第09讲 均值不等式及其应用（思维导图+2知识点+6考点+过关检测）【暑假自学课】-2024年新高一数学暑假提升精品讲义（人教B版2019必修第一册）

第09讲 均值不等式及其应用 模块一 思维导图串知识 模块二 基础知识全梳理（吃透教材） 模块三 核心考点举一反三 模块四 小试牛刀过关测 1.理解均值不等式及其几何意义，凸显数学抽象、数学运算、直观想象的核心素养. 2.会应用均值不等式求“和、积定值”问题中求最值，凸显逻辑推理、数学运算的核心素养. 3.能应用均值不等式证明一些不等式，凸显逻辑推理、数学运算的核心素养. 知识点 1 均值不等式 1.设a>0，b>0，则a，b的算术平均数为，几何平均数为 2.均值不等式：（1）当a>0，b>0时有，当且仅当a=b时，等号成立． （2）基本不等式可叙述为：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数． （3）几何意义：①如果矩形的长、宽分别为a,b，那么矩形的面积是ab, 可以看成与矩形周长相等的正方形的面积，均值不等式的几何意义为：所有周长一定的矩形中，正方形面积最大. ②如图所示的半圆中，AB为直径，O为圆心，AC=a，BC=b,D在半圆上，DC⊥AB，计算可得OD=，CD=, a≠b时，> a=b时，= 知识点 2 均值不等式与最值 已知x、y都是正数． (1)若x＋y＝s(和为定值)，则当x＝y时，积xy取得最大值（简记：和定积最大）． (2)若xy＝p(积为定值)，则当x＝y时，和x＋y取得最小值（简记：积定和最小）． 特别提醒：应用条件：一正、二定、三相等，缺乏一条都不行！ 常用推论： （1）（） （2）（，）； （3） 考点一：利用基本不等式证明不等式 例1.（23-24高一上·云南曲靖·期末）已知，，且，证明： (1)； (2)． 【变式1-1】（多选）（23-24高一上·湖南长沙·期末）设正实数满足，则（    ） A． B． C． D． 【变式1-2】（24-25高一上·上海·假期作业）设、为正数，且，比较的值与的大小． 【变式1-3】（23-24高一上·陕西西安·期中）设，均为正实数． (1)求证： (2)若，证明：． 考点二：“定和”条件下求最值 例2．（23-24高一下·云南玉溪·阶段练习）已知均为正数，且，则的最小值为 . 【变式2-1】（23-24高二下·浙江·期中）已知正数x，y满足，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式2-2】（23-24高一下·陕西榆林·阶段练习）若正数，满足，则的最小值为（    ） A．2 B． C．3 D． 【变式2-3】（24-25高一上·上海·假期作业）设，求二次函数的最大值． 考点三：“定积”条件下求最值 例3.（2024高二下·天津河东·学业考试）已知，的最小值为 ． 【变式3-1】（福建省福州市闽江口协作体（七校）2023-2024学年高二下学期期中联考数学试题）已知一个直角三角形的面积为16，则该三角形周长的最小值为（    ） A． B． C． D． 【变式3-2】（23-24高一下·四川眉山·开学考试）阿基米德有这样一句流传很久的名言：“给我一个支点，我就能撬起整个地球！”这句话说的便是杠杆原理，即“动力×动力臂=阻力×阻力臂”．现有一商店使用两臂不等长的天平称黄金，一位顾客到店里购买黄金，售货员先将的砝码放在天平左盘中，取出黄金放在天平右盘中使天平平衡；再将的砝码放在天平右盘中，取黄金放在天平左盘中使天平平衡，最后将称得的黄金交给顾客，则下列选项正确的是（    ） A． B． C． D．以上选项都有可能 【变式3-3】（23-24高一上·安徽马鞍山·阶段练习）已知正实数a，b满足，则的最大值为（    ） A． B．1 C． D． 考点四： “和、积关系”条件下求最值 例4.（23-24高一上·甘肃庆阳·期末）已知，，. (1)求的最大值； (2)求的最小值. 【变式4-1】（安徽省皖中名校联盟2023-2024学年高二下学期第四次教学质量检测数学试题）若正实数，满足，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 【变式4-2】（2024·广西·模拟预测）已知，且，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【变式4-3】（23-24高一下·上海宝山·期末）若正数，，满足，且的最小值是4，则的值为 ． 考点五：“平方关系”条件下求最值 例5.（2024·广西河池·模拟预测）若实数，且，则的最小值为 . 【变式5-1】（多选）（2024·重庆渝中·模拟预测）已知实数满足，则（    ） A． B． C． D． 【变式5-2】（23-24高二上·安徽六安·期末）已知，则的最大值为 ． 【变式5-3】（23-24高二下·浙江宁波·期末）已知正实数x，y满足，则xy的最大值为 ． 考点六：基本不等式的实际应用 例6.（22-23高一·全国·随堂练习）某工厂拟造一座平面图（如图）为长方形且面积为的三级污水处理池．由于地形限制，该处理池的长、宽都不能超过16 m，且高度一定．如果四周池壁的造价为400元/，中间两道隔墙的造价为248元/，池底造价为80元/，那么如何设计该处理池的长和宽，才能使总造价最低？（池壁的厚度忽略不计）      【变式6-1】（23-24高一下·浙江嘉兴·期中）已知圆柱的轴截面面积为1，则该圆柱侧面展开图的周长的最小值为 . 【变式6-2】（23-24高一上·天津北辰·期中）某公司建造一间背面靠墙的房屋，地面面积为48 m2，房屋正面每平方米造价为1200元，房屋侧面每平方米的造价为800元，屋顶的造价为5800元．如果墙高为3 m，且不计房屋背面和地面的费用，那么房屋的总造价最低为 元． 【变式6-3】（23-24高一上·云南昆明·期末）一家货物公司计划租地建造仓库存储货物，经过市场调查了解到下列信息：每月土地占地费用（单位：万元）与仓库到车站的距离（单位：）成反比，每月库存货物费（单位：万元）与成正比；若在距离车站处建仓库，则和的费用分别为万元和万元． (1)若使每月土地占地费用与每月库存货物费之和不超过万元，则仓库到车站的距离（单位：）应该在什么范围？ (2)这家公司应该把仓库建在距离车站多少千米处，才能使得两项费用之和最小？并求出最小值． 1．（23-24高一下·重庆沙坪坝·阶段练习）已知正数满足，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 2．（多选）（23-24高一上·广东深圳·期末）已知，都是正实数，且.则下列不等式成立的有（ ） A． B． C． D． 3．（多选）（23-24高二下·江苏南京·期末）若，，且，则下列不等式中恒成立的是（    ） A． B． C． D． 4．（多选）（23-24高一下·云南·阶段练习）已知a，b均为正数，且，则下列结论一定正确的是（    ） A． B．的最小值是16 C．的最大值是 D． 5．（2024·上海奉贤·三模）若，则有最大值为 ． 6．（23-24高一下·湖南·期中）已知正数满足，则当取得最小值时， ， ． 7．（23-24高一下·湖南·期中）已知正数满足，则当取得最小值时， ， ． 8．（24-25高一上·上海·假期作业）（1）若，且， 求：（i）的最小值； （ii）的最小值. （2）求的最小值. 9．（23-24高一上·甘肃·期末）已知. (1)求证：； (2)若，求的最小值. 10.（23-24高一上·北京·期中）已知a，b都是正实数， (1)试比较与的大小，并证明； (2)当时，求证：． ( 4 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第09讲 均值不等式及其应用 模块一 思维导图串知识 模块二 基础知识全梳理（吃透教材） 模块三 核心考点举一反三 模块四 小试牛刀过关测 1.理解均值不等式及其几何意义，凸显数学抽象、数学运算、直观想象的核心素养. 2.会应用均值不等式求“和、积定值”问题中求最值，凸显逻辑推理、数学运算的核心素养. 3.能应用均值不等式证明一些不等式，凸显逻辑推理、数学运算的核心素养. 知识点 1 均值不等式 1.设a>0，b>0，则a，b的算术平均数为，几何平均数为 2.均值不等式：（1）当a>0，b>0时有，当且仅当a=b时，等号成立． （2）基本不等式可叙述为：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数． （3）几何意义：①如果矩形的长、宽分别为a,b，那么矩形的面积是ab, 可以看成与矩形周长相等的正方形的面积，均值不等式的几何意义为：所有周长一定的矩形中，正方形面积最大. ②如图所示的半圆中，AB为直径，O为圆心，AC=a，BC=b,D在半圆上，DC⊥AB，计算可得OD=，CD=, a≠b时，> a=b时，= 知识点 2 均值不等式与最值 已知x、y都是正数． (1)若x＋y＝s(和为定值)，则当x＝y时，积xy取得最大值（简记：和定积最大）． (2)若xy＝p(积为定值)，则当x＝y时，和x＋y取得最小值（简记：积定和最小）． 特别提醒：应用条件：一正、二定、三相等，缺乏一条都不行！ 常用推论： （1）（） （2）（，）； （3） 考点一：利用基本不等式证明不等式 例1.（23-24高一上·云南曲靖·期末）已知，，且，证明： (1)； (2)． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）利用基本不等式，求得，进而证得. （2）化简，然后利用不等式的性质以及（1）的结论证得. 【详解】（1）， 因为，，，则，当且仅当时等号成立， 所以； （2） ， 由（1）有，有，，有，， 有，当且仅当时等号成立， 所以． 【变式1-1】（多选）（23-24高一上·湖南长沙·期末）设正实数满足，则（    ） A． B． C． D． 【答案】BCD 【分析】 利用基本不等式判断各选项． 【详解】对于A选项，， 当且仅当时取得等号，故A错误； 对于B选项，，故， 当且仅当时取得等号，故B正确； 对于C选项，， 当且仅当时取得等号，故C正确； 对于D选项， ， 当且仅当时取得等号成立，故D正确． 故选：BCD. 【变式1-2】（24-25高一上·上海·假期作业）设、为正数，且，比较的值与的大小． 【答案】 【分析】由，通过基本不等式求的取值范围即可. 【详解】因为 所以 所以 当且仅当且，即且时，取等号， 所以． 【变式1-3】（23-24高一上·陕西西安·期中）设，均为正实数． (1)求证： (2)若，证明：． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）依题意只需证明，再利用作差法证明即可； （2）由（1）得，则，即可得解. 【详解】（1），，，． 要证，即证． ， ，即，当且仅当时等号成立． （2）因为，，且， 所以，且，则，， 由（1）得， ， 当且仅当，即时等号成立． 考点二：“定和”条件下求最值 例2．（23-24高一下·云南玉溪·阶段练习）已知均为正数，且，则的最小值为 . 【答案】8 【分析】由，得，则，化简后利用基本不等式可求出其最小值. 【详解】因为均为正数，且，所以， 所以 ， 当且仅当，即时取等号， 所以的最小值为8. 故答案为：8 【变式2-1】（23-24高二下·浙江·期中）已知正数x，y满足，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据基本不等式可得，结合完全平方公式计算即可求解. 【详解】因为，即， 当且仅当时等号成立， 所以． 故选：C． 【变式2-2】（23-24高一下·陕西榆林·阶段练习）若正数，满足，则的最小值为（    ） A．2 B． C．3 D． 【答案】B 【分析】根据给定条件，利用基本不等式“1”的妙用求解即得. 【详解】由正数，满足， 得， 当且仅当，即，时取等号， 所以的最小值为． 故选：B 【变式2-3】（24-25高一上·上海·假期作业）设，求二次函数的最大值． 【答案】4 【分析】利用基本不等式可求得的最大值. 【详解】由不等式，推得 于是，当且仅当，即时，取得最大值，最大值为. 考点三：“定积”条件下求最值 例3.（2024高二下·天津河东·学业考试）已知，的最小值为 ． 【答案】12 【分析】利用不等式即可求解. 【详解】, 当且仅当,即或时,等号成立, 故的最小值为12. 故答案为：12. 【变式3-1】（福建省福州市闽江口协作体（七校）2023-2024学年高二下学期期中联考数学试题）已知一个直角三角形的面积为16，则该三角形周长的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据直角三角形的面积公式考虑设直角边为、，利用均值不等式解得最小值为. 【详解】设三角形的两条直角边长为、，可得， 三角形的周长为，当且仅当时取等号． 故选：C 【变式3-2】（23-24高一下·四川眉山·开学考试）阿基米德有这样一句流传很久的名言：“给我一个支点，我就能撬起整个地球！”这句话说的便是杠杆原理，即“动力×动力臂=阻力×阻力臂”．现有一商店使用两臂不等长的天平称黄金，一位顾客到店里购买黄金，售货员先将的砝码放在天平左盘中，取出黄金放在天平右盘中使天平平衡；再将的砝码放在天平右盘中，取黄金放在天平左盘中使天平平衡，最后将称得的黄金交给顾客，则下列选项正确的是（    ） A． B． C． D．以上选项都有可能 【答案】A 【分析】设天平的左臂长为，右臂长为，再分别求出，，结合基本不等式判断即可. 【详解】由于天平的两臂不等长，故可设天平的左臂长为，右臂长为，. 由杠杆原理得，，解得，， 则，当且仅当取等号. 又，故. 故选：A 【变式3-3】（23-24高一上·安徽马鞍山·阶段练习）已知正实数a，b满足，则的最大值为（    ） A． B．1 C． D． 【答案】D 【分析】将代入得，再结合基本不等式求解即可. 【详解】，, ，， 令， ， 当且仅当，即时取等号，此时， 的最大值为. 故选：D. 考点四： “和、积关系”条件下求最值 例4.（23-24高一上·甘肃庆阳·期末）已知，，. (1)求的最大值； (2)求的最小值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用基本不等式，将等式转化为关于的一元二次方程，即可求解； （2）首先将等式变形为，再变形，转化为利用基本不等式求和的最小值. 【详解】（1）因为， 令，则，所以，解得， 所以，当且仅当，即，时等号成立； （2）由，得， 所以， 当且仅当，即，时等号成立. 所以的最小值为. 【变式4-1】（安徽省皖中名校联盟2023-2024学年高二下学期第四次教学质量检测数学试题）若正实数，满足，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据等式计算得出，再结合常值代换求和的最值，计算可得最大值． 【详解】，，，， ， 当且仅当，即，时等号成立， . 故选：A. 【变式4-2】（2024·广西·模拟预测）已知，且，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】首先确定，再由基本不等式得到，从而求出的取值范围. 【详解】因为，，则，所以． 又， 即，即，解得， 所以，当且仅当，即时，等号成立， 即的取值范围为. 故选：D． 【变式4-3】（23-24高一下·上海宝山·期末）若正数，，满足，且的最小值是4，则的值为 ． 【答案】1 【分析】由题意，根据基本不等式的应用可得，结合换元法解一元二次方程即可. 【详解】由题意得，， 所以，即， 当且仅当时，等号成立， 令，则，方程， ，所以是方程的根， 所以. 故答案为：1 考点五：“平方关系”条件下求最值 例5.（2024·广西河池·模拟预测）若实数，且，则的最小值为 . 【答案】4 【分析】根据，将化简可得，再根据基本不等式“1”的巧用求解最值即可. 【详解】由可得， 因为，所以，即，则， 则， 当且仅当，即时等号成立，故的最小值为. 故答案为：. 【变式5-1】（多选）（2024·重庆渝中·模拟预测）已知实数满足，则（    ） A． B． C． D． 【答案】BC 【分析】由已知条件，结合基本不等式计算即可判断AB；根据，结合基本不等式计算即可判断C；根据，基本不等式计算即可判断D. 【详解】A：由，得， 即，得， 解得，当且仅当时等号成立，故A错误； B：由选项A的分析知，故B正确； C：由，得，即， 所以， 得，当且仅当时等号成立，故C正确； D：由，得，即， 所以，得， 当且仅当时等号成立，故D错误. 故选：BC 【变式5-2】（23-24高二上·安徽六安·期末）已知，则的最大值为 ． 【答案】2 【分析】利用配方法，结合基本不等式求解即得. 【详解】由，得，当且仅当时取等号， 即，解得， 所以的最大值为2. 故答案为：2 【变式5-3】（23-24高二下·浙江宁波·期末）已知正实数x，y满足，则xy的最大值为 ． 【答案】/0.5 【分析】利用已知条件结合基本不等式即可求解． 【详解】正实数x，y满足，所以，解得. 当且仅当，即时取等号，所以最大值为． 故答案为：． 考点六：基本不等式的实际应用 例6.（22-23高一·全国·随堂练习）某工厂拟造一座平面图（如图）为长方形且面积为的三级污水处理池．由于地形限制，该处理池的长、宽都不能超过16 m，且高度一定．如果四周池壁的造价为400元/，中间两道隔墙的造价为248元/，池底造价为80元/，那么如何设计该处理池的长和宽，才能使总造价最低？（池壁的厚度忽略不计）      【答案】长为m，宽为m时总造价最低． 【分析】设处理池的长和宽分别为，，高为，表示出总造价的关系式，再利用基本不等式即可解出． 【详解】设处理池的长和宽分别为，，高为，总造价为，则，， ， 当且仅当，又，即，时取到等号， 故长为m，宽为m时总造价最低． 【变式6-1】（23-24高一下·浙江嘉兴·期中）已知圆柱的轴截面面积为1，则该圆柱侧面展开图的周长的最小值为 . 【答案】 【分析】求出圆柱侧面展开图的周长利用基本不等式可得答案. 【详解】设圆柱的母线长为，则圆柱的底面直径为， 所以该圆柱侧面展开图的周长为， 当且仅当即等号成立. 故答案为：. 【变式6-2】（23-24高一上·天津北辰·期中）某公司建造一间背面靠墙的房屋，地面面积为48 m2，房屋正面每平方米造价为1200元，房屋侧面每平方米的造价为800元，屋顶的造价为5800元．如果墙高为3 m，且不计房屋背面和地面的费用，那么房屋的总造价最低为 元． 【答案】 【分析】求出房屋的总造价，利用基本不等式可得答案. 【详解】设房屋底面一边长为m，则另一边长为m， 所以房屋的总造价为， 因为，所以， 当且仅当即时等号成立. 故答案为：. 【变式6-3】（23-24高一上·云南昆明·期末）一家货物公司计划租地建造仓库存储货物，经过市场调查了解到下列信息：每月土地占地费用（单位：万元）与仓库到车站的距离（单位：）成反比，每月库存货物费（单位：万元）与成正比；若在距离车站处建仓库，则和的费用分别为万元和万元． (1)若使每月土地占地费用与每月库存货物费之和不超过万元，则仓库到车站的距离（单位：）应该在什么范围？ (2)这家公司应该把仓库建在距离车站多少千米处，才能使得两项费用之和最小？并求出最小值． 【答案】(1) (2)时，的最小值为万元 【分析】（1）设，，根据已知条件求出，得、的解析式，再根据使每月土地占地费用与每月库存货物费之和不超过万元可得答案； （2）利用基本不等式可得答案. 【详解】（1）设，， 由题知：当时，和的费用分别为万元和万元， 即，解得，所以，． 若使每月土地占地费用与每月库存货物费之和不超过万元， 则：，因为，即， 解得； （2）， 因为，由基本不等式得， 当且仅当，即时，的最小值为万元． 1．（23-24高一下·重庆沙坪坝·阶段练习）已知正数满足，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】将目标式整理为齐次式，再结合均值不等式即可求得结果. 【详解】，因为，故， 则，当且仅当，也即取得等号， 故的最小值为. 故选：D. 2．（多选）（23-24高一上·广东深圳·期末）已知，都是正实数，且.则下列不等式成立的有（ ） A． B． C． D． 【答案】AD 【分析】利用已知条件，通过直接使用基本不等式，代换构造定值，平方等方法，判断选项的正误. 【详解】因为a，b都是正实数，且， 对于A， 由基本不等式，当且仅当时等式成立，故A正确； 对于B，， 当且仅当，即，时等式成立，故B错误； 对于C，因为， 所以，当且仅当时等式成立，故C错误； 对于D，， 当且仅当时等式成立，故D正确. 故选：AD. 3．（多选）（23-24高二下·江苏南京·期末）若，，且，则下列不等式中恒成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】ABC 【分析】对于AB：根据不等式的性质分析求解即可；对于CD：根据基本不等式分析求解即可. 【详解】因为，，且，即， 对于选项A：可得，解得，故A正确； 对于选项B：由选项B可知， 所以，故B正确； 对于选项C：因为，当且仅当时，等号成立，故C正确； 对于选项D：因为，当且仅当时，等号成立，故D错误； 故选：ABC. 4．（多选）（23-24高一下·云南·阶段练习）已知a，b均为正数，且，则下列结论一定正确的是（    ） A． B．的最小值是16 C．的最大值是 D． 【答案】BCD 【分析】通过取特值代入检验排除A项，利用常值代换法可得B项，直接利用基本不等式可得C项，利用基本不等式的变形公式即得D项. 【详解】对于A，取满足题意，但显然不成立，故A错误； 对于B，由，因a，b均为正数， 则， 当且仅当时，即，，等号成立，故B正确； 对于C，由基本不等式可知，即， 当且仅当，时，等号成立，故C正确； 对于D，由基本不等式可知，则， 当且仅当，时，等号成立，故D正确. 故选：BCD. 5．（2024·上海奉贤·三模）若，则有最大值为 ． 【答案】/0.25 【分析】根据基本不等式即可求解. 【详解】因为，显然当时，取得最大值，所以， 当且仅当时等号成立，所以， 所以有最大值为. 故答案为：. 6．（23-24高一下·湖南·期中）已知正数满足，则当取得最小值时， ， ． 【答案】 / / 【分析】巧用“1“可得答案. 【详解】因为正数满足， 所以， 当且仅当，即时，取得最小值16. 故答案为：①，②. 7．（23-24高一下·湖南·期中）已知正数满足，则当取得最小值时， ， ． 【答案】 / / 【分析】巧用“1“可得答案. 【详解】因为正数满足， 所以， 当且仅当，即时，取得最小值16. 故答案为：①，②. 8．（24-25高一上·上海·假期作业）（1）若，且， 求：（i）的最小值； （ii）的最小值. （2）求的最小值. 【答案】（1）（i）（ii）；（2）32 【分析】根据基本不等式即可直接求解（i）（2），利用乘 “1”法即可求解（ii）， 【详解】（1）（i）由，及基本不等式，可得， 故，当且仅当，即时等号成立， 的最小值为64； （ii），，， ，当且仅当且， 即，时等号成立，即 取得最小值18； （2）由可得 当且仅当，即时等号成立 故的最小值为32. 9．（23-24高一上·甘肃·期末）已知. (1)求证：； (2)若，求的最小值. 【答案】(1)证明见解析； (2)8. 【分析】（1）根据给定条件，利用基本不等式推理即得. （2）利用基本不等式“1”的妙用求出最小值. 【详解】（1），则，当且仅当时取等号， 所以. （2）由，且，得， 当且仅当，即时取等号， 所以当时，取得最小值8. 10.（23-24高一上·北京·期中）已知a，b都是正实数， (1)试比较与的大小，并证明； (2)当时，求证：． 【答案】(1)，证明见详解 (2)证明见详解 【分析】（1）利用做差法可得答案； （2）利用基本不等式可得答案． 【详解】（1）结论：，当且仅当时，等号成立. 证明： ， 因为a，b都是正数，所以，当且仅当时，等号成立， 即，当且仅当时，等号成立； （2）因为a，b，c都是正数，且， 所以 ， 当且仅当时，等号成立． ( 4 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$