精品解析：浙江省台州市椒江区椒江区第五中学2023-2024学年八年级下学期5月月考数学试题

2023学年第二学期三区三校八年级学科素养联赛 数学卷 总分：100分 考试时间：100分钟 第I卷（选择题） 一、单选题（每题3分，共30分） 1. 下列根式中，最简二次根式是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了最简二次根式，在判断最简二次根式的过程中要注意：（1）在二次根式的被开方数中，只要含有分数或小数，就不是最简二次根式；（2）在二次根式的被开方数中的每一个因式（或因数），如果幂的指数大于或等于2，也不是最简二次根式． 【详解】解：A．，不是最简二次根式； B．，不是最简二次根式； C．是最简二次根式； D．，不是最简二次根式； 故选：C． 2. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了二次根式运算，根据二次根式的加减，乘法计算，然后逐项判断即可． 【详解】解：A．与不是同类二次根式，不可以合并，故运算错误； B．，故原运算错误； C．5与不是同类二次根式，不可以合并，故运算错误； D．，故原运算正确， 故选：D． 3. 下列说法正确的是（ ） A. 一组对边平行另一组对边相等的四边形是平行四边形 B. 对角线互相垂直平分的四边形是菱形 C. 对角线相等的四边形是矩形 D. 对角线互相垂直且相等的四边形是正方形 【答案】B 【解析】 【分析】利用平行四边形的判定、菱形的判定、矩形的判定及正方形的判定定理对各选项逐一判断后即可确定正确的选项． 【详解】解：A、一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形错误，如等腰梯形； B、对角线互相垂直平分的四边形是菱形，正确； C、对角线相等的四边形是矩形错误，如等腰梯形； D、对角线互相垂直且相等的四边形是正方形错误，如一般四边形对角线也可以互相垂直且相等． 故选：B． 【点睛】本题考查了命题与定理，解题的关键是了解平行四边形的判定、菱形的判定、矩形的判定及正方形的判定定理，难度一般． 4. 给出下列几组数：①6，7，8；②8，15，16；③7，24，25；④．其中，能作为直角三角形三条边长的是（ ） A. ①② B. ②④ C. ③④ D. ①③ 【答案】C 【解析】 【分析】利用勾股定理的逆定理，进行计算逐一判断即可解答． 本题考查了勾股定理的逆定理，熟练掌握定理是解题的关键． 【详解】解：①∵， ∴三角形不是直角三角形， 故①不符合题意； ∵， ∴三角形不直角三角形， 故②不符合题意； ∵， ∴三角形是直角三角形， 故③符合题意； ， ∴三角形是直角三角形， 故④符合题意； 故选：C． 5. 某科研小组在网上获取了声音在空气中传播的速度与空气温度关系的一些数据（如表）：下列说法错误的是（ ） 温度（） 0 10 20 30 … 声速（） 324 330 336 342 348 A. 在这个变化过程中，温度是自变量，声速是函数 B. 在一定温度范围内，温度越高，声速越快 C. 当空气温度为时，声音可以传播 D. 当温度升高到时，声速为 【答案】D 【解析】 【分析】根据函数图表信息，解答即可． 本题考查了函数图表表示及其意义，正确理解图表函数的意义是解题的关键． 【详解】解：A． 在这个变化过程中，温度是自变量，声速是函数，正确，不符合题意； B． 在一定温度范围内，温度越高，声速越快，正确，不符合题意； C． 当空气温度为时，声音可以传播，正确，不符合题意； D． 当温度升高到时，声速为，错误，符合题意； 故选D． 6. 如图，在离水面点A高度为的岸上点处，有人用绳子拉船靠岸，开始时绳子的长为，此人以的速度收绳，后船移动到点的位置，则船向岸边移动了（ ）（假设绳子是直的） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查勾股定理的运用，熟练掌握勾股定理，求出和的长是解题的关键．由勾股定理求出，再由勾股定理求出，即可解决问题． 【详解】解：在中，，，， ， 此人以的速度收绳，后船移动到点的位置， ， 在中，由勾股定理得：， ， 即船向岸边移动了， 故选：A． 7. 关于一次函数，下列说法正确的是（ ） A. 图象过点 B. 图象经过第一、二、四象限 C. y随着x的增大而增大 D. 其图象可由的图像向下平移2个单位长度得到 【答案】B 【解析】 【分析】根据图象与点的关系，一次函数的性质，图象的平移，一次函数图象分布解答即可． 本题考查了一次函数图象的分布和性质，图象的平移，熟练掌握图象分布，性质，平移是解题的关键． 【详解】解：A. 图象过点，错误，不符合题意； B. 图象经过第一、二、四象限，正确，符合题意； C. y随着x的增大而减小，错误，不符合题意； D. 其图象可由的图像向上平移2个单位长度得到，错误，不符合题意； 故选：B． 8. 已知直线l1：与直线l2：在第三象限交于点M，若直线l1与x轴的交点为B(3，0)，则k的取值范围是( ) A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由题意易得直线l2经过二、三、四象限，画出大致图像如图所示，要使交点M在第三象限，直线l1可绕B点旋转，找到两个极限位置，即可得到k的取值范围. 【详解】根据题意画出大致图像，如图所示，当l1经过（0，-6）时，将（3,0）和（0，-6）代入得，，解得，此时直线l1解析式为， 此时直线l1绕B点顺时针旋转至与x轴重合的过程中，交点M始终在第三象限，所以k的取值范围是，故选D. 【点睛】本题考查一次函数的交点问题，采用数形结合，画出草图是解题的关键. 9. 如图，矩形的面积为288，分别是边的三等分点，若，则阴影四边形的周长为（ ） A. 20 B. 25 C. 30 D. 40 【答案】A 【解析】 【分析】证明四边形是菱形，根据矩形的面积为288，得出，根据，设，则，得出，求出，负值舍去，得出，，根据勾股定理得出，得出，求出菱形的周长即可． 【详解】解：连接，如图所示： ∵矩形， ∴ ∵分别是边的三等分点， ∴，， ∴，， ∴四边形是平行四边形 ∴， 同理可证：， ∴四边形是平行四边形 ∵，，， ∴四边形是矩形， ∴， ∵ ，即， 同理可证， ∵， ∴， ∴四边形是菱形， ∵矩形的面积为288， ∴， ∵， ∴设，则， ∴， 解得：，负值舍去， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴菱形的周长为， 即阴影部分的周长为20． 故选：A． 【点睛】本题考查了平行四边形和特殊平行四边形的判定和性质的应用，菱形的周长，熟练掌握平行四边形的特殊平行四边形的判定和性质定理是解题的关键． 10. 如图，正方形的边长为，在正方形外，，过作于，直线，交于点，直线交直线于点，则下列结论正确的是（ ） ①；②；③； ④若，则 A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】C 【解析】 【分析】①利用等腰三角形的性质即可证明．②根据DA=DC=DE，利用圆周角定理可知∠AEC=∠ADC=45°，即可解决问题．③如图，作DF⊥DM交PM于F，证明△ADM≌△CDF（SAS）即可解决问题．④解直角三角形求出CE=EF=可得结论． 【详解】∵四边形ABCD是正方形， ∴DA=DC,∠ADC=90°， ∵DC=DE， ∴DA=DE， ∴∠DAE=∠DEA，故①正确， ∵DA=DC=DE， ∴∠AEC=∠ADC=45°(圆周角定理)， ∵DM⊥AE， ∴∠EHM=90°， ∴∠DMC=45°，故②正确， 如图，作DF⊥DM交PM于F， ∵∠ADC=∠MDF=90°， ∴∠ADM=∠CDF， ∵∠DMF=45°， ∴∠DMF=∠DFM=45°， ∴DM=DF，∵DA=DC， ∴△ADM≌△CDF(SAS)， ∴AM=CF， ∴AM+CM=CF+CM=MF=DM， ∴=，故③正确， 若MH=2,则易知AH=MH=HE=2,AM=EM=2， 在Rt△ADH中, ， ∴DM=3,AM+CM=3， ∴CM=CE=， ∴S△DCM=S△DCE，故④错误， 故选C. 【点睛】此题考查正方形的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，垂直平分线的判定性质、勾股定理，解题关键在于作辅助线. 第II卷（非选择题） 二、填空题（每题3分，共18分） 11. 已知，求______． 【答案】 【解析】 【分析】根据二次根式有意义求出的值即可． 【详解】∵， ∴， 解得， ∴， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查二次根式有意义的条件，熟知二次根式有意义的条件是被开方数为非负数是解题的关键． 12. 若点、都在一次函数的图象上，且，则实数的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一次函数的性质，由题意得出一次函数的随的增大而减小，从而得到，求解即可，熟练掌握一次函数的性质是解此题的关键． 【详解】解：点、都在一次函数的图象上，且， 一次函数的随的增大而减小， ， ， 故答案为：． 13. 如图，在矩形中，，，，则这个矩形的面积是_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了矩形的性质，含30度角的直角三角形的性质，余角的性质，熟练掌握知识点是解题的关键．先由四边形是矩形，得出，．再解，根据角所对的直角边等于斜边的一半得出，那么．利用同角的余角相等得出，再解，得到，那么，然后根据矩形面积公式即可求解． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴，， 在中， ∵，，， ∴，， ∵，， ∴． 在中， ∵，， ，， ∴， ∴， ∴矩形的面积． 故答案为：． 14. 已知实验表明，某种气体的体积与温度的关系可用公式表示，已测得时，；当是，；则当时，_____． 【答案】30 【解析】 【分析】本题考查了一次函数的应用，熟练掌握待定系数法求函数解析式是关键． 待定系数法求出气体的体积与温度的关系式，再将代入关系式求出t值即可． 【详解】解：∵当时，；当是，， ∴， 解得， ∴气体的体积与温度的关系式为：， 当时，． 故答案为：30． 15. 如图，正方形的面积是169平方厘米，正方形面积是144平方厘米，正方形的面积是25平方厘米，则阴影四边形的面积是______平方厘米． 【答案】 【解析】 【分析】根据正方形的面积、正方形面积、正方形的面积可以计算，，，进而判定为直角三角形，即可求证、、三点共线，且阴影部分的面积为，即可解题． 【详解】解：根据正方形的面积、正方形面积、正方形的面积可得厘米，厘米，厘米，且满足， 为直角三角形， ， 、、三点共线，、、三点共线， 为直角三角形，（厘米），（厘米）， ∴（平方厘米） （平方厘米） ∴（平方厘米）． ∵（平方厘米） ∴阴影四边形的面积（平方厘米）． 故答案为 ． 【点睛】本题考查了勾股定理在直角三角形中的运用，勾股定理的逆定理判定直角三角形，正方形各边长相等、各内角为直角的性质，三角形面积的计算，本题中求阴影部分的面积为是解题的关键． 16. 如图，在矩形ABCD中，AB＝，BC＝1，将△ABD沿射线DB平移得到△A'B'D'，连接B′C，D′C，则B'C+D'C的最小值是_____． 【答案】 【解析】 【分析】根据矩形的性质和勾股定理可得BD＝2，即为B′D′的长，作点C关于BD的对称点G，连接CG交BD于E，连接D′G，如图，则有CD′＝GD′，CE⊥BD，CG＝2CE，利用三角形的面积可求得CG＝，然后以B′D′，GD′为邻边作平行四边形B′D′GH，可得B′H＝D′G＝CD′，于是当C，B′，H在同一条直线上时，CB′+B′H最短，且B'C+D'C的最小值＝CH，再根据勾股定理即可求出结果． 【详解】解：∵四边形ABCD是矩形， ∴AD＝BC＝1，∠A＝90°， ∴， ∵将△ABD沿射线DB平移得到△A'B'D'， ∴B′D′＝BD＝2， 作点C关于BD的对称点G，连接CG交BD于E，连接D′G，如图， 则CD′＝GD′，CE⊥BD，CG＝2CE， ∵CE＝，∴CG＝， 以B′D′，GD′为邻边作平行四边形B′D′GH， 则B′H＝D′G＝CD′， ∴当C，B′，H在同一条直线上时，CB′+B′H最短， 则B'C+D'C的最小值＝CH， ∵四边形B′D′GH是平行四边形， ∴HG＝B′D′＝2，HG∥B′D′， ∴HG⊥CG， ∴CH＝． 故答案为：． 【点睛】本题考查了矩形的性质、轴对称的性质、平移的性质、平行四边形的性质和勾股定理等知识，具有一定的难度，利用轴对称和平移的思想把所求B'C+D'C的最小值转化为求CB′+B′H的最小值是解题的关键． 三、解答题（5小题，共52分） 17. 计算题 （1） （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据二次根式的混合运算法则计算即可． （2）根据二次根式的混合运算法则计算即可． 本题考查了二次根式的混合运算，熟练掌握运算法则是解题的关键． 【小问1详解】 ． 【小问2详解】 ． 18. 图a、图b是两张形状、大小完全相同的方格纸，方格纸中每个小正方形的边长为1个单位长度，点A、B在小正方形的顶点上． （1）连接，则的长为 个单位长度． （2）在图a中画出 (点C在小正方形的顶点上)，使是等腰三角形且为钝角三角形； （3）图b中画出 (点D在小正方形的顶点上)，使是等腰三角形 【答案】（1）5 （2）见解析 （3）见解析 【解析】 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，勾股定理等知识，熟练掌握各个知识点是解题的关键． （1）根据勾股定理得出的长度； （2）去格点C，使即可； （3）以边，为直角顶点，画出等腰直角三角形即可． 【小问1详解】 解：， 故答案为：5； 【小问2详解】 解：如图，即为所求， ； 【小问3详解】 解：如图，即为所求， ． 19. 如图是一副秋千架，左图是从正面看，当秋千绳子自然下垂时，踏板离地面0.5m（踏板厚度忽略不计）， 右图是从侧面看，当秋千踏板荡起至点B位置时，点B离地面垂直高度BC为1m，离秋千支柱AD的水平距离BE为1.5m（不考虑支柱的直径）.求秋千支柱AD的高. 【答案】秋千支柱AD的高为3m. 【解析】 【分析】设秋千支柱AD的高为xm，根据秋千绳子自然下垂时，踏板离地面0.5m得AB＝(x－0.5)m，根据右图得AE＝(x－1)m，在Rt△AEB中利用勾股定理列方程求出x的值即可． 【详解】解：设AD＝xm，则由题意可得 AB＝(x－0.5)m，AE＝(x－1)m， 在Rt△ABE中，AE2＋BE2＝AB2， 即(x－1)2＋1.52＝(x－0.5)2， 解得x＝3． 即秋千支柱AD的高为3m． 【点睛】本题考查了勾股定理的应用，若在一个直角三角形中，已知一条边，而其他两边具有一定的数量关系，则可利用勾股定理列方程求出其他两边． 20. 如图，在四边形中，对角线相交于点，延长至点E，使，连接． （1）当时，求证：； （2）当，且时，求证：四边形是正方形． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 【解析】 【分析】本题考查平行线的判定，特殊四边形的判定和性质，掌握特殊四边形的判定定理和性质定理是解题关键． （1）根据平行线的性质可证，结合题意可证四边形为菱形，即得出，再结合，即得出； （2）由（1）可知四边形为平行四边形，即得出，，．再结合题意即证明四边形是正方形． 【小问1详解】 证明：∵， ∴． ∵， ∴四边形为平行四边形． ∵， ∴平行四边形为菱形， ∴． ∵， ∴； 【小问2详解】 证明：如图，，， 由（1）可知四边形为平行四边形， ∴，，． ∵， ∴， ∴四边形为平行四边形． ∵， ∴， ∴平行四边形为菱形． ∵， ∴， ∴菱形为正方形． 21. 如图，在平面直角坐标系中，直线经过点，且与x轴、y轴分别相交于点B、D，与直线相交于点C．点C的横坐标为1． （1）求直线线的解析式； （2）点是x轴上的一个动点，过点P与x轴垂直的直线与直线、，分别相交于点E、F，且点E和点F关于x轴对称，求点P的坐标； （3）若直线与线段有交点（包括线段的两个端点），直接写出m的取值范围． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据与直线相交于点C．点C的横坐标为1． 得到．结合过点，构造方程组解答即可； （2）根据，，点，得到，，结合点E和点F关于x轴对称，得到，解答即可． （3）根据，可得，根据，分别代入，得 ；，得到，结合图象解答即可． 本题考查了待定系数法，交点坐标的意义，关于x轴对称的意义，直线比例系数的取值范围，熟练掌握待定系数法，比例系数取值范围的确定是解题的关键． 【小问1详解】 ∵根据与直线相交于点C．点C的横坐标为1． ∴． ∵过点， 解得， 故的解析式为． 【小问2详解】 ∵，，点， ∴，， ∵点E和点F关于x轴对称， ∴， 解得． 故点． 【小问3详解】 解：由， ∴，由，分别代入， 得；，得到， 故m的取值范围是． ． 22. 为了了解某款饮水机的工作原理与用电情况，家电学习小组展开了以下研究． 材料1 材料2 材料3 如图1某饮水机内有两个不同大小的方形水箱，两水箱各配有一条智能水管，当甲箱至最低水位时1号管启动，将乙箱中的水匀速注入甲箱 甲乙两箱的水位相同时，此时2号管启动，将外部自来水匀速注入乙箱（两管的注水速度相同，水箱注满后其对应的水管停止工作，期间饮水机不对外出水）．甲乙水箱水位关于t的函数关系如图2所示． 为节约能源，设定当两水箱的水位差不超过时甲水箱启动加热，加热时每分钟耗电度，另外每根水管工作1分钟耗电分钟 问题解决 任务1 确定容器信息：求出图2中a的值与甲乙两容器底面积之比． 任务2 探究函数表达式：求出8分钟以后乙容器高度关于时间t（分钟）的函数表达式 任务3 计算用电量：求出整个过程中所消耗的电量． 【答案】任务1：，甲乙两容器底面积之比为；任务2：；任务3：度 【解析】 【分析】本题主要考查了从函数图象获取信息，一元一次方程的应用，列函数关系式： 任务1：先根据函数图象求出甲水箱的注水时水面上升的速度为，由此即可求出2分钟时甲水箱水面的高度，即a的值；设甲容器的底面积为，乙容器的底面积为，根据乙水箱向甲水箱注水的过程中两个水箱中的水的总体积不发生，可得，则，据此可得答案； 任务2：先求出乙水箱向甲水箱注水时水面下降的速度为，则当甲水箱水满后，外部继续向乙水箱注水时，乙水箱水面上升的速度为，据此可得答案； 任务3：时是1号管单独工作，时是1号管和2号管同时工作，时是2号管单独工作，据此求出两根水管工作的总时间；再分别求出当时，当时，当时，三个时间段内加热的时间，进而求出加热的总时间，再根据加热每分钟耗电 度，每根水管工作1分钟耗电分钟求出总耗电量即可． 【详解】解：任务1：由函数图象可知，甲水箱的注水时水面上升的速度为， ∴甲水箱注水2分钟后甲水箱的水位高度为， ∴； 设甲容器的底面积为，乙容器的底面积为， 由于乙水箱向甲水箱注水的过程中两个水箱中的水的总体积不发生， ∴， ∴， ∴甲乙两容器底面积之比为； 任务2：由任务1可知，乙水箱向甲水箱注水时水面下降的速度为， ∵两管的注水速度相同， ∴当甲水箱水满后，外部继续向乙水箱注水时，乙水箱水面上升的速度为， ∴8分钟以后乙容器高度关于时间t（分钟）的函数表达式； 任务3：由函数图象可知，时1号管单独工作，时是1号管和2号管同时工作，时是2号管单独工作， ∴两根水管在整个过程中一共工作分钟； 当时，当两水箱的水位差刚好是时，则， 解得， 当时，加热时间为分钟； 当时，当两水箱的水位差刚好是时，则， 解得， 当时，加热时间为分钟； 当时，当两水箱的水位差刚好是时，则， 解得， 当时，加热时间为分钟； ∴加热的总时间为分钟， ∴整个过程中所消耗的电量为度， 23. 如图1，为矩形的对角线，的平分线交于点E，交的延长线于点F．点P是线段上的动点，以为对角线作正方形(点按顺时针方向排列)． （1）求证：； （2）已知，． ①如图2，若点M落在边上，求的值； ②在点P的运动过程中，是否存在某一位置，使得正方形的某边落在的一边上？若存在，求的长；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）见解析 （2）①；②或6或或 【解析】 【分析】（1）根据矩形的性质可得，则，根据角平分线的定义可得出，等量代换得出，等边对等角即可得证； （2）①连接交于点，过点作于点，证明是等边三角形，证明，在中，得出，进而可得，即可求解； ②分四种情况讨论：当落在上时；当落在上时；当落在上时；当落在上时，分别求解即可． 【小问1详解】 证明：∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∵是的角平分线， ∴ ∴， ∴； 【小问2详解】 ①连接交于点，过点作于点，如图所示，    ∵四边形是矩形， ∴，， ∵，． 在中，， ∴， ∴是等边三角形， ∴，， 则， ∵是的角平分线， ∴， ∴， ∵四边形是正方形， ∴， 则， 在中，， ∴， ∵四边形是正方形， ∴， 又， ∴， ∴， ∴， ∴，，， ， ， ， ， ， ； ②当落在上时，如图所示，过点作于点，    ∵，， ∴， ∴， 又∵， ∴， 在中，， ∵四边形是正方形，是对角线， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； 当落在上时，如图所示，    同理可得， ∴； 当落在上时，如图所示， 在中，，， ∴，， ∴； 当落在上时，如图所示， 同理可得，， ∴； 综上，满足条件的长为或6或或． 【点睛】本题考查了矩形的性质，正方形的性质，等边三角形的判定与性质，全等三角形的性质与判定，含30度角的直角三角形的性质，勾股定理，角平分线的性质，等腰三角形的判定与性质等知识，涉及知识点较多，综合性强，熟练掌握以上知识以及分类讨论是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2023学年第二学期三区三校八年级学科素养联赛 数学卷 总分：100分 考试时间：100分钟 第I卷（选择题） 一、单选题（每题3分，共30分） 1. 下列根式中，最简二次根式是（ ） A. B. C. D. 2. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 下列说法正确的是（ ） A. 一组对边平行另一组对边相等的四边形是平行四边形 B. 对角线互相垂直平分的四边形是菱形 C. 对角线相等四边形是矩形 D. 对角线互相垂直且相等的四边形是正方形 4. 给出下列几组数：①6，7，8；②8，15，16；③7，24，25；④．其中，能作为直角三角形三条边长是（ ） A. ①② B. ②④ C. ③④ D. ①③ 5. 某科研小组在网上获取了声音在空气中传播的速度与空气温度关系的一些数据（如表）：下列说法错误的是（ ） 温度（） 0 10 20 30 … 声速（） 324 330 336 342 348 A. 在这个变化过程中，温度是自变量，声速是函数 B. 在一定温度范围内，温度越高，声速越快 C. 当空气温度为时，声音可以传播 D. 当温度升高到时，声速为 6. 如图，在离水面点A高度为的岸上点处，有人用绳子拉船靠岸，开始时绳子的长为，此人以的速度收绳，后船移动到点的位置，则船向岸边移动了（ ）（假设绳子是直的） A. B. C. D. 7. 关于一次函数，下列说法正确的是（ ） A. 图象过点 B. 图象经过第一、二、四象限 C. y随着x的增大而增大 D. 其图象可由的图像向下平移2个单位长度得到 8. 已知直线l1：与直线l2：在第三象限交于点M，若直线l1与x轴的交点为B(3，0)，则k的取值范围是( ) A. B. C. D. 9. 如图，矩形的面积为288，分别是边的三等分点，若，则阴影四边形的周长为（ ） A. 20 B. 25 C. 30 D. 40 10. 如图，正方形的边长为，在正方形外，，过作于，直线，交于点，直线交直线于点，则下列结论正确的是（ ） ①；②；③； ④若，则 A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 第II卷（非选择题） 二、填空题（每题3分，共18分） 11. 已知，求______． 12. 若点、都在一次函数的图象上，且，则实数的取值范围是______． 13. 如图，在矩形中，，，，则这个矩形的面积是_____． 14. 已知实验表明，某种气体的体积与温度的关系可用公式表示，已测得时，；当是，；则当时，_____． 15. 如图，正方形的面积是169平方厘米，正方形面积是144平方厘米，正方形的面积是25平方厘米，则阴影四边形的面积是______平方厘米． 16. 如图，在矩形ABCD中，AB＝，BC＝1，将△ABD沿射线DB平移得到△A'B'D'，连接B′C，D′C，则B'C+D'C的最小值是_____． 三、解答题（5小题，共52分） 17. 计算题 （1） （2） 18. 图a、图b是两张形状、大小完全相同的方格纸，方格纸中每个小正方形的边长为1个单位长度，点A、B在小正方形的顶点上． （1）连接，则的长为 个单位长度． （2）在图a中画出 (点C在小正方形的顶点上)，使是等腰三角形且为钝角三角形； （3）图b中画出 (点D在小正方形的顶点上)，使是等腰三角形 19. 如图是一副秋千架，左图是从正面看，当秋千绳子自然下垂时，踏板离地面0.5m（踏板厚度忽略不计）， 右图是从侧面看，当秋千踏板荡起至点B位置时，点B离地面垂直高度BC为1m，离秋千支柱AD的水平距离BE为1.5m（不考虑支柱的直径）.求秋千支柱AD的高. 20. 如图，在四边形中，对角线相交于点，延长至点E，使，连接． （1）当时，求证：； （2）当，且时，求证：四边形正方形． 21. 如图，在平面直角坐标系中，直线经过点，且与x轴、y轴分别相交于点B、D，与直线相交于点C．点C的横坐标为1． （1）求直线线解析式； （2）点是x轴上的一个动点，过点P与x轴垂直的直线与直线、，分别相交于点E、F，且点E和点F关于x轴对称，求点P的坐标； （3）若直线与线段有交点（包括线段的两个端点），直接写出m的取值范围． 22. 为了了解某款饮水机的工作原理与用电情况，家电学习小组展开了以下研究． 材料1 材料2 材料3 如图1某饮水机内有两个不同大小的方形水箱，两水箱各配有一条智能水管，当甲箱至最低水位时1号管启动，将乙箱中的水匀速注入甲箱 甲乙两箱的水位相同时，此时2号管启动，将外部自来水匀速注入乙箱（两管的注水速度相同，水箱注满后其对应的水管停止工作，期间饮水机不对外出水）．甲乙水箱水位关于t的函数关系如图2所示． 为节约能源，设定当两水箱的水位差不超过时甲水箱启动加热，加热时每分钟耗电度，另外每根水管工作1分钟耗电分钟 问题解决 任务1 确定容器信息：求出图2中a的值与甲乙两容器底面积之比． 任务2 探究函数表达式：求出8分钟以后乙容器高度关于时间t（分钟）函数表达式 任务3 计算用电量：求出整个过程中所消耗的电量． 23. 如图1，为矩形的对角线，的平分线交于点E，交的延长线于点F．点P是线段上的动点，以为对角线作正方形(点按顺时针方向排列)． （1）求证：； （2）已知，． ①如图2，若点M落在边上，求的值； ②在点P的运动过程中，是否存在某一位置，使得正方形的某边落在的一边上？若存在，求的长；若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$