21.2.2.1二次函数y=ax²+k的图象和性质 课件 2023—2024学年沪科版数学九年级上册

九年级数学上册教学课件（HK） 第21章 二次函数与反比例函数 21.2.2.1二次函数y=ax2+k的图象和性质 九年级数学上册教学课件（HK） 会画二次函数y=ax2+k的图象，掌握二次函数y=ax2+k的性质并会应用； 比较函数y=ax2与y=ax2+k的联系. 1 2 学习目标 2 1.二次函数y=x2-1的图象是 ． 2.二次函数的图象的顶点坐标是 ． 3.已知二次函数y=2x2-1，如果y随x的增大而增大，那么x的取值范围是 x 0． 4.如果A（-1，y1），B（-2，y2）是二次函数y=x2+m图象上的两个点，那么y1 y2（填“＜”或者“＞”） 自主学习反馈 一条抛物线 （0，5） ≥ ＜ 画出二次函数 y=2x² , y=2x2+1 ，y=2x2-1的图象，并考虑它们的开口方向、对称轴和顶点坐标、顶点高低、函数最值、函数增减性。 x … –1.5 –1 –0.5 0 0.5 1 1.5 … y=2x2-1 … … y=2x2 … 4.5 2 0.5 0 0.5 2 4.5 … y=2x2+1 … … 3.5 1 -0.5 1 -0.5 -1 3.5 5.5 1.5 3 1.5 1 3 5.5 新知讲解 二次函数y=ax2+k的图象和性质(a＞0) 新知讲解 y=2x2+1 y=2x2-1 y=2x2 对称轴右侧y随x增大而增大. 5 3 2 1 -6 -4 -2 2 4 6 4 o x y -1 y=2x2-1 对称轴左侧y随x增大而减小 解析式 形状 开口方向 对称轴 顶点坐标 顶点高低 函数最值 函数的增减性 y=2x2-1 y=2x2 y=2x2+1 向上 直线x=0 最低 (0,0) (0,1) (0,-1) 最小,y=0 最小,y=1 最小,y=-1 对称轴左侧y随x增大而减小 对称轴右侧y随x增大而增大 抛物线 新知讲解 y -2 -2 4 2 2 -4 x 0 二次函数y=ax2+k的图象和性质(a＜0) 做一做 在同一坐标系内画出 下列二次函数的图象： 新知讲解 根据图象回答下列问题: (1)图象的形状都是 . (2)三条抛物线的开口方向_______; (3)对称轴都是__________ (4) 从上而下顶点坐标分别是 _____________________ (5)顶点都是最____点，函数都有 最____值，从上而下最大值分别 为_______、_______﹑________ (6) 函数的增减性都相同： ____________________________ _____________________________ 抛物线 向下 直线x=0 ( 0,0) ( 0，2) ( 0,-2) 高 大 y=0 y= -2 y=2 y -2 -2 2 2 -4 x 0 对称轴左侧y随x增大而增大 对称轴右侧y随x增大而减小 新知讲解 解析式 形状 开口方向 对 称 轴 顶点 坐标 顶点高低 函数最值 函数的增减性 a＞0 a＜0 a＞0 a＜0 a＞0 a＜0 a＞0 a＜0 y = ax2+k ﹙a≠0) 向 上 x=0 向 下 最低 最高 对称轴左侧y随x增大而减小 对称轴右侧y随x增大而增大 对称轴左 侧y随x增 大而增大， 对称轴右 侧y随x增 大而减小 （0，k） 最小y=k 最大y=k 抛物线 二次函数y=ax2+k（a ≠ 0）的图象和性质 归纳小结 例1：已知二次函数y＝ax2+c,当x取x1，x2（x1≠x2）时，函数值相等，则当x＝x1+x2时，其函数值为________. 解析：由二次函数y＝ax2+c图象的性质可知，x1，x2关于y轴对称，即x1+x2＝0.把x＝0代入二次函数表达式求出纵坐标为c. c 方法总结： 二次函数y＝ax2+c的图象关于y轴对称，因此左右两部分折叠可以重合，函数值相等的两点的对应横坐标互为相反数． 典例精析 解析式 y=2x2 2x2+1 y=2x2+1 y=2x2-1 +1 -1 点的坐标 函数对应值表 x … … y=2x2-1 … … y=2x2 … … y=2x2+1 … … 4.5 -1.5 3.5 5.5 -1 2 1 3 x 2x2 2x2-1 (x, ) (x, ) (x, ) 2x2-1 2x2 2x2+1 从数的角度探究 二次函数y=ax2+k的图象及平移 新知讲解 可以看出，y=2x2 向___平移一个单位长度得到 抛物线y=2x2+1 可以看出，y=2x2 向___平移一个单位长度 得到抛物线y=2x2-1 从形的角度探究 上 下 新知讲解 二次函数y=ax2+k的图象可以由 y=ax2 的图象平移得到： 当k > 0 时,向上平移k个单位长度得到. 当k < 0 时,向下平移-k个单位长度得到. 二次函数y=ax2 与y=ax2+k（a ≠ 0）的图象的关系 上下平移规律： 平方项不变，常数项上加下减. 要点归纳 做一做下面的题目，看谁做得又快又准确。 分层教学 1、2组 3、4组 若二次函数y=2x2-3的图象上有两个点A（-3，m）、B（2，n），则m n（填“＜”或“=”或“＞”）． 若点（m，n）在函数y=2x-4的图象上，则m2+n2的最小值是 ． 争先恐后 1 组 2 组 3 组 4 组 小组展示 做一做下面的题目，看谁做得又快又准确。 1、2组 3、4组 若二次函数y=2x2-3的图象上有两个点A（-3，m）、B（2，n），则m ＞n（填“＜”或“=”或“＞”）． 若点（m，n）在函数y=2x-4的图象上，则m2+n2的最小值是 ． 解析一览 2.抛物线y=2x2向下平移4个单位，就得到抛物线 ．　　 1.填表： y = 2x2－４ 函数 开口方向 顶点 对称轴 有最高（低）点 y = ３x2 y = 3x2＋1 y = -4x2－5 向上 向上 向下 （0,0） (0,1) (0,-5) y轴 y轴 y轴 有最低点 有最低点 有最高点 随堂检测 17 3.已知（m,n)在y=ax2+a（a不为0）的图象上，(-m,n) ___（填“在”或“不在”）y=ax2+a（a不为0）的图象上. 4. 若y=x2+（k-2）的顶点是原点，则k____；若顶点位于x轴上方，则k____；若顶点位于x轴下方，则k . 在 =2 >2 <2 随堂检测 18 5.不画函数y=-x2和y=-x2+1的图象回答下面的问题： （1）抛物线y=-x2+1经过怎样的平移才能得到抛物线y=-x2. （2）函数y=-x2+1，当x 时， y随x的增大而减小；当x 时，函数y有最大值，最大值y是 ，其图象与y轴的交点坐标是 ，与x轴的交点坐标是 . （3）试说出抛物线y=x2-3的开口方向、对称轴和顶点坐标. 向下平移1个单位. >0 =0 1 (0,1) (-1,0),(1,0) 开口方向向上，对称轴是y轴，顶点坐标（0，-3）. 随堂检测 19 1.对于二次函数y=(m+1)xm2-m+3,当x>0时y随x的增大而增大，则m=____. 2.已知二次函数y=(a-2)x2+a2-2的最高点为（0，2）则a=____. 3.抛物线y=ax2+c与x轴交于A（-2,0）﹑B两点，与y轴交于点C(0，-4),则三角形ABC的面积是_______. 4.二次函数y=ax2+c与一次函数y=ax+c的图象在同一坐标系中的是 ( ) x y 0 x y 0 x y 0 x y 0 A B C D 2 -2 8 B 学以致用 二次函数y=ax2+k（a≠0)的图象和性质 图象 性质 与y=ax2的关系 开口方向由a的符号决定； k决定顶点位置； 对称轴是y轴. 增减性结合开口方向和对称轴才能确定. 平移规律： k正向上； k负向下. 课堂小结 $$