6.4 数据的离散程度 第1课时 课件-2024－2025学年北师大版数学八年级上册

4 数据的离散程度 【北师大版·数学八年级上册】 第1课时 极差、方差和标准差 学习目标 了解极差、方差、标准差的求法. 会根据极差、方差、标准差的大小对实际问题作出解释，提高解决问题的能力. 课前回顾 我们已经掌握了哪些概念分析数据呢？ 分析数据： 1 2 3 4 5 5 8 中位数 众数 平均数 x = 1+2+3+4+5+5+8 7 平均数、中位数、众数体现了数据的集中趋势. 想一想：会有其他分析数据的方法吗？ 新知探索 为了提高农副产品的国际竞争力，一些行业协会对农副产品的规格进行了划分. 某外贸公司要出口一批规格为 75 g 的鸡腿，现有 2 个厂家提供货源，它们的价格相同，鸡腿的品质也相近. 质检员分别从甲、乙两厂的产品中抽样调查了 20 只鸡腿，它们的质量（单位：g）如下： 甲厂：75，74，74，76，73，76，75，77，77，74， 74，75，75，76，73，76，73，78，77，72； 乙厂：75，78，72，77，74，75，73，79，72，75， 80，71，76，77，73，78，71，76，73，75； 把这些数据表示成如图所示. 质量/g 70 甲厂 72 74 76 78 80 质量/g 70 乙厂 72 74 76 78 80 （1）你能从图中估计出甲、乙两厂抽取的鸡腿的平均质量吗？ （2）从甲、乙两厂抽取的鸡腿的平均质量分别是多少？在图中画出纵坐标等于平均质量的直线. 平均质量大约是 75 g 如图所示 （3）从甲厂抽取的这 20 只鸡腿质量的最大值是多少？最小值又是多少？它们相差几克？乙厂呢？ 质量/g 70 甲厂 72 74 76 78 80 质量/g 70 乙厂 72 74 76 78 80 把这些数据表示成如图所示. 解：甲厂：最大值 78 g，最小值 72 g，相差 6 g； 乙厂：最大值 80 g，最小值 71 g，相差 9 g. （4）如果只考虑鸡腿的规格，你认为外贸公司应买哪个厂的鸡腿？ 解：平均质量只能反映总体的集中趋势，并不能反映个体的变化情况，从图中看，甲厂的产品更符合要求. 质量/g 70 甲厂 72 74 76 78 80 质量/g 70 乙厂 72 74 76 78 80 把这些数据表示成如图所示. 实际生活中，除了关心数据的集中趋势外，人们往往还关注数据的离散程度，即它们相对于集中趋势的偏离情况. 小 结 一组数据中最大数据与最小数据的差（称为极差），就是刻画数据离散程度的一个统计量. 极差越大，偏离平均数越大，产品的质量（性能）越不稳定. 及时巩固 下表是在某天不同时刻测得的气温情况： 则这一天所测气温的极差是______℃. 解析：这一天所测得的最高气温是 34 ℃，最低气温是 25 ℃，所以这一天所测气温的极差是 34－25＝ 9（ ℃ ）. 9 如果丙厂也参与了竞争，从该厂抽样调查了 20 只鸡腿，数据如图所示： （1）丙厂这 20 只鸡腿质量的平均数和极差分别是多少？为什么？ 做一做 质量/g 80 78 76 74 72 70 3×72+2×73+4×74+2×75+3×76+3×77+2×78+79 20 x = = 75.1（g） 平均数： 极差： 79-72 = 7（g） 质量/g 80 78 76 74 72 70 （2）如何刻画丙厂这 20 只鸡腿的质量与其平均数的差距？分别求出甲、丙两厂的 20 只鸡腿质量与其相应平均数的差距. （3）在甲、丙两厂中，你认为哪个厂的鸡腿质量更符合要求？为什么？ 数学上，数据的离散程度还可以用方差或标准差刻画. 方差是各个数据与平均数差的平方的平均数， 即 s2 = [ ( x1- x )2 + ( x2 - x )2 + … + ( xn - x )2 ]， 1 n 其中，x 是 x1，x2，…，xn 的平均数，s2 是方差. 标准差是方差的算术平方根. s = s2 = [ ( x1- x )2 + ( x2 - x )2 + … + ( xn - x )2 ] 1 n 即 方差和标准差 例 题 计算从甲厂抽取的 20 只鸡腿质量的方差. 质量/g 70 甲厂 72 74 76 78 80 解：甲厂 20 只鸡腿的平均质量： 72+3×73+4×74+4×75+4×76+3×77+78 20 x甲 = = 75（g） 甲厂 20 只鸡腿质量的方差： 做一做 （1）计算从丙厂抽取的 20 只鸡腿质量的方差. 解：丙厂 20 只鸡腿的平均质量：75.1g 丙厂 20 只鸡腿质量的方差： 丙厂 质量/g 80 78 76 74 72 70 （2）根据计算结果，你认为甲、丙两厂的产品哪个更符合规格？ 质量/g 70 甲厂 72 74 76 78 80 s2甲 = 2.5，s2丙 = 4.39 s2甲 < s2丙 甲厂的产品更符合规格 丙厂 质量/g 80 78 76 74 72 70 用计算器求数据的标准差 使用计算器可以很方便地计算一组数据的标准差，其大体步骤是：进入统计计算状态，输入数据，按键得出标准差. （1）依次按键 即可进入统计计算状态； （2）按键 就可开始输入数据； （3）按键得出标准差. 随堂练习 甲、乙两支仪仗队队员的身高（单位：cm）如下： 甲队：178，177，179，179，178，178，177，178，177，179； 乙队：178，177，179，176，178，180，180，178，176，178. 哪支仪仗队队员的身高更为整齐？你是怎么判断的？ 【教材P151 随堂练习】 解：x甲 = 178 cm，x乙 = 178 cm；甲队极差为 2 cm， 乙队极差为 4 cm； s2甲 = 0.6，s2乙 = 1.8. 由上述结论可以判断甲队更为整齐. 及时巩固 1. 人数相同的八年级（1）、（2）两班学生在同一次数学单元测试中，班级平均分和方差如下： s2甲 = 24，s2乙 = 18，x甲 = x乙 = 80，则成绩较为稳定的班级是（ ） A. 甲班 B. 乙班 C. 两班成绩一样稳定 D.无法确定 B 2. 在样本方差计算公式 s2 = [(x1-20)2 +(x2-20)2 +…+(xn-20)2]中，数字 10 表示__________，数字 20 表示_________. 10 1 样本容量 平均数 3. 数据 -2，-1，0，1，2 的方差是____，标准差是______. 4. 五个数 1，3，a，5，8 的平均数是 4，则 a =_____，这五个数的方差为______. 2 3 6.6 5.状状在这一学年的六次测验中的数学成绩和英语成绩分别如下（满分都是 100 分）: 数学: 80，75，90，64，88，95； 英语: 84，80，88，76，79，85. 利用计算器计算两科成绩的标准差，并分析状状的两科成绩. 解:利用计算器可得状状数学成绩的标准差 s数 ≈ 10.38 (分)，英语成绩的标准差 s英 ≈ 4.04 (分). 因为s数> s英，所以状状的英语成绩比数学成绩稳定. 课堂小结 数据的离散程度 极 差 方 差 标准差 $$