专题强化03：一元二次函数、方程和不等式 题型归纳（9大题型）-【初升高暑假衔接】2024-2025学年新高一数学【赢在暑假】同步精讲精练系列（人教A版2019必修第一册）

专题强化03：一元二次函数、方程和不等式 题型归纳 【知识网络】 【题型突破】 题型一、不等式性质的应用 1．（23-24高一上·福建龙岩·期末）已知，则下列结论正确的是（    ） A．若且，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 2．（23-24高一上·江西萍乡·期末）下列命题为真命题的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，，则 D．若，则 3．（23-24高一上·山东菏泽·期末）已知，则下列不等式成立的是（    ） A． B． C． D． 题型二、解不等式（不含参） 4．（23-24高一上·湖南长沙·期末）解下列关于x的不等式： (1)；(2). 5．（23-24高一上·内蒙古呼伦贝尔·期末）求下列不等式的解集： (1)；(2)；(3)；(4)． 6．（23-24高一上·湖南长沙·期末）解下列不等式： (1)；(2). 题型三、解含参的不等式 7．（23-24高一上·湖南长沙·期末）当时，解关于的不等式. 8．（23-24高一上·重庆·期末）已知关于的不等式. (1)若该不等式的解集为，求和的值； (2)若，求该不等式的解集. 9．（23-24高一上·黑龙江哈尔滨·期末）已知函数. (1)若关于的不等式解集为，求实数的取值范围； (2)解关于的不等式. 题型四、一元二次不等式恒(能）成立问题 10．（23-24高一上·山东滨州·期末）一元二次不等式对于一切实数都成立，实数的取值范围为 . 11．（23-24高一上·湖南郴州·期末），不等式恒成立，则实数的取值范围为 . 12．（23-24高一上·湖北恩施·期末）已知函数. (1)当时，解关于的不等式； (2)若不等式对一切恒成立，求实数的取值范围. 题型五、一元二次不等式有解问题 13．（22-23高一上·广东佛山·阶段练习）若关于的不等式在区间内有解，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 14．（23-24高一上·河南·阶段练习）若关于的不等式在内有解，则实数的取值范围为 . 15．（21-22高一上·新疆哈密·期末）已知关于的不等式在上有解，则实数的取值范围是 ． 题型六、基本不等式 16．（23-24高一上·四川遂宁·期末）（1）已知，求的最大值； （2）已知，求的最小值． 17．（24-25高一上·上海·假期作业）（1）若，且， 求：（i）的最小值； （ii）的最小值. （2）求的最小值. 18．（23-24高一下·安徽安庆）（1）已知，求的最大值. （2）已知且，求的最大值. 题型七、基本不等式证明问题 19． （23-24高一下·山东淄博·期中） （1）已知，求证：； （2）求证：． 20．（23-24高一上·云南曲靖·期末）已知，，且，证明： (1)；(2)． 21．（23-24高一上·安徽马鞍山·期中）已知，求证: (1);(2). 题型八、一元二次不等式和基本不等式的实际应用 22．（23-24高一上·江苏镇江·期末）去年某商户销售某品牌服装9000套，每套服装利润为50元.为提高销售利润，今年计划投入适当的广告费进行产品促销.经市场调研发现，若广告费用为（万元），则该品牌服装的年销售量将增长.请你预算该品牌服装的净利润（净利润为销售利润减去广告费用） (1)若使得今年净利润比去年至少增长，请你预算广告费用的范围? (2)当广告费用多少万元时，品牌服装的净利润最大? 23．（23-24高一上·陕西西安·期末）某公司决定对旗下的某商品进行一次评估，该商品原来每件售价为25元，年销售8万件. (1)据市场调查，若价格每提高1元，销售量将相应减少2000件，要使销售的总收入不低于原收入，该商品每件定价最多为多少元？ (2)为了扩大该商品的影响力，提高年销售量.公司决定立即对该商品进行全面技术革新和销售策略调整，并提高定价到元.公司拟投入万元作为技改费用，投入50万元作为固定宣传费用，投入万元作为浮动宣传费用.试问：当该商品改革后的销售量至少达到多少万件时，才可能使改革后的销售收入不低于原收入与总投入之和？并求出此时每件商品的定价. 24．（23-24高一上·安徽黄山·阶段练习）“绿水青山就是金山银山”，为了贯彻落实习近平生态文明思想，探索促进“绿水青山”向“金山银山”转变的重大实践，某地林业局准备围建一个矩形场地，建立绿化生态系统研究片区，观察某种绿化植物．如图所示，两块完全相同的矩形种植绿草坪，草坪周围(阴影部分)均种植宽度相同的花，已知两块矩形绿草坪的面积均为平方米，共平方米． (1)若矩形草坪的长比宽至少多米，求草坪宽的最大值； (2)若草坪四周的花坛宽度均为米，求整个绿化面积的最小值． 题型九、一元二次函数、方程和不等式综合问题 25．（23-24高一上·浙江杭州·期中）已知函数，a为常数. (1)若，解关于x的不等式； (2)若不等式对任意的恒成立，求实数a的取值范围. 26．（23-24高一上·河北石家庄·期中）设． (1)若不等式对于任意恒成立，求实数a的取值范围； (2)解关于x的不等式． 27．（23-24高一上·北京昌平·期中）已知关于的函数，其中． (1)若不等式的解集是，求的值； (2)当且时，解不等式． 【专题训练】 一、单选题 28．（23-24高一下·福建南平·期中）已知，，，则的最小值为（    ） A．2 B．1 C． D． 29．（23-24高二下·浙江·期中）关于的不等式的解集为，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D．或 30．（2024高三·全国·专题练习）若命题“”为真命题，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 31．（23-24高三下·山东菏泽·阶段练习）已知条件：“不等式的解集是空集”，则条件： “”是条件的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 32．（23-24高三上·浙江宁波·期末）设实数x，y满足，，不等式恒成立，则实数k的最大值为（    ） A．12 B．24 C． D． 33．（23-24高一上·辽宁大连·期末）已知x，y为正实数，且，则的最小值为（    ） A．24 B．25 C． D． 34．（23-24高一上·浙江杭州·期中）2023年8月29日，华为在官方网站发布了Mate60系列手机，全系搭载麒麟芯片强势回归，5G技术更是遥遥领先，正所谓“轻舟已过万重山”.发布后的第一周销量约达80万台，第二周的增长率为a，第三周的增长率为b，这两周的平均增长率为x（a，b，x均大于零），则（    ） A． B． C． D． 35．（23-24高一上·北京东城·期中）已知不等式对任意的实数x恒成立，则实数k的取值范围为（　　 ） A． B． C． D． 36．（23-24高一上·湖北黄冈·期中）设集合或，集合，若中恰有两个整数，则实数的取值范围（    ） A． B． C． D． 二、多选题 37．（23-24高二下·湖南·期中）已知且，．则下列关系一定成立的有（    ） A． B． C． D． 38．（23-24高一上·江西抚州·期末）若正实数满足，则下列结论中正确的有（    ） A．的最小值为8． B．的最小值为 C．的最大值为． D．的最小值为． 39．（23-24高一上·河南濮阳·阶段练习）已知实数a，b，c，则下列结论中正确的是（    ） A． B．若，则 C．若，则 D．若，则有最大值 40．（23-24高一上·浙江杭州·期中）下列不等式正确的有（    ） A．若，则函数的最小值为2 B．函数最小值为 C．当 D．最小值等于4 41．（23-24高一上·广东珠海·期中）已知关于的不等式的解集为，，，则（　　） A． B． C．的解集是 D．的解集是或 三、填空题 42．（23-24高一上·云南曲靖·期中）若且，则 0．（填“”、“”或“”） 43．（23-24高一上·安徽马鞍山·期中）已知且，则的最小值为 . 44．（23-24高一上·江西南昌·阶段练习）已知且恒成立，实数的最大值是 ． 45．（2024高三·全国·专题练习）设为实数，若，则的最大值是 ． 46．（23-24高一上·北京·期中）某快递公司为提高效率，引进智能机器人分拣系统，以提高分拣效率和降低物流成本．已知购买台机器人的总成本为（单位：万元）．若要使每台机器人的平均成本最低，则应买机器人 台. 四、解答题 47．（23-24高一上·四川乐山·期中）已知函数． (1)求不等式的解集； (2)若，不等式恒成立，求的取值范围． 48．（23-24高一上·河北石家庄·期中）解决下列问题. (1)已知关于的不等式的解集为，求实数的值； (2)若关于的不等式恒成立，求实数的取值范围. 49．（23-24高一上·浙江杭州·期中）为了丰富学生的课余生活、给学生更好的校园生活体验，某高中决定扩大学校规模，为学生打造一所花园式的校园．学校决定在原有的矩形花园的基础上，拓展建成一个更大的矩形花园．为了方便施工，建造时要求点B在上，点D在上，且对角线过点C，如图所示．已知． (1)当的长度为多少时，矩形的面积最小？并求出最小面积． (2)要使矩形的面积大于，则的长应在什么范围内？ 50．（23-24高一上·江苏无锡·阶段练习）已知正实数满足． (1)求的最小值及此时的值； (2)求的最大值及此时的值； (3)求的最小值及此时的值． 51．（23-24高一上·福建三明·期中）已知二次函数． (1)若关于的不等式的解集是，求实数，的值； (2)若，，解关于的不等式． 52．（23-24高一上·河北保定·期中）已知函数． (1)当时，解关于x的不等式； (2)若存在，使得不等式成立，求实数m的取值范围． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题强化03：一元二次函数、方程和不等式 题型归纳 【知识网络】 【题型突破】 题型一、不等式性质的应用 1．（23-24高一上·福建龙岩·期末）已知，则下列结论正确的是（    ） A．若且，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】D 【分析】根据不等式的性质，结合作差法与举反例的方法逐个判断即可. 【详解】对A，，因为，，故，即，故A错误； 对B，当时，故B错误； 对C，， 因为，故，故， 故，故C错误； 对D，，因为，故， 故，即，故D正确. 故选：D 2．（23-24高一上·江西萍乡·期末）下列命题为真命题的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，，则 D．若，则 【答案】C 【分析】利用不等式的性质证明正确选项，举反例排除错误选项即可. 【详解】对于A，当时，无意义，故A错误， 对于B，当时，无意义，故B错误， 对于C，若且，则，，故C正确， 对于D，令，则，，显然，故D错误， 故选：C 3．（23-24高一上·山东菏泽·期末）已知，则下列不等式成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由基本不等式以及作差法即可求解. 【详解】由题意，则，即，由基本不等式得， 又，即， 所以. 故选：D. 题型二、解不等式（不含参） 4．（23-24高一上·湖南长沙·期末）解下列关于x的不等式： (1)； (2). 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）根据一元二次不等式的解法求解即可； （2）根据分式不等式的解法求解即可. 【详解】（1）由，得， 即，所以， 所以不等式的解集为； （2）由，得， 则，解得或， 所以不等式的解集为或. 5．（23-24高一上·内蒙古呼伦贝尔·期末）求下列不等式的解集： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】逐一求解二次不等式即可. 【详解】（1），所以， 故不等式的解集为； （2），所以， 故不等式的解集为； （3）因为的判别式， 故原不等式的解集为； （4），所以或， 故不等式的解集为. 6．（23-24高一上·湖南长沙·期末）解下列不等式： (1)； (2). 【答案】(1) (2) 【分析】（1）将分式不等式化为且，求出解集； （2）将绝对值不等式化为分段函数，零点分段法求解绝对值不等式. 【详解】（1）不等式，移项得，通分得， 可转化为且， 解得，不等式解集为. （2）令 当时，，解得，即； 当时，，解得，即； 当时，，解得，即； 综上所述：不等式解集为. 题型三、解含参的不等式 7．（23-24高一上·湖南长沙·期末）当时，解关于的不等式. 【答案】答案见解析 【分析】根据、和分类讨论解不等式即可. 【详解】当时，代入不等式可得，解得； 当时，化简不等式可得即， 由得不等式的解为， 当时，化简不等式可得即， 由得不等式的解为或， 综上可知，当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为或. 8．（23-24高一上·重庆·期末）已知关于的不等式. (1)若该不等式的解集为，求和的值； (2)若，求该不等式的解集. 【答案】(1) (2)答案见解析 【分析】（1）由二次不等式的解得二次方程的根，利用韦达定理建立方程求解即可； （2）分类讨论解一元二次不等式即可. 【详解】（1）因为不等式的解集为， 所以二次方程的根为， 由韦达定理可得，解得； （2）若，则不等式为，即， 令，得，当，即时，； 当，即时，无解；当，即时，. 综上：时，解集为；时，解集为；时，解集为. 9．（23-24高一上·黑龙江哈尔滨·期末）已知函数. (1)若关于的不等式解集为，求实数的取值范围； (2)解关于的不等式. 【答案】(1) (2)答案见解析 【分析】（1）转化为一元二次不等式恒成立问题，令解出即可； （2）由判别式确定a的范围，分类再解不等式即可. 【详解】（1）由题意，可得， ； （2）①当时，即时， 原不等式的解集为； ②当时，即或时， 当时，， 原不等式的解集为， 当时，， 原不等式的解集为； ③时，即或时，， 解得或， 原不等式的解集为. 题型四、一元二次不等式恒(能）成立问题 10．（23-24高一上·山东滨州·期末）一元二次不等式对于一切实数都成立，实数的取值范围为 . 【答案】 【分析】利用二次不等式恒成立的条件得到关于的不等式组，解之即可得解. 【详解】因为是一元二次不等式，所以， 又对一切实数成立， 所以，解得， 则的取值范围是. 故答案为：. 11．（23-24高一上·湖南郴州·期末），不等式恒成立，则实数的取值范围为 . 【答案】 【分析】将不等式转化为对恒成立，利用基本不等式求解最值即可. 【详解】，不等式恒成立，即， 由于函数，当且仅当，即时等号成立， 故，即，则， 故答案为： 12．（23-24高一上·湖北恩施·期末）已知函数. (1)当时，解关于的不等式； (2)若不等式对一切恒成立，求实数的取值范围. 【答案】(1)答案见解析 (2) 【分析】（1）先把二次不等式化为，然后分类讨论解不等式即可； （2）参变分离，把恒成立问题转化为的最大值问题，换元后利用基本不等式求解即可. 【详解】（1）因为， 所以不等式， 可化简为：， ①当时，不等式化为， ②当即时，， 方程的两个根为，1.则不等式的解为或， ③当即时，， 方程的两个根为，1.则不等式的解为， 综上所述：当时，不等式的解集为， 当时，不等式的解集为， 当时，不等式的解集为. （2）不等式即， 即对恒成立，令，所以， 因为，当且仅当时取“＝”， 所以，当且仅当时取“＝”， 所以的取值范围为. 题型五、一元二次不等式有解问题 13．（22-23高一上·广东佛山·阶段练习）若关于的不等式在区间内有解，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由关于的不等式在区间内有解，可得在区间内有解，从而大于在区间的最小值，结合二次函数的性质即可得出结果． 【详解】由关于的不等式在区间内有解，得在区间内有解，从而大于在区间的最小值. 令，，函数图像抛物线开口向上，对称轴方程为，则在上单调递减，在是单调递增则，，得， 所以实数的取值范围是． 故选：C． 14．（23-24高一上·河南·阶段练习）若关于的不等式在内有解，则实数的取值范围为 . 【答案】 【分析】分离参数把不等式有解问题转化为，利用二次函数求出最值，利用二次不等式的解法求解即可. 【详解】因为在内有解，即，其中； 设，则当或时，，所以， 解得，所以的取值范围为. 故答案为： 15．（21-22高一上·新疆哈密·期末）已知关于的不等式在上有解，则实数的取值范围是 ． 【答案】 【分析】求出在的最大值，然后可得关于a的不等式，解出即可. 【详解】设，则在的最大值为4， 因为关于的不等式在上有解， 即，解得， 故答案为：. 题型六、基本不等式 16．（23-24高一上·四川遂宁·期末）（1）已知，求的最大值； （2）已知，求的最小值． 【答案】（1）；（2） 【分析】（1）利用基本不等式即可得解； （2）利用基本不等式，结合换元法即可得解. 【详解】（1）因为，所以， 则，当且仅当，即时，取到等号， 所以的最大值为； （2）因为，所以， 令，则， 所以， 当且仅当，即，即时，取到等号， 所以的最小值为. 17．（24-25高一上·上海·假期作业）（1）若，且， 求：（i）的最小值； （ii）的最小值. （2）求的最小值. 【答案】（1）（i）（ii）；（2）32 【分析】根据基本不等式即可直接求解（i）（2），利用乘 “1”法即可求解（ii）， 【详解】（1）（i）由，及基本不等式，可得， 故，当且仅当，即时等号成立， 的最小值为64； （ii），，， ，当且仅当且， 即，时等号成立，即 取得最小值18； （2）由可得 当且仅当，即时等号成立 故的最小值为32. 18．（23-24高一下·安徽安庆·开学考试）（1）已知，求的最大值. （2）已知且，求的最大值. 【答案】（1）；（2）. 【分析】 （1）令，把不等式转化为，结合基本不等式，即可求解； （2）令，转化为，结合柯西不等式和基本不等式，即可求解. 【详解】 解：（1）由题意，令，解得， 则， 当且仅当时，即时，等号成立， 所以的最大值为. （2）由题意，令，可得， 因为，可得，即， 又由柯西不等式，可得， 所以， 当且仅当，即时，等号成立， 所以，解得，所以实数的最大值为. 题型七、基本不等式证明问题 19．（23-24高一下·山东淄博·期中）（1）已知，求证：； （2）求证：． 【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析 【分析】（1）根据重要不等式可得，从而得到，同理得到其余两式，再将三式相加即可得证； （2）利用作差法证明即可. 【详解】（1）因为（当且仅当时取等号），， 所以①； 同理可得②；③； ①、②、③相加得， 所以， 又，所以， 所以，当且仅当时取等号． （2）因为 ，当且仅当时取等号， 所以， 所以， 即， 又，当时取等号， 所以，当且时取等号． 20．（23-24高一上·云南曲靖·期末）已知，，且，证明： (1)； (2)． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）利用基本不等式，求得，进而证得. （2）化简，然后利用不等式的性质以及（1）的结论证得. 【详解】（1）， 因为，，，则，当且仅当时等号成立， 所以； （2） ， 由（1）有，有，，有，， 有，当且仅当时等号成立， 所以． 21．（23-24高一上·安徽马鞍山·期中）已知，求证: (1); (2). 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）作“1”代换，根据基本不等式求解； （2）作“1”代换，根据基本不等式求解. 【详解】（1）， ， 当且仅当，即时等号成立. （2）， . 当且仅当时，即时等号成立. 题型八、一元二次不等式和基本不等式的实际应用 22．（23-24高一上·江苏镇江·期末）去年某商户销售某品牌服装9000套，每套服装利润为50元.为提高销售利润，今年计划投入适当的广告费进行产品促销.经市场调研发现，若广告费用为（万元），则该品牌服装的年销售量将增长.请你预算该品牌服装的净利润（净利润为销售利润减去广告费用） (1)若使得今年净利润比去年至少增长，请你预算广告费用的范围? (2)当广告费用多少万元时，品牌服装的净利润最大? 【答案】(1) (2)当投入广告费用为8万元时，品牌服装的净利润最大 【分析】（1）由题意列出不等式（在这里同一转换为“万元”的单位），转换为一元二次不等式即可得解. （2）由题意得表达式，结合基本不等式及其取等条件即可求解. 【详解】（1）由题意得，即， 化简并整理得，解得， 所以预算广告费用的范围为. （2）由题意净利润为，（单位：万元）， 所以由基本不等式可得，等号成立当且仅当， 所以当投入广告费用为8万元时，品牌服装的净利润最大. 23．（23-24高一上·陕西西安·期末）某公司决定对旗下的某商品进行一次评估，该商品原来每件售价为25元，年销售8万件. (1)据市场调查，若价格每提高1元，销售量将相应减少2000件，要使销售的总收入不低于原收入，该商品每件定价最多为多少元？ (2)为了扩大该商品的影响力，提高年销售量.公司决定立即对该商品进行全面技术革新和销售策略调整，并提高定价到元.公司拟投入万元作为技改费用，投入50万元作为固定宣传费用，投入万元作为浮动宣传费用.试问：当该商品改革后的销售量至少达到多少万件时，才可能使改革后的销售收入不低于原收入与总投入之和？并求出此时每件商品的定价. 【答案】(1)最多为元； (2)销售量至少达到11万件，此时定价30元满足题意. 【分析】（1）设每件定价，根据条件列不等式求解即可； （2）将问题转化为不等式定区间内有解，分离参数再结合基本不等式计算即可. 【详解】（1）设定价每件元，由题意可知， 整理得，解之得， 故该商品每件定价最多为元； （2）由上可知：当时，不等式有解， 整理得有解， 易知，当且仅当时取得等号， 此时， 所以改革后销售量至少达到11万件时，才可能使改革后的销售收入不低于原收入与总投入之和，此时每件商品定价为30元. 24．（23-24高一上·安徽黄山·阶段练习）“绿水青山就是金山银山”，为了贯彻落实习近平生态文明思想，探索促进“绿水青山”向“金山银山”转变的重大实践，某地林业局准备围建一个矩形场地，建立绿化生态系统研究片区，观察某种绿化植物．如图所示，两块完全相同的矩形种植绿草坪，草坪周围(阴影部分)均种植宽度相同的花，已知两块矩形绿草坪的面积均为平方米，共平方米． (1)若矩形草坪的长比宽至少多米，求草坪宽的最大值； (2)若草坪四周的花坛宽度均为米，求整个绿化面积的最小值． 【答案】(1)米 (2)平方米 【分析】（1）设草坪的长为米，宽为米，根据面积得到关于的等量关系，再结合长比宽至少多米得到关于的不等式，由此求解出结果； （2）设整个绿化面积为平方米，根据图形列出的表达式，然后结合已知条件利用基本不等式求解出的最小值. 【详解】（1）设草坪的宽为米，长为米，由面积为平方米，可得， 因为矩形的长比宽至少多米，所以， 所以，解得， 又因为，所以， 所以草坪宽的最大值为米． （2）设整个绿化面积为平方米，由题意可得 ， 当且仅当即时，等号成立， 故整个绿化面积的最小值为平方米． 题型九、一元二次函数、方程和不等式综合问题 25．（23-24高一上·浙江杭州·期中）已知函数，a为常数. (1)若，解关于x的不等式； (2)若不等式对任意的恒成立，求实数a的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）代入解分式不等式即可； （2）由于不等式对任意的恒成立，则参变分离，转化为函数的最值解决即可. 【详解】（1）由题意，，即，即，故， 解得. （2）对任意，，即， 恒成立，所以. 令，则，， ， 当且仅当，即，时取“=”，所以， 故实数a的取值范围为. 26．（23-24高一上·河北石家庄·期中）设． (1)若不等式对于任意恒成立，求实数a的取值范围； (2)解关于x的不等式． 【答案】(1) (2)答案见详解 【分析】（1）讨论的范围，当时，列出条件，解出即可； （2）化简不等式，根据根的大小进行分类讨论，即可解出. 【详解】（1）因为， 所以不等式可化为， 若对于任意，不等式恒成立， 当时，不等式化为，不满足题意， 当时，则必有且, 解得， 所以实数a的取值范围为. （2）不等式化为， 即，， 因为， 所以当，即时，解得或， 不等式的解集为或; 当，即时，不等式恒成立，解集为； 当，即时，解得或， 不等式的解集为或. 27．（23-24高一上·北京昌平·期中）已知关于的函数，其中． (1)若不等式的解集是，求的值； (2)当且时，解不等式． 【答案】(1) (2)答案见解析 【分析】（1）根据题意得到关于的一元二次方程的根为，从而利用韦达定理算出的值； （2）当时，不等式整理为，然后讨论的取值范围，根据一元二次不等式解法的一般结论，求出的解集． 【详解】（1）根据题意，若不等式的解集是， 则关于的一元二次方程的根为，且， 所以，解得， 此时，符合题意； 即 （2）当且时，不等式即， 整理得， ①当时，不等式化为，即，解集为； ②当时，不等式化为， （i）当时，不等式为，解集为； （ii）当时，可知，所以不等式的解集为； （iii）当时，可知，所以不等式的解集为． ③当时，不等式化为，解集为． 综上所述，当时，解集为； 当时，解集为；当时，解集为； 当时，解集为；当时，解集为. 【专题训练】 一、单选题 28．（23-24高一下·福建南平·期中）已知，，，则的最小值为（    ） A．2 B．1 C． D． 【答案】B 【分析】由题意可得，根据“1”的灵活应用结合基本不等式运算求解. 【详解】因为，可得， 且，，可知， 则， 当且仅当，即时，等号成立， 所以的最小值为1. 故选：B. 29．（23-24高二下·浙江·期中）关于的不等式的解集为，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D．或 【答案】B 【分析】由题意可知恒成立，根据判别式即可求出. 【详解】的解集为, 即恒成立， 当时，即，不符合题意， 当时，则’解得 综上所述，实数的取值范围是. 故选：B 30．（2024高三·全国·专题练习）若命题“”为真命题，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由题意可得不等式在R上有解，结合计算即可求解. 【详解】由题意可知，不等式在R上有解， ∴，解得， ∴实数m的取值范围是. 故选：A. 31．（23-24高三下·山东菏泽·阶段练习）已知条件：“不等式的解集是空集”，则条件： “”是条件的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】先分和两种情况讨论求出的范围，再根据充分条件和必要条件的定义即可得解. 【详解】因为不等式的解集是空集， 所以不等式的解集是， 当即 时， 若 ，则 ， 舍； 若 ，则 ， ； 当时，则 ，解得 ， 综上所述 ， 所以条件是条件的充分不必要条件． 故选：A． 32．（23-24高三上·浙江宁波·期末）设实数x，y满足，，不等式恒成立，则实数k的最大值为（    ） A．12 B．24 C． D． 【答案】B 【分析】令，不等式变形为，求出的最小值，从而得到实数的最大值. 【详解】，，变形为， 令， 则转化为 ，即， 其中      当且仅当，即时取等号，可知. 故选：B 【点睛】思路点睛：不等式恒成立问题，先分离参数后，然后利用基本不等式求最值. 利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件： （1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数； （2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值； （3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方. 33．（23-24高一上·辽宁大连·期末）已知x，y为正实数，且，则的最小值为（    ） A．24 B．25 C． D． 【答案】B 【分析】把变为，然后利用基本不等式中常数代换技巧求解最值即可. 【详解】因为x，y为正实数，且，所以 ， 当且仅当即时，等号成立，所以的最小值为25. 故选：B 34．（23-24高一上·浙江杭州·期中）2023年8月29日，华为在官方网站发布了Mate60系列手机，全系搭载麒麟芯片强势回归，5G技术更是遥遥领先，正所谓“轻舟已过万重山”.发布后的第一周销量约达80万台，第二周的增长率为a，第三周的增长率为b，这两周的平均增长率为x（a，b，x均大于零），则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据给定条件，列出等式，再利用基本不等式求解判断即可. 【详解】依题意，，而， 因此，当且仅当时取等号， 所以. 故选：B 35．（23-24高一上·北京东城·期中）已知不等式对任意的实数x恒成立，则实数k的取值范围为（　　 ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先对的取值进行分类讨论，在时，需结合二次函数的图象分析，得到与之等价的不等式组，求解即得. 【详解】因不等式对任意的实数x恒成立，则 ①当时，不等式为，恒成立，符合题意； ②当时，不等式在R上恒成立等价于，解得：. 综上可得：实数k的取值范围为. 故选：C. 36．（23-24高一上·湖北黄冈·期中）设集合或，集合，若中恰有两个整数，则实数的取值范围（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设，，分类讨论的整数的情况，求出参数的范围. 【详解】由题知，方程的两根异号，且两根之积为. 设，， ①若中恰有两个整数为，，则，解得； ②若中恰有两个整数为，， 则且，； ③若中有两个整数为，， 则且，； 综上可得 故选：B 二、多选题 37．（23-24高二下·湖南·期中）已知且，．则下列关系一定成立的有（    ） A． B． C． D． 【答案】AD 【分析】根据不等式的性质即可判断A选项，利用特殊值法可排除BC，利用作差比较法可判断D选项. 【详解】由题意可知，， 对于A，由，， 根据同向可加性得，故A正确； 对于B，取，验证B错误； 对于C，若，等式不成立，故C错误； 对于D，两式做差得， 因为， 所以， 所以，故D正确. 故选：AD. 38．（23-24高一上·江西抚州·期末）若正实数满足，则下列结论中正确的有（    ） A．的最小值为8． B．的最小值为 C．的最大值为． D．的最小值为． 【答案】ABC 【分析】利用基本不等式求解最值判断A，B，C，利用消元法结合二次函数求得最值判断D. 【详解】A选项，因为，且，所以， 所以，当且仅当时，等号成立， ，当且仅当时，等号成立，故A正确； B选项，因为 ， 当且仅当，即时取等号，故B项正确； C选项，， 当且仅当时取等号，所以，所以的最大值为，故C项正确； D选项，因为，当且仅当时取等号， 所以的最小值为，故D项错误． 故选：ABC. 【点睛】思路点睛：四个选项均要对所求式子进行变形，A，B，C选项利用“1”代换以及基本不等式求最值，同时也要注意取等条件是否成立，D选项由条件消元转换成二次函数求最值. 39．（23-24高一上·河南濮阳·阶段练习）已知实数a，b，c，则下列结论中正确的是（    ） A． B．若，则 C．若，则 D．若，则有最大值 【答案】ACD 【分析】举反例判断B，根据基本不等式判断ACD. 【详解】对于A，，当且仅当时等式成立，A正确； 对于B，当时，，满足，但是，B错误； 对于C，因为，所以， 所以，所以，C正确； 对于D，因为，所以有，当且仅当时等号成立， 所以， 当且仅当时等号成立，即有最大值，D正确． 故选：ACD． 40．（23-24高一上·浙江杭州·期中）下列不等式正确的有（    ） A．若，则函数的最小值为2 B．函数最小值为 C．当 D．最小值等于4 【答案】BC 【分析】AD选项，利用对勾函数的性质进行求解；BC选项，直接使用基本不等式或变形后使用基本不等式进行求解 【详解】A选项，令， 则， 由对勾函数性质可知，在上单调递增， 故， 故的最小值为，A错误； B选项，因为，所以， 故， 当且仅当，即时，等号成立， 故函数最小值为，B正确； C选项，当时，， 由基本不等式得， 当且仅当，即时，等号成立， 故，C正确； D选项，由对勾函数性质可知在上单调递减， 故，D错误. 故选：BC 41．（23-24高一上·广东珠海·期中）已知关于的不等式的解集为，，，则（　　） A． B． C．的解集是 D．的解集是或 【答案】CD 【分析】由题意可得1和5是方程的两根，且，利用韦达定理可得与的关系，然后逐项判断可得答案. 【详解】由题意可得和5是方程的两根，且， 由韦达定理可得，得， 对于A，因为，故A错误； 对于B，，故B错误； 对于C，不等式，即，即，得， ∴不等式的解集是，故C正确； 对于D，由不等式，得，即， 则，得或，即解集为或，故D正确. 故选：CD. 三、填空题 42．（23-24高一上·云南曲靖·期中）若且，则 0．（填“”、“”或“”） 【答案】 【分析】根据条件判断的符号，再结合，即可得出答案. 【详解】因为， 所以， 又因为， 所以， 故答案为：. 43．（23-24高一上·安徽马鞍山·期中）已知且，则的最小值为 . 【答案】 【分析】依题意可得，利用乘“1”法及基本不等式计算可得. 【详解】因为且，所以， 所以 ， 当且仅当，即，时取等号， 所以的最小值为. 故答案为： 44．（23-24高一上·江西南昌·阶段练习）已知且恒成立，实数的最大值是 ． 【答案】/ 【分析】将不等式转化，应用基本不等式求出最大值，即可得到答案. 【详解】由题意，， 所以转化为， 可得，即， 因为，当且仅当时等号成立， 所以实数的最大值是. 故答案为： 45．（2024高三·全国·专题练习）设为实数，若，则的最大值是 ． 【答案】 【分析】设，将已知函数用表示，整理成关于的一元二次方程，根据方程有解，用求出判别式法的范围即可. 【详解】由化简可得， 令，则，所以，即， 所以，解得， 所以的最大值是，此时，． 故答案为：. 46．（23-24高一上·北京·期中）某快递公司为提高效率，引进智能机器人分拣系统，以提高分拣效率和降低物流成本．已知购买台机器人的总成本为（单位：万元）．若要使每台机器人的平均成本最低，则应买机器人 台. 【答案】300 【分析】由总成本表示出平均成本，利用基本不等式求最小值和取最小值时的值. 【详解】购买台机器人的总成本为， 则平均成本， 当且仅当，即时，平均成本最低为2万元. 故答案为：300. 四、解答题 47．（23-24高一上·四川乐山·期中）已知函数． (1)求不等式的解集； (2)若，不等式恒成立，求的取值范围． 【答案】(1)或； (2) 【分析】（1）直接解不等式即可； （2）转化问题转化为恒成立，然后利用基本不等式求出的最小值即可. 【详解】（1）不等式，即为， 则有， 解得或， 所以不等式的解集为或． （2）不等式，即为， 所以，只需的最小值大于或等于即可， 因为， 当且仅当即时取等号． 所以的最小值为，所以， 故的取值范围是 48．（23-24高一上·河北石家庄·期中）解决下列问题. (1)已知关于的不等式的解集为，求实数的值； (2)若关于的不等式恒成立，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据三个二次之间的关系结合韦达定理运算求解； （2）分和两种情况，结合一元二次不等式的恒成立问题列式求解； 【详解】（1）因为关于的不等式的解集为， 可知，且和是关于的方程的两个实数根， 则，解得. （2）因为关于的不等式恒成立， 当时，成立， 当时，满足，解得， 综上：实数的取值范围 49．（23-24高一上·浙江杭州·期中）为了丰富学生的课余生活、给学生更好的校园生活体验，某高中决定扩大学校规模，为学生打造一所花园式的校园．学校决定在原有的矩形花园的基础上，拓展建成一个更大的矩形花园．为了方便施工，建造时要求点B在上，点D在上，且对角线过点C，如图所示．已知． (1)当的长度为多少时，矩形的面积最小？并求出最小面积． (2)要使矩形的面积大于，则的长应在什么范围内？ 【答案】(1)时，矩形的面积最小，最小面积2400 (2) 【分析】（1）设出的长为，则，表示出矩形面积的解析式，利用不等式求解； （2）化简矩形面积，利用基本不等式求解. 【详解】（1）设出的长为，则， ，，， ∴矩形的面积， 由基本不等式得：， 当且仅当时，取“=”，当,即时，； （2）由（1）得，即， ∴， ∴或， 的范围在． 50．（23-24高一上·江苏无锡·阶段练习）已知正实数满足． (1)求的最小值及此时的值； (2)求的最大值及此时的值； (3)求的最小值及此时的值． 【答案】(1)，此时 (2)的最大值是，此时 (3)的最小值是3，此时 【分析】（1）对已知等式两边平方结合基本不等式即可求解； （2）利用基本不等式推论即可求解； （3）将所求式子变形为，结合基本不等式即可求解. 【详解】（1）由基本不等式有， 所以，等号成立当且仅当满足题意； （2）由基本不等式推论有，等号成立当且仅当， 所以的最大值是； （3）一方面，另一方面，所以， 从而，等号成立当且仅当， 所以的最小值是3. 51．（23-24高一上·福建三明·期中）已知二次函数． (1)若关于的不等式的解集是，求实数，的值； (2)若，，解关于的不等式． 【答案】(1)，； (2)答案见解析. 【分析】（1）根据给定的解集，借助一元二次方程根与系数的关系列式计算即得. （2）分类讨论解一元二次不等式即得. 【详解】（1）由不等式的解集是， 得和是一元二次方程的两个实数根，且， 于是，解得，， 所以，. （2），不等式化为，即， 当，即时，解不等式，得或； 当，即时，不等式的解为； 当，即时，解不等式，得或， 所以当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为. 52．（23-24高一上·河北保定·期中）已知函数． (1)当时，解关于x的不等式； (2)若存在，使得不等式成立，求实数m的取值范围． 【答案】(1)答案见解析 (2) 【分析】（1）根据一元二次不等式解集的形式，结合分类讨论思想，求不等式的解集； （2）采用分离变量的方法，转化成求函数的最值. 【详解】（1）由. 若即，上式可化为：； 若即，上式可化为：； 若即，上式可化为：， 因为，所以：或. 综上可知：当时，原不等式的解集为：； 当时，原不等式的解集为：； 当时，原不等式的解集为：. （2）不等式即， 因为恒成立，所以：. 问题转化为：存在，使得成立，所以， 设， 当时，； 当时，，因为（当且仅当时取等号），所以. 所以 综上可知：的取值范围是 【点睛】求参数的取值范围问题，分离参数是常用的一种方法.通常把参数表示出来，而后转化为恒成立或存在性问题，通过求函数的值域或范围来求解. 1 学科网（北京）股份有限公司 $$