． 11．（22-23八年级下·甘肃平凉·阶段练习）若函数是正比例函数，求k的值． 【答案】 【分析】根据正比例函数的概念求解即可，形如的函数为正比例函数． 【详解】解：由题意可得： 解得． 故答案为：． 【点睛】此题考查了正比例函数的概念，熟练掌握正比例函数的概念是解题的关键． 12．（22-23八年级下·北京昌平·阶段练习）已知函数； (1)当取何值时，这个函数是正比例函数？ (2)当在什么范围内取值时，这个函数是一次函数？ 【答案】(1)当时，这个函数为正比例函数 (2)当时，这个函数是一次函数 【分析】（1）根据正比例函数的定义求解即可； （2）根据一次函数的定义求解即可． 【详解】（1）解：∵函数是正比例函数， ∴， ∴， ∴当时，这个函数为正比例函数； （2）解：∵函数是一次函数， ∴， ∴， ∴当时，这个函数是一次函数． 【点睛】本题主要考查了一次函数与正比例函数的定义，熟知二者的定义是解题的关键． 13．（22-23八年级下·湖北襄阳·期末）已知y与x+1成正比例，且当x＝1时，y＝6； (1)求出y与x之间的函数关系式； (2)当x＝﹣3时，求y的值． 【答案】(1)y＝3x+3 (2)-6 【分析】（1）根据题意，可设y＝k（x+1），再把x＝1，y＝6代入，即可求解； （2）把x＝﹣3代入函数关系式，即可求解． 【详解】（1）解：根据题意，可设y＝k（x+1）， 把x＝1，y＝6代入得：6＝2k， 解得：k＝3， ∴y＝3（x+1）＝3x+3， 即y与x之间的函数关系式为y＝3x+3； （2）解：当x＝﹣3时，y＝3×（﹣3）+3＝﹣6． 【点睛】本题主要考查了待定系数法求函数关系式，正比例函数的定义，熟练掌握正比例函数的定义是解题的关键． 14．（22-23八年级·全国·假期作业）正方形的面积S是边长x的函数，它的表达式是S＝x2．如果正方形的边长的变化范围很小，例如x从1变到1.08，我们来观察面积S的变化情况： x 1 1.02 1.04 1.06 1.08 S 1 1.040 1.082 1.124 1.166 （1）分别计算x从1变到1.02，从1.02变到1.04，从1.04变到1.06，从1.06变到1.08时，面积S增大了多少； （2）根据第（1）题的计算结果，当边长x从1变到1.08时，正方形的面积S可不可以看成边长x的一次函数？由此受到启发，你能做出什么猜测？ 【答案】（1）面积S依次增大了0.040，0.042，0.042，0.042；（2）不可以，猜测：面积与边长不成一次函数关系 【分析】（1）根据表格中的数据，计算出x的相邻两个值之间所对应的面积之差即可求解； （2）比较（1）计算计算的差值，看看是否相等，相等即为一次函数，若不相等，则不是一次函数． 【详解】解：（1）1.040﹣1＝0.040， 1.082﹣1.040＝0.042， 1.124﹣1.082＝0.042， 1.166﹣1.124＝0.042， 即x从1变到1.02，从1.02变到1.04，从1.04变到1.06，从1.06变到1.08时，面积S依次增大了0.040，0.042，0.042，0.042； （2）因为x由1变到1.08时，正方形面积S的变化值不是定值，所以正方形的面积S不可以看成边长x的一次函数， 猜测：面积与边长不成一次函数关系． 【点评】本题考查了一次函数的定义，能理解一次函数的定义是解此题的关键，注意：形如y＝kx+b（k、b为常数，k≠0）的函数叫一次函数． 15．（2023·陕西西安·二模）北京冬季奥运会和冬残奥运会的吉祥物“冰墩墩”和“雪容融”深受全世界人民的喜爱，某生产厂家经授权每天生产两种吉祥物挂件共600件，且当天全部售出，原料成本、销售单价及工人生产提成如表所示：设该厂每天制作“冰墩墩”挂件x件，每天获得的利润为y元． 原料成本（元/件） 生产提成（元/件） 销售单价（元/件） “冰墩墩” 32 5 45 “雪容融” 28 6 40 (1)求出y与x之间的函数关系式； (2)若该厂每天生产“雪容融”200件，该厂一天所获得的总利润是多少？ 【答案】(1) (2)4400 【分析】（1）根据总利润等于销售两种吉祥物挂件的利润之和，列出式子即可解决问题； （2）根据题意得求出x，结合（1）的结论即可解答． 【详解】（1）解：由题意得： ， 即y与x之间的函数关系式为； （2）解：由题意得：                                                  答：该厂一天所获得的总利润是4400元． 【点睛】本题考查了一次函数的应用，难度一般，解答本题的关键是读懂题意列出函数关系式并熟练掌握及一次函数求函数值的方法． 学科网（北京）股份有限公司 $$