1.1《等腰三角形》暑假巩固练习2023－2024学年北师大版数学八年级下册

北师大版八年级数学下册暑假典题巩固练习 1.1 等腰三角形 1、 基础知识 全等三角形的判定:有两角及一角的对边对应相等的两个三角形全等(AAS或“角角边”)。 全等三角形的性质:全等三角形的对应边相等,对应角相等。 等腰三角形的性质:等角对等边;三线合一。 等边三角形的性质:等边三角形的三个内角都相等,且每一个内角都等于60 。 等腰三角形的判定:有两个角相等的三角形是等腰三角形(等边对等角)。 等边三角形的判定:三个内角都相等的三角形是等边三角形。 有一个角等于60 的等腰三角形是等边三角形。 含30 锐角的直角三角形的性质:在直角三角形中,如果一个锐角等于30 ,那么它所对的直角边等于斜边的一半。 反证法:先假设命题的结论不成立,然后推导出与定义、基本事实、已有定理或已知条件相矛盾的结果,从而证明结论一定成立。这种证明方法称为反证法。 2、 典题练习 一、单选典题练习 1.如图,在边长为10的等边 ABC中,点M在边AB的延长线上,点N在边AC上,且MN=MC,若AM=16,则CN的长为( ) A.3 B.4 C.5 D.6 2.如图,在四边形ABCD中,∠A=∠BCD=60 ,BC=CD,CM⊥AB交AB的延长线于点M,CN⊥AD交AD的延长线于点N.若2BM=3DN,AD=kAB,则常数k的值为( ) A. B. C. D. 3.如图,在 ABC中,∠A=90 ,DA:DC=1:3,BD=CD.E为线段BC上的一点,过点E作EF⊥AB,EG⊥CD.若BC=2,则EF+EG的长为( ) A.2 B.2 C. D. 4.出入相补原理是我国古代数学的重要成就之一,最早是由三国时期数学家刘徽创建.主要内容为“将一个几何图形,任意切成多块小图形,几何图形的总面积保持不变,等于所分割成的小图形的面积之和”.如图,在等腰 ABC中,,BC=12,点D为BC边上一动点,过D作DE⊥AB,DF⊥AC,则根据出入相补原理,我们可发现,DE+DF一定为定值,则DE+DF( ) A. B. C. D. 5.如图, ABC中,∠ACB=90 ,∠A=30 ,BC=2,若D,E是边AB上的两个动点,F是边AC上的一个动点,DE,则CD+EF的最小值为( ) A.3 B. C.1 D.3 6.如图,在 ABC中,∠ABC和∠ACB的平分线相交于点O,过O点作EF∥BC交AB于点E,交AC于点F,过点O作OD⊥AC于D,下列四个结论. ①EF=BE+CF;②∠BOC=90 ∠A;③点O到 ABC各边的距离相等;④设OD=m,AE+AF=n,则S AEFmn,正确的结论有( )个. A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 二、填空典题练习 7.如图, ABC为等边三角形,点D为 ABC外的一点,∠ADC=60 ,CD=4,则 BCD的面积为 . 8.如图,在四边形ABCD中,E是边BC的中点, AEB是等边三角形,且AB=6,AD=DE,则CD的最小值为 . 9.如图,在 ABC中,∠ABP=2∠C,AD平分∠BAC交BC于D,AC=10,AB=4,BP⊥AD于P,则BP= . 10.已知:如图 ABC中,AB=AC=5,BC=6,点D,E,F分别是边AB,BC,AC上一点,且∠DEF=∠B,DB=EC. (1)若DE⊥AB,则DB= ; (2)线段DE的长度的最小值为 . 11.如图,在四边形ABCD中,∠BCD=90 ,对角线AC,BD相交于点O.若AB=AC=5,BC=6,∠ADB=2∠CBD,则AD的长为 . 12.如图,已知等边三角形ABC的边长为3,过AB边上一点P作PE⊥AC于点E,Q为BC延长线上一点,取PA=CQ,连接PQ,交AC于M,则EM的长为 . 三、解答典题练习 13.如图,在 ABC中,∠ABC=∠ACB,过点A分别作AD⊥BD、AE⊥CE,且AE=AD.求证:∠EAB=∠DAC. 14.如图,在 ABC中,AB=8cm,AC=6cm,BD平分∠ABC,CD平分∠ACB,过点D作直线EF平行于BC,交AB,AC于点E,F. (1)求证: DFC是等腰三角形; (2)求 AEF的周长. 15.如图,在 ABC中,CA=CB,∠ACB=4∠A,点D是AC边的中点,DE⊥AC交AB于点E,连接CE. (1)求∠A的度数; (2)AE=2,求 ABC的面积. 16.如图, ABC中,∠C=90 ,∠A=30 ,DE垂直平分线段AC. (1)求证: BCE是等边三角形. (2)若BC=3,求DE的长. 17.如图,在 ABC中,AD平分∠BAC,E是BC上一点,BE=CD,EF∥AD交AB于F点,交CA的延长线于P,CH∥AB交AD的延长线于点H. ①求证: APF是等腰三角形; ②猜想AB与PC的大小有什么关系?证明你的猜想. 18.等边 ABC的边长为2,P为 ABC内一点,连接BP,PC,延长PC到点D,使CD=PC. (1)如图1,延长BC到点E,使CE=BC,连接AE,DE. ①求证:BP∥DE; ②若BP⊥AC,求∠AED的度数; (2)如图2,连接AD,若BP⊥AD,BP=1,则AD= . 参考答案 一、单选典题练习 1-6.BBBCAD. 二、填空典题练习 7.. 8.6. 9.3. 10.(1). (2). 11.. 12.. 三、解答典题练习 13.证明:∵∠ABC=∠ACB, ∴AB=AC, ∵AD⊥BD,AE⊥CE, ∴∠D=∠E=90 , 即 AEC和 ADB是直角三角形, 在Rt AEC和Rt ADB中, , ∴Rt AEC≌Rt ADB(HL), ∴∠EAC=∠DAB, ∴∠EAC﹣∠BAC=∠DAB﹣∠BAC, ∴∠EAB=∠DAC. 14.(1)证明:∵EF∥BC, ∴∠FDC=∠BCD, ∵CD平分∠ACB, ∴∠FCD=∠BCD, ∴∠FCD=∠FDC, ∴FD=FC, ∴ DFC是等腰三角形; (2)解:∵EF∥BC, ∴∠EDB=∠DBC, ∵BD平分∠ABC, ∴∠DBC=∠DBE, ∴∠EDB=∠DBE, ∴DE=BE, 又∵FD=FC,AB=8,AC=6, ∴ AEF的周长: AE+AF+EF =AE+AF+DE+FD =AE+AF+BE+FC =AB+AC =8+6 =14(cm), ∴ AEF的周长为14cm. 15.(1)解:设∠A的度数为x,则∠ACB=4∠A=4x, ∵CA=CB, ∴∠B=∠A=x, 在 ABC中,∠A+∠B+∠ACB=180 , ∴x+x+4x=180 , 解得:x=30 , ∴∠A=30 ; (2)证明:∵点D是AC边的中点,DE⊥AC,AE=2, ∴AE=CE=2, ∴∠ECA=∠A=30 , 又∵∠ACB=4∠A=120 , ∴∠BCE=120 ﹣30 =90 , ∵∠B=30 , ∴BE=2CE=4, ∴根据勾股定理得:, ∴, ∵DE⊥AC, ∴∠ADE=90 , ∵∠A=30 , ∴, ∴S ABC=S BCE+S ACE . 16.证明:(1)在 ABC中, ∵∠B=180 ﹣∠C﹣∠A=180 ﹣90 ﹣30 =60 , ∵DE垂直平分AC, ∴EC=EA, ∴∠ECA=∠A=30 , ∴∠BCE=60 , ∴ BCE是等边三角形; (2)由(1)得,EC=BC=3, Rt ECD中,∵∠ECD=30 , ∴DEEC. 17.①证明:∵EF∥AD, ∴∠1=∠4,∠2=∠P, ∵AD平分∠BAC, ∴∠1=∠2, ∴∠4=∠P, ∴AF=AP, 即 APF是等腰三角形; ②AB=PC.理由如下: 证明:∵CH∥AB, ∴∠5=∠B,∠H=∠1, ∵EF∥AD, ∴∠1=∠3, ∴∠H=∠3, 在 BEF和 CDH中, ∵, ∴ BEF≌ CDH(AAS), ∴BF=CH, ∵AD平分∠BAC, ∴∠1=∠2, ∴∠2=∠H, ∴AC=CH, ∴AC=BF, ∵AB=AF+BF,PC=AP+AC, ∴AB=PC. 18.(1)①证明:在 DEC和 PBC中, , ∴ DEC≌ PBC(SAS), ∴∠DEC=∠PBC, ∴BP∥DE; ②解:延长AC交ED的延长线于F,如图1所示: ∵ ABC为等边三角形, ∴BC=AC,∠ACB=60 , 又∵CE=BC, ∴AC=CE, ∴∠CAE=∠CEA, ∵∠CAE+∠CEA=∠ACB=60 , ∴∠CAE=∠CEA=30 , 由①可知:BP∥DE, ∵BP⊥AC, ∴DE⊥AC,即∠F=90 , 又∵∠ECF=∠ACB=60 , ∴∠CED=90 ﹣∠ECF=30 , ∴∠AED=∠CEA+∠CED=30 +30 =60 ; (2)延长BC到E是CE=BC,连接AE,DE,如图2所示: 由(1)②可知:∠CAE=30 , ∵ ABC为等边三角形,且边长为2, ∴AB=BC=AC=CE=2,∠BAC=60 , ∴∠BAE=∠BAC+∠CAE=90 ,BE=BC+CE=4, 在Rt ABE中,由勾股定理得:AE, 由(1)①可知: DEC≌ PBC, ∴BP=DE=1, 又∵BP⊥AD,BP∥DE, ∴DE⊥AD, 在Rt ADE中,由勾股定理得:AD. 故答案为:. 声明:试题解析著作权属所有,未经书面同意,不得复制发布日期:2024/6/21 18:52:36;用户:熊生泉;邮箱:XFS-7480560925045743.42133300;学号:56073379 第1页(共1页) 学科网(北京)股份有限公司 $$