1.1 集合的概念（八大常考题型）-2024年新高一数学暑假衔接知识回顾与新课预习（人教A版2019）

1.1 集合的概念 知识点1 元素与集合的概念 1．元素与集合的概念 （1）元素：一般地,把研究对象统称为元素,元素常用小写的拉丁字母表示． （2）集合：把一些元素组成的总体叫做集合（简称为集）,集合通常用大写的拉丁字母表示． （3）集合相等：只要构成两个集合的元素是一样的,就称这两个集合是相等的． 2．元素的特性 （1）确定性：给定的集合,它的元素必须是确定的．也就是说,给定一个集合,那么任何一个元素在不在这个集合中就确定了．简记为“确定性”． （2）互异性：一个给定集合中的元素是互不相同的．也就是说,集合中的元素是不重复出现的．简记为“互异性”． （3）无序性：给定集合中的元素是不分先后,没有顺序的．简记为“无序性”． 注意：集合含义中的“研究对象”指的是集合的元素,研究集合问题的核心即研究集合中的元素,因此在解决集合问题时,首先要明确集合中的元素是什么．集合中的元素可以是数、点,也可以是一些人或一些物． 知识点2 元素与集合的关系 （1）属于：如果是集合A的元素,就说属于集合A,记作． （2）不属于：如果不是集合A的元素,就说不属于集合A,记作． 温馨提示：（1）符号刻画的是元素与集合之间的关系．对于一个元素与一个集合A而言,只有“”与“”这两种结果． （2）和具有方向性,左边是元素,右边是集合,形如是错误的． 知识点3 常用的数集及其记法 常用的数集 自然数集 正整数集 整数集 有理数集 实数集 记法 或 知识点4 集合的表示方法 1．列举法 把集合的所有元素一一列举出来，并用花括号“”括起来表示集合的方法叫做列举法． 温馨提示：（1）元素与元素之间必须用“，”隔开． （2）集合中的元素必须是明确的． （3）集合中的元素不能重复． （4）集合中的元素可以是任何事物． 2．描述法 （1）定义：一般地，设A表示一个集合，把集合A中所有具有共同特征的元素x所组成的集合表示为，这种表示集合的方法称为描述法．有时也用冒号或分号代替竖线． （2）具体方法：在花括号内先写上表示这个集合元素的一般符号及取值（或变化）范围，再画一条竖线，在竖线后写出这个集合中元素所具有的共同特征． 注意：（1）写清楚集合中元素的符号．如数或点等． （2）说明该集合中元素的共同特征，如方程、不等式、函数式或几何图形等． （3）不能出现未被说明的字母． 题型一 判断元素是否构成集合 1．下列叙述能组成集合的是（　　） A．接近0的数 B．数学成绩好的同学 C．中国古代四大发明 D．跑得快的运动员 2．下列说法中，能构成集合的是（    ） A．无限接近0的实数 B．中国最美乡村 C．高一（2）班成绩优秀的学生 D．2022年度国内GDP超过1万亿的地级市 3．给出下列表述：①联合国常任理事国；②坪高全体游泳健将；③方程的实数根；④全国著名的歌手，以上能构成集合的是（    ） A．①③ B．①② C．①②③ D．①②③④ 4．下列各组对象的全体能构成集合的有（    ） （1）正方形的全体；（2）高一数学书中所有的难题；（3）平方后等于负数的数；（4）某校高一年级学生身高在1.7米的学生；（5）平面内到线段AB两端点距离相等的点的全体. A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 5．下列几组对象可以组成集合的有（    ） A．高中数学必修第一册课本中所有的难题 B．2023年参加杭州亚运会的全体运动员 C．小于9的所有素数 D．高一年级视力比较好的同学 题型二 列举法和描述法 7．集合用列举法表示为 . 8．用描述法表示图中的阴影部分（不含边界）可以是 ．    9．用适当的方法表示下列集合： (1)大于0且不超过10的全体偶数组成的集合； (2)被3除余2的自然数全体组成的集合； (3)直角坐标平面上由第二象限与第四象限中的所有点组成的集合. 10．解不等式组并把解集在数轴上表示出来. 11．用适当的方法表示下列集合： (1)一年中有31天的月份的全体； (2)大于小于12.8的整数的全体； (3)所有能被3整除的数的集合； (4)方程的解集； (5)不等式的解集； (6)抛物线上的点组成的集合． 12．把下列集合用另一种方法表示出来： (1)； (2)由1，2，3这三个数字抽出一部分或全部数字（没有重复）所组成的一切自然数； (3)； 13．说明下列各集合表示的含义． (1)； (2) ； (3)； (4) ． 题型三 判断是否为同一集合 14．下列四组集合中表示同一集合的为（    ） A．， B．， C．， D．， 15．下列关于集合相等的说法正确的有（    ） ①； ②； ③； ④ A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 16．已知集合，，，，，则（    ） A． B． C． D． 17．（多选）下列说法正确的是（　　） A．由组成的集合可表示为或 B．与是同一个集合 C．集合与集合是同一个集合 D．集合与集合是同一个集合 18．（多选）下列各组中表示不同集合的是（    ） A．， B．， C．， D．， 19．（多选）下列各组中集合P与Q，表示同一个集合的是（    ） A．P是由元素1，，π构成的集合，Q是由元素π，1，|-|构成的集合 B．P是由π构成的集合，Q是由3.141 59构成的集合 C．P是由2，3构成的集合，Q是由有序数对(2，3)构成的集合 D．P是由满足不等式-1≤x≤1的整数构成的集合，Q是由方程x=0的解构成的集合 题型四 判断元素与集合的关系 20．已知，则（    ） A． B． C． D． 21．已知集合中的元素满足，则下列选项正确的是（  ） A．，且 B．，且 C．，且 D．，且 22．已知集合，则集合A中的元素（    ） A．除以3余数为； B．除以3余数为1； C．除以3余数为2； D．能被3整除. 23．已知集合，，，，若，，则下列说法正确的是（    ） A． B． C． D． 24．（多选）已知集合，则下列表示正确的是（　　 ） A． B． C． D． 25．已知集合M是由平面直角坐标系中所有第二象限的点组成的集合，则2 M； M； M.(填“”或“”) 26．用符号“”或“”填空：①设集合A是由正整数的全体构成的集合，则0 A， A， A；②设集合B是由小于的实数的全体构成的集合，则 B， B. 题型五 常见数集问题 27．下列元素与集合的关系中，正确的是（    ） A． B． C． D． 28．集合A＝用列举法表示为（    ） A． B． C． D． 29．下列关系中，正确的有（    ）． ①；②；③；④． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 30．使用“”“”和数集符号来替代下列自然语言： （1）“255是正整数”即( )； （2）“不是有理数”即( )； （3）“3.1416是正有理数”即( )； （4）“是整数”即( )； （5）“是负实数”即( )． 31．用符号“”和“”填空： （1） N；    （2）1 ；    （3） R； （4） ；    （5） N；    （6）0 ． 题型六 根据元素与集合的关系求参数 32．已知集合，若，则a的值可能为（    ） A．，3 B． C．，3，8 D．，8 33．已知关于x的不等式的解集为M，且，则实数a的取值范围是 . 34．已知集合，若，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 35．设集合，若且，则实数m的取值范围是（    ） A． B． C． D． 36．已知集合，若，则 ． 37．若集合中的三个元素分别为,则元素应满足的条件是 ． 38．集合中恰好有两个元素，则实数满足的条件是 . 题型七 根据集合的元素个数求参数 39．若集合中有两个元素，则实数m的取值范围为（    ） A． B． C． D． 40．已知集合，若集合A中至多有一个元素，则实数a应满足（    ） A． B． C．或 D．不确定 41．（多选）已知集合，则下列说法中错误的是（    ） A．若A中只有一个元素，则 B．若A中至少有一个元素，则 C．若A中至多有一个元素，则 D．若A中恰有两个元素，则 42．（多选）已知集合，则满足A中有8个元素的m的值可能为（    ） A．6 B． C．9 D． 43．已知集合是单元素集，则实数的取值集合为 ． 44．已知集合中仅有3个整数，则的取值范围为 ． 45．已知集合． (1)若A是空集，求的取值范围； (2)若A中只有一个元素，求的值，并求集合A； (3)若A中至少有一个元素，求的取值范围． 题型八 新定义问题 46．定义集合的一种运算：，若，，则中的元素个数为（    ） A． B． C． D． 47．定义集合运算：，若集合，，则集合中所有元素之和为 ． 48．定义运算，若集合，则 . 49．定义集合，其中集合，则中元素个数为 ． 50．定义集合运算：若，则 ． 2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 1.1 集合的概念 知识点1 元素与集合的概念 1．元素与集合的概念 （1）元素：一般地,把研究对象统称为元素,元素常用小写的拉丁字母表示． （2）集合：把一些元素组成的总体叫做集合（简称为集）,集合通常用大写的拉丁字母表示． （3）集合相等：只要构成两个集合的元素是一样的,就称这两个集合是相等的． 2．元素的特性 （1）确定性：给定的集合,它的元素必须是确定的．也就是说,给定一个集合,那么任何一个元素在不在这个集合中就确定了．简记为“确定性”． （2）互异性：一个给定集合中的元素是互不相同的．也就是说,集合中的元素是不重复出现的．简记为“互异性”． （3）无序性：给定集合中的元素是不分先后,没有顺序的．简记为“无序性”． 注意：集合含义中的“研究对象”指的是集合的元素,研究集合问题的核心即研究集合中的元素,因此在解决集合问题时,首先要明确集合中的元素是什么．集合中的元素可以是数、点,也可以是一些人或一些物． 知识点2 元素与集合的关系 （1）属于：如果是集合A的元素,就说属于集合A,记作． （2）不属于：如果不是集合A的元素,就说不属于集合A,记作． 温馨提示：（1）符号刻画的是元素与集合之间的关系．对于一个元素与一个集合A而言,只有“”与“”这两种结果． （2）和具有方向性,左边是元素,右边是集合,形如是错误的． 知识点3 常用的数集及其记法 常用的数集 自然数集 正整数集 整数集 有理数集 实数集 记法 或 知识点4 集合的表示方法 1．列举法 把集合的所有元素一一列举出来，并用花括号“”括起来表示集合的方法叫做列举法． 温馨提示：（1）元素与元素之间必须用“，”隔开． （2）集合中的元素必须是明确的． （3）集合中的元素不能重复． （4）集合中的元素可以是任何事物． 2．描述法 （1）定义：一般地，设A表示一个集合，把集合A中所有具有共同特征的元素x所组成的集合表示为，这种表示集合的方法称为描述法．有时也用冒号或分号代替竖线． （2）具体方法：在花括号内先写上表示这个集合元素的一般符号及取值（或变化）范围，再画一条竖线，在竖线后写出这个集合中元素所具有的共同特征． 注意：（1）写清楚集合中元素的符号．如数或点等． （2）说明该集合中元素的共同特征，如方程、不等式、函数式或几何图形等． （3）不能出现未被说明的字母． 题型一 判断元素是否构成集合 1．下列叙述能组成集合的是（　　） A．接近0的数 B．数学成绩好的同学 C．中国古代四大发明 D．跑得快的运动员 【答案】C 【详解】对于选项ABD：缺乏统一的判断标准，均不满足确定性，故ABD错误； 对于选项C：中国古代四大发明是确定的，符合确定性，所以能构成集合，故C正确. 故选：C. 2．下列说法中，能构成集合的是（    ） A．无限接近0的实数 B．中国最美乡村 C．高一（2）班成绩优秀的学生 D．2022年度国内GDP超过1万亿的地级市 【答案】D 【详解】对于选项A：“无限接近”没有判定标准，不满足确定性，故A错误； 对于选项B：“最美乡村”没有判定标准，不满足确定性，故B错误； 对于选项C：“优秀的学生”没有判定标准，不满足确定性，故C错误； 对于选项D：“2022年度国内GDP超过1万亿的地级市”有统一的判定标准，满足确定性，故D正确； 故选：D. 3．给出下列表述：①联合国常任理事国；②坪高全体游泳健将；③方程的实数根；④全国著名的歌手，以上能构成集合的是（    ） A．①③ B．①② C．①②③ D．①②③④ 【答案】A 【详解】①联合国常任理事国有5个国家，满足确定性，可以构成集合； ②坪高全体游泳健将，元素不具有确定性，不能构成集合； ③方程的实数根，具有确定性，能构成集合； ④全国著名的歌手，元素不具有确定性，不能构成集合. 故选：A 4．下列各组对象的全体能构成集合的有（    ） （1）正方形的全体；（2）高一数学书中所有的难题；（3）平方后等于负数的数；（4）某校高一年级学生身高在1.7米的学生；（5）平面内到线段AB两端点距离相等的点的全体. A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】C 【详解】（1）（3）（4）（5）中的对象是确定的，可以组成集合，（2）中的对象是不确定的，不能组成集合. 故选：C. 5．下列几组对象可以组成集合的有（    ） A．高中数学必修第一册课本中所有的难题 B．2023年参加杭州亚运会的全体运动员 C．小于9的所有素数 D．高一年级视力比较好的同学 【答案】BC 【详解】根据集合的知识确定正确答案. 【详解】①中“好人”，④中“比较小”不满足构成集合元素的确定性，而②③⑤满足集合元素的性质，故②③⑤正确， 故答案为：②③⑤. 题型二 列举法和描述法 7．集合用列举法表示为 . 【答案】 【详解】时，；时，；时，；时，； 可得. 故答案为： 8．用描述法表示图中的阴影部分（不含边界）可以是 ．    【答案】 【详解】由图知，，，所以由集合的描述法可知 . 故答案为：. 9．用适当的方法表示下列集合： (1)大于0且不超过10的全体偶数组成的集合； (2)被3除余2的自然数全体组成的集合； (3)直角坐标平面上由第二象限与第四象限中的所有点组成的集合. 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）用列举法：. （2）用描述法：. （3）因为第二象限中所有点具有的特征是且， 而第四象限中所有点具有的特征是且， 所以第二象限与第四象限中所有点具有的特征可统一地写为， 故用描述法：. 10．解不等式组并把解集在数轴上表示出来. 【答案】，数轴见解析 【详解】由即得， 由得，得， 在数轴上表示如下， 所以解不等式得，所以不等式的解集为. 11．用适当的方法表示下列集合： (1)一年中有31天的月份的全体； (2)大于小于12.8的整数的全体； (3)所有能被3整除的数的集合； (4)方程的解集； (5)不等式的解集； (6)抛物线上的点组成的集合． 【答案】(1)月，3月，5月，7月，8月，10月，12月 (2) (3) (4) (5) (6) 【详解】（1）月，3月，5月，7月，8月，10月，12月． （2）． （3） （4）. （5）. （6）. 12．把下列集合用另一种方法表示出来： (1)； (2)由1，2，3这三个数字抽出一部分或全部数字（没有重复）所组成的一切自然数； (3)； 【答案】(1){且} (2) (3) 【详解】（1）可以表示成{且}； （2）根据题意可列举得； （3）易知. 13．说明下列各集合表示的含义． (1)； (2) ； (3)； (4) ． 【答案】(1) (2)B表示直线y＝x－3上所有点组成的集合 (3)C表示一个单元素集，是一个实数对，是以一个点的坐标为元素的集合 (4)D是一个单元素集 【详解】（1）A表示y的取值集合，由反比例函数的图象，知． （2）B中的元素是点，B表示直线上所有点组成的集合． （3）C表示一个单元素集，是一个实数对，是以一个点的坐标为元素的集合． （4）D表示一个实数对集，即方程组的解，解方程组得其解为，D是一个单元素集． 题型三 判断是否为同一集合 14．下列四组集合中表示同一集合的为（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】B 【详解】选项A：两个集合中元素对应的坐标不同，A错误； 选项B：集合中的元素具有无序性，两个集合是同一集合，B正确； 选项C：两个集合研究的对象不同，一个是点集，一个是数集，C错误； 选项D：是以0为元素的集合，是数字0，D错误. 故选：B 15．下列关于集合相等的说法正确的有（    ） ①； ②； ③； ④ A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】C 【详解】因为，所以①正确； 因为，，所以②不正确； 因为，，故③正确； ，故④错误. 故选：C 16．已知集合，，，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：∵是单元素集，集合中的元素是， ， ， ，集合中的元素是点， . ∴. 故选：D. 17．（多选）下列说法正确的是（　　） A．由组成的集合可表示为或 B．与是同一个集合 C．集合与集合是同一个集合 D．集合与集合是同一个集合 【答案】AD 【详解】对于A，根据集合元素的无序性可得、表示同一集合，元素有， 故A正确. 对于B，不是空集，故B错误. 对于C，，而， 故两个集合不是同一个集合，故C错误. 对于D，，故D正确. 故选：AD. 18．（多选）下列各组中表示不同集合的是（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】ABD 【详解】选项A中，是数集，是点集，二者不是同一集合,故； 选项B中，与表示不同的点，故； 选项C中，，，故； 选项D中，是二次函数的所有组成的集合，而集合是二次函数图象上所有点组成的集合，故. 故选：ABD. 19．（多选）下列各组中集合P与Q，表示同一个集合的是（    ） A．P是由元素1，，π构成的集合，Q是由元素π，1，|-|构成的集合 B．P是由π构成的集合，Q是由3.141 59构成的集合 C．P是由2，3构成的集合，Q是由有序数对(2，3)构成的集合 D．P是由满足不等式-1≤x≤1的整数构成的集合，Q是由方程x=0的解构成的集合 【答案】AD 【详解】由于A，D中P，Q的元素完全相同，所以P与Q表示同一个集合， 而B，C中P，Q的元素不相同，所以P与Q不能表示同一个集合. 故选：AD. 题型四 判断元素与集合的关系 20．已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】因为，故当时，，从而点在抛物线上，即. 故选:C. 21．已知集合中的元素满足，则下列选项正确的是（  ） A．，且 B．，且 C．，且 D．，且 【答案】A 【详解】由解得， 因为，， 故，且， 故选：A 22．已知集合，则集合A中的元素（    ） A．除以3余数为； B．除以3余数为1； C．除以3余数为2； D．能被3整除. 【答案】C 【详解】，因此集合A中的元素除以3余数为2， 故选：C. 23．已知集合，，，，若，，则下列说法正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】因为，， 则由题意可设，，其中， 则，且， 故， 故选：D． 24．（多选）已知集合，则下列表示正确的是（　　 ） A． B． C． D． 【答案】BCD 【详解】易知，，， 令， 即B、C、D正确，A错误； 故选：BCD 25．已知集合M是由平面直角坐标系中所有第二象限的点组成的集合，则2 M； M； M.(填“”或“”) 【答案】 【详解】集合M中的元素是第二象限的点，而2是实数，故. 点是第二象限内的点，故. 而在第一象限，故. 故答案为：；；. 26．用符号“”或“”填空：①设集合A是由正整数的全体构成的集合，则0 A， A， A；②设集合B是由小于的实数的全体构成的集合，则 B， B. 【答案】 【详解】①0不是正整数，不是整数，是正整数，故依次填，，. ②，由，得，故依次填，. 故答案为：；；；；. 题型五 常见数集问题 27．下列元素与集合的关系中，正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】表示全体实数组成的集合，则，故A错误； 表示全体有理数组成的集合，则，故B错误； 表示全体正整数组成的集合，则，故C正确； 表示全体自然数组成的集合，则，故D错误. 故选：C. 28．集合A＝用列举法表示为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】因为，， 所以或2或4或8， 即或4或2或， 即. 故选：D. 29．下列关系中，正确的有（    ）． ①；②；③；④． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【详解】对于①：因为为实数集，所以，正确； 对于②④：因为为有理数集，所以，，②正确，④错误； 对于③：因为为自然数集，，正确； 所以正确的有3个. 故选：C. 30．使用“”“”和数集符号来替代下列自然语言： （1）“255是正整数”即( )； （2）“不是有理数”即( )； （3）“3.1416是正有理数”即( )； （4）“是整数”即( )； （5）“是负实数”即( )． 【答案】 【详解】（1）由“255是正整数”，可表示为； （2）由“不是有理数”，可表示为； （3）由“3.1416是正有理数”，可表示为； （4）由“是整数”，可表示为； （5）由“是负实数”，可表示为. 31．用符号“”和“”填空： （1） N；    （2）1 ；    （3） R； （4） ；    （5） N；    （6）0 ． 【答案】 【详解】由所表示的集合，由元素与集合的关系可判断 （1）（2）（3）（4）（5）（6）. 故答案为：（1）（2）（3）（4）（5）（6）. 题型六 根据元素与集合的关系求参数 32．已知集合，若，则a的值可能为（    ） A．，3 B． C．，3，8 D．，8 【答案】D 【详解】由题意若，解得或，若，解得， 当时，满足题意， 当时，违背了集合中元素间的互异性， 当时，满足题意， 综上所述，a的值可能为，8. 故选：D. 33．已知关于x的不等式的解集为M，且，则实数a的取值范围是 . 【答案】 【详解】由且，得所以. 故答案为： 34．已知集合，若，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由题意可知：，解得， 所以实数的取值范围是. 故选：A. 35．设集合，若且，则实数m的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由题意. 故选：D 36．已知集合，若，则 ． 【答案】 【详解】因为，且， 则或，解得. 故答案为：. 37．若集合中的三个元素分别为,则元素应满足的条件是 ． 【答案】且且 【详解】解：由元素的互异性，可知， 解得:且且. 故答案为：且且 38．集合中恰好有两个元素，则实数满足的条件是 . 【答案】或 【详解】由方程，则或， 当存在两个相等的实数根时，，解得， 此时方程的解为，符合题意； 当存在两个不相等的实数根且其中一个根为时，，解得， 此时，则方程另一个解为，符合题意. 综上所述，当或时，集合中恰有两个元素. 故答案为：或. 题型七 根据集合的元素个数求参数 39．若集合中有两个元素，则实数m的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】依题意，方程有两个不等的实根，则且，解得且， 所以实数m的取值范围为且. 故选：C 40．已知集合，若集合A中至多有一个元素，则实数a应满足（    ） A． B． C．或 D．不确定 【答案】C 【详解】因为集合中至多有一个元素，则： ①当时，只有一个元素，符合题意； ②当时，方程有两个相等的实数根或没有实数根， 于是，即，解得， 所以实数a应满足或． 故选：C 41．（多选）已知集合，则下列说法中错误的是（    ） A．若A中只有一个元素，则 B．若A中至少有一个元素，则 C．若A中至多有一个元素，则 D．若A中恰有两个元素，则 【答案】ACD 【详解】对于选项A：若A中只有一个元素， 即方程有一个根，或两个相等实根， 当时，原方程变为，此时符合题意， 当时，方程有两个相等实根， 所以，即， 所以当A中只有一个元素时，则或，故A错误； 对于选项B：若A中至少有一个元素，即A中有一个元素或两个元素， 当A中有一个元素时，由前面可知，或； 当A中有两个元素时，方程有两个不等实根， 所以即且， 所以若A中至少有一个元素，则，故B正确； 对于选项C：若A中至多有一个元素，即A中有一个元素或没有元素， 当A中有一个元素时，由前面可知，或； 当A中没有元素时，即方程无实根， 所以即， 所以若A中至多有一个元素，则或；故C错误； 对于选项D：若A中恰有两个元素，由前面可知，且，故D错误； 故选：ACD 42．（多选）已知集合，则满足A中有8个元素的m的值可能为（    ） A．6 B． C．9 D． 【答案】AB 【详解】当时，满足的有6，3，2，1，，，，，即集合中有8个元素，符合题意，故A可选， 当时，满足的有6，3，2，1，，，，，即集合中有8个元素，符合题意，故B可选， 当时，满足的有9，3，1，，，，即集合中有6个元素，不符合题意，故C不可选， 当时，满足的有9，3，1，，，，即集合中有6个元素，不符合题意，故D不可选， 故选：AB． 43．已知集合是单元素集，则实数的取值集合为 ． 【答案】 【详解】由集合是单元素集， 可得方程只有一个解， 当，即时，方程为，解得，此时，符合题意； 当，即时，则满足，解得， 综上可得，实数的取值集合为. 故答案为：. 44．已知集合中仅有3个整数，则的取值范围为 ． 【答案】 【详解】因为，所以在数轴上集合A的端点关于点1对称， 从而A中的三个整数为， 所以，且，解得． 即实数a的取值范围为 故答案为： 45．已知集合． (1)若A是空集，求的取值范围； (2)若A中只有一个元素，求的值，并求集合A； (3)若A中至少有一个元素，求的取值范围． 【答案】(1) (2)当时，集合，当时，集合； (3) 【详解】（1）解： 是空集， 且， ，解得， 所以的取值范围为：； （2）：①当时，集合， ②当时，， ，解得，此时集合， 综上所述，当时，集合，当时，集合； （3）中至少有一个元素，则当中只有一个元素时，或； 当中有2个元素时，则且，即，解得且； 综上可得，时中至少有一个元素，即. 题型八 新定义问题 46．定义集合的一种运算：，若，，则中的元素个数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】因为，，， 所以， 故集合中的元素个数为3， 故选：C. 47．定义集合运算：，若集合，，则集合中所有元素之和为 ． 【答案】4 【详解】，， 当，时，； 当，时，； 当，时，. 所以，所以集合中所有元素之和为. 故答案为：4 48．定义运算，若集合，则 . 【答案】 【详解】依题意，由，当时，，则， 当时，，则，当时，，则， 所以. 故答案为： 49．定义集合，其中集合，则中元素个数为 ． 【答案】4 【详解】， 当时，，，； 当时，，，； 当时，，，； 当时，，，； 所以中元素个数为. 故答案为：4. 50．定义集合运算：若，则 ． 【答案】 【详解】因为，， 所以， 故答案为： 2 学科网（北京）股份有限公司 $$