1.1 锐角三角函数（1）导学案 2023—2024学年北师大版数学九年级下册

课题 §1.1 锐角三角函数（1） 主备 审阅 九年数学备课组 时间 课型 新 授 授课教师 一、学习目标——目标明确、有的放矢 1、体会直角三角形的边角关系，用正切进行简单的计算； 2、学习用tanA表示直角三角形中两直角边的比，表示生活中物体的倾斜程度、坡度等. 课标要求：探索并认识锐角三角函数． 二、温馨提示——方法得当、事半功倍 学习重点：学习正切、倾斜程度、坡度的数学意义，密切数学与生活的联系. 学习难点：体会正切的意义，并用它来表示两边的比. 三、课前热身——激发兴趣、温故知新 1. 如图1，在Rt△ABC中，∠C＝90°，则∠A的对边是 ，邻边是 ，斜边是 ． ( 图1 图2 ) 2．在△AB3C3中，B2、B1是斜边AB3上的任意两点，B1C1⊥AC3, B2C2⊥AC3, 则△ABICl △AB2C2 _______△AB3C3（填“∽”或“≌”)； （填“＝”或“≠”’）. 四、课堂探究——质疑解疑、合作探究 探究点1：正切的定义 梯子是我们日常生活中常见的物体，我们经常听人们说这个梯子放得“陡”，那个梯子放得“平缓”，人们是如何判断的？ ⑴ 甲组中AB和EF哪个梯子比较陡？你是怎么判断的？ ⑵ 乙组中AB和EF哪个梯子比较陡？你是怎么判断的？有几种判断方法？ ( 甲组 乙组 ) 如图，小明想通过测量B1C1及AC1，算出它们的比，来说明梯子的倾斜程度；而小亮则认为，通过测量B2C2及AC2，算出它们的比，也能说明梯子的倾斜程度．你同意小亮的看法吗？ ⑴ 直角三角形AB1C1和直角三角形AB2C2有什么关系？ ⑵和有什么关系？ ⑶ 如果改变B2在梯子上的位置呢？由此你能得出什么结论？ 正切的定义:在Rt△ABC中，如果锐角A确定，那么∠A的对边与邻边的比便随之确定， 这个比叫做∠A的正切，记作tanA.即tanA＝，tanA的大小只与∠A的大小有关. ( ∠ A 的对边 ∠ A 的 邻 边 ) ⑴ 在直角三角形中，各边的长度均为正数，所以tanA＞0； ⑵ 正切,其实质是两条线段长度的比值，只是一个数值，没有单位，其大小只与角的大小有关，与角所在的直角三角形的大小无关； ⑶ 正切值与梯子的倾斜程度之间的关系：tanA 的值越大，梯子越陡. 例题：1. 在Rt△ABC中，∠C＝90°，a、b、c分别是∠A、∠B、∠C的对边，则下列等式中不成立的是（ ） A．a＝btanA B．a＝btanB C．b＝atanB D．b＝ 2．在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝5，AC＝3，则tanB的值是（ ） A． B． C． D． 3．在Rt△ABC中，∠C＝90°，tanA＝，AC＝4，则BC的长度是________． 4． 如图1，在网格中，小正方形的边长均为1，点A，B，C都在格点上，则tan∠ABC＝________． 练习：1．在 Rt△ABC 中，∠C＝90°，AC＝5，AB＝13，则tanA＝________；tanB＝________． 2．在 Rt△ABC 中，∠C＝90°，BC＝3，tanA＝5 ，则 AC的长度是________． 3．如图2，点A（t，3）在第一象限，OA与轴所夹的锐角为，tan＝，则t＝________． ( 图 1 图 2 图 3 ) 4．如图3，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于D，若AC＝2，AB＝3，�则tan∠BCD的值为________． 探究点2：坡度与坡角的定义 如图，某人从山脚下的点A走了130m 后到达山顶的点B，已知点B到山脚的垂直距离为50 m，你能求出山的坡度吗？ 坡度与坡角的定义: ⑴ 坡角：坡面与水平面的夹角叫做坡角（或称倾斜角）； ⑵ 坡度（坡比）:坡面的铅直高度与水平宽度的比称为坡度(或坡比). 通常用表示，； ⑶ 坡度()越大，坡角越大，坡面越陡. 例题：1. 小明沿着坡度为1:2的山坡向上走了1000m，则他升高了_________ m. 2. 如图4，在坡角为30°的斜坡上要栽两棵树，要求它们之间的水平距离AC为6m，则这两棵树之间的坡面AB的长为_________ m. ( 图 4 图 5 图 6 ) 练习：1．如图5，四边形ABCD是某河堤的横断面，BC∥AD，�迎水坡AB长13米，且tan∠BAE＝，则河堤的高BE为_______米． 2. 如图6，是沈阳地铁2号线该地铁某站扶梯的示意图，扶梯AB的坡度i＝5：12．王老师乘扶梯从扶梯底端A以0.5米/秒的速度用时52秒到达扶梯顶端B，则王老师上升的铅直高度BC为 ______ 米 第一章 直角三角形的边角关系 第一章 直角三角形的边角关系 第 2页 第1 页 学科网（北京）股份有限公司 五、巩固提升——（有效训练、反馈矫正） 1．在Rt△ABC中，∠C＝90°BC＝1，AC＝2，则tanA的值为( ) A．2 B. C. D. 2. 如图1，在正方形网格中，△ABC的位置如图所示，则tanA的值为（　　） A. B. C. D. 3．如图2，在山地上种树，已知tanA＝，AC＝3米，则相邻两株树的坡面距离AB是（ ） A．6米 B．米 C．2米 D．2米 ( 图 1 图 2 ) 4．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD是中线，AC＝6，CD＝5，求tanA和tanB的值． 5．在△ABC中，AC＝，BC＝，AB＝，则tanA的值是___________. 6．如图，在平面直角坐标系中放入一个边长OC为9的矩形纸片ABCO．将纸片翻折后，点B恰好落在x轴上，记为B′，折痕为CE，已知tan∠OB′C＝． ⑴ 则B′ 点的坐标为__________； ⑵ 求折痕CE所在直线的解析式． 7. 如图3，在正方形ABCD外作等腰直角△CDE，DE＝CE，连接BE，则tan∠EBC的值________. ( 图 3 图 4 ) 8. 如图4，在Rt△BAD中，延长斜边BD到点C，使DC＝BD，连接AC，若tanB＝，则tan∠CAD的值__________. ( 六 、学后记---反思静悟、体验成功 ) $$