2023-2024学年高一下学期数学人教A版（2019）必修第二册期末考试预测卷

莫道桑榆晚，为霞尚满天 2023-2024学年高一数学下学期期末预测卷 （新高考19题） （考试范围：人教A版（2019） 全册） 全卷满分150分，时间120分钟 注意事项： 1. 答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号、座位号、学校、班级等考生信息填 写在答题卡上。 2. 作答单项及多项选择题时，选出每个小题答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目 的答案信息点涂 黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案，写在本试卷上无效。 3. 非选择题必须用黑色字迹签字笔作答，答案必须写在答题卡各题指定的位置上， 写在本试卷上无 效。 一、单选题 ：本题共8小题，每小题满分5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只 有一项符合题目要求，选对得5分，选错得0分。 1. 在复平面内，复数的共轭复数的虚部为 （　　） A． B． C． D． 2.已知向量，则在上的投影向量的坐标为（　　） A． B． C． D． 3.如图，是水平放置的在斜二测画法下的直观图若，，，则的面积为(　　) A． B． C． D． 4.甲、乙两人每次射击命中目标的概率分别为与，且每次射击命中与否互不影响，现两人玩射击游戏，规则如下：每次由1人进行射击，若射击一次不中，则原射击人继续射击，若射击一次命中，则换对方接替射击，且第一次由甲射击.则前4次中甲恰好射击3次的概率为（　　） A． B． C． D． 5.对于两条不同直线m，n和两个不同平面，以下结论中正确的是(　　) A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 6.如图，一艘船航行到点处时，测得灯塔在其北偏西的方向，随后该船以海里/小时的速度，往正北方向航行两小时后到达点，测得灯塔在其南偏西的方向，此时船与灯塔间的距离为(　　) A．海里 B．海里 C．海里 D．海里 7.若数据、、⋯的平均数是5，方差是4，数据、、⋯、的平均数是4，标准差是s，则下列结论正确的是（　　） A．， B．， C．， D．， 8.在△ABC中，为上一点，且，，，则（　　） A． B． C． D． 二、多选题：本题共3小题，每小题满分6分，共18分。在每小题给出的四个选项中， 有 多项符合题目要求。全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分。 9.已知为虚数单位，下列说法正确的是(　　) A．若复数，则 B．若复数满足，则 C．若复数满足，则或 D．若复数满足，则在复平面内对应的点的轨迹为直线 10.已知某市2017年到2022年常住人口（单位：万）变化图如图所示，则（　　） A．该市2017年到2022年这6年的常住人口的极差约为38万 B．该市2017年到2022年这6年的常住人口呈递增趋势 C．该市2017年到2022年这6年的常住人口的第60百分位数为730.50万 D．该市2017年到2022年这6年的常住人口的平均数大于718万 11.如图，已知正方体的棱长为1，P为底面ABCD内（包括边界）的动点，则下列结论正确的是（　　） A．存在点P，使平面 B．三棱锥的体积为定值 C．若，则P点在正方形底面ABCD内的运动轨迹长为 D．若点P是AD的中点，点Q是的中点，过P，Q作平面平面，则平面截正方体的截面面积为 3、 填空题 （共3题）每小题满分5分，共15分。 12.某同学将一张圆心角为的扇形纸壳裁成扇环如图后，制成了简易笔筒如图的侧面，已知，则制成的简易笔筒的高为　 　． 13.记锐角的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.若，则的取值范围是　 　. 14.已知平面向量与的夹角为，若恒成立，则实数的取值范围为　 　． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤， 15．（13分） 如图所示，在四棱锥中，平面，，是的中点． （1）求证：平面； （2）求证：平面． 16．（15分） 已知向量，满足，，，，的夹角为. （1）； （2）若，求实数； （3）若与的夹角为钝角，求实数k的取值范围. 17．（15分） 大学毕业生小张和小李通过了某单位的招聘笔试考试，正在积极准备结构化面试，每天相互进行多轮测试，每轮由小张和小李各回答一个问题，已知小张每轮答对的概率为，小李每轮答对的概率为．在每轮活动中，小张和小李答对与否互不影响，各轮结果也互不影响． （1）求两人在两轮活动中都答对的概率； （2）求两人在两轮活动中至少答对3道题的概率； （3）求两人在三轮活动中，小张和小李各自答对题目的个数相等且至少为2的概率． 18．（17分） 定义在封闭的平面区域内任意两点的距离的最大值称为平面区域的“直径”如图，已知锐角三角形的三个顶点，，在半径为的圆上，角的对边分别为，，，若． （1）求角的大小； （2）分别以各边为直径向外作三个半圆，这三个半圆和构成平面区域，求平面区域的“直径”的取值范围． 19．（17分）在复数域中，对于正整数n满足的所有复数（）称为单位根，其中满足对任意小于n的正整数m，都有，则称这种复数为n次的本原单位根，规定1次本原单位根为1，例如当时，存在四个4次单位根，，因为，，因此只有两个4次本原单位根，对于正整数n，设n次本原单位根为，，，…，，则称多项式为n次本原多项式，记为，规定，例如，请回答以下问题. （1）直接写出8次单位根，并指出哪些是8次本原单位根（无需证明）； （2）求出，并计算，由此猜想（无需证明）； （3）设所有16次本原单位根在复平面内对应的点为，，，…，，复平面内一点P所对应的复数z满足，求的取值范围. 试卷 第页 共页 试卷 第页 共页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 莫道桑榆晚，为霞尚满天 2023-2024学年高一数学下学期期末预测卷 （新高考19题） （考试范围：人教A版（2019） 全册） 全卷满分150分，时间120分钟 注意事项： 1. 答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号、座位号、学校、班级等考生信息填 写在答题卡上。 2. 作答单项及多项选择题时，选出每个小题答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目 的答案信息点涂 黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案，写在本试卷上无效。 3. 非选择题必须用黑色字迹签字笔作答，答案必须写在答题卡各题指定的位置上， 写在本试卷上无 效。 一、单选题 ：本题共8小题，每小题满分5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只 有一项符合题目要求，选对得5分，选错得0分。 1. 在复平面内，复数的共轭复数的虚部为 （　　） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】复数的基本概念；复数代数形式的乘除运算 【解析】【解答】解：由题意可知：， 则，所以的共轭复数的虚部为 . 故答案为：C. 【分析】根据复数的除法运算求得，结合共轭复数以及复数的虚部的概念分析求解. 2.已知向量，则在上的投影向量的坐标为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】平面向量数量积的坐标表示、模、夹角；平面向量数量积坐标表示的应用；平面向量的投影向量 【解析】【解答】解：由题意可知：， 所以在上的投影向量的坐标为. 故答案为：D. 【分析】根据向量的坐标运算可得，结合投影向量的定义运算求解. 3.如图，是水平放置的在斜二测画法下的直观图若，，，则的面积为(　　) A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】斜二测画法直观图 【解析】【解答】解：根据题意，直观图△A'B'C'中，A'B'＝2， 则△A'B'C'的面积为×B'C'×A'B'×sin∠A'B'C'＝， 故原图△ABC的面积. 故答案为：B． 【分析】由三角形面积公式求出直观图的面积，再由原图面积是直观图面积的倍即可得解． 4.甲、乙两人每次射击命中目标的概率分别为与，且每次射击命中与否互不影响，现两人玩射击游戏，规则如下：每次由1人进行射击，若射击一次不中，则原射击人继续射击，若射击一次命中，则换对方接替射击，且第一次由甲射击.则前4次中甲恰好射击3次的概率为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】互斥事件与对立事件；互斥事件的概率加法公式；相互独立事件的概率乘法公式 【解析】【解答】记第次射击由甲射击，且命中为事件，第次射击由乙射击，且命中为事件. 由题知，第一次由甲射击且前4次中甲恰好射击3次有3种情况： ， 所以所求概率 故答案为：C. 【分析】先分类，然后利用相互独立事件的概率公式结合互斥事件概率加法公式可得. 5.对于两条不同直线m，n和两个不同平面，以下结论中正确的是(　　) A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】A 【知识点】空间中直线与平面之间的位置关系 【解析】【解答】A、若，则，故A正确； B、若，则或，故B错误； C、若，则或或相交，故C错误； D、若，则或，故D错误. 故答案为：A. 【分析】根据空间中线面位置关系及性质判断即可. 6.如图，一艘船航行到点处时，测得灯塔在其北偏西的方向，随后该船以海里/小时的速度，往正北方向航行两小时后到达点，测得灯塔在其南偏西的方向，此时船与灯塔间的距离为(　　) A．海里 B．海里 C．海里 D．海里 【答案】C 【知识点】正弦定理 【解析】【解答】解：在中，，则， ，由正弦定理可得：， 则船与灯塔A间的距离为海里. 故答案为：C. 【分析】根据已知条件，利用正弦定理求解即可. 7.若数据、、⋯的平均数是5，方差是4，数据、、⋯、的平均数是4，标准差是s，则下列结论正确的是（　　） A．， B．， C．， D．， 【答案】D 【知识点】众数、中位数、平均数；极差、方差与标准差 【解析】【解答】解：设数据的平均数为，标准差为， 则数据、、⋯、的平均数是4， 则，解得， 数据的平均数是5， ，解得， 由方差公式可得： ， ， ，解得. 故答案为：D. 【分析】设数据的平均数和标准差，利用平均数的定义求解即可判断AB；利用标准差和方差的关系求解即可判断CD. 8.在△ABC中，为上一点，且，，，则（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】向量在几何中的应用；同角三角函数间的基本关系；余弦定理 【解析】【解答】解：为上一点，且 ，则为的四等分点，靠近，如图所示： 在和中，， 故，设，则，，则， 设，则，解得， 由，根据余弦定理可得：，解， 则，，故. 故答案为：D. 【分析】由题意，推得，设，结合余弦定理、同角三角函数基本关系求解即可. 二、多选题：本题共3小题，每小题满分6分，共18分。在每小题给出的四个选项中， 有 多项符合题目要求。全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分。 9.已知为虚数单位，下列说法正确的是(　　) A．若复数，则 B．若复数满足，则 C．若复数满足，则或 D．若复数满足，则在复平面内对应的点的轨迹为直线 【答案】A,D 【知识点】复数在复平面中的表示；复数代数形式的乘除运算；复数的模；复数运算的几何意义 【解析】【解答】解：A、，，则，故A正确； B、当复数 ，满足，但虚数不能比较大小，故B错误； C、当时，满足，但且，故C错误； D、令，，， 所以，化简得，所以在复平面内对应的点的轨迹为直线，故D正确. 故答案为：AD. 【分析】根据复数的除法运算化简复数，再利用复数高次幂的周期性求解即可判断A；根据复数不可以比较大小，即可判断B；举特例求解即可判断C；令复数的代数形式，根据题意，求得关于的方程即可判断D. 10.已知某市2017年到2022年常住人口（单位：万）变化图如图所示，则（　　） A．该市2017年到2022年这6年的常住人口的极差约为38万 B．该市2017年到2022年这6年的常住人口呈递增趋势 C．该市2017年到2022年这6年的常住人口的第60百分位数为730.50万 D．该市2017年到2022年这6年的常住人口的平均数大于718万 【答案】A,C 【知识点】众数、中位数、平均数；极差、方差与标准差 【解析】【解答】解：对于A选项：该市从2017年到2022年这6年常住人口按照从小到大的顺序排列为：，则极差为：万，故A选项正确； 对于B选项：由图可知，B选项错误；对于C选项：，所以第60百分位数为735.50，故C选项正确； 对于D选项：平均数为：万，故D选项错误. 故答案为：AC. 【分析】根据百分位，极差和平均数的定义几何直方图即可求解. 11.如图，已知正方体的棱长为1，P为底面ABCD内（包括边界）的动点，则下列结论正确的是（　　） A．存在点P，使平面 B．三棱锥的体积为定值 C．若，则P点在正方形底面ABCD内的运动轨迹长为 D．若点P是AD的中点，点Q是的中点，过P，Q作平面平面，则平面截正方体的截面面积为 【答案】A,B,C 【知识点】棱柱的结构特征；多面体和旋转体表面上的最短距离问题；直线与平面垂直的判定；用空间向量研究直线与平面的位置关系 【解析】【解答】解：A、建立空间直角坐标系，如图所示： 设，，，，， ，，， 设平面的法向量为，则，即， 令，则，所以，若平面，则， 所以，即表示线段，则当点在线段时，平面， 所以存在点，使得平面，故A正确； B、由等体积法，三棱锥的高为， 底面积，所以， 所以三棱锥的体积为定值，故B正确； C、，若，则，即， 所以点的轨迹就是线段，轨迹长为，故C正确； D、取中点，连接，如图所示： 由题可得，平面， 连接，因为，平面， 则，，又， 平面，则平面， 又取中点为，则， 有四点共面，则平面即为平面， 又由两平面平行性质可知，，，， 又都是中点，故是中点，是中点， 则平面截正方体的截面为正六边形， 又正方体棱长为，则， 故截面面积为，故D错误. 故答案为：ABC. 【分析】建立空间直角坐标系，写出对应点的坐标与向量的坐标，设，根据线面平行的向量表示和垂直得向量数量积为列式，即可判断AC；根据等体积法可计算出三棱锥的体积，即可判断B；利用线面垂直的判定定理得平面，再证明四点共面，从而得平面，再由面面平行的性质可得平面截正方体的截面为正六边形，根据正六边形的性质计算面积即可判断D. 3、 填空题 （共3题）每小题满分5分，共15分。 12.某同学将一张圆心角为的扇形纸壳裁成扇环如图后，制成了简易笔筒如图的侧面，已知，则制成的简易笔筒的高为　 　． 【答案】 【知识点】旋转体（圆柱/圆锥/圆台/球）的结构特征 【解析】【解答】解：由题意，可知圆台上底面圆周长为，则圆台上底半径， 圆台下底面圆周长为，则圆台下底半径， 圆台轴截面是等腰梯形，上下底边长分别为，腰长为， 则圆台的高，即等腰梯形的高为. 故答案为：. 【分析】根据已知条件，求出圆台的上、下底面圆半径，再利用等腰梯形的性质求出笔筒的高即可. 13.记锐角的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.若，则的取值范围是　 　. 【答案】 【知识点】余弦定理 【解析】【解答】解：由，可得， 由余弦定理可得，即， 在锐角中，由余弦定理可得：， 因为，所以，即，所以， 所以，则. 故答案为：. 【分析】由题意，利用余弦定理可得的关系，在锐角中，由余弦定理可得，结合为锐角三角形可得，即可求出的取值范围. 14.已知平面向量与的夹角为，若恒成立，则实数的取值范围为　 　． 【答案】 【知识点】函数单调性的性质；函数的最大（小）值；函数恒成立问题；正弦定理 【解析】【解答】解：设，作平行四边形，如图所示： 则，令， 由于恒成立，即恒成立， 在中，， 因为，所以， 所以， 由于恒成立，故，即实数的取值范围为. 故答案为：. 【分析】设，构造平行四边形，由于恒成立，即恒成立，结合正弦定理将恒成立问题转化为最值问题求解即可. 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤， 15．（13分） 如图所示，在四棱锥中，平面，，是的中点． （1）求证：平面； （2）求证：平面． 【答案】（1）证明：因为平面，平面，平面平面，所以， 又平面，平面，则平面 （2）解：取中点，连接，，如图所示： 易得，且， 由知且， 则且，则四边形为平行四边形，则， 又平面，平面，则平面 【知识点】直线与平面平行的判定；直线与平面平行的性质 【解析】【分析】（1）由线面平行的性质可证得AD∥BC，再由线面平行的判定定理即可得证； （2）取PA中点F，先证四边形BCEF为平行四边形，进而证得CE∥BF，即可证得CE∥平面PAB． 16．（15分） 已知向量，满足，，，，的夹角为. （1）； （2）若，求实数； （3）若与的夹角为钝角，求实数k的取值范围. 【答案】（1）解：因为，，，的夹角为 ，所以， 所以， 则； （2）解：因为，所以 所以，即，解得； （3）解： 因为与的夹角为钝角，所以，且， 由，可得， 故实数的取值范围为且. 【知识点】向量的模；平面向量的数量积运算；利用数量积判断平面向量的垂直关系 【解析】【分析】（1）利用向量的数量积定义求，再结合向量的模的性质和数量积运算求即可； （2）根据向量垂直关系列方程，结合向量的数量积运算律化简方程求即可； （3）根据向量的数量积性质由条件列不等式求的范围. 17．（15分） 大学毕业生小张和小李通过了某单位的招聘笔试考试，正在积极准备结构化面试，每天相互进行多轮测试，每轮由小张和小李各回答一个问题，已知小张每轮答对的概率为，小李每轮答对的概率为．在每轮活动中，小张和小李答对与否互不影响，各轮结果也互不影响． （1）求两人在两轮活动中都答对的概率； （2）求两人在两轮活动中至少答对3道题的概率； （3）求两人在三轮活动中，小张和小李各自答对题目的个数相等且至少为2的概率． 【答案】（1）解：依题意，设事件 “小张两轮都答对问题”， “小李两轮都答对问题”， 所以，．因为事件相互独立， 所以两人在两轮活动中都答对的概率为 （2）解：设事 “甲第一轮答对”， “乙第一轮答对”， “甲第二轮答对”， “乙第二轮答对”， “两人在两轮活动中至少答对3道题”， 则， 由事件的独立性与互斥性，可得 ， 故两人在两轮活动中至少答对3道题的概率为． （3）解：设事件，分别表示甲三轮答对2个，3个题目，，分别表示乙三轮答对2个，3个题目， 则，，，， 设事件 “两人在三轮活动中，小张和小李各自答对题目的个数相等且至少为2”， 则，且，，，分别相互独立， 所以． 所以两人在三轮活动中，小张和小李各自答对题目的个数相等且至少为2的概率为． 【知识点】互斥事件与对立事件；互斥事件的概率加法公式；相互独立事件的概率乘法公式 【解析】【分析】(1)根据题意结合独立事件概率乘法公式运算求解； (2)两人分别答两次，总共四次中至少答对3道题，分五种情况，根据题意利用事件的独立性与互斥性分析运算； (3)分小张和小李均答对两个题目、均答对三个题目两种情况，利用独立事件运算求解. 18．（17分） 定义在封闭的平面区域内任意两点的距离的最大值称为平面区域的“直径”如图，已知锐角三角形的三个顶点，，在半径为的圆上，角的对边分别为，，，若． （1）求角的大小； （2）分别以各边为直径向外作三个半圆，这三个半圆和构成平面区域，求平面区域的“直径”的取值范围． 【答案】（1）解：由题意，， 由正弦定理可得，， 即， 又， 从而， 所以，． （2）解：如图，F，G是AC，BC的中点，E，F，G，H四点共线， 设P，Q分别为、上任意一点，， ， 即PQ的长小于等于周长的一半，当PQ与HE重合时取等， 同理，三个半圆上任意两点的距离最大值等于周长的一半，因此区域D的“直径”为的周长l的一半， 由正弦定理得：，，， 则， 由为锐角三角形，得，即， 则，，于是， 所以平面区域D的“直径”的取值范围是. 【知识点】简单的三角恒等变换；正弦定理的应用 【解析】【分析】（1）根据题意利用正弦定理边化角，再利用两角和的正弦公式进行化简可得：，据此可反推出角. （2）利用向量线性运算可得：，利用向量的三角不等式求出区域D的“直径”关系式为：，利用正弦定理结合简单三角恒等变换可推出：，根据为锐角三角形，可推出角的范围，再利用正弦函数性质可求出周长范围，据此可求出答案. 19．（17分） 在复数域中，对于正整数n满足的所有复数（）称为单位根，其中满足对任意小于n的正整数m，都有，则称这种复数为n次的本原单位根，规定1次本原单位根为1，例如当时，存在四个4次单位根，，因为，，因此只有两个4次本原单位根，对于正整数n，设n次本原单位根为，，，…，，则称多项式为n次本原多项式，记为，规定，例如，请回答以下问题. （1）直接写出8次单位根，并指出哪些是8次本原单位根（无需证明）； （2）求出，并计算，由此猜想（无需证明）； （3）设所有16次本原单位根在复平面内对应的点为，，，…，，复平面内一点P所对应的复数z满足，求的取值范围. 【答案】（1）解：的解为：（，1，2，3，4，5，6，7）， 所以8次单位根为1，，，，，，，， 故8次本原单位根为，，，. （2）解：， 又，，， 所以， 由此猜想 （3）解：设16次单位根分别为，，，…，，其中， 不难发现，，，，，，，为16次本原单位根， 所以， 又， ，且， 所以， 即. 【知识点】复数代数形式的乘除运算；复数的三角形式；复数运算的几何意义 【解析】【分析】（1）由题意，先写出的所有复数单位根，再根据该条件写出次单位根和其中的本原单位根即可； （2）先证明对任意都有，再利用该结论直接得到结果； （3）利用的定义以及复数的几何意义求解即可. 试卷 第页 共页 试卷 第页 共页 学科网（北京）股份有限公司 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