1.1.2空间向量的数量积运算（2课时）（导学案）-2024-2025学年高二数学同步教学一课到位（人教A版2019选择性必修第一册）

1.1.2《 空间向量的数量积运算 》导学案 一.学习目标 1.认识与理解空间两向量的夹角、数量积、向量投影以及投影向量的概念；（数学抽象） 2.理解与掌握空间向量数量积的性质及其运算律，能利用空间向量的数量积解决向量的模、夹角问题，以及判断两个向量的垂直关系.（数学运算、逻辑推理） 二.学习过程（导学、自学） （一）探究新知1——空间向量的数量积（互学） 1.空间向量的夹角 如图，已知两个非零向量 , ，在空间中任取一点，作向量 ， ， 则 叫做向量 与 的夹角, 记作 . 注：特别地， （1）当时， 与 ； （2）当时， 与 ； （3）当时，我们说 与 ，记作 . 温馨提示　①两向量的夹角的范围是 ，这样两个向量的夹角是唯一确定的，且； ②两个向量只有起点重合时所对应的角才是向量的夹角. 2.空间向量的数量积 如图，已知两个非零向量 与 ，它们的夹角为，我们把数量 叫做 与 的数量积(或内积)，记作 ， 即 . 规定：零向量与任一向量的数量积为，即 ; 温馨提示　 (1)数量积运算中间是“·”，不能写成“×”，也不能省略不写. (2)向量的数量积是一个实数(数量)，不是向量，它的值可正、可负、可为0. 3.空间向量数量积的性质 设两个非零向量 与 ，它们的夹角为 ，由向量数量积定义 可得如下的性质 （1） ; 注：当 时， ， 则 . （2）,则有; 注：∵ , 则 . 4.空间向量数量积的运算律 由空间向量数量积的定义可得如下的运算律 对于空间向量, , 和实数 ，有 （1） 交换律： ; （2） 结合律： ; （3） 分配律： ； （4）完全平方公式： ; （5）平方差公式： . 注：等式 ，因为表示与 共线的向量，表示与 共线的向量，而与 不一定 ，所以不一定成立. （二）探究新知2——空间向量的投影向量（互学） 1.向量 向向量的投影 如图 ，在空间，向量 向向量的投影，由于它们是自由向量，因此可以先将它们平移到同一个平面 α 内，进而利用平面上向量的投影，得到与向量共线的向量 ,且 , （注： ，为向量的 向量） 向量称为向量 在向量上的 向量. 2.向量向直线的投影 类似地，如图 ，在空间，向量向直线的投影，由于向量是自由向量，因此可以先将它们平移到同一个平面 α 内，进而利用平面上向量的投影，得到与直线共线的向量 ,且 , （注： ，为直线的共线向量，且） 向量 称为向量向直线的 . 3.向量向平面的投影 如图，向量向平面的投影，就是分别由向量的起点和终点作平面的垂线，垂足分别为，得到向量 ，向量 称为向量在平面上的 向量. 这时，向量 的夹角就是向量所在直线与平面所成的角. 三.典例分析（互学） 例1 如图，在平行六面体中， 求:(1); (2)的长(精确到 0.1) 解：（1）∵ ∴ （2）∵ ∴ 注：据加法的平行四边形法则可知——“平行六面体（包括正方体与长方体）相邻三条棱表示的向量之和总等于它们所夹对角线表示的向量.” 例2 如图，已知正方体的棱长为 1，则 在上的投影向量的模为 . 解：∵正方体的棱长为 1 ∴ ,且 如图，过点作,垂足为 则向量即为在上的投影向量， ∴ 例3 如图，是平面内的两条相交直线，如果 求证: 证明：在平面内作任意一条直线，分别在直线上取非零向量，，，. ∵直线 与相交， ∴向量，不平行. 由向量共面的充要条件可知，存在唯一的有序实数对，使 将上式两边分别与向量作数量积运算，得 ∵ ∴ ∴ ∴ ∴ 即垂直于平面内的任意一条直线 ∴ 注： 由于空间向量的线性运算和数量积运算具有鲜明的几何背景，空间图形的许多性质可以由向量的线性运算及数量积运算表示出来. 四.达标检测（迁移变通、检测实践） 1.在棱长为的正方体中，点为棱上任意一点，则(     ) A. B. C. D. 【答案】A  解：连接，如图所示： 在棱长为的正方体中，为棱上任意一点， 设，，，，   ． 故选A． 2.已知平行六面体中，，，，则，(    ) A. B. C. D. 【答案】B  【解答】 解：在平行六面体  中，  设，，， 则由已知条件得  ， ，  ， 即  ， 所以  ， 故选：． 3.已知在空间四边形中，，且，，则在上的投影向量是(    ) A. B. C. D. 【答案】A  【解答】 解：根据已知，得 ，所以 ，所以在上的投影 向量是． 4.已知，，，为空间内不共线的四点，为的重心． 证明：； 若向量，，的模长均为，且两两夹角为，求． 【答案】解：证明：因为是的重心，所以， 则， 即． 由得， 所以， ，即． 5.如图，在四棱锥中，底面是边长为的正方形，侧棱的长为，且与、的夹角都等于，是的中点，设，，． 试用，，表示出向量； 求的长． 【答案】解：是的中点，， ，， 结合，得 ，，， ， ， ，即的长等于．  6.如图，已知平行六面体中，底面是边长为的正方形，． 求； 求． 【答案】解：已知平行六面体中，底面是边长为的正方形，． 记， 则， ，， ， ，即有； ． 五、课堂小结：本节课我们都学习了那些知识？ 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$