精品解析：江苏省宿迁市2023-2024学年高一下学期6月期末考试数学试题

高一年级调研测试 数学 本试卷共6页，22小题，满分150分，考试用时120分钟. 注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.将条形码横贴在答题卡上“条形码粘贴处”. 2.作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔在答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案.答案不能答在试卷上. 3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液.不按以上要求作答无效. 4.考生必须保持答题卡的整洁.考试结束后，将试卷和答题卡一并交回. 一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题意要求的.） 1. 计算的值为（ ） A. B. C. D. 2. 已知复数满足（为虚数单位），则的共轭复数对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 3. 从两个班级各随机抽取5名学生测量身高（单位：），甲班的数据为169，162，150，160，159，乙班的数据为180，160，150，150，165.据此估计甲、乙两班学生的平均身高，及方差，的关系为（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 4. 已知向量，向量，则向量在向量上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 5. 《史记》中讲述了田忌与齐王赛马的故事：“田忌的上等马优于齐王的中等马，劣于齐王的上等马；田忌的中等马优于齐王的下等马，劣于齐王的中等马；田忌的下等马劣于齐王的下等马”.若双方各自拥有上、中、下等马各1匹，从中随机选1匹进行1场比赛，则齐王的马获胜的概率为 A. B. C. D. 6. 已知点，，，下列说法正确的是（ ） A. B. C. 点到直线的距离为 D. 7. 已知，，表示三条不同的直线，，表示不同的平面，则（ ） A. 若，，则 B. 若，，，则 C. 若，，，则 D. 若，，，，则 8. 已知正四棱台上、下底面边长分别为2和4，若该正四棱台的侧面积为，则侧棱与底面所成的角为（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.） 9. 一只不透明的口袋内装有9张卡片，上面分别标有数字1，2，3，…，9.从袋中任意抽取1张卡片，记“抽出的卡片号为1，4，7”为事件A，“抽出的卡片号小于7”为事件，“抽出的卡片号大于7”记为事件.下列说法正确的是（ ） A. 事件A与事件是互斥事件 B. 事件A与事件是互斥事件 C. 事件A与事件相互独立 D. 事件与事件是对立事件 10. 已知，且复平面内对应的点为，则下面说法正确的有（ ） A. B. 若，则，中至少有个是 C. 满足的点形成的图形的面积为 D. 若，则的最小值为 11. 如图，在正方体中，若为棱的中点，点在侧面（包括边界）上运动，且∥平面，下面结论正确的是（ ） A. 点运动轨迹为一条线段 B. 直线与所成角可以为 C. 三棱锥的体积是定值 D. 若正方体的棱长为1，则平面与正方体的截面的面积为 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分.） 12. 如图，用，，这3类不同元件连接成系统，每个元件是否正常工作不受其它元件的影响，当元件正常工作且，中至少有一个正常工作时，系统正常工作.已知元件，，正常工作的概率分别为0.8，0.7，0.9，则系统正常工作的概率是______. 13. 粽，即粽籺，俗称粽子，据考证，粽早在春秋之前就已出现，最初是用来祭祀祖先和神灵；到了晋代，粽子成为端午节的节庆食物.端午食粽的风俗，传播甚远.包粽子是端午节的一种传统风俗，同学们在劳动课上学习包粽子，将包的四角蛋黄粽近似看成一个正四面体，蛋黄近似看成一个球体，且每个粽子里仅包裹一个蛋黄，若粽子的棱长为，则其内可包裹的蛋黄的最大体积为______. 14. 记的三个内角，且，，若是的外心，是角的平分线，在线段上，则______. 四、解答题（本题共5大题，共77分.解答应写出必要文字说明、证明过程或演算步骤.） 15. 如图，，，分别是的边，，上的点，且，，，，，.设，. （1）用向量，表示； （2）求. 16. 如图，在三棱锥中，，，，分别是，的中点，是上一点. （1）若平面平面，求证：； （2）若点在上，且满足，求证：直线，，相交于一点. 17. 已知向量，，设. （1）求的最小正周期； （2）若，，求的值. 18. 某企业准备购进新型机器以提高生产效益.根据调查得知，使用该新型机器生产产品的质量是用质量指标值来衡量的，按质量指标值划分产品等级的标准如图表1. 图表1 质量指标值 或 或 等级 一等品 二等品 三等品 现从该新型机器生产的产品中随机抽取200件作为样本，检测其质量指标值，得到如图表2所示的频率分布直方图. （1）用分层抽样的方法从样本质量指标值在区间和内的产品中随机抽取6件，再从这6件中任取2件作进一步研究，求这2件产品都取自区间的概率； （2）根据市场调查得到该新型机器生产的产品的销量数据如图表3： 图表3 产品等级 一等品 二等品 三等品 销售率 单件产品原售价 20元 15元 10元 未按原价售出的产品统一按原售价的全部售出 （产品各等级的销售率为等级产品销量与其对应产量的比值） 已知该企业购进新型机器的前提条件是，该机器生产的产品同时满足下列两个条件： ①质量指标值的平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）不低于300. ②单件产品平均利润不低于4元. 已知该新型机器生产的产品的成本为10元/件，月产量为2000件，根据图表1、图表2、图表3信息，分析该新机器是否达到企业的购进条件. 19. 在锐角中，角，，对边为，，，若，. （1）求角的大小； （2）若为中点，且，求的面积； （3）如图，过点在所在平面内作，且满足.求线段的最大值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高一年级调研测试 数学 本试卷共6页，22小题，满分150分，考试用时120分钟. 注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.将条形码横贴在答题卡上“条形码粘贴处”. 2.作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔在答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案.答案不能答在试卷上. 3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液.不按以上要求作答无效. 4.考生必须保持答题卡的整洁.考试结束后，将试卷和答题卡一并交回. 一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题意要求的.） 1. 计算的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据诱导公式和差角公式化简计算即可． 【详解】 故选：B. 2. 已知复数满足（为虚数单位），则的共轭复数对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】B 【解析】 【分析】结合复数的除法性质可求出，进而可求出，即可明确在复平面内对应的点. 【详解】由题意可知，， 所以， 所以共轭复数对应的点为，在第二象限. 故选：B. 3. 从两个班级各随机抽取5名学生测量身高（单位：），甲班的数据为169，162，150，160，159，乙班的数据为180，160，150，150，165.据此估计甲、乙两班学生的平均身高，及方差，的关系为（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】D 【解析】 【分析】由题意，根据平均数和方差的计算公式分别计算，即可下结论. 【详解】， 所以， ， 所以，. 故选：D 4. 已知向量，向量，则向量在向量上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据投影向量的计算公式求解即可． 【详解】因为向量，向量，则，， 所以向量在向量上的投影向量是：. 故选：C. 5. 《史记》中讲述了田忌与齐王赛马的故事：“田忌的上等马优于齐王的中等马，劣于齐王的上等马；田忌的中等马优于齐王的下等马，劣于齐王的中等马；田忌的下等马劣于齐王的下等马”.若双方各自拥有上、中、下等马各1匹，从中随机选1匹进行1场比赛，则齐王的马获胜的概率为 A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】记田忌的上等马、中等马、下等马分别为，，，齐王的上等马、中等马、下等马分别为，，，然后列出所有的情况和满足所求事件的情况即可得到答案. 【详解】依题意，记田忌上等马、中等马、下等马分别为，，，齐王的上等马、中等马、下等马分别为，，. 由题意可知，可能比赛为，，，，，，，，，共9种， 其中田忌可以获胜的事件为，，，共3种，则齐王的马获胜的概率. 故选：A 【点睛】本题考查的是利用列举法解决古典概型的问题，较简单. 6. 已知点，，，下列说法正确的是（ ） A. B. C. 点到直线的距离为 D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据平面向量线性运算和数量积的坐标表示，以及向量的几何意义，结合选项计算依次判断即可. 【详解】A：，所以，故A错误； B：由选项A知，，， 所以，由得，故B错误； C：，得，即， 所以点到的距离为，故C正确； D：由选项C知，，所以，故D错误. 故选：C 7. 已知，，表示三条不同的直线，，表示不同的平面，则（ ） A. 若，，则 B. 若，，，则 C. 若，，，则 D. 若，，，，则 【答案】C 【解析】 【分析】根据线线、线面、面面之间的基本关系，结合选项依次判断即可. 【详解】A：若，则或，故A错误； B：若，则或，故B错误； C：若，则，故C正确； D：若，且，则，故D错误. 故选：C 8. 已知正四棱台的上、下底面边长分别为2和4，若该正四棱台的侧面积为，则侧棱与底面所成的角为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据给定条件，求出正四棱台的侧面等腰梯形的高、侧棱，再结合正四棱台的构造特征求出线面角. 【详解】在正四棱台中，，令分别是正方形的中心， 连接，显然四边形是直角梯形，且是侧棱与底面所成的角， 由正四棱台的侧面积为，得等腰梯形的面积为， 过作于，则，解得，而， 因此，而，，， 所以侧棱与底面所成的角为. 故选：B 【点睛】思路点睛：求直线与平面所成的角的一般步骤：①找直线与平面所成的角，即通过找直线在平面上的射影来完成；②计算，要把直线与平面所成的角转化到一个三角形中求解． 二、多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.） 9. 一只不透明的口袋内装有9张卡片，上面分别标有数字1，2，3，…，9.从袋中任意抽取1张卡片，记“抽出的卡片号为1，4，7”为事件A，“抽出的卡片号小于7”为事件，“抽出的卡片号大于7”记为事件.下列说法正确的是（ ） A. 事件A与事件是互斥事件 B. 事件A与事件是互斥事件 C. 事件A与事件相互独立 D. 事件与事件是对立事件 【答案】AC 【解析】 【分析】根据题意利用列举法求和，结合互斥事件、独立事件和对立事件的定义逐项分析判断. 【详解】由题意可知：样本空间， 则，可得， 对于选项A：因为，所以事件A与事件是互斥事件，故A正确； 对于选项B：因为，所以事件A与事件不是互斥事件，故B错误； 对于选项C：由选项B可知，则， 可知，所以事件A与事件相互独立，故C正确； 对于选项D：因为， 所以事件与事件不是对立事件，故D错误； 故选：AC. 10. 已知，且复平面内对应的点为，则下面说法正确的有（ ） A. B. 若，则，中至少有个是 C. 满足的点形成的图形的面积为 D. 若，则的最小值为 【答案】ABD 【解析】 【分析】设复数，对于A，分别计算即可；对于B，根据可得即可判断；对于C，由可得即可判断；对于D，由得，并计算即可计算最小值. 【详解】设复数， 对于A，，则 ， 所以， 而，故A正确； 对于B，若， 则，即，则或， 则或，则，中至少有个是，故B正确； 对于C，， 所以，所以点形成的图形面积为，故C错误； 对于D，因为，所以， 且， 所以 ，且 所以， 所以最小值为，故D正确. 故选：ABD. 11. 如图，在正方体中，若为棱的中点，点在侧面（包括边界）上运动，且∥平面，下面结论正确的是（ ） A. 点的运动轨迹为一条线段 B. 直线与所成角可以为 C. 三棱锥的体积是定值 D. 若正方体的棱长为1，则平面与正方体的截面的面积为 【答案】ACD 【解析】 【分析】不妨设正方体棱长为1，对于A：可证平面∥平面，进而可知，即可得结果；对于B：分析可知直线与所成角为，且，分析的长度即可；对于C：分析可知∥平面，根据平行的定值结合锥体体积公式分析判断；对于D：分析可知平面与正方体的截面为四边形，求长度即可得面积. 【详解】不妨设正方体的棱长为1， 对于选项A：取中点，连接， 由题意可知：∥，且， 可知为平行四边形，则∥， 又因为分别为的中点，则∥，可得∥， 且平面，平面，可得∥平面， 因为分别为的中点，则∥，且， 又因为∥，且，可得∥，且， 可知为平行四边形，则∥， 且平面，平面，可得∥平面， 由，平面，可得平面∥平面， 若∥平面，可知平面， 且侧面，侧面平面，可知， 所以点的运动轨迹为一条线段，故A正确； 对于选项B：因为点的运动轨迹为线段， 则直线与所成角为， 因为侧面，侧面，则， 在中，， 又因为，则有： 当为线段的中点时，取到最小值； 当为线段的端点时，取到最大值； 则，即，可知，故B错误； 对于选项C：由选项A可知：平面∥平面，且平面， 则∥平面， 且，可知点到平面的距离为定值， 即三棱锥的高为定值，且的面积为定值， 所以三棱锥的体积是定值，故C正确； 对于选项D：取的中点，连接， 因为分别为的中点，则∥， 由选项A可知：∥，则∥， 所以平面与正方体的截面为四边形， 由题意可知：， 则等腰梯形的高， 所以截面的面积为，故D正确； 故选：ACD. 【点睛】关键点点睛：本题的关键在于证明平面∥平面，结合面面平行的性质分析点的运动轨迹，进而逐项分析求解. 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分.） 12. 如图，用，，这3类不同的元件连接成系统，每个元件是否正常工作不受其它元件的影响，当元件正常工作且，中至少有一个正常工作时，系统正常工作.已知元件，，正常工作的概率分别为0.8，0.7，0.9，则系统正常工作的概率是______. 【答案】## 【解析】 【分析】根据独立事件概率公式求解． 【详解】设元件，，正常工作分别为事件，，， 则，，， ，中至少有一个正常工作的概率为：， 则系统正常工作概率为：． 故答案为：. 13. 粽，即粽籺，俗称粽子，据考证，粽早在春秋之前就已出现，最初是用来祭祀祖先和神灵；到了晋代，粽子成为端午节的节庆食物.端午食粽的风俗，传播甚远.包粽子是端午节的一种传统风俗，同学们在劳动课上学习包粽子，将包的四角蛋黄粽近似看成一个正四面体，蛋黄近似看成一个球体，且每个粽子里仅包裹一个蛋黄，若粽子的棱长为，则其内可包裹的蛋黄的最大体积为______. 【答案】 【解析】 【分析】蛋黄近似看成一个棱长为6cm的正四面体的内切球，设正面体的内切球的球心为，球的半径为，正四面体的表面积为，体积为，则由可求出，从而可求出蛋黄的体积. 【详解】蛋黄近似看成一个棱长为6cm的正四面体的内切球， 设正面体的内切球的球心为，球的半径为，正四面体的表面积为，体积为， 因为正四面体的棱长为6， 所以正四面体的高， 正四面体的表面积为， 因为， 所以，解得， 所以蛋黄的体积为， 故答案为：. 14. 记的三个内角，且，，若是的外心，是角的平分线，在线段上，则______. 【答案】 【解析】 【分析】由角平分线结合等面积法可得，再运用外心性质（垂径定理）和向量加法把要求的向量分解为共线向量和垂直向量即可求解. 【详解】是角的平分线，在线段上，且，，， ，设的高为，由等面积法得， ， 过点作垂线分别交于，由外心性质得分别为的中点， . 故答案为：. 【点睛】关键点点睛：本题的关键之一是首先利用角平分线的性质得到，再利用外心的性质将部分数量积转化为0计算即可. 四、解答题（本题共5大题，共77分.解答应写出必要文字说明、证明过程或演算步骤.） 15. 如图，，，分别是的边，，上的点，且，，，，，.设，. （1）用向量，表示； （2）求. 【答案】（1） （2）1 【解析】 【分析】（1）根据题意结合向量的线性运算分析求解； （2）根据题意结合向量的线性运算可得，再根据数量积的定义以及运算律分析求解. 【小问1详解】 由题意可知：. 【小问2详解】 由题意可知：， 因为，，， 则， 所以. 16. 如图，在三棱锥中，，，，分别是，的中点，是上一点. （1）若平面平面，求证：； （2）若点在上，且满足，求证：直线，，相交于一点. 【答案】（1）证明见详解 （2）证明见详解 【解析】 【分析】（1）根据面面垂直的性质可得平面，进而可证； （2）分析可知为梯形，可设，根据平面的性质可证，即可得结果. 【小问1详解】 由题意可知：， 若平面平面，且平面平面，平面， 可知平面，且平面，所以. 【小问2详解】 连接， 因为，分别是，的中点，则∥，且； 又因为，则∥，且； 可得∥，且，可知四点共面，且为梯形， 则可设，则， 且平面，平面，则平面，平面， 且平面平面，可知， 所以直线，，相交于一点. 17. 已知向量，，设. （1）求的最小正周期； （2）若，，求的值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由数量积的坐标运算可得，然后将其化为基本型，即可求出周期； （2）由题意可得，由，求出的范围，再由三角函数的平方关系求出，则，由两角和的正弦公式化简即可得出答案. 【小问1详解】 因为 ， 所以函数的最小正周期； 【小问2详解】 ， ， ， 故 . 18. 某企业准备购进新型机器以提高生产效益.根据调查得知，使用该新型机器生产产品的质量是用质量指标值来衡量的，按质量指标值划分产品等级的标准如图表1. 图表1 质量指标值 或 或 等级 一等品 二等品 三等品 现从该新型机器生产的产品中随机抽取200件作为样本，检测其质量指标值，得到如图表2所示的频率分布直方图. （1）用分层抽样的方法从样本质量指标值在区间和内的产品中随机抽取6件，再从这6件中任取2件作进一步研究，求这2件产品都取自区间的概率； （2）根据市场调查得到该新型机器生产的产品的销量数据如图表3： 图表3 产品等级 一等品 二等品 三等品 销售率 单件产品原售价 20元 15元 10元 未按原价售出的产品统一按原售价的全部售出 （产品各等级的销售率为等级产品销量与其对应产量的比值） 已知该企业购进新型机器的前提条件是，该机器生产的产品同时满足下列两个条件： ①质量指标值的平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）不低于300. ②单件产品平均利润不低于4元. 已知该新型机器生产的产品的成本为10元/件，月产量为2000件，根据图表1、图表2、图表3信息，分析该新机器是否达到企业的购进条件. 【答案】（1） （2）该新型机器没有达到该企业的认购条件 【解析】 【分析】（1）根据分层抽样求各层数量，利用列举法结合古典概型分析求解； （2）利用频率分布直方图的平均数计算方法和平均利润公式求解. 【小问1详解】 因为质量指标值在区间和内的频率分别为， 可知样本中质量指标值在区间有件，设为； 质量指标值在区间内有件，设为， 则这6件中任取2件，则样本空间 ， 可知， 记“这2件产品都取自区间”为事件A， 则，可知， 所以. 【小问2详解】 由频率分布直方图可知，产品质量指标值的平均数为 故满足认购条件①； 再分析该产品的单价平均利润值： 由频率分布直方图可知，新型机器生产的产品为一､二､三等品的概率估计值分别为： ， 故2000件产品中，一､二､三等品件数估计值为：件， 一等品的利润元， 二等品的利润元， 三等品的利润元， 则2000件产品的总利润为：元， 故2000件产品的单件平均利润的估计值为， 故不满足认购条件②. 综上，该新型机器没有达到该企业的认购条件. 19. 在锐角中，角，，的对边为，，，若，. （1）求角的大小； （2）若为的中点，且，求的面积； （3）如图，过点在所在平面内作，且满足.求线段的最大值. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）先由正弦定理将原式中的角化为边，再结合余弦定理即可得出； （2）由已知可得，两边平方，结合余弦定理可得，则面积可求； （3）令，利用正弦定理将表示为含的表达式，再利用两角和差的正弦公式结合正弦型函数的性质即可求得最值. 【小问1详解】 因为，， 所以，即， 由余弦定理得， 又，∴． 【小问2详解】 因为是的中点，所以，两边平方可得， 即， 又，所以， 面积为. 【小问3详解】 设，当DC与外接圆（设圆心为O）相切时， 此时， 故， 所以. 又， 所以， 所以， 所以，则， 则， 在中，由正弦定理得， 所以， 在中，由正弦定理得， 所以， 因为， 所以 所以 ， 又，所以， 所以当，即时，有最大值，最大值为. 【点睛】难点点睛：本题主要考查正弦定理、余弦定理及面积公式的运用，以及利用正弦函数的有界性求最值，考查化简整理的运算能力，属于较难题．解三角形中的范围问题大部分都是利用基本不等式或利用三角函数的有界性求范围或最值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $