1.4 解直角三角形 导学案 2023—2024学年北师大版数学九年级下册

课题 §1.4 解直角三角形 主备 审阅 九年数学备课组 时间 课型 新 授 授课教师 1、 学习目标——目标明确、有的放矢 1、体会解直角三角形的含义； 2、学会运用直角三角形的两锐角互余、勾股定理及锐角三角函数求直角三角形的未知元素. 课标要求：能用锐角三角函数解直角三角形． 二、温馨提示——方法得当、事半功倍 学习重点：体会直角三角形边角之间的关系. 学习难点：学会从已知条件出发，正确选用适当的边角关系或三角函数解题. 三、课前热身——激发兴趣、温故知新 1. 正弦的定义: 在Rt△ABC中, 锐角∠A的______与______的比叫做∠A的正弦； 2. 余弦的定义: 在Rt△ABC中, 锐角∠A的______与______的比叫做∠A的余弦； 3. 正切的定义: 在Rt△ABC中，锐角∠A的______与______的比叫做∠A的正切. 三角函数 角 sin cos tan 30° 45° 60° 4. 完成下表： 5. 仰角的定义：当从低处观测高处的目标时，______与______所成的锐角称为仰角； 6. 俯角的定义：当从高处观测低处的目标时，______与_____所成的锐角成为俯角. 四、课堂探究——质疑解疑、合作探究 探究点1：已知两边解直角三角形 如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A，∠B，∠C 的对边分别记作a，b, c. ⑴ 直角三角形的三边之间有什么关系？ ⑵ 直角三角形的锐角之间有什么关系？ ⑶ 直角三角形的边和锐角之间有什么关系？ 生活中，我们常常遇到与直角三角形有关的问题．知道直角三角形的边可以求出角， 知道角也可以求出相应的边． 直角三角形中有 6 个元素，分别是三条边和三个角．请问至少知道了几个元素，就可以求出其他的元素呢？ 在Rt△ABC中，如果已知其中两边的长，你能求出这个三角形的其他元素吗？ 直角三角形中，除直角外，共5个元素，3条边和2个角，它们之间存在如下关系： ⑴ 三边之间关系：； ⑵ 锐角之间关系：∠A+∠B＝90°； ⑶ 边角之间关系：sinA＝，cosA＝，tanA＝ （其中∠A的对边为，∠B的对边为，∠C的对边为） 除直角外只要知道其中2个元素（至少有1个是边），就可以利用以上关系求另外3个元素. 解直角三角形定义：由直角三角形中已知的元素，求出所有未知元素的过程，叫做解直角三角形. 例题：1. 如图1，在Rt△ABC中，∠C＝90°, BC＝2，AC＝3，直接写出∠A的三个三角函数值． 2．在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，则sinA的值是（ ） A． B． C． D． 练习：1. 如图2，矩形ABCD的周长为20cm，两条邻边AB与BC的比为2 : 3，直接写出的三个三角函数值． 2．在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝8，BC＝4，则AC＝______，tanA＝______，cosA＝_______． 探究点2：已知一边一角解直角三角形 在Rt△ABC中，如果已知一边和一个锐角，你能求出这个三角形的其他元素吗？ 例题：在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝15，sinA＝，则BC的长是_______． 练习：在Rt△ABC中，∠C＝90，AC＝12，cosA＝，则tanA的值为_______． 探究点3：解直角三角形的实际应用 例题：如图，是台灯其侧面示意图，其中灯臂AC＝40cm，灯罩CD＝30cm，灯臂与底座构成的∠CAB＝60°，CD可以绕点C上下调节一定的角度，使用发现：当CD与水平线所成的角为30°时，台灯光线最佳，现测得点D到桌面的距离为49.6cm．请通过计算说明此时台灯光线是否为最佳（参考数据：≈1.73）？ 练习：如图，图1是小明在健身器材上进行仰卧起坐锻炼时的情景，图2是小明锻炼时上半身由 ON位置运动到与底面 CD垂直的OM位置时的示意图，已知 AC＝0.8米，BD＝0.2米，＝30°. （1）求AB的长; （2）若ON＝0.7米，求M，N两点之间的距离.(结果精确到0.1米.参考数据：≈1.41，≈1.73) ( 图1 图 2 ) 第一章 直角三角形的边角关系 第一章 直角三角形的边角关系 第 18 页 第 17 页 学科网（北京）股份有限公司 五、巩固提升——（有效训练、反馈矫正） 1. 在△ABC中，∠C＝90，sinA＝，则tanA的值是__________. 2. 如图1，在Rt△ABC中，∠C＝90，AD是BC边上的中线，BD＝4，AD＝，则tan∠CAD的值是_______. ( 图1 图2 ) 3. 如图2，在Rt△ABC中，∠C＝90°，tanA＝，∠ABC的平分线BD交AC于点D，CD＝，则AB的的值是__________. 4. 如图3，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠BAC的平分线交BC于点E，EF⊥AB于点F，点F恰好是AB的一个三等分点（AF＞BF），tan∠CAE的值是_________. ( 图 3 图 4 ) 5. 如图4，在矩形ABCD中，点E在BC边上，沿DE折叠矩形ABCD，使点C落在AB边上的点F处，若AB＝5，BC＝4，则tan∠FDE的值是_________. 6. 图1、图2分别是某种型号跑步机的实物图与示意图.已知跑步机手柄AB与地面DE平行，踏板CD长为1.5m，CD与地面DE的夹角∠CDE＝15°，支架AC长为1m，∠ACD＝75°，求跑步机手柄AB所在直线与地面DE之间的距离（结果精确到0.1m.参考数据：sin15°≈0.26，cos15°≈0.97，tan15°≈0.27，≈1.73）． ( 图 1 图 2 ) ( 六 、学后记---反思静悟、体验成功 ) $$