精品解析：广东省揭阳市惠来县第一中学2023-2024学年高一下学期第二次月考数学试题

2023—2024学年度下学期惠来一中高一级第二次阶段考 数 学 试 题 满分150分，时间120分钟 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每个小题绐岀的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 若复数满足，则（ ）． A 1 B. C. D. 2. 已知样本数据的平均数为9，则另一组数据的平均数为（ ） A. B. C. 4 D. 3 3. 已知，是平面内的一组基底，，，，若，，三点共线，则实数的值为（ ） A. 9 B. 13 C. 15 D. 18 4. 已知函数，若，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 5. 已知函数的图像关于直线对称，且图像上相邻最高点的距离为，将函数的图像向右平移个单位后，得到的图像，则的单调递减区间为（ ） A. B. C. D. 6. 为了测量、两岛屿之间的距离，一艘测量船在处观测，、分别在处的北偏西、北偏东方向．再往正东方向行驶48海里至处，观测在处的正北方向，在处的北偏西方向，则、两岛屿之间的距离为（ ） A. 海里 B. 海里 C. 海里 D. 海里 7. 在直三棱柱中，为等边三角形，，则三棱柱的外接球的体积为（ ） A B. C. D. 8. 在平行四边形中，为的中点，，与交于点，过点的直线分别与射线，交于点，，，，则的最小值为（ ） A. 1 B. C. D. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多顶符合题目要求．全部选对的得6分，有选错的得0分，若只有2个正确选顶，每选对一个得3分;若只有3个正确选项，每选对一个得2分． 9. 某校为了更好地支持学生个性发展，开设了学科拓展类､科技创新类､体艺特长类三种类型的校本课程，每位同学从中选择一门课程学习.现对该校5000名学生的选课情况进行了统计，如图1，并用分层随机抽样的方法从中抽取2%的学生对所选课程进行了满意率调查，如图2.则下列说法正确的是（ ） A. 满意度调查中抽取的样本容量为5000 B. 该校学生中选择学科拓展类课程的人数为1250 C. 该校学生中对体艺特长类课程满意的人数约为875 D. 若抽取的学生中对科技创新类课程满意的人数为30，则 10. 已知函数是定义在上的奇函数，且当时，，则（ ） A. 是周期为的周期函数 B. 的值域为 C. 是图象的一条对称轴 D. 的图象关于点对称 11. 如图，PA垂直于以AB为直径的圆所在的平面，，点C是圆周上异于A，B的任意一点，D，E分别是PA、PC的中点，则下列结论中正确的是（ ） A. B. 平面DEB C. 三棱锥外接球的表面积是 D. 若，则直线BD与平面PAC所成角的余弦值为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共计15分． 12. 某医院急救中心随机抽取20位病人等待急诊时间记录如表： 等待时间/分 频数 4 8 5 2 1 用上述分组资料计算出病人平均等待时间的估计值＝________分． 13. 已知中角所对的边分别为，，则的面积，该公式称作海伦公式，最早由古希腊数学家阿基米德得出.若的周长为18，，则的面积为________. 14. 在近期学校组织的论文展示大赛中，同学们发现数学在音乐欣赏中起着重要的作用纯音的数学模型是三角函数如音叉发出的纯音振动可表示为，其中表示时间，表示纯音振动时音叉的位移我们听到的每个音是由纯音合成的，若某合音的数学模型为函数，且声音的质感与的参数有关，比如：音调与声波的振动频率有关，频率低的声音低沉，频率高的声音尖利． （1）当时，函数的对称中心坐标为______； （2）当时，合音的音调比纯音______（填写“高”或“低”）． 四、解答题：本题共5小题，共计77分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 如图，在斜坐标系中，分别是与轴､轴正方向同向的单位向量，且的夹角为，定义向量在该斜坐标系中的坐标为有序数对，记为.在斜坐标系中，完成如下问题： （1）若，求； （2）若，求（用表示）； （3）若，求向量的夹角的大小. 16. 的内角，，的对边分别为，，，已知. （1）求； （2）若，，求； （3）若，，求边上的高. 17. 已知平面，平面，为等边三角形，，，为的中点. （1）求证：平面； （2）求证：平面平面； （3）求直线和平面所成角的正弦值. 18. 为了深入学习领会党的二十大精神，某高级中学高一全体学生参加了《二十大知识竞赛》．试卷满分为100分，所有学生成绩均在区间分内．已知该校高一选物理方向、历史方向的学生人数分别为180、120．现用分层抽样的方法抽取了30名学生的答题成绩，绘制了如下样本频率分布直方图． （1）根据样本频率分布直方图，计算图中值，并估计该校全体学生成绩的平均数和第71百分位数； （2）已知所抽取选物理方向和历史方向学生答题成绩平均数、方差的数据如下表，且根据频率分布直方图估计出全体学生成绩的方差为140，求高一年级选物理方向学生成绩的平均数和高一年级选历史方向学生成绩的方差． 选科方向 样本平均数 样本方差 物理方向 75 历史方向 60 19. 已知函数是定义在R上的奇函数，且 （1）求的解析式； （2）用定义证明在上是增函数； （3）设，当时，试求函数的最大值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2023—2024学年度下学期惠来一中高一级第二次阶段考 数 学 试 题 满分150分，时间120分钟 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每个小题绐岀的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 若复数满足，则（ ）． A. 1 B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据复数的除法求出复数，然后根据模的公式求解即可 【详解】， 所以， 故选：C． 2. 已知样本数据的平均数为9，则另一组数据的平均数为（ ） A. B. C. 4 D. 3 【答案】D 【解析】 【分析】根据平均数的定义求解即可. 【详解】由题意得， 得， 所以所求的平均数为. 故选：D. 3. 已知，是平面内一组基底，，，，若，，三点共线，则实数的值为（ ） A. 9 B. 13 C. 15 D. 18 【答案】C 【解析】 【分析】先计算出，，根据三点共线得到方程，求出，. 【详解】因为，，， 所以， ， 又因为，，三点共线， 所以，即， 所以解得，． 故选：C 4. 已知函数，若，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】结合二次函数性质判断函数的单调性，再借助单调性求解不等式作答. 【详解】因为在上单调递增， 上单调递增， 且连续不断，可知函数在R上单调递增， 则，可得，解得， 所以实数的取值范围是. 故选：A. 5. 已知函数的图像关于直线对称，且图像上相邻最高点的距离为，将函数的图像向右平移个单位后，得到的图像，则的单调递减区间为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据题意求出函数的解析式为，然后求出，再利用整体代换法求出正弦型函数的单调递减区间，从而可求解. 【详解】因为的图像上相邻最高点的距离为，所以的最小正周期，从而． 又的图像关于直线对称，所以， 因为，所以，所以， 所以，将的图像向右平移个单位后，得到， 所以， 当， 即时，单调递减． 因此的单调递减区间为，故D正确. 故选：D. 6. 为了测量、两岛屿之间的距离，一艘测量船在处观测，、分别在处的北偏西、北偏东方向．再往正东方向行驶48海里至处，观测在处的正北方向，在处的北偏西方向，则、两岛屿之间的距离为（ ） A. 海里 B. 海里 C. 海里 D. 海里 【答案】D 【解析】 【分析】画出图形，由题意可知，，，在中，利用正弦定理求出，再由为等腰直角三角形，求出，再在中利用余弦定理可求得结果. 【详解】根据题意画出图形，如图所示： 由题意知，，，所以， 在中，由正弦定理得：解得， 又，，所以，， 又， 在中，由余弦定理得：， 解得，所以、两岛屿之间的距离为海里． 故选：D． 7. 在直三棱柱中，为等边三角形，，则三棱柱的外接球的体积为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】分别是正三棱柱上、下底面中心，则的中点是该三棱柱外接球的球心，求出球半径后可得体积． 【详解】如图，分别是正三棱柱上、下底面中心，是棱柱的高，则的中点是该三棱柱外接球的球心， 外接球半径．其中点为外接圆圆心，为外接圆半径， 为正三角形，（是边中点）． 所以外接球半径．从而外接球体积为． 故选：D． 8. 在平行四边形中，为的中点，，与交于点，过点的直线分别与射线，交于点，，，，则的最小值为（ ） A. 1 B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据平面向量基本定理，将用和表示，再利用，，三点共线，求得，再利用基本不等式求得最值. 【详解】由，，共线，可设， 由,,三点共线，故可设， 则有，解得：， 故， 由题意，，，三点共线， 故可设， 则，整理得， 故， 当且仅当，即时等号成立，则的最小值为； 故选：C 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多顶符合题目要求．全部选对的得6分，有选错的得0分，若只有2个正确选顶，每选对一个得3分;若只有3个正确选项，每选对一个得2分． 9. 某校为了更好地支持学生个性发展，开设了学科拓展类､科技创新类､体艺特长类三种类型的校本课程，每位同学从中选择一门课程学习.现对该校5000名学生的选课情况进行了统计，如图1，并用分层随机抽样的方法从中抽取2%的学生对所选课程进行了满意率调查，如图2.则下列说法正确的是（ ） A. 满意度调查中抽取的样本容量为5000 B. 该校学生中选择学科拓展类课程的人数为1250 C. 该校学生中对体艺特长类课程满意的人数约为875 D. 若抽取的学生中对科技创新类课程满意的人数为30，则 【答案】BC 【解析】 【分析】根据满意率调查图表即可判断A选项，根据扇形统计图计算即可判断B选项，根据题意计算即可判断C选项，列出方程即可判断D选项. 【详解】满意率调查中抽取的样本容量为错误； 由扇形统计图知， 则人，B正确； 该校学生中对体艺特长类课程满意的人数约为人，C正确； 抽取的学生中对科技创新类课程满意的人数为30， 则，则，D错误. 故选：BC. 10. 已知函数是定义在上的奇函数，且当时，，则（ ） A. 是周期为的周期函数 B. 的值域为 C. 是图象的一条对称轴 D. 的图象关于点对称 【答案】BCD 【解析】 【分析】利用函数的奇偶性以及已知的恒等式，变形可得，从而得到的周期，即可判断选A，然后作出函数的图象，由图象判断选项B，C，D即可． 【详解】因为是定义在上的奇函数， 所以，又， 所以， 所以， 故， 所以是周期为的周期函数，故选项A错误； 由题意可知，的图象如图所示， 由的图象可得的值域为， 其中是函数图象一条对称轴， 的图象关于点对称，故选项B，C，D正确． 故选：BCD． 11. 如图，PA垂直于以AB为直径的圆所在的平面，，点C是圆周上异于A，B的任意一点，D，E分别是PA、PC的中点，则下列结论中正确的是（ ） A. B 平面DEB C. 三棱锥外接球的表面积是 D. 若，则直线BD与平面PAC所成角的余弦值为 【答案】BC 【解析】 【分析】对于A：反证，假设，根据线面垂直可得，得出矛盾；对于B：根据线面平行的判定定理分析判断；对于C：由题意可证，结合直角三角形的性质可知三棱锥外接球的球心为的中点，进而可求半径和表面积；对于D：分析可知直线BD与平面PAC所成角为，即可得结果. 【详解】对于选项A：因为平面，平面，则， 又因为D，E分别是PA、PC的中点，则∥， 假设，则， 且，平面，可知平面， 由平面，可得，这与题意不符，故A错误； 对于选项B：因为∥，平面DEB，平面DEB， 所以平面DEB，故B正确； 对于选项C：因为平面，平面，则， 由题意可知：，且，平面， 可知平面，由平面，可得， 由可知：三棱锥外接球的球心为的中点， 则三棱锥外接球的半径为， 所以三棱锥外接球的表面积为，故C正确； 对于选项D：连接， 因为平面，且， 可知直线BD与平面PAC所成角为，其余弦值为，故D错误； 故选：BC. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共计15分． 12. 某医院急救中心随机抽取20位病人等待急诊的时间记录如表： 等待时间/分 频数 4 8 5 2 1 用上述分组资料计算出病人平均等待时间的估计值＝________分． 【答案】9.5 【解析】 【分析】根据平均数定义每组数据用中点值代替直接计算即可得解. 【详解】由题（分）. 故答案为：9.5. 13. 已知中角所对的边分别为，，则的面积，该公式称作海伦公式，最早由古希腊数学家阿基米德得出.若的周长为18，，则的面积为________. 【答案】 【解析】 【分析】由正弦定理边角互化可求，代入已知面积公式可求． 【详解】由题意得， ， 所以， 则， 所以． 故答案为：． 14. 在近期学校组织的论文展示大赛中，同学们发现数学在音乐欣赏中起着重要的作用纯音的数学模型是三角函数如音叉发出的纯音振动可表示为，其中表示时间，表示纯音振动时音叉的位移我们听到的每个音是由纯音合成的，若某合音的数学模型为函数，且声音的质感与的参数有关，比如：音调与声波的振动频率有关，频率低的声音低沉，频率高的声音尖利． （1）当时，函数的对称中心坐标为______； （2）当时，合音的音调比纯音______（填写“高”或“低”）． 【答案】 ①. ②. 低 【解析】 【分析】（1）求出及正弦函数的对称中心即得；（2）求出函数的周期，结合频率的意义判断即得. 【详解】当时，时，函数的对称中心坐标为； 当时，，函数的最小正周期为，函数的最小正周期为， 函数的最小正周期为，，函数的最小正周期为， 因此函数的最小正周期为，频率为，的周期为，频率为， 所以比的频率低，即合音的音调比纯音音调低． 故答案为：；低 四、解答题：本题共5小题，共计77分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 如图，在斜坐标系中，分别是与轴､轴正方向同向的单位向量，且的夹角为，定义向量在该斜坐标系中的坐标为有序数对，记为.在斜坐标系中，完成如下问题： （1）若，求； （2）若，求（用表示）； （3）若，求向量的夹角的大小. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）由题意，应用向量数量积的运算律求； （2）由，进而两边平方即可求结果. （3）求得，，利用向量的夹角公式计算即可. 【小问1详解】 根据题意，得到， 所以 【小问2详解】 【小问3详解】 ，又因为 16. 的内角，，的对边分别为，，，已知. （1）求； （2）若，，求； （3）若，，求边上的高. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）利用正弦定理将边化角，再由两角和的正弦公式求出，即可得解； （2）首先求出，再由正弦定理计算可得； （3）利用余弦定理求出，再由计算可得. 【小问1详解】 因， 由正弦定理可得， 又， 所以， 所以， 又，所以，所以， 又，所以. 【小问2详解】 因为，，所以， 由正弦定理，即，解得； 【小问3详解】 因为，，， 由余弦定理， 所以， 又， 即，解得. 17. 已知平面，平面，为等边三角形，，，为的中点. （1）求证：平面； （2）求证：平面平面； （3）求直线和平面所成角的正弦值. 【答案】（1）证明见解析 （2）证明见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）添加辅助线构成平行四边形按线面平行的判定定理证明即可； （2）由题意先证明平面，再证明平面平面，即由线面垂直证明面面垂直； （3）添加辅助线，依题意找出为和平面所成的角，结合图形求出即可. 【小问1详解】 证明：如图取的中点，连接、.为的中点， 且， 由平面，平面， ，. 又，， 四边形为平行四边形，则， 平面，平面，平面. 【小问2详解】 证明：为等边三角形，为的中点， .平面，平面，， ，所以，， 又，、平面，平面， 平面，平面平面. 【小问3详解】 如图：在平面内，过作于点，连接， 平面平面，平面平面，平面， 平面.为和平面所成的角， 因为，， 则，， 在中，， 直线和平面所成角的正弦值为. 18. 为了深入学习领会党的二十大精神，某高级中学高一全体学生参加了《二十大知识竞赛》．试卷满分为100分，所有学生成绩均在区间分内．已知该校高一选物理方向、历史方向的学生人数分别为180、120．现用分层抽样的方法抽取了30名学生的答题成绩，绘制了如下样本频率分布直方图． （1）根据样本频率分布直方图，计算图中的值，并估计该校全体学生成绩的平均数和第71百分位数； （2）已知所抽取选物理方向和历史方向学生答题成绩的平均数、方差的数据如下表，且根据频率分布直方图估计出全体学生成绩的方差为140，求高一年级选物理方向学生成绩的平均数和高一年级选历史方向学生成绩的方差． 选科方向 样本平均数 样本方差 物理方向 75 历史方向 60 【答案】（1），估计该校全体学生成绩的平均数为69，第71百分位数为75． （2），． 【解析】 【分析】（1）根据频率分布直方图中所有小矩形面积之和为得到方程求出，再根据平均数、百分位数计算规则计算可得； （2）首先求出物理、历史方向的人数，再根据平均数、方差公式计算可得. 【小问1详解】 由频率分布直方图知，， 解得， 学生成绩在区间内的频率依次为：， 样本平均数， 显然学生成绩在区间内的频率为，在区间内的频率为， 因此第71百分位数，，解得， 所以，估计该校全体学生成绩的平均数为69，第71百分位数为75． 【小问2详解】 依题意，抽取的30名学生中，物理方向有（人），则历史方向有12人， 由（1）知，，解得， 物理方向的样本数据为，历史方向的样本数据为， 依题意，，， 全体学生成绩的方差 ，解得， 所以，． 19. 已知函数是定义在R上的奇函数，且 （1）求的解析式； （2）用定义证明在上是增函数； （3）设，当时，试求函数的最大值． 【答案】（1）； （2）证明见解析； （3）. 【解析】 【分析】（1）利用奇函数定义及性质求出值，再验证即得. （2）由函数的单调性定义，推理论证即可. （3）求出函数，利用换元法结合二次函数分类讨论求出最大值. 【小问1详解】 由是定义在上的奇函数，得，解得， 又，解得，于是， 显然，因此当，时，是奇函数， 所以 【小问2详解】 设，则， 由，得，，， 因此，即， 所以在上为增函数． 【小问3详解】 由（1）知，， 令，由，得，函数， 当时，函数在上单调递增，则， 当时，抛物线开口向下，对称轴方程为， 当，即时，函数在上单调递增，则， 当，即时，函数在上单调递减，则， 当，即时，， 所以函数的最大值. 【点睛】思路点睛：含参数的二次函数在指定区间上的最值问题，按二次函数对称轴与区间的关系分类求解，再综合比较即可. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$