1.5 三角函数的应用 导学案 2023—2024学年北师大版数学九年级下册

课题 §1.5 三角函数的应用 主备 审阅 九年数学备课组 时间 课型 新 授 授课教师 一、学习目标——目标明确、有的放矢 1、体会三角函数在解决问题过程中的应用； 2、学会把实际问题转化为数学问题. 课标要求：能用锐角三角函数解直角三角形，能用相关知识解决一些简单的实际问题． 二、温馨提示——方法得当、事半功倍 学习重点：体会三角函数在解决问题过程中的作用. 学习难点：学会将实际问题转化为数学问题，建立数学模型，并选择适当三角函数来解决. 三、课前热身——激发兴趣、温故知新 1. 特殊角的三角函数值： 三角函数 角 sin cos tan 30° 45° 60° ( 视线 视线 水平线 仰角 俯角 铅垂线 ) ( 仰角 的定义 ：当从低处观测高处的目标时， _____ 与 _____ 所成的锐角称为仰角 ． 俯角 的定义 ：当从高处观测低处的目标时， ______ 与 _____ 所成的锐角成为俯角 ． ) 四、课堂探究——质疑解疑、合作探究 探究点1：方向角在实际生活中的应用 如图，海中有一个小岛 A，该岛四周 10 海里内有暗礁，今有货轮由西向东航行，开始在 A 岛南偏西60°的 B 处，往东行驶20海里后到达该岛的南偏西30°的C处，之后，货轮继续向东航行，你认为货轮继续向东航行途中会有触礁的危险吗？你是怎样想的？与同伴进行交流． 方向角的定义：方向角是以观察点为中心（方向角的顶点），以正北或正南为始边，旋转到观察目标所形成的锐角，方向角也称象限角. 如图，你能写出目标方向线OA、OB、OC、OD的方向角分别是多少吗？ 例题：在一次海上救援中，两艘专业救助船A，B同时收到某事故渔船的求救讯息，已知此时救助船B在A的正北方向，事故渔船P在救助船A的北偏西30°方向上，在救助船B的西南方向上，且事故渔船P与救助船A相距120海里． ⑴ 求收到求救讯息时事故渔船P与救助船B之间的距离； ⑵ 若救助船A，B分别以40海里/小时，30海里/小时的速度同时出发，匀速直线前往事故渔船P处搜救，试通过计算判断哪艘船先到达． 练习：如图，海中一小岛上有一个观测点A，某天上午9：00观测到某渔船在观测点A的西南方向上的B 处跟踪鱼群由南向北匀速航行，当天上午9：30观测到该渔船在观测点A的北偏西60°方向上的C处，若该渔船的速度为每小时30海里，在此航行过程中，问该渔船从B处开始航行多少小时，离观测点A的距离最近? 探究点2：仰角、俯角在实际生活中的应用 如图，大楼高30m，远处有一塔BC，小李在楼底A处测得塔顶的仰角为60°，爬到楼顶D测得塔顶的仰角为30°，你能帮助小李求出塔高BC吗？ 你是怎样想的？与同伴进行交流． 例题：我国载人空间站工程研制的长征五号运较火箭首飞成功．运载火箭从地面O处发射,当火箭到达点A时，地面D处的雷达站测得AD＝4000米，仰角为30°，3秒后，火箭直线上升到达点B处，此时地面C处的雷达站测得B处的仰角为45°，已知C，D两处相距460米，求火箭从A到B处的平均速度（结果精确到1m．参考数据：≈1.732）. 练习：如图，一艘核潜艇在海面DF下600米，在A点处测得俯角为30°正前方的海底C点处有黑匣子，继续在同一深度直线航行1464米到B点处，测得正前方C点处的俯角为60°，求海底C点处距离海面DF的深度（结果精确到1m．参考数据：≈1.732）. 第一章 直角三角形的边角关系 第一章 直角三角形的边角关系 第 22页 第 21页 学科网（北京）股份有限公司 五、巩固提升——（有效训练、反馈矫正） 1. 如图，某小区内有一条南北方向的小路MN，某快递员从小路旁的A处出发沿南偏东53°方向行走258m将快递送至B楼，又继续从B楼沿南偏西30°方向行走172m将快递送至C楼，求此时快递员到小路MN的距离（结果精确到1m．参考数据：sin53°≈0.80，cos53°≈0.60，tan53°≈1.33，≈1.73）． 2. 如图，小莹在数学综合实践活动中，利用所学的数学知识对某小区居民楼AB的高度进行测量，先测得居民楼AB与CD之间的距离AC为35m，后站在M点处测得居民楼CD的顶端D的仰角为45°，居民楼AB的顶端B的仰角为55°，已知居民楼CD的高度为16.6m，小莹的观测点N距地面1.6m，求居民楼AB的高度（精确到lm）（参考数据：sin55°≈0.82，cos55°≈0.57，tan55°≈l.43）． ( 六 、学后记---反思静悟、体验成功 ) $$