第二章 一元二次函数、方程和不等式 综合检测卷-【初升高暑假衔接】2024-2025学年新高一数学【赢在暑假】同步精讲精练系列（人教A版2019必修第一册）

第二章《一元二次函数、方程和不等式》综合检测卷 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 一、单选题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．“，且”是“，且”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 2．已知实数x，y满足，且，则的最小值为（    ） A． B． C．1 D． 3．已知关于x的不等式对任意成立，则k的取值范围是（    ） A． B． C．或 D．或 4．已知不等式ax2﹣bx+2＞0的解集为{x|＜x＜2}，则不等式2x2+bx+a＜0的解集为（　　） A．{x|＜x＜1} B．{ x|x＜或x＞} C．{x|＜x＜} D．{x|x＜或x＞1} 5．“”是“不等式 对于任意正实数x，y恒成立”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 6．下列命题中错误的是（    ） A．当时，一定成立 B．若实数x，y满足，则 C．对任意，都有 D．对任意，都有 7．已知，，若时，关于的不等式恒成立，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 8．若正数满足，则中最大的数的最小值为（    ） A．4 B．5 C．6 D．7 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目的要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9．已知（），则下列结论正确的是（    ） A．ab的最小值为2 B．的最小值为 C．的最大值为1 D．的最小值为 10．已知，，则以下正确的是（    ） A． B． C． D． 11．下列命题正确的是（    ） A．若关于x的方程的一根比1大且另一根比1小，则a的取值范围是 B．若关于x的不等式在上恒成立，则实数k的取值范围是 C．若关于x的不等式的解集是，则关于x的不等式的解集是或 D．若，则的最小值为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．已知集合，，若“”是“”的必要不充分条件，则实数的取值范围为 . 13．已知正实数，满足，且恒成立，则实数的取值范围为 . 14．已知，若对任意的，不等式恒成立，则的最小值为 . 四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及验算步骤。 15．（1）已知，则取得最大值时的值为？ （2）函数 的最小值为？ （3）已知x，y是正实数，且，求的最小值． 16．2018年10月23日，习近平总书记在珠海出席港珠澳大桥开通仪式上宣布：历经5年规划，9年建设，总长约55公里，总投资约1100亿的港珠澳大桥正式开通，将给我国粤港澳大湾区经济腾飞带来积极影响.港珠澳大桥作为一项独特的工程奇观，为跨海旅游线路增添新亮点.某旅游公司为了提高相关线路旅游门票的销量，准备举办一场促销会.据市场调查，当每张门票售价定为元时，销售量可达到万张.现投资方为配合旅游公司的活动，决定进行门票价格改革，将每张门票的供货价格分成固定价格和浮动价格两部分，其中固定价格为30元，浮动价格(单位：元)与销售量(单位：万张)成反比，并且根据调查，每张门票售价定为100元时，旅游公司获得的总利润为340万元.（每张门票的销售利润＝售价－供货价格）. （1）求出每张门票所获利润关于售价的函数关系式，并写出定义域； （2）每张门票售价定为多少元时，每张门票所获利润最大？并求出该最大值. 17．（1）已知，求证：； （2）求证：． 18．已知函数． (1)若，解关于的不等式； (2)若不等式在上有解，求实数的取值范围． 19．已知函数． (1)若不等式的解集为，求的取值范围； (2)解关于的不等式； (3)若不等式对一切恒成立，求的取值范围． 1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第二章《一元二次函数、方程和不等式》综合检测卷 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 一、单选题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．“，且”是“，且”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】根据题意，利用不等式的基本性质，结合充分、必要条件的判定方法，即可求解. 【详解】若，且，根据不等式的加法和乘法法则可得，且，即必要性成立； 当，满足，且，但是，故充分性不成立， 所以“，且”是“，且”的必要不充分条件. 故选：B 2．已知实数x，y满足，且，则的最小值为（    ） A． B． C．1 D． 【答案】D 【分析】利用变形为，将变形后利用均值不等式求解. 【详解】因为, 所以， ， 当且仅当，即时，等号成立. 故选：D 3．已知关于x的不等式对任意成立，则k的取值范围是（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】B 【分析】由题意分和分别列不等式组，即可求解. 【详解】当时，原不等式即为对任意成立，故符合题意； 当时，要使关于x的不等式对任意成立， 只需，解得：. 综上所述：. 故选：B 4．已知不等式ax2﹣bx+2＞0的解集为{x|＜x＜2}，则不等式2x2+bx+a＜0的解集为（　　） A．{x|＜x＜1} B．{ x|x＜或x＞} C．{x|＜x＜} D．{x|x＜或x＞1} 【答案】A 【解析】根据不等式ax2﹣bx+2＞0的解集求出a、b的值，再代入不等式2x2+bx+a＜0中求解集． 【详解】不等式ax2﹣bx+2＞0的解集为{x|＜x＜2}， 所以，2是方程ax2-bx+2＝0的两个实数根，且a＜0， 由根与系数的关系知，解得； 所以不等式2x2+bx+a＜0化为2x2﹣x﹣1＜0， 解得＜x＜1； 所以不等式2x2+bx+a＜0的解集为{x|＜x＜1}． 故选：A． 【点睛】结论点睛：若一元二次不等式的解集为或，则是方程的两个根. 5．“”是“不等式 对于任意正实数x，y恒成立”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】结合基本不等式判断“”和“不等式 对于任意正实数x，y恒成立”的逻辑推理关系，即得答案. 【详解】当时，对于任意正实数x，y， ，当且仅当时取等号， 即此时不等式 对于任意正实数x，y恒成立； 当不等式 对于任意正实数x，y恒成立时， ， 当且仅当时取等号， 此时需满足，解得，此时a不一定等于9， 故“”是“不等式 对于任意正实数x，y恒成立”的充分不必要条件， 故选：A 6．下列命题中错误的是（    ） A．当时，一定成立 B．若实数x，y满足，则 C．对任意，都有 D．对任意，都有 【答案】B 【分析】A项利用基本不等式进行判断；B项取特殊值判断；C、D项利用作差判断. 【详解】解：对于A项，由，等号成立时，，而，则成立，故A项正确； 对于B项，因为实数x，y满足，取，则， 故B错误； 对于C项，因为 ，等号成立时，，故C项正确； 对于D项，因为，故D项正确. 故选：B 7．已知，，若时，关于的不等式恒成立，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】注意到原题条件等价于当时，恒成立，当时，恒成立，故当时，，从而得，由此结合基本不等式即可求解. 【详解】设，， 因为，所以当时，； 当时，； 时，； 由不等式恒成立，得或， 即当时，恒成立， 当时，恒成立， 所以当时，， 则，即， 则当时，，当且仅当，即时等号成立， 故的最小值为． 故选：C． 8．若正数满足，则中最大的数的最小值为（    ） A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】B 【分析】设b,，则，根据，，得到，解得，验证时成立，得出答案． 【详解】不妨设b,，则，即， 因为，所以， 所以， 所以， 又 ， 得，又，所以， 当时，当且仅当或时，中的等号成立， 所以a，b，c中最大的数的最小值为5， 故选：． 【点睛】此题考查了利用基本不等式求最值的问题，注意基本不等式成立的条件为一正、二定、三等，以及消元思想的应用， 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目的要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9．已知（），则下列结论正确的是（    ） A．ab的最小值为2 B．的最小值为 C．的最大值为1 D．的最小值为 【答案】BD 【分析】利用基本不等式即可判断A；利用1的变换，即可判断B；变形，根据的范围，即可判断C；利用平方，以及A选项的判断结果，即可判断D. 【详解】对于A，，即，，当且仅当时，等号成立，所以的最小值为8，故A错误； 对于B，由得，， 当时，结合，即时等号成立，故B正确； 对于C，由，得， 由，且，得，所以，故C错误； 对于D，由，两边平方后得，即，由A知， 所以，所以的最小值为，故D正确. 故选：BD 10．已知，，则以下正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】ABC 【分析】由不等式的性质判断ABC，利用特殊值排除D，从而得解. 【详解】因为，，所以， 对于A，当，时，； 当，时，，则，即； 当，时，，则，即； 当，时，，，则； 综上，，故A正确； 对于B，，故B正确； 对于C，，故C正确； 对于D，当，时，，故D错误， 故选：ABC. 11．下列命题正确的是（    ） A．若关于x的方程的一根比1大且另一根比1小，则a的取值范围是 B．若关于x的不等式在上恒成立，则实数k的取值范围是 C．若关于x的不等式的解集是，则关于x的不等式的解集是或 D．若，则的最小值为 【答案】ACD 【分析】对于A，原问题等价于，解一元二次不等式即可验证；对于B，原问题等价于在上恒成立，由此即可验证；对于C，首先得，然后解分式不等式即可验证；对于D，首先由基本不等式得，然后由即可验证，注意取等条件是否成立. 【详解】对于A，二次函数，开口向上， 若关于x的方程的一根比1大且另一根比1小， 则，解得，故A正确； 对于B，若关于x的不等式在上恒成立， 则只需，即在上恒成立即可， 则实数k的取值范围是，故B错误； 对于C，若关于x的不等式的解集是，则， 所以关于x的不等式或，故C正确；‘ 对于D，若，则，解得，等号成立当且仅当， 所以，等号成立当且仅当，故D正确. 故选：ACD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．已知集合，，若“”是“”的必要不充分条件，则实数的取值范围为 . 【答案】 【分析】解一元二次不等式化简集合A，再分类求解不等式化简集合B，并利用集合的包含关系列式求解即得. 【详解】由“”是“”的必要不充分条件，得， 依题意，集合， ， 当，即时，，则，解得； 当，即时，，则，解得， 当，即时，，满足，因此， 所以实数的取值范围为. 故答案为： 13．已知正实数，满足，且恒成立，则实数的取值范围为 . 【答案】 【分析】根据，求出的最小值，从而得到关于的不等式，解得的范围. 【详解】因为恒成立， 所以， 而正实数，满足， 所以， 当且仅当，即时，等号成立， 所以，解得. 故答案为： 【点睛】本题考查基本不等式中的代换，利用基本不等式求和的最小值和解决恒成立问题，属于中档题. 14．已知，若对任意的，不等式恒成立，则的最小值为 . 【答案】 【分析】先把原不等式分解为二次不等式，分类讨论后运用整体代换和基本不等式即可. 【详解】原不等式， 由，知时，，时，， 故由原不等式知时，时， 由恒成立知且，即， 故所求式， 设，则， 则所求式递增， 故最小值在时取得：. 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及验算步骤。 15．（1）已知，则取得最大值时的值为？ （2）函数 的最小值为？ （3）已知x，y是正实数，且，求的最小值． 【答案】（1）；（2）  ；（3）． 【分析】（1）积的形式转化为和的形式，利用基本不等式求最值，并要检验等号成立的条件. （2）二次式除以一次式求最值，一般二次式用一次式表示出来，然后再分离，最后用基本不等式求解即可． （3）利用基本不等式“1”的代换即可求最小值，注意等号成立条件． 【详解】（1）， 当且仅当，即时取等号． 故取得最大值时，的值为． （2） ．（） 当且仅当，即时取等号． 故函数的最小值为． （3）x，，． 当且仅当，即，时取等号． ∴的最小值为． 16．2018年10月23日，习近平总书记在珠海出席港珠澳大桥开通仪式上宣布：历经5年规划，9年建设，总长约55公里，总投资约1100亿的港珠澳大桥正式开通，将给我国粤港澳大湾区经济腾飞带来积极影响.港珠澳大桥作为一项独特的工程奇观，为跨海旅游线路增添新亮点.某旅游公司为了提高相关线路旅游门票的销量，准备举办一场促销会.据市场调查，当每张门票售价定为元时，销售量可达到万张.现投资方为配合旅游公司的活动，决定进行门票价格改革，将每张门票的供货价格分成固定价格和浮动价格两部分，其中固定价格为30元，浮动价格(单位：元)与销售量(单位：万张)成反比，并且根据调查，每张门票售价定为100元时，旅游公司获得的总利润为340万元.（每张门票的销售利润＝售价－供货价格）. （1）求出每张门票所获利润关于售价的函数关系式，并写出定义域； （2）每张门票售价定为多少元时，每张门票所获利润最大？并求出该最大值. 【答案】（1）；（2）每张门票售价定为140元时，所获利润最大，且每张门票最大利润为100元. 【分析】（1）由每张门票售价定为100元时，旅游公司获得的总利润为340万元.求得比例系数，可得函数解析式； （2）把整理后应用基本不等式可求得最大值． 【详解】解：（1）每张门票售价定为元时，销售量为＝5(万张)， 令每张门票的浮动价格元 则每张门票供货价格为(元)，. 故旅游公司所获总利润为(万元). ∴比例系数. ∴. （2）由（1）知 ∴ ∵ ∴. 当且仅当（元）时取得“=”号. ∴，当且仅当（元）时取得“=”号 因此，每张门票售价定为140元时，所获利润最大，且每张门票最大利润为100元． 【点睛】本题考查函数的应用，考查基本不等式的应用，求出函数解析式是解题关键． 17．（1）已知，求证：； （2）求证：． 【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析 【分析】（1）根据重要不等式可得，从而得到，同理得到其余两式，再将三式相加即可得证； （2）利用作差法证明即可. 【详解】（1）因为（当且仅当时取等号），， 所以①； 同理可得②；③； ①、②、③相加得， 所以， 又，所以， 所以，当且仅当时取等号． （2）因为 ，当且仅当时取等号， 所以， 所以， 即， 又，当时取等号， 所以，当且时取等号． 18．已知函数． (1)若，解关于的不等式； (2)若不等式在上有解，求实数的取值范围． 【答案】(1)答案见解析 (2) 【分析】（1）利用因式分解法求解含参一元二次不等式即可. （2）利用分离参数法结合基本不等式求解参数范围即可. 【详解】（1）易得 当时，，所以解集为； 当时，，所以解集为； 当时，，所以解集为． （2）若在上有解， 则在上有解， 故，即在上有解， 由，得， 进而知，令，则， 设， 当且仅当时取等号，所以． 19．已知函数． (1)若不等式的解集为，求的取值范围； (2)解关于的不等式； (3)若不等式对一切恒成立，求的取值范围． 【答案】(1) (2)当 时, 解集为 ; 当 时, 解集为 ; 当 时, 解集为. (3) 【分析】（1）通过分类讨论的值即可解出不等式； （2）通过分类讨论的范围即可解出不等式； （3）利用分参法，设 ，即可求出的取值范围. 【详解】（1）由题意， 当, 即 时, , 解集不为 , 不合题意; 当, 即 时, 的解集为 , ，即 故 时, . 综上，. （2）由题意得, 在, 即 , 当 , 即 时, 解集为 ; 当 , 即 时, , 即 解集为 ； 当 , 即 时, , 解集为 . 综上，当 时, 解集为 ; 当 时, 解集为 ; 当 时, 解集为. （3）由题意， , 即 , 恒成立, ∴, 设 , 则 , , 当且仅当 时取等号, , 当且仅当 时取等号, 当 时, , ， ∴的取值范围为. 【点睛】关键点点睛：本题考查二次函数的解法，基本不等式，二次函数判别式。考查学生分析问题的能力，分类讨论的能力，具有很强的综合性. 1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$