第1讲 不等式基本概念相关-2024年暑期七升八数学新课预习教程（浙教版）

第1讲 不等式基本概念相关 【新知预习】 考点一、不等式的定义：用不等号连结的式子叫做不等式 1.常见的不等号 ＞ ＜ ≥ ≤ ≠ 语言描述：大于 小于 大于等于 小于等于 不等于 2.数学常见基本语言与不等式间的关系 ①x为负数：x＜0； ②x为正数：x＞0； ③x为非负数：x≥0； ④x为非正数：x≤0； 3.不等式在数轴上的表示方法： ：； ：； ：； ：； ：； 考点二、不等式的基本性质 1. 不等式的传递性：； 2. 不等式基本性质1：不等式的两边分别加上（或减去）一个相同的数或式子，不等式仍成立； 即： 3. 不等式基本性质2：不等式的两边分别乘（或除去）一个相同的正数，不等号方向不变； 不等式的两边分别乘（或除去）一个相同的负数，不等号方向改变； 即： 考点三、不等式的解集 使不等式成立的未知数的取值范围即为不等式的解集，简称不等式的解 1、不等式解集在数轴上表示的原则 ①＞、＜画空心，（如考点一的第3点） ②≥、≤画实心， ③＞、≥向右画， ④＜、≤向左画。 【考点分类练】 一．不等式的定义 1．下列式子：（1）4＞0；（2）2x+3y＜0；（3）x＝3；（4）x≠y；（5）x+y；（6）x+3≤7中，不等式的个数有（　　） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 2．对于下列结论：①x为自然数，则x＞1；②x为负数，则x＜0；③x不大于10，则x＞10；④m为非负数，则m≥0，正确的有 　 　． 二．不等式的性质 3．如果a＞b，c＜0，那么下列不等式成立的是（　　） A．a+c＞b+c B．c﹣a＞c﹣b C．ac＞bc D． 4．如图，数轴上的两点A，B对应的实数分别是a，b，则下列不等式成立的是（　　） A．a＜﹣2 B．﹣a＜﹣b C．b＞3 D．|a|＜b 5．已知a＞b，下列不等式成立的是（　　） A．a+2＞b+3 B．﹣4a＜﹣3b C．m﹣a＜m﹣b D．am2＞bm2 6．如果（a+1）x＜a+1的解集是x＞1，那么a的取值范围是（　　） A．a＜0 B．a＜﹣1 C．a＞﹣1 D．a是任意有理数 7．下列不等式的变形正确的是（　　） A．由2+x＞5得x＞5+2 B．由﹣8x＜3得 C．由3（x﹣2）＞﹣5得3x﹣6＞﹣5 D．由得3﹣x+1＞2x 8．已知a＞b，则﹣4a+5　 　﹣4b+5．（填＞、＝或＜） 9．若a＜b，则ac2　 　bc2． 10．有P、Q、R、S四个人去公园玩跷跷板，依据下面的示意图，则这四个人中最重的是 　 　． 11．利用不等式的性质填“＞”或“＜”． （1）若a＞b，则2a+1 　 　2b+1； （2）若﹣1.25y＜﹣10，则y　 　8； （3）若a＜b，且c＜0，则ac+c　 　bc+c； （4）若a＞0，b＜0，c＜0，则（a﹣b）c　 　0． 12．阅读下列材料： 解答“已知x﹣y＝2，且x＞1，y＜0，试确定x+y的取值范围”有如下解法： 解：∵x﹣y＝2，∴x＝y+2， 又∵x＞1， ∴y+2＞1， ∴y＞﹣1， 又∵y＜0，﹣1＜y＜0①， 同理得：1＜x＜2②， 由①+②得﹣1+1＜y+x＜0+2， ∴x+y的取值范围是0＜x+y＜2． 请按照上述方法，完成下列问题． （1）已知x﹣y＝3，且x＞2，y＜1，则x+y的取值范围是 　 　． （2）已知y＞1，x＜﹣1，若x﹣y＝a成立，求x﹣2y的取值范围．（结果用含a的式子表示） 13．已知关于x的不等式（a﹣1）x＞1，可化为x，试化简|1﹣a|﹣|a﹣2|，正确的结果是 　 　． 14．已知非负数x，y满足3x+y＝6，若M＝x+2y，则M的取值范围　 　． 15．将下列不等式化成“x＞a”或“x＜a”的形式． （1）5x＞4x+6； （2）x﹣2＜﹣1； （3）8． 16．【阅读】根据等式和不等式的基本性质，我们可以得到比较两数大小的方法： 若a﹣b＞0，则a＞b； 若a﹣b＝0，则a＝b； 若a﹣b＜0，则a＜b． 反之也成立． 这种比较大小的方法称为“作差法比较大小”． 【理解】（1）若a﹣b+2＞0，则a+1 　 　b﹣1．（填“＞”、“＝”或“＜”） 【运用】（2）若M＝a2+3b，N＝2a2+3b+1，试比较M，N的大小． 【拓展】（3）请运用“作差法比较大小”解决下面这个问题．制作某产品有两种用料方案， 方案一：用5块A型钢板，6块B型钢板． 方案二：用4块A型钢板．7块B型钢板．每块A型钢板的面积比每块B型钢板的面积小．方案一的总面积记为S1，方案二的总面积记为S2，试比较S1，S2的大小． 三．在数轴上表示不等式的解集 17．不等式x＞4的解集在数轴上表示正确的是（　　） A． B． C． D． 18．关于a的不等式的解集在数轴上表示如图所示，则该不等式的解集为 　 　． 19．将不等式组的解集表示在数轴上，下列正确的是（　　） A． B． C． D． 20．如图所示，在数轴上表示不等式正确的是（　　） A．x＜1 B．x≤1 C．x＞1 D．x≥1 21．在数轴上表示下列不等式： （1）x＞﹣2； （2）x≤1.5； （3）﹣1≤x＜3． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第1讲 不等式基本概念相关 【新知预习】 考点一、不等式的定义：用不等号连结的式子叫做不等式 1.常见的不等号 ＞ ＜ ≥ ≤ ≠ 语言描述：大于 小于 大于等于 小于等于 不等于 2.数学常见基本语言与不等式间的关系 ①x为负数：x＜0； ②x为正数：x＞0； ③x为非负数：x≥0； ④x为非正数：x≤0； 3.不等式在数轴上的表示方法： ：； ：； ：； ：； ：； 考点二、不等式的基本性质 1. 不等式的传递性：； 2. 不等式基本性质1：不等式的两边分别加上（或减去）一个相同的数或式子，不等式仍成立； 即： 3. 不等式基本性质2：不等式的两边分别乘（或除去）一个相同的正数，不等号方向不变； 不等式的两边分别乘（或除去）一个相同的负数，不等号方向改变； 即： 考点三、不等式的解集 使不等式成立的未知数的取值范围即为不等式的解集，简称不等式的解 1、不等式解集在数轴上表示的原则 ①＞、＜画空心，（如考点一的第3点） ②≥、≤画实心， ③＞、≥向右画， ④＜、≤向左画。 【考点分类练】 一．不等式的定义 1．下列式子：（1）4＞0；（2）2x+3y＜0；（3）x＝3；（4）x≠y；（5）x+y；（6）x+3≤7中，不等式的个数有（　　） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【分析】主要依据不等式的定义﹣﹣﹣﹣﹣用“＞”、“≥”、“＜”、“≤”、“≠”等不等号表示不相等关系的式子是不等式来判断． 【解答】解：根据不等式的定义，只要有不等符号的式子就是不等式， 所以（1），（2），（4），（6）为不等式，共有4个． 故选：C． 2．对于下列结论：①x为自然数，则x＞1；②x为负数，则x＜0；③x不大于10，则x＞10；④m为非负数，则m≥0，正确的有 　②④　． 【分析】根据自然数定义即可判断，根据负数定义即可判断，不大于10，即小于或等于，根据非负数定义即可判断． 【解答】解：x为自然数，则x＞0，错误，不合题意； ②x为负数，则x＜0，正确，符合题意； ③x不大于10，则x≤10，错误，不合题意； ④m为非负数，则m≥0，正确，符合题意； 故答案为：②④． 二．不等式的性质 3．如果a＞b，c＜0，那么下列不等式成立的是（　　） A．a+c＞b+c B．c﹣a＞c﹣b C．ac＞bc D． 【分析】不等式的基本性质：不等式的两边同时加上（或减去）同一个数或同一个含有字母的式子，不等号的方向不变；不等式的两边同时乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变；不等式的两边同时乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变，由此即可判断． 【解答】解：A、由a＞b，得到a+c＞b+c，故A符合题意； B、由a＞b，得到﹣a＜﹣b，因此c﹣a＜c﹣b，故B不符合题意； C、由a＞b，c＜0，得到ac＜bc，故C不符合题意； D、由a＞b，c＜0，得到＜，故D 不符合题意． 故选：A． 4．如图，数轴上的两点A，B对应的实数分别是a，b，则下列不等式成立的是（　　） A．a＜﹣2 B．﹣a＜﹣b C．b＞3 D．|a|＜b 【分析】根据实数与数轴的对应关系进行判断即可． 【解答】解：由数轴可得﹣2＜a＜﹣1，2＜b＜3， 则A，C不符合题意； ∵a＜b， ∴﹣a＞﹣b， 则B不符合题意； ∵﹣2＜a＜﹣1， ∴1＜|a|＜2， ∴|a|＜b， 则D符合题意； 故选：D． 5．已知a＞b，下列不等式成立的是（　　） A．a+2＞b+3 B．﹣4a＜﹣3b C．m﹣a＜m﹣b D．am2＞bm2 【分析】根据不等式的性质逐项分析判断即可求解． 【解答】解：A．由a＞b，不能判断a+2与b+3的大小关系，故该选项不正确，不符合题意； B．由a＞b，不能判断﹣4a与﹣3b的大小关系，故该选项不正确，不符合题意； C．∵a＞b，∴m﹣a＜m﹣b，故该选项正确，符合题意； D．∵a＞b，且m≠0时，am2＞bm2，故该选项不正确，不符合题意． 故选：C． 6．如果（a+1）x＜a+1的解集是x＞1，那么a的取值范围是（　　） A．a＜0 B．a＜﹣1 C．a＞﹣1 D．a是任意有理数 【分析】根据不等式的性质3，可得答案． 【解答】解：如果（a+1）x＜a+1的解集是x＞1， 得 a+1＜0， a＜﹣1， 故选：B． 7．下列不等式的变形正确的是（　　） A．由2+x＞5得x＞5+2 B．由﹣8x＜3得 C．由3（x﹣2）＞﹣5得3x﹣6＞﹣5 D．由得3﹣x+1＞2x 【分析】根据不等式的性质，逐项判断即可． 【解答】解：∵由2+x＞5得x＞5﹣2， ∴选项A不符合题意； ∵由﹣8x＜3得x＞﹣， ∴选项B不符合题意； ∵由3（x﹣2）＞﹣5得3x﹣6＞﹣5， ∴选项C符合题意； ∵由得3﹣x+2＞2x， ∴选项D不符合题意． 故选：C． 8．已知a＞b，则﹣4a+5　＜　﹣4b+5．（填＞、＝或＜） 【分析】根据不等式的基本性质即可解决问题． 【解答】解：∵a＞b， ∴﹣4a＜﹣4b， ∴﹣4a+5＜﹣4b+5， 故答案为＜． 9．若a＞b，则ac2　≥　bc2． 【分析】先判断出c2的符号，进而判断出不等式的方向即可． 【解答】解：∵何数的平方一定大于或等于0 ∴c2≥0 ∴c2＞0时，ac2＞bc2 c2＝0时，则ac2＝bc2 ∴若a＞b，则ac2≥bc2． 10．有P、Q、R、S四个人去公园玩跷跷板，依据下面的示意图，则这四个人中最重的是 　R　． 【分析】根据跷跷板得到不等式或者等式，据此解答即可． 【解答】解：由图1可知：S＞P， 由图2可知：R+P＞Q+S， ∴R﹣Q＞S﹣P＞0，R﹣S＞Q﹣P ∴R＞Q， 由图3可知：R+Q＝S+P， ∴R﹣S＝P﹣Q， ∴P﹣Q＞Q﹣P， ∴P﹣Q＞0 ∴R﹣S＞0 ∴R＞S， 所以R最重， 故答案为：R． 11．如a＜0，则8a　＞　15a． 【分析】利用不等式的性质进行计算即可解答． 【解答】解：∵8＜15，a＜0， ∴8a＞15a． 故答案为：＞． 12．利用不等式的性质填“＞”或“＜”． （1）若a＞b，则2a+1 　＞　2b+1； （2）若﹣1.25y＜﹣10，则y　＞　8； （3）若a＜b，且c＜0，则ac+c　＞　bc+c； （4）若a＞0，b＜0，c＜0，则（a﹣b）c　＜　0． 【分析】（1）根据不等式的两边同乘一个正数，不等号方向不变；不等式的两边同时加上一个一个数，不等号方向不变解决此题； （2）根据不等式两边同除一个不为0的负数，不等号方向改变解决此题； （3）根据不等式两边加上同一个数，不等号方向改变；不等式两边同乘一个不为0的负数，不等号方向改变解决此题； （4）根据实数的乘法法则“异号为负”解决此题． 【解答】解：（1）若a＞b，则2a+1＞2b+1； 故答案为：＞； （2）若﹣1.25y＜﹣10，则y＞8； 故答案为：＞； （3）若a＜b，且c＜0，则ac+c＞bc+c； 故答案为：＞； （4）若a＞0，b＜0，c＜0，则（a﹣b）c＜0． 故答案为：＜． 13．阅读下列材料： 解答“已知x﹣y＝2，且x＞1，y＜0，试确定x+y的取值范围”有如下解法： 解：∵x﹣y＝2，∴x＝y+2， 又∵x＞1， ∴y+2＞1， ∴y＞﹣1， 又∵y＜0，﹣1＜y＜0①， 同理得：1＜x＜2②， 由①+②得﹣1+1＜y+x＜0+2， ∴x+y的取值范围是0＜x+y＜2． 请按照上述方法，完成下列问题． （1）已知x﹣y＝3，且x＞2，y＜1，则x+y的取值范围是 　1＜x+y＜5　． （2）已知y＞1，x＜﹣1，若x﹣y＝a成立，求x﹣2y的取值范围．（结果用含a的式子表示） 【分析】（1）先把x﹣y＝3，化为x＝3+y，再根据x＞2，y＜1，求出﹣1＜y＜1，①同理得2＜x＜4，②①+②得﹣1+2＜x+y＜1+4，进而求出x+y的取值范围； （2）解题方法同（1）类似，不同就是当﹣a﹣1＞1，即a＜﹣2，注意a的取值范围． 【解答】解：（1）∵x﹣y＝3， ∴x＝3+y， ∵x＞2， ∴3+y＞2， ∴y＞﹣1， ∵y＜1， ∴﹣1＜y＜1，① 同理得2＜x＜4，② ①+②得﹣1+2＜x+y＜1+4， ∴1＜x+y＜5； 故答案为：1＜x+y＜5； （2）∵x﹣y＝a， ∴x＝a+y， ∵x＜﹣1， ∴a+y＜﹣1， ∴y＜﹣1﹣a， ∵y＞1， 当﹣a﹣1＞1，即a＜﹣2， ∴1＜y＜﹣a﹣1， ∴2a+2＜﹣2y＜﹣2，① 同理得1+a＜x＜﹣1，② ①+②得3a+3＜x﹣2y＜﹣3． 14．已知关于x的不等式（a﹣1）x＞1，可化为x，试化简|1﹣a|﹣|a﹣2|，正确的结果是 　﹣1　． 【分析】根据题目的已知可得a﹣1＜0，然后再化简每一个绝对值进行计算即可． 【解答】解：由题意得： a﹣1＜0， ∴a＜1， ∴1﹣a＞0，a﹣2＜0， ∴|1﹣a|﹣|a﹣2| ＝1﹣a﹣（2﹣a） ＝1﹣a﹣2+a ＝﹣1， 故答案为：﹣1． 15．已知非负数x，y满足3x+y＝6，若M＝x+2y，则M的取值范围　2≤M≤12　． 【分析】根据已知条件求得x和y的取值范围，则M的取值范围即可求解． 【解答】解：由题意得，y＝6﹣3x， ∵x，y为非负数， ∴， ∴0≤x≤2， ∵M＝x+2y＝x+2（6﹣3x）＝﹣5x+12， ∴2≤x+2y≤12， 故答案为：2≤M≤12． 16．将下列不等式化成“x＞a”或“x＜a”的形式． （1）5x＞4x+6； （2）x﹣2＜﹣1； （3）8． 【分析】（1）根据不等式的性质①不等式的两边同时加上（或减去）同一个数或同一个含有字母的式子，不等号的方向不变，求解即可； （2）根据不等式的性质①不等式的两边同时加上（或减去）同一个数或同一个含有字母的式子，不等号的方向不变，求解即可； （3）不等式的两边同时乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变，求解即可． 【解答】解：（1）两边同时减去4x， 得5x﹣4x＞4x+6﹣4x， 即x＞6； （2）两边同时加上2， 得x﹣2+2＜﹣1+2， 得x＜1； （3）两边都乘4， 得﹣x＞8×4， 两边同时乘﹣1， 即x＜﹣32． 三．在数轴上表示不等式的解集 17．不等式x＞4的解集在数轴上表示正确的是（　　） A． B． C． D． 【分析】根据不等式解集在数轴上的表示方法进行判断即可． 【解答】解：不等式x＞4的解集在数轴上表示， ． 故选：C． 18．关于a的不等式的解集在数轴上表示如图所示，则该不等式的解集为 　a≤3　． 【分析】根据数轴写出不等式的解集． 【解答】解：∵， ∴不等式的解集为a≤3， 故答案为a≤3． 19．将不等式组的解集表示在数轴上，下列正确的是（　　） A． B． C． D． 【分析】先求出不等式组的解集，再在数轴上表示出来即可． 【解答】解：不等式组的解集为x＜1， 在数轴上表示为： ． 故选：D． 20．如图所示，在数轴上表示不等式正确的是（　　） A．x＜1 B．x≤1 C．x＞1 D．x≥1 【分析】根据在表示解集时“≥”，“≤”要用实心圆点表示；“＜”，“＞”要用空心圆点表示，可得答案． 【解答】解：由题意，得：x＜1， 故选：A． 21．在数轴上表示下列不等式： （1）x＞﹣2； （2）x≤1.5； （3）﹣1≤x＜3． 【分析】（1）根据不等式的解集在数轴上表示方法可画出图示； （2）根据不等式的解集在数轴上表示方法可画出图示； （3）根据不等式的解集在数轴上表示方法可画出图示． 【解答】解：（1）将x＞﹣2表示在数轴上如下： （2）将x≤1.5表示在数轴上如下： （3）将不等式组﹣1≤x＜3表示在数轴上如下： ． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 学科网（北京）股份有限公司 $$