1.3线段的垂直平分线 暑假典题巩固练习 2023—2024学年北师大版八年级数学下册

北师大版八年级数学下册暑假典题巩固练习 1.3 线段的垂直平分线 一、基础知识 线段垂直平分线性质定理：线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等。 线段垂直平分线判定定理：到一条线段两个端点的距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上。 三角形三边垂直平分线性质：三角形三边的垂直平分线相交于一点，并且这一点到三个顶点的距离相等。 二、典题练习 一、单选典题练习 1．在△ABC中，∠B＝50°，∠C＝35°，分别以点A和点C为圆心，大于AC的长为半径画弧，两弧相交于点M，N，作直线MN，交BC于点D，连接AD，则∠BAD的度数为（　　） A．60° B．70° C．75° D．85° 2．如图，在△ABC中，DE垂直平分AC于点E，交BC于点D，连接AD，AB的垂直平分线交AD于点F，连接BF，设∠C＝α，∠DBF＝β，则∠BAC的大小为（　　） A．180°﹣2α﹣2β B． C． D．α+β 3．如图，在△ABC中，PM、QN分别是线段AB、AC的垂直平分线，若∠BAC＝110°，则∠PAQ的度数是（　　） A．40° B．50° C．60° D．70° 4．如图，四边形ABCD中，E为AB中点，DE⊥AB于点E，AB＝8，，BC＝2，CD＝5，则四边形ABCD的面积为（　　） A． B． C． D．无法求解 5．如图，线段AB，DE的垂直平分线交于点C，且∠ABC＝∠EDC＝72°，∠AEB＝92°，则∠EBD的度数为（　　） A．168° B．158° C．128° D．118° 6．如图所示，在△ABC中，内角∠BAC与外角∠CBE的平分线相交于点P，BE＝BC，PB与CE交于点H，PG∥AD交BC于F，交AB于G，连接CP．下列结论：①∠ACB＝2∠APB；②S△PAC：S△PAB＝AC：AB；③BP垂直平分CE；④∠PCF＝∠CPF．其中，正确的有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 二、填空典题练习 7．如图，在△ABC中，∠A＝45°，∠B＝30°．用直尺和圆规在边AB上确定一点D．则∠ACD的度数为 　 　. 8．如图，在△ABC中，AB＝2.5，AC＝6，CB＝6.5，EF垂直平分AC，点P为形线EF上一动点，则△ABP周长的最小值是 　 　． 9．如图，DP所在直线是BC的垂直平分线，垂足是点P，DP与∠BAC的平分线相交于点D，若∠BAC＝86°，则∠BDC＝　 　度． 10．如图，AE是∠CAM的角平分线，点B在射线AM上，DE是线段BC的中垂线交AE于E，过点E作AM的垂线交AM于点F．若∠ACB＝26°，∠EBD＝25°，则∠AED＝　 　． 11．已知：△ABC是三边都不相等的三角形，点P是三个内角平分线的交点，点O是三边垂直平分线的交点，当P、O同时在不等边△ABC的内部时，那么∠BOC和∠BPC的数量关系是：∠BOC＝　 　． 12．O点是△ABC的边AB、AC的垂直平分线的交点，P点是∠ABC、∠ACB的平分线的交点，若3∠BOC＝2∠BPC，则∠BAC＝　 　． 三、解答典题练习 13．作图题：（不写作法，但必须保留作图痕迹） 如图：某地有两所大学和两条相交叉的公路，（点M，N表示大学，AO，BO表示公路）．现计划修建一座物资仓库，希望仓库到两所大学的距离相等，到两条公路的距离也相等．你能确定仓库P应该建在什么位置吗？在所给的图形中画出你的设计方案． 14．如图，在△ABC中，∠C＝90°，点P，D分别在AC，AB上，且PD＝PA，BD的垂直平分线交BC于点E，交BD于点F，连接PE，DE． （1）求证：DE⊥PD； （2）若AC＝10，BC＝12，PA＝3，求线段DE的长． 15．如图，在△ABC中，∠C＝90°，点P在AC上运动，点D在AB上运动，PD始终保持与PA相等，BD的垂直平分线交BC于点E，交BD于点F，连接DE． （1）判断DE与PD的位置关系，并说明理由； （2）若AC＝3，BC＝4，PA＝1，求线段DE的长． 16．如图，四边形ABCD中，∠B＝∠C，AB+CD＝BC，M为AD中点，MN⊥AD交BC于N，连接AN，求证：∠ANM∠B． 17．如图，在△ABC中，DM，EN分别垂直平分AC和BC，交AB于M，N两点，DM与EN相交于点F． （1）若∠ACB＝120°，则∠MCN的度数为 　 　； （2）若∠MCN＝α，则∠MFN的度数为 　 　；（用含α的代数式表示） （3）连接FA、FB、FC，△CMN的周长为6cm，△FAB的周长为14cm，求FC的长． 18．如图，在△ABC中，AB边的垂直平分线l1交BC于点D，AC边的垂直平分线l2交BC于点E，l1与l2相交于点O． （1）如图①，当∠ABC＝∠ACB＝25°时，直接写出∠DAE的度数为 　 　； （2）如图①，当AB≠AC，且90°≤∠BAC＝180°． ①若∠BAC＝120°，则∠DAE＝　 　°； ②当AD⊥AE时，求∠BAC的度数； （3）如图②，连接OA，OB，OC．若△ADE的周长为9cm，△OBC的周长为21cm，则BC＝　 　cm；OB＝　 　cm． 参考答案 一、单选典题练习 1-6．ABACCD． 二、填空典题练习 7．75°． 8．9． 9．94． 10．39． 11．4∠BPC﹣360°． 12．36°或（）°． 三、解答典题练习 13．解：如图所示： （1）连接MN，分别以M、N为圆心，以大于MN为半径画圆，两圆相交于DE，连接DE，则DE即为线段MN的垂直平分线； （2）以O为圆心，以任意长为半径画圆，分别交OA、OB于G、H，再分别以G、H为圆心，以大于GH为半径画圆，两圆相交于F，连接OF，则OF即为∠AOB的平分线（或∠AOB的外角平分线）； （3）DE与OF相交于点P，则点P即为所求． 14．（1）证明：∵PD＝PA， ∴∠PDA＝∠A， ∵EF垂直平分BD， ∴ED＝EB， ∴∠EDB＝∠B， 在Rt△ABC中，∠ACB＝90°， ∴∠A+∠B＝90°， ∴∠PDA+∠EDB＝90°， ∴∠PDE＝90° ∴DE⊥PD； （2）解：如图所示： ∵AC＝10，BC＝12，PA＝3， ∴CP＝AC﹣PA＝7，PD＝PA＝3， 设DE＝BE＝x，则CE＝12﹣x， 在Rt△PEC中，根据勾股定理，得PE2＝72+（12﹣x）2， 在Rt△PDE中，根据勾股定理，得PE2＝32+x2， ∴72+（12﹣x）2＝32+x2， 解得， ∴． 15．解：（1）DE⊥DP， 理由如下：∵PD＝PA， ∴∠A＝∠PDA， ∵EF是BD的垂直平分线， ∴EB＝ED， ∴∠B＝∠EDB， ∵∠C＝90°， ∴∠A+∠B＝90°， ∴∠PDA+∠EDB＝90°， ∴∠PDE＝180°﹣90°＝90°， ∴DE⊥DP； （2）连接PE，设DE＝x，则EB＝ED＝x，CE＝4﹣x， ∵∠C＝∠PDE＝90°， ∴PC2+CE2＝PE2＝PD2+DE2， ∴22+（4﹣x）2＝12+x2， 解得：x， 则DE． 16．证明：在BC上取一点N′，使得BN′＝CD．连接AN′，DN′，MN′． ∵AB+CD＝BC， ∴CN′＝AB， ∵∠B＝∠C， ∴△ABN′≌△N′CD， ∴AN′＝DN′，∠DN′C＝∠BAN′， ∵AM＝MD， ∴MN′⊥AD， ∵MN⊥AD， ∴点N与点N′重合， ∵∠ANC＝∠AND+∠DNC＝∠B+∠BAN， ∴∠AND＝∠B， ∵NA＝ND，NM⊥AD， ∴∠AND＝2∠ANM， ∴∠ANM∠B． 17．解：（1）∵△ABC中，∠ACB＝120°， ∴∠A+∠B＝180°﹣120°＝60°． ∵DM，EN分别垂直平分AC和BC， ∴MA＝MC，NB＝NC， ∴∠ACM＝∠A，∠NCB＝∠B， ∴∠MCN＝∠ACB﹣（∠ACM+∠NCB） ＝120°﹣60° ＝60°． 故答案为：60°； （2）∵DM，EN分别垂直平分AC和BC， ∴MA＝MC，NB＝NC， ∴∠ACM＝∠A，∠NCB＝∠B． 又∵△ABC中，∠A+∠B+∠ACM+∠NCB+∠MCN＝180°， ∴2（∠A+∠B）+∠MCN＝180°， 即2（∠A+∠B）+α＝180°， ∴． 在△FMN中，∠MFN＝180°﹣∠FMN﹣∠FNM， ∵∠FMN＝∠AMD＝90°﹣∠A，∠FNM＝∠BNE＝90°﹣∠B， ∴∠MFN＝180°﹣（90°﹣∠A）﹣（90°﹣∠B） ＝∠A+∠B ． 故答案为：． （3） ∵△CMN的周长＝6， ∴MC+MN+NC＝6． 又∵MC＝MA，NC＝NB， ∴MA+MN+NB＝6cm， 即AB＝6cm． ∵△FAB的周长＝14cm， ∴FA+FB+AB＝14cm， ∴FA+FB＝8cm． ∵DF、EF分别垂直平分AC和BC， ∴FA＝FC，FB＝FC， ∴2FC＝8cm， ∴FC＝4cm． 18．解：（1）∵AB边的垂直平分线l1交BC于点D， ∴DA＝DB， ∴∠BAD＝∠B 同理：∠EAC＝∠C， ∴∠BAD+∠EAC＝∠B+∠C＝25°+25°＝50°， ∵∠BAC＝180°﹣∠B﹣∠C＝130°， ∴∠DAE＝∠BAC﹣（∠BAD+∠EAC）＝130°﹣50°＝80°， 故答案为：80°； （2）①AB边的垂直平分线l1交BC于点D， ∴DA＝DB， ∴∠BAD＝∠B， 同理：∠EAC＝∠C， ∴∠BAD+∠EAC＝∠B+∠C， ∵∠BAC＝120°， ∴∠B+∠C＝60°， ∴∠BAD+∠EAC＝60°， ∴∠DAE＝∠BAC﹣（∠BAD+∠EAC）＝120°﹣60°＝60°； ②当AD⊥AE时，∠DAE＝90°， ∵AB边的垂直平分线l1交BC于点D， ∴DA＝DB， ∴∠BAD＝∠B， 同理：∠EAC＝∠C， ∴∠BAD+∠EAC＝∠B+∠C， ∵∠BAD+∠EAC+∠B+∠C+∠DAE＝180°， ∴∠BAD+∠EAC＝（180°﹣90°）45°， ∴∠BAC＝∠BAD+∠EAC+∠DAE＝90°+45°＝135°， 故答案为：135； （3）∵l1垂直平分线AB， ∴DA＝DB，OB＝OA， 同理：EA＝EC，OC＝OA， ∴DA+DE+EA＝BD+DE+EC＝BC， ∵△ADE的周长是9， ∴BC＝9cm， ∵△OBC的周长是21cm， ∴OB+OC+BC＝21cm， ∴OB+OC＝21﹣9＝12（cm）， ∴OA＝OB＝OC＝6cm， 故答案为：9，6． 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $$