3.1.2函数的表示法课件-2024-2025学年高一上学期数学人教A版（2019）必修第一册

新课程标准 核心素养 1.了解函数的三种表示法及各自的优缺点． 数学抽象 2.尝试作图并从图象上获取有用的信息． 直观想象 3.会用解析法及图象法表示分段函数． 数学建模 4.掌握求函数解析式的常见方法． 数学运算 5.能根据给出的分段函数，研究有关性质． 数据分析 　(1)已建成的京沪高速铁路总长约1 318千米, 设计速度目标值380千米/时,若京沪高速铁路时速按300千米/时计算,火车行驶x小时后,路程为y千米,则y是x的函数,可以用y＝300x来表示,其中y＝300x叫作该函数的解析式. (2)如图是我国人口出生率变化曲线: (3)下表是大气中氰化物浓度与污染源距离的关系表: 问题　根据初中所学知识,说出上述3个实例分别是用什么方法表示函数的?  　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　   　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　   　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　   　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　  污染源距离 50 100 200 300 500 氰化物浓度 0.678 0.398 0.121 0.05 0.01 解析法：用数学表达式表示两个变量之间的对应关系 1.一个面积为100 cm2的等腰梯形,上底长为x cm,下底长为上底长的3倍.设它的高为y cm,则y关于x的函数解析式为(　　) A.y＝50x(x＞0) B.y＝100x(x＞0) 图象法：就是用图象表示两个变量之间的对应关系. 某同学骑车上学，离开家不久，发现作业本忘家里了，于是返回家找到作业本再去上学，为了赶时间他快速行驶.如图中横轴表示出发后的时间，纵轴表示离学校的距离.则较符合该同学走法的图像是( ) x y o x y o x y o x y o （3）列表法：就是列出表格来表示两个变量之间的对应关系. 某教师将其一周课时节次列表如下： 从上表可看出，这个关于x的函数的定义域为 ____________；值域为___________，f(f(2))=_____. {1,2,3,4,5} {1,3,4,5} 1 从左表可看出，若g(f(a))=2,则a的值为_____.f[g(x)]的值域为______. 2 {2,3,4} ∵g(3)=2, ∴f(a)=3, x/星期 1 2 3 4 5 f(x)/节次 3 5 4 3 1 x 1 2 3 4 f(x) 4 3 2 1 g(x) 1 3 2 3 表示法 优点 缺点 解析法 ①从“数”的角度简明准确地概括变量间的函数关系；②通过解析式可求出任意一个自变量的值所对应的函数值 不够形象、直观、具体. 图象法 从“形”的角度形象直观地表示出函数的变化情况 只能近似地得出自变量的值所对应的函数值，存在误差. 列表法 不需要计算就可以直接看出与自变量的值相对应的函数值 只能表示自变量可一一列出的函数关系. 可以看出: 王伟同学的数学成绩始终高于平均水平，学习情况稳定且成绩优秀。 张城同学的数学成绩不大稳定，总在班级平均水平上下波动,且波动幅度较大。 赵磊同学的数学成绩低于班级平均水平,但他成绩在稳步提高。 知识点二　分段函数 如果函数在定义域的不同的范围内，有着不同的对应关系， 则称这样的函数为分段函数． 分段函数是一个函数，其定义域、值域分别是各段函数的定义域、值域的并集；各段函数的定义域的交集是空集． 分段函数在书写时用大括号把各段函数合并写成一个函数的形式,并且必须指明各段函数自变量的取值范围. 知识点三 求函数的解析式 角度一:待定系数法求函数解析式 1.已知函数f(x)是二次函数,且满足f(0)＝1,f(x＋1)-f(x)＝2x,求f(x)的解析式. 解 设f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0). ∵f(0)＝1,∴c＝1. 又∵f(x＋1)-f(x)＝2x, ∴a(x＋1)2＋b(x＋1)＋1-(ax2＋bx＋1)＝2x, 整理,得2ax＋(a＋b)＝2x. ●适用：已知f(x)的函数类型，求f(x) ●设解析式→列关于待定系数的方程(组)→解方程(组)→将结果代回所设的解析式 ① ② ③ 角度二:换元法(配凑法)求函数解析式 2.已知f(2x+1)=3x－2，求f(x)的解析式 换元法 配凑法 适用：已知f(g(x))的解析式，求f(x) 令t=g(x)→用t表示x→将f(g(x))转化为关于t的解析式 f(t)，注意求新元t的取值范围。 换元法、配凑法求函数解析式 　　已知f(g(x))＝h(x),求f(x),有两种方法: (1)换元法:即令t＝g(x),解出x,代入h(x)中,得到一个含t的解析式,再用x替换t,便得到f(x)的解析式.利用换元法解题时,换元后要确定新元t的取值范围,即函数f(x)的定义域; (2)配凑法:即从f(g(x))的解析式中配凑出g(x),用g(x)来表示h(x),然后将解析式中的g(x)用x代替即可. 已知 求f(x)的解析式. 角度三:方程组法求函数解析式 3.已知函数f(x)对于任意的x都有f(x)-2f(-x)＝1＋2x,求f(x)的解析式. 在原方程中以-x代换x，构成方程组 角度四:赋值法 已知f(x)的定义在R上的函数，f(0)=1，且对任意的实数x,y都有f(x-y) =f(x)-y(2x-y+1)，求函数f(x)的解析式 令x=y，f(0)=f(x)-x(2x-x+1)=1 f(x)=x2+x+1 对关系式中的变量进行赋值，可赋特殊值(0,1,－1…)； 也可赋y=x、y=－x…，转化为关于x与f(x)的关系式。 知识点四 分段函数的应用 1.分段函数的求值问题 因为-3＜-1,所以f(-3)＝-3＋2＝-1 (1)分段函数求值，一定要注意所给自变量的值所在的范围，代入相应的解析式求解．对于含有多层“f”的问题，要按照“由内到外”的顺序，逐层处理． (2)若f(a)＝2,求a的值. 当a≤-1时,由f(a)＝2,得a＋2＝2,a＝0,舍去; 当-1＜a＜2时,由f(a)＝2,得2a＝2,a＝1; 综上所述,a的值为1或2 (2)已知函数值，求自变量的值时，要先将“f”脱掉，转化为关于自变量的方程求解． 当a≥2时,由f(a)＝2, x y o 2 4 6 8 10 12 2 4 6 8 2.（多选）已知函数 被称为狄利克雷函数，则 f(x)=x+1 g(x)=(x+1)2 000 x y o -1 -2 1 2 1 3 4 5 2 x y o -1 -2 1 2 1 3 4 5 2 1. 作函数f(x)＝|x－2|的图象 把函数写成分段函数的形式 2 先画y=x-2的图象，然后把图象中位于轴下方的部分翻折到上方即可 可不可以总结到f(x)＝|ax+b| 2.分段函数的图像及应用 y x o 2 y x o 2 -2 2 ° f(x)在(－2,2]上的值域为[1,3)． x y o 3.已知函数f(x)的图象如图所示,求f(x)的解析式. 由图可知,图象由两条线段(其中一条不含右端点)组成, 当-1≤x＜0时,设f(x)＝ax＋b(a≠0), 将(-1,0),(0,1)代入解析式, 当0≤x≤1时,设f(x)＝kx(k≠0), 将(1,-1)代入,则k＝-1.∴f(x)＝-x. x y o -1 1 -1 1 ° 1.某市有A,B两家羽毛球俱乐部,两家设备和服务都很好,但收费方式不同,A俱乐部每块场地每小时收费6元;B俱乐部按月计费,一个月中20小时以内(含20小时)每块场地收费90元,超过20小时的部分,每块场地每小时收费2元.某企业准备下个月从这两家俱乐部中的一家租用一块场地开展活动,其活动时间不少于12小时,也不超过30小时. (1)设在A俱乐部租一块场地开展活动x小时的收费为f(x)元(12≤x≤30),在B俱乐部租一块场地开展活动x小时的收费为g(x)元(12≤x≤30),试求f(x)与g(x)的解析式; 由题意f(x)＝6x,x∈[12,30], 3.分段函数的应用问题 (2)问该企业选择哪家俱乐部比较合算,为什么? 解　(2)①12≤x≤20时,6x＝90,解得x＝15, 即当12≤x＜15时,f(x)＜g(x), 当x＝15时,f(x)＝g(x), 当15＜x≤20时,f(x)＞g(x). ②当20＜x≤30时,f(x)＞g(x), 故当12≤x＜15时,选A俱乐部合算, 当x＝15时,两家俱乐部一样合算, 当15＜x≤30时,选B俱乐部合算. 2.如图，在边长为4的正方形ABCD的边上有一点P，沿折线BCDA由点B(起点)向点A(终点)运动，设点P运动的路程为x，△APB的面积为y. (1)求y关于x的函数关系式y＝f(x)； (2)画出y＝f(x)的图象； (3)若△APB的面积不小于2，求x的取值范围． A B C D P x P P 3.(多选)某打车平台欲对收费标准进行改革,现制订了甲、乙两种方案供乘客选择,其支付费用y与打车里程x的函数关系大致如图所示,则下列说法正确的是(　　) 甲 乙 当3＜x＜10时,甲对应的函数值小于乙对应的函数值,故当打车距离为8 km时,乘客选择甲方案省钱,故A正确; A.当打车距离为8 km时,乘客选择甲方案省钱 B.当打车距离为10 km时,乘客选择甲、乙方案均可 C.当打车距离为3 km以上时,每千米增加的费用甲方案比乙方案多 D.甲方案打车距离在3 km内(含3 km)付费5元,大于3 km每增加1千米费用增加0.7元 x y o 5 10 3 12 7 对于B,当打车距离为10 km时,由题图可知,甲、乙均为12元,故乘客选择甲、乙方案均可,故B正确; 对于D,由题图可知,甲方案打车距离在3 km内(含3 km)付费5元,大于3 km每增加1千米费用增加1元,故D错误. 对于C,当打车距离为3 km以上时,甲每千米增加的费用为1元,乙每千米增加的费用为 元,故每千米增加的费用甲方案比乙方案多,故C正确; $$