强化专题02 不等式恒成立、能成立问题（6大题型）-【初升高暑假衔接】2024-2025学年新高一数学【赢在暑假】同步精讲精练系列（人教A版2019必修第一册）

强化专题02　不等式恒成立、能成立问题 【方法技巧】 在解决不等式恒成立、能成立的问题时，常常使用不等式解集法、分离参数法、主参换位法和数形结合法解决，方法灵活，能提升学生的逻辑推理，数学运算等素养． 一、“Δ”法解决恒成立问题 (1)如图①一元二次不等式ax2＋bx＋c>0(a≠0)在R上恒成立⇔一元二次不等式ax2＋bx＋c>0(a≠0)的解集为R⇔二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象恒在x轴上方⇔ymin>0⇔ (2)如图②一元二次不等式ax2＋bx＋c<0(a≠0)在R上恒成立⇔一元二次不等式ax2＋bx＋c<0(a≠0)的解集为R⇔二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象恒在x轴下方⇔ymax<0⇔ 二、数形结合法解决恒成立问题 结合函数的图象将问题转化为函数图象的对称轴，区间端点的函数值或函数图象的位置(相对于x轴)关系求解．可结合相应一元二次方程根的分布解决问题． 三、分离参数法解决恒成立问题 通过分离参数将不等式恒成立问题转化为求函数最值问题． 四、主参换位法解决恒成立问题 转换思维角度，即把变元与参数变换位置，构造以参数为变量的函数，根据原变量的取值范围求解． 五、利用图象解决能成立问题 结合二次函数的图象，将问题转化为端点值的问题解决． 六、转化为函数的最值解决能成立问题 能成立问题可以转化为m>ymin或m<ymax的形式，从而求y的最大值与最小值，从而求得参数的取值范围． 【考点目录】 考点一、“Δ”法解决恒成立问题 考点二、数形结合法解决恒成立问题 考点三、分离参数法解决恒成立问题 考点四：一元二次不等式在某区间有解问题 考点五、利用图象解决能成立问题 考点六、一元二次不等式恒（能））成立综合问题 【例题详解】 题型一、“Δ”法解决恒成立问题 1．（23-24高一下·河南）若命题“，”为假命题，则实数a的取值范围是（    ） A．B．C．D． 2．（23-24高一下·湖南·期中）设命题p：，（其中m为常数），则“命题p为真命题”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 3．（23-24高二下·浙江·期中）关于的不等式的解集为，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D．或 题型二、数形结合法解决恒成立问题 4．（23-24高一上·辽宁·期中）关于的不等式的解集为，若，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 5．（23-24高一上·浙江绍兴·期中）已知函数，若对于都有成立，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 6．（23-24高一上·山东淄博·阶段练习）若命题“，”为假命题，则实数x的取值范围为（    ） A．B．C． D． 题型三、分离参数法解决恒成立问题 7．（23-24高一上·吉林长春·阶段练习）已知当时，不等式恒成立，则实数m的取值范围是（ ） A． B． C． D． 8．（23-24高一上·江苏常州·阶段练习）已知关于不等式恒成立，则实数的取值范围是（    ） A． B． C．或 D．或 9．（2023高一·全国·单元测试）若不等式对于恒成立，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 题型四：一元二次不等式在某区间有解问题 10．（22-23高一上·江苏宿迁·期末）若命题“，使得”为假命题，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 11．（22-23高一上·江苏徐州·期中）若正实数满足，不等式有解，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 12．（2023·河南·模拟预测）已知命题“，”为真命题，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 题型五、利用图象解决能成立问题 13．（22-23高一上·四川成都·阶段练习）若，且恒成立，则a的取值范围为（    ） A． B． C． D． 14．（22-23高一上·湖北武汉）已知函数，，若对于任意实数x，与至少有一个为正数，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 15．（22-23高一上·江苏常州）已知函数，，若它们同时满足条件：①，或；②，，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 题型六、一元二次不等式恒（能））成立综合问题 16．（2024高三·全国·专题练习）设函数 (1)若不等式对一切实数x恒成立，求a的取值范围； (2)解关于的不等式：． 17．（23-24高一上·云南德宏·期末）已知． (1)若恒成立，求实数的取值范围； (2)求不等式的解集． 18．（23-24高一上·安徽芜湖·期末）设函数，关于的一元二次不等式的解集为． (1)求不等式的解集； (2)若，求实数的取值范围． 【专题训练】 一、单选题 19．（23-24高三下·山东菏泽）已知条件：“不等式的解集是空集”，则条件： “”是条件的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 20．（23-24高一上·浙江金华·期末）若对于任意，不等式恒成立，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 21．（23-24高一上·山东日照·期末）若命题“，”是真命题，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 22．（23-24高一上·陕西咸阳·期末）“不等式在上恒成立”的一个必要不充分条件是（    ） A． B． C． D． 23．（23-24高一上·广东深圳·期末）已知命题“”是真命题，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 24．（23-24高一上·河南·期末）“”是“不等式对任意的恒成立”的（    ）条件 A．充分不必要 B．必要不充分 C．充分必要 D．既不充分也不必要 25．（23-24高一上·青海西宁·期末）若关于的不等式在上恒成立，则实数的取值范围是（    ） A． B． C．或 D． 26．（23-24高一上·河北沧州·期中）已知关于x的方程，则下列结论中正确的是（    ） A．当时，方程的两个实数根之和为 B．方程无实数根的充分不必要条件是 C．方程有两个正根的充要条件是 D．方程有一个正根一个负根的充要条件是 27．（23-24高一上·重庆·期中）若命题“”为真命题，则的取值范围是（    ） A． B． C．或 D．或 28．（23-24高一上·河北石家庄·期中）在上定义运算：．已知时，存在使不等式成立，则实数的取值范围为（　　） A． B． C． D． 二、多选题 29．（23-24高一上·安徽淮南·期末）若存在m，，使得的解集为或，则下列结论正确的是（   ） A．的解集为或 B．的解集为 C． D． 30．（23-24高一上·内蒙古呼伦贝尔·期末）命题“”是真命题的一个充分不必要条件是（    ） A． B． C． D． 31．（23-24高一上·山东临沂·期中）已知命题，，则命题P成立的一个充分不必要条件可以是（    ） A． B． C． D． 32．（23-24高一上·安徽合肥·期中）设，不等式恒成立的充分不必要条件可以是（    ） A． B． C． D． 33．（23-24高一上·河北邢台·阶段练习）已知函数，则下列叙述正确的是（    ） A．若对都有成立，则 B．若使得有解，则 C．若且使得，则 D．若的解集是，则 三、填空题 34．（23-24高一上·河北承德·期末）若不等式对一切实数都成立，则的取值范围为 . 35．（23-24高一上·湖北荆州·期末）若命题为真命题，则m的取值范围为 . 36．（23-24高一上·湖南郴州·期末），不等式恒成立，则实数的取值范围为 . 37．（23-24高一上·江苏盐城·期末）关于的不等式在上有解，则实数的取值范围是 . 38．（23-24高一上·云南迪庆·期末）已知二次函数，若对任意，若且不等式恒成立，则的最小值为 ． 四、解答题 39．（23-24高一上·陕西渭南·期末）设. (1)若不等式对一切实数恒成立，求实数的取值范围； (2)解关于的不等式. 40．（23-24高一上·湖南·期末）已知. (1)若不等式的解集是，求实数的值； (2)若不等式对一切实数恒成立，求实数的取值范围. 41．（23-24高一上·河南郑州·期末）已知函数. (1)若不等式对一切实数x恒成立，求a的取值范围； (2)解关于x的不等式. 42．（23-24高一上·湖北恩施·期末）已知函数. (1)当时，解关于的不等式； (2)若不等式对一切恒成立，求实数的取值范围. 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 强化专题02　不等式恒成立、能成立问题 【方法技巧】 在解决不等式恒成立、能成立的问题时，常常使用不等式解集法、分离参数法、主参换位法和数形结合法解决，方法灵活，能提升学生的逻辑推理，数学运算等素养． 一、“Δ”法解决恒成立问题 (1)如图①一元二次不等式ax2＋bx＋c>0(a≠0)在R上恒成立⇔一元二次不等式ax2＋bx＋c>0(a≠0)的解集为R⇔二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象恒在x轴上方⇔ymin>0⇔ (2)如图②一元二次不等式ax2＋bx＋c<0(a≠0)在R上恒成立⇔一元二次不等式ax2＋bx＋c<0(a≠0)的解集为R⇔二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象恒在x轴下方⇔ymax<0⇔ 二、数形结合法解决恒成立问题 结合函数的图象将问题转化为函数图象的对称轴，区间端点的函数值或函数图象的位置(相对于x轴)关系求解．可结合相应一元二次方程根的分布解决问题． 三、分离参数法解决恒成立问题 通过分离参数将不等式恒成立问题转化为求函数最值问题． 四、主参换位法解决恒成立问题 转换思维角度，即把变元与参数变换位置，构造以参数为变量的函数，根据原变量的取值范围求解． 五、利用图象解决能成立问题 结合二次函数的图象，将问题转化为端点值的问题解决． 六、转化为函数的最值解决能成立问题 能成立问题可以转化为m>ymin或m<ymax的形式，从而求y的最大值与最小值，从而求得参数的取值范围． 【考点目录】 考点一、“Δ”法解决恒成立问题 考点二、数形结合法解决恒成立问题 考点三、分离参数法解决恒成立问题 考点四：一元二次不等式在某区间有解问题 考点五、利用图象解决能成立问题 考点六、一元二次不等式恒（能））成立综合问题 【例题详解】 题型一、“Δ”法解决恒成立问题 1．（23-24高一下·河南）若命题“，”为假命题，则实数a的取值范围是（    ） A．B．C．D． 【答案】D 【分析】命题“，”为假命题，所以它的否定为真命题，建立不等式求解即可. 【详解】因为命题“，”为假命题， 所以它的否定“，”为真命题， 则，解得． 故选：D 2．（23-24高一下·湖南·期中）设命题p：，（其中m为常数），则“命题p为真命题”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】由全称量词命题为真命题，求出的范围，再利用充分条件、必要条件的定义判断即得. 【详解】由命题p为真命题，得，解得，显然， 所以“命题p为真命题”是“”的充分不必要条件. 故选：A 3．（23-24高二下·浙江·期中）关于的不等式的解集为，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D．或 【答案】B 【分析】由题意可知恒成立，根据判别式即可求出. 【详解】的解集为, 即恒成立， 当时，即，不符合题意， 当时，则’解得 综上所述，实数的取值范围是. 故选：B 题型二、数形结合法解决恒成立问题 4．（23-24高一上·辽宁·期中）关于的不等式的解集为，若，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】将问题转化为对于任意的，恒成立，根据一元二次不等式与二次函数的关系，即可求解. 【详解】由于,则对于任意的，恒成立， 设， 所以，解得, 故选：B 5．（23-24高一上·浙江绍兴·期中）已知函数，若对于都有成立，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用一元二次函数的图象与性质分析运算即可得解. 【详解】解：由题意，对于都有成立， ∴，解得：， 即实数的取值范围是. 故选：D. 6．（23-24高一上·山东淄博·阶段练习）若命题“，”为假命题，则实数x的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由题意可得：命题“”为真命题，根据恒成立问题结合一次函数运算求解. 【详解】由题意可得：命题“”为真命题， 即对恒成立， 则，解得或， 即实数的取值范围为. 故选：C. 题型三、分离参数法解决恒成立问题 7．（23-24高一上·吉林长春·阶段练习）已知当时，不等式恒成立，则实数m的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】分离参数，再结合基本不等式即可得解. 【详解】当时，不等式恒成立， 即当时，不等式恒成立， 而，当且仅当，即时取等号， 所以， 所以. 故选：B. 8．（23-24高一上·江苏常州·阶段练习）已知关于不等式恒成立，则实数的取值范围是（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】D 【分析】根据二次函数的性质求解最值，即可将问题转化为，解一元二次不等式即可求解. 【详解】不等式恒成立，所以，则， 令，，则，当时，取得最大值，最大值为0， 所以，解得或． 故选：D． 9．（2023高一·全国·单元测试）若不等式对于恒成立，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】原不等式可化为，设.只需求出在时的最小值，即可得出答案. 【详解】原不等式可化为， 设， 则， 当且仅当，且，即时，函数有最小值为2. 因为恒成立，所以. 故选：C. 题型四：一元二次不等式在某区间有解问题 10．（22-23高一上·江苏宿迁·期末）若命题“，使得”为假命题，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意可知“，使得”为真命题，然后参变分离，将问题转化为最值问题，利用基本不等式可解. 【详解】因为“，使得”为假命题， 所以“，使得”为真命题， 即在内有解，即. 因为， 当且仅当时等号成立， 所以，所以实数a的取值范围为. 故选：B 11．（22-23高一上·江苏徐州·期中）若正实数满足，不等式有解，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据基本不等式“1”的代换求最小值，再由不等式有解得，即可求参数范围. 【详解】由， 仅当，即时等号成立， 要使不等式有解，只需， 所以. 故选：B 12．（2023·河南·模拟预测）已知命题“，”为真命题，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由题知时，，再根据二次函数求最值即可得答案. 【详解】解：因为命题“，”为真命题， 所以，命题“，”为真命题， 所以，时，， 因为，， 所以，当时，，当且仅当时取得等号. 所以，时，，即实数的取值范围是 故选：C 题型五、利用图象解决能成立问题 13．（22-23高一上·四川成都·阶段练习）若，且恒成立，则a的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】转化为在恒成立，令，分、、讨论，再结合对称轴的位置和特殊点的函数值可得答案. 【详解】因为，所以， 即在恒成立， 令， 时， 由，方程无解； 由，解得由； 由，方程组无解； 时，只须即可，解得； 时，，时单调递减，，满足题意；综上所述，.故选：B. 14．（22-23高一上·湖北武汉·阶段练习）已知函数，，若对于任意实数x，与至少有一个为正数，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】分，，三种情况讨论，的正负情况，得到时符合题目要求，当时，恒成立，然后分，，，四种情况讨论，求的范围即可. 【详解】当时，，符合题目要求； 当时，，符合题目要求； 当时，，所以，即不等式在时恒成立， 当时，不等式为，解得，符合要求； 当时，不成立； 当时，的对称轴为，又，符合要求； 当时，的对称轴为，则，解得，所以； 综上所述，. 故选：D. 15．（22-23高一上·江苏常州·阶段练习）已知函数，，若它们同时满足条件：①，或；②，，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由①知当时，恒成立，由此可得二次函数开口方向及零点位置，由此可构造不等式组求得；由②知，，结合可确定两零点的范围，由此可得不等式求得；综合两种情况可得最终结果. 【详解】对于①，当时，成立，只需当时，恒成立即可， ，解得：； 对于②，当时，，则只需，即可； 令，解得：，； 由①得：，，， 若，，则只需，解得：； 综上所述：的取值范围为. 故选：D. 题型六、一元二次不等式恒（能））成立综合问题 16．（2024高三·全国·专题练习）设函数 (1)若不等式对一切实数x恒成立，求a的取值范围； (2)解关于的不等式：． 【答案】(1) (2)答案见解析 【分析】（1）对是否为零进行讨论，再结合二次函数的性质即可求解. （2）不等式化简为，根据一元二次不等式的解法，分类讨论即可求解. 【详解】（1）对一切实数x恒成立，等价于恒成立. 当时，不等式可化为，不满足题意. 当，有，即，解得 所以的取值范围是． （2）依题意，等价于， 当时，不等式可化为，所以不等式的解集为. 当时，不等式化为，此时，所以不等式的解集为. 当时，不等式化为， ①当时，，不等式的解集为； ②当时，，不等式的解集为； ③当时，，不等式的解集为； 综上，当时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为. 17．（23-24高一上·云南德宏·期末）已知． (1)若恒成立，求实数的取值范围； (2)求不等式的解集． 【答案】(1) (2)答案见解析 【分析】（1）由恒成立，即恒成立，即得，从而可求解. （2）由即，然后对分情况讨论，从而可求解. 【详解】（1）∵ 恒成立， ∴ 对恒成立， 故，化简得，解得， 故实数的取值范围. （2），即； 当时，不等式的解为或， 当时，不等式的解为或， 当时，不等式的解为. 18．（23-24高一上·安徽芜湖·期末）设函数，关于的一元二次不等式的解集为． (1)求不等式的解集； (2)若，求实数的取值范围． 【答案】(1)或 (2)． 【分析】（1）利用韦达定理求参数后再解不等式即可. （2）对变量范围进行讨论，分离参数法求解参数即可. 【详解】（1）因为一元二次不等式的解集为， 所以和1是方程的两个实根，则， 解得．因此所求不等式即为：，解集为或． （2）可化为：，当时显然成立； 当时，对恒成立， 令，则， 当，即时， 所以，即． 【专题训练】 一、单选题 19．（23-24高三下·山东菏泽）已知条件：“不等式的解集是空集”，则条件： “”是条件的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】先分和两种情况讨论求出的范围，再根据充分条件和必要条件的定义即可得解. 【详解】因为不等式的解集是空集， 所以不等式的解集是， 当即 时， 若 ，则 ， 舍； 若 ，则 ， ； 当时，则 ，解得 ， 综上所述 ， 所以条件是条件的充分不必要条件． 故选：A． 20．（23-24高一上·浙江金华·期末）若对于任意，不等式恒成立，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据给定条件，求出函数在上的最大值即得. 【详解】令函数，显然在上单调递减，， 因为任意，不等式恒成立，于是， 所以. 故选：A 21．（23-24高一上·山东日照·期末）若命题“，”是真命题，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据全称命题为真命题可得，即可求得实数m的取值范围. 【详解】由“，”是真命题可知， 不等式，恒成立，因此只需，， 易知函数在上的最小值为1，所以. 即实数m的取值范围是. 故选：C. 22．（23-24高一上·陕西咸阳·期末）“不等式在上恒成立”的一个必要不充分条件是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先求出不等式恒成立的充要条件，然后逐项判断即可. 【详解】因为“不等式在上恒成立”， 显然不满足题意， 所以，解得， 则“不等式在上恒成立”等价于， 故要找的必要不充分条件需要被推出. 对于A，是充要条件，故A错误； 对于B，因为推不出，故B错误； 对于C，因为，反之不能推出，故C正确； 对于D，因为推不出，故D错误． 故选：C． 23．（23-24高一上·广东深圳·期末）已知命题“”是真命题，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由题意可得，即可得解. 【详解】因为命题“”是真命题， 所以，解得， 所以实数a的取值范围是. 故选：D. 24．（23-24高一上·河南·期末）“”是“不等式对任意的恒成立”的（    ）条件 A．充分不必要 B．必要不充分 C．充分必要 D．既不充分也不必要 【答案】A 【分析】先根据不等式恒成立得出.比较，即可得出答案. 【详解】当时，对任意的恒成立； 当时，要使不等式对任意的恒成立， 则应有，解得. 综上所述，的取值范围为. 显然“”包含的范围包含于“”包含的范围， 所以，“”是“不等式对任意的恒成立”的充分不必要条件. 故选：A. 25．（23-24高一上·青海西宁·期末）若关于的不等式在上恒成立，则实数的取值范围是（    ） A． B． C．或 D． 【答案】A 【分析】利用二次不等式恒成立问题的解法，分类讨论与即可得解. 【详解】因为在上恒成立， 当时，得，显然成立； 当时，要使问题成立则，解得； 综上，实数的取值范围为. 故选：A. 26．（23-24高一上·河北沧州·期中）已知关于x的方程，则下列结论中正确的是（    ） A．当时，方程的两个实数根之和为 B．方程无实数根的充分不必要条件是 C．方程有两个正根的充要条件是 D．方程有一个正根一个负根的充要条件是 【答案】B 【分析】由判断A；利用方程对应函数的性质列不等式组求参数范围，结合充分、必要性定义判断B、C、D. 【详解】A：由题设，显然无解，错； B：若方程无实根，则，即， 所以是方程无实数根的充分不必要条件，对； C：令，要使方程有两个正根， 所以，可得，故不是充要条件，错； D：同C分析， ，可得，故不是充要条件，错. 故选：B 27．（23-24高一上·重庆·期中）若命题“”为真命题，则的取值范围是（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】D 【分析】命题为真命题转化为二次不等式有解问题，再转化为二次函数图象与轴有交点得，由此解得的取值范围. 【详解】由题意，不等式有解. 即不等式有解. 设，则函数图象开口向上， 要使不等式有解，则函数图象与轴有交点， 则，化简得， 解得，或. 故选：D. 28．（23-24高一上·河北石家庄·期中）在上定义运算：．已知时，存在使不等式成立，则实数的取值范围为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】依题意可得当时存在使不等式成立，令，，根据二次函数的性质求出的最大值，即可得到，解得即可. 【详解】依题意不等式，即， 即， 则当时存在使不等式成立， 即当时存在使不等式成立， 令，， 因为在上单调递减，在上单调递增， 且、、，所以， 所以，解得，即实数的取值范围为. 故选：A 二、多选题 29．（23-24高一上·安徽淮南·期末）若存在m，，使得的解集为或，则下列结论正确的是（   ） A．的解集为或 B．的解集为 C． D． 【答案】AD 【分析】AB选项，根据不等式解集得到的解集为，的解集为或；C选项，根据韦达定理得到，，得到；D选项，根据和，得到答案. 【详解】AB选项，因为，故， 由题意得的解集为， 的解集为或，A正确，B错误； C选项，的两个根为，的根为， 故，，， 由于，，故，所以，C错误； D选项，因为，， 故，两边平方得，D正确. 故选：AD 30．（23-24高一上·内蒙古呼伦贝尔·期末）命题“”是真命题的一个充分不必要条件是（    ） A． B． C． D． 【答案】BCD 【分析】先将恒成立问题转化为最值问题求出的范围，然后利用充分不必要条件的概念选择答案. 【详解】， 则对都成立， 又，所以， 观察选项可得命题“”是真命题的一个充分不必要条件是BCD. 故选：BCD. 31．（23-24高一上·山东临沂·期中）已知命题，，则命题P成立的一个充分不必要条件可以是（    ） A． B． C． D． 【答案】CD 【分析】考虑和的两种情况，得到，命题P成立的一个充分不必要条件是的真子集，对比选项得到答案. 【详解】恒成立， 当时，，成立； 当时，，解得； 综上所述：， 命题P成立的一个充分不必要条件是的真子集，CD满足. 故选：CD. 32．（23-24高一上·安徽合肥·期中）设，不等式恒成立的充分不必要条件可以是（    ） A． B． C． D． 【答案】AB 【分析】先求出不等式恒成立时的a的范围，由题意可知所选不等式对应的集合应为a的范围对应集合的真子集，结合选项即可判断出答案. 【详解】当时，不等式为，满足题意； 时，不等式恒成立，则必有且， 解得，故a的取值范围为， 由题意知所选不等式恒成立的充分不必要条件中不等式相应集合应为的真子集， 结合选项可知，所对应集合为的真子集， 故选项A，B满足条件， 故选：AB 33．（23-24高一上·河北邢台·阶段练习）已知函数，则下列叙述正确的是（    ） A．若对都有成立，则 B．若使得有解，则 C．若且使得，则 D．若的解集是，则 【答案】ACD 【分析】根据不等式恒成立以及不等式在区间上有解，转化为求判别式的符号以及函数的最值问题，即可判断A、B；根据方程或不等式解（集）的情况，结合一元二次不等式与一元二次方程的关系，列出关系式，求解即可判断C、D. 【详解】对于A项，由已知可得，，即，解得，故A项正确； 对于B项，由已知可得使得有解， 即在上有解，只需即可. 设， ，且， 则. 因为，且， 所以，且， 所以，，. 所以，在上单调递减， 所以，，所以，故B错误； 对于C项，由已知可得，有两个不相等正实根， 则，所以，故C项正确； 对于D项，由已知可得，1和4是方程的两个根， 则，解得，故D项正确. 故选：ACD. 三、填空题 34．（23-24高一上·河北承德·期末）若不等式对一切实数都成立，则的取值范围为 . 【答案】 【分析】分，和三种情况讨论不等式，列式求解. 【详解】当时，，不等式成立. 当时，二次函数的图象开口向上，不等式不可能恒成立. 当时，二次函数的图象开口向下，若不等式对一切实数都成立，则，解得. 综上，的取值范围为. 故答案为： 35．（23-24高一上·湖北荆州·期末）若命题为真命题，则m的取值范围为 . 【答案】 【分析】利用二次函数性质求解可得. 【详解】由题意，不等式有解，即不等式有解， 设，则函数图象开口向上， 要使不等式有解，则函数图象与轴有交点， 则，化简得，解得或． 故答案为： 36．（23-24高一上·湖南郴州·期末），不等式恒成立，则实数的取值范围为 . 【答案】 【分析】将不等式转化为对恒成立，利用基本不等式求解最值即可. 【详解】，不等式恒成立，即， 由于函数，当且仅当，即时等号成立， 故，即，则， 故答案为： 37．（23-24高一上·江苏盐城·期末）关于的不等式在上有解，则实数的取值范围是 . 【答案】 【分析】根据题意将不等式转化为在能成立即可，再由二次函数性质求出即可得的取值范围是. 【详解】由不等式以及可得， 依题意可知即可， 令， 又，由可得， 利用二次函数性质可知，即可得； 即实数的取值范围是. 故答案为： 38．（23-24高一上·云南迪庆·期末）已知二次函数，若对任意，若且不等式恒成立，则的最小值为 ． 【答案】8 【分析】根据一元二次不等式的解集性质，结合换元法、基本不等式进行求解即可. 【详解】因为不等式恒成立， 所以，可得，因为，所以由， 设，因为，所以，则有 当且仅当时取等号，即当时取等号，即当时取等号， 故答案为： 【点睛】关键点睛：本题的关键是根据一元二次不等式的解集性质得到，进而利用换元法、基本不等式进行求解. 四、解答题 39．（23-24高一上·陕西渭南·期末）设. (1)若不等式对一切实数恒成立，求实数的取值范围； (2)解关于的不等式. 【答案】(1) (2)答案见解析 【分析】（1）讨论a是否为0，不为0时，结合一元二次不等式恒成立列出不等式组，即可求得答案； （2）将化简为，分类讨论，比较的大小，即可得答案. 【详解】（1）不等式对一切实数恒成立，即对一切实数恒成立， 当时，即，满足题意； 当时，需满足，解得； 故实数的取值范围为； （2）由可得，即， 即 当，即时，的解集为； 当，即时，的解集为； 当，即时，的解集为； 故原不等式的解集为：当时，解集为； 当时，解集为； 当，时，解集为； 40．（23-24高一上·湖南·期末）已知. (1)若不等式的解集是，求实数的值； (2)若不等式对一切实数恒成立，求实数的取值范围. 【答案】(1)1 (2) 【分析】（1）根据二次不等式的解集与二次方程的根的关系可得参数； （2）这个不等式恒成立，首先讨论时，能不能恒成立，其次在时，这是二次不等式，结合二次函数的性质可求解． 【详解】（1）由题意可知，和3是方程的两根，且， 所以，解得. （2）由题可得，即对一切实数恒成立， 当时，不等式化为，不符合题意； 当时，有解得， 综上可知，实数的取值范围为. 41．（23-24高一上·河南郑州·期末）已知函数. (1)若不等式对一切实数x恒成立，求a的取值范围； (2)解关于x的不等式. 【答案】(1) (2)答案见解析 【分析】（1）把恒成立问题转化为对于一切实数x恒成立，用判别式法列式求解即可； （2）分类讨论解一元二次不等式即可. 【详解】（1）由题意，不等式对于一切实数x恒成立， 等价于对于一切实数x恒成立，所以， 解得. （2）不等式等价于． 当即时，不等式可化为，原不等式的解集； 当即时，不等式可化为，原不等式的解集为：； 当即时，不等式可化为，此时． 综上所述：①当时，不等式的解集为； ②当时，不等式的解集为； ③当时，不等式的解集为. 42．（23-24高一上·湖北恩施·期末）已知函数. (1)当时，解关于的不等式； (2)若不等式对一切恒成立，求实数的取值范围. 【答案】(1)答案见解析 (2) 【分析】（1）先把二次不等式化为，然后分类讨论解不等式即可； （2）参变分离，把恒成立问题转化为的最大值问题，换元后利用基本不等式求解即可. 【详解】（1）因为， 所以不等式， 可化简为：， ①当时，不等式化为， ②当即时，， 方程的两个根为，1.则不等式的解为或， ③当即时，， 方程的两个根为，1.则不等式的解为， 综上所述：当时，不等式的解集为， 当时，不等式的解集为， 当时，不等式的解集为. （2）不等式即， 即对恒成立，令，所以， 因为，当且仅当时取“＝”， 所以，当且仅当时取“＝”， 所以的取值范围为. 1 学科网（北京）股份有限公司 $$