浙江省宁波市九校2023-2024学年高二下学期期末联考数学试题

绝密★考试结束前 宁波市2023学年期末九校联考高二数学试题 第二学期 第I卷 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合 题目要求的 1.己知平面a,B,y,a∩B=l,B∩y=m,y∩a=n.则“1，m,n两两垂直”是“a,B,y 两两垂直”的 A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 2.给出四组成对数据：(1)(-2，-3)，(-1，-1)，(0,1)，(L,3):(2)(0,0),(1,1),(2,4),(3,9): (3)(2,0),1,√5)，(0,2)，(-1，√5)：(4)(0,0)，(-1，)，(-2,2)，(-3,3)，其中样本相关系 2x-0-列 数最小的是（提示：样本相关系数r= ②-2- A.(1) B.(2) C.(3) D.(4) 。己知函数f)=a(a>0,且a≠）的图象过点亿，4)，g)是fd)的反函数，则函数8 A.既是奇函数又是减函数 B.既是奇函数又是增函数 C.既是偶函数又是减函数 D.既是偶函数又是增函数 4.已知函数fW)=5 2Snx+0s式，先将函数出)的图象上所有点的横坐标伸长为原来的2侣 2 2 (纵坐标不变)，再将所得的图象向右平移”个单位长度，得到函数g(x)的图象，则 A.g()=sin5x+)+1 12 B.g(x)=sin(2x-)+1 1 C.g(x)=sinx+1 D.g(x)=sin 2x+1 5.在△ABC中，己知sinB =2c0sA, cosB sinC cosC =2sinA,则tan(π+B)= A.1 B.2 C.3 D.4 6.己知P(B)=0.1,P(A|B)=0.5,P(A|B)=0.3,则P(A)= A.0.05 B.0.27 C.0.68 D.0.32 7.在正三棱锥A-BCD中，侧棱AB=25,点E在棱BC上，且BE=BC=√2.若球O是正三棱 锥A-BCD的外接球，过点E作球O的截面α，则所得的截面中，面积最小的截面的面积为 A.9π B.10元 C.11π D.12π 宁波市九校联考高二数学试题第1页共4页 8.已知实数1,2,3,4,5,6,7，将这7个数适当排列成一列数a,a2,…,a2, 满足a,<a2<a>a4>a,<as<a,,则满足要求的排列的个数为 A.58 B.71 C.85 D.96 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。 全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9.己知关于x的方程x2++1=0t∈R)在复数范围内的根为x,x.若引x-x2上2，则实数t的值可 能为 A.22 B.1 C.0 D.-22 10.高考数学试题第二部分为多选题，共3个小题，每小题有4个选项，其中有2个或3个是正确 选项，全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分.若正确答案是2个选项，只选对 1个得3分，有选错的得0分：若正确答案是3个选项，只选对1个得2分，只选对2个得4 分，有选错的得0分，小明对其中的一道题完全不会，该题有两个正确选项的餐率是】，记X为 小明随机选择1个选项的得分，记Y为小明随机选择2个选项的得分，则 A.P(X=0)>P(Y=0) B.P(X=3)=P(Y=4) C.E(X)=E(Y) D.D(X)>D(Y) 11.已知0-x)205=a+4x+a,x2++a2sx2025,则 A.展开式的各二项式系数的和为0 B.a1+a2+…+a2025=-] C.2225a+22024a+220a2+…+a2s=l D.+L++L 4142 a2025 第Ⅱ卷 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12.已知集合M={2,0,-1},N={x‖x-ak1}.若M∩N的真子集个数是3，则实数a的取值范围是 ▲- 13.已知平面向量a6,c满足1aH1,a与石的夹角为120°，1d),对任意的实数， |a+kb+C的最小值为▲ 14.已知定义在R上的函数f(x)满足下列两个条件： Df(x+y)=f(x)+f(y)-3xy(x+y):2Vx>0,f(x)+x>0. 请你写出一个符合要求的函数解析式▲ 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15.(13分)已知函数f)=3x-2 1-x (I)设g(x)=f(x+a)+b,若g(x)是奇函数，求a,b的值，并证明： 2 (IⅡ)已知函数h(x)= x+1+号m,xeH,0 若关于x的方程h(x)=mx在[-1，)内恰有两个不同 ()+me[0,1) 解，求实数m的取值范围. 宁波市九校联考高二数学试题第2页共4页 16.(I5分)如图，在三棱锥D-ABC中，CD⊥平面ABC,BC=L,BA=2,B是以AC为直径的 圆周上的一点，M,N分别是BD,AD上的动点，且MN∥平面ABC,二面角C-AB-D的 大小为45° (I)求证：MW∥AB: (II)求证：MN⊥平面BCD: (Ⅲ)当直线CN与平面ABD所成的角最大时，求AN的值. 17.(15分)4月23日是联合国教科文组织确定的“世界读书日”.为了解某地区高一学生阅读时间 的分配情况，从该地区随机抽取了500名高一学生进行在线调查，得到了这500名学生的日平 均阅读时间（单位：小时），并将样本数据分[0,2]，(2,4，(4,6，(6,8，(8,10]，(10,12]，(12,14]， (14,16],(16,18]九组，绘制成如图所示的频率分布直方图. (I)估计该地区高一学生阅读时间的上四分位数： (Ⅱ)为进一步了解这500名学生数字媒体阅读时间和纸质图书阅读时间的分配情况，从日平均 阅读时间在(4,6，(810二组内的学生中，采用分层抽样的方法抽取了20个学生，得到 均值为8，方差为375，现在己知(4,6这一组学生的均值为5，方差为2：求(8,10这一组 学生的均值和方差： (Ⅲ)以样本的频率估计概率，从该地区所有高一学生中随机抽取10名学生，用P(k)表示这10 名学生中恰有k名学生日平均阅读时间在(8,14内的概率，其中k=0,1,2,,10.当 P(k)最大时，写出k的值，并说明理由. 频率 组距 0.15 a 0.05 0.02 001 024681012141618日苹均阅读时间/小时 宁波市九校联考高二数学试题第3页共4页 18.(17分)在△ABC中，角A,B,C所对的边分别为a,b,c,已知V2bsiC=c. (I)若tanA=tanB+tanC,a=3,求△ABC的面积： (Ⅱ)若B为锐角，△ABC外接圆半径是√2，求△ABC的内切圆半径的最大值. 19.(17分) ()我们学过组合恒等式C=C”+C-1,实际上可以理解为C,=CC+C-C,请你利用 这个观点快速求解：CC+CC+CC+CC+CC;+CC,(计算结果用组合数表示) m)D求证：C-c (i)求值： 罗c 乙2025-n 命题：慈溪中学张岚 审题：鄞州中学虞淑明 宁波市九校联考高二数学试题第4页共4页 宁波市2023学年期末九校联考高二数学参考答案 第二学期 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符 合题目要求的. 题目 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 D B A A B B 二、选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分在每小题给出的选项中，有多项符合题目要 求全部选对的得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分， 题目 9 10 11 答案 ACD BC BCD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 12.-1<a<0 13. 31 22 14.分析f(2x)=2f(x)-6x,f(2x)+(2x)3=2[f(x)+x] 设f(x)+x=kx(k>0),所以fx)=-x+kx(k>0) 四、解答题：本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 15.(13分) 解： ①法：=3，所以g0d +b-3, x+a-1 …1分 因为g(x)是奇函数，所以g(-x)=-g(x), 2分 所以、1 +b-3=-1+b-3引 -x+a-1 x+a-1 整理得：2-2a+(6-2b)[x2-(a-)]=0 4分 所以 6-2b=0’所以a=1 2-2a=0 b=3 6分 法二：g(x)=- +b-3, x+a-1 因为奇函数的定义域关于原点对称，所以a-1=0,则a=1, …2分 取-g(0=g(-)得b=3,4分 再验证g()=-是奇函数，所以=1 b=3 .6分 宁波市九校联考高二数学参考答案第1页共4页 x+1,x∈[-1,0) 2 (IⅡ)k(x)= (1-xE[0.1) 3x-2 和y=mr-子m两个函数图象有两个交点 .8分 f= -f)=9, 1 10分 (或3r-2 2 2 1-x mx- m,得到mr+写m-3+号m-2=0,由△=0，解得m=9） 3 又y=mr- m也经过定点(，0， 由图可知m的取值范国是(，UB9Ug,+树 13分 16.(15分) 解： (I)因为MN∥平面ABC,MNc平面ABD,平面ABC∩平面ABD=AB, 所以MW∥AB 3分 (I)因为CD⊥平面ABC,CDC平面BCD, 所以平面ABC⊥平面BCD, 因为B是以AC为直径的圆周上一点，所以AB⊥BC, 又平面ABC∩平面BCD=BC,ABC平面ABC, 所以AB⊥平面BCD, 6分 由(I)可得MN/AB 7分 所以MN⊥平面BCD. (II)由(I)可知AB⊥平面BCD,ABC平面ABD,所以平面ABD⊥平面BCD.9分 取BD中点M,因为△BCD是等腰直角三角形，则CM⊥BD,则BC=LCM= 2 由面面垂直性质定理可得CM⊥平面ABD, 所以CN在平面ABD上的射影为NM, 则直线CN和平面ABD所成的角为∠CNM. .12分 sim∠CNM=CW.所以当CN最小时，∠CNM最大， CN 此时AD=V6,AN=4C=乏6. AD 6 15分 17.(15分) 解： (I)由频率分布直方图得： 2(0.02+0.03+0.05+0.05+0.15+a+0.05+0.04+0.01)=1,解得a=0.10,2分 0.6+(x-10)×0.1=0.75,解得x=11.5 .4分 (Ⅱ)按分层抽样(4,6]，(8,10]二组内的学生抽取的学生分别为5人，15人 .5分 设(8,10]这一组的平均值x,方差y 5×5+x×15 =8→x=9 20 .7分 宁波市九校联考高二数学参考答案第2页共4页 所以总体方差是05x2+(6-81+15x心+0-8=3.75，解得y月 10分 (Ⅲ)以样本的频率估计概率，该问题是二项分布问题， 由频率分布直方图可知(8,14]内的概率是0.6 11分 由 [P(k)≥P(k-1) .13分 P(k)2P(k+) 得 ∫C%0.60.40-2C%0.6-0.41- Ci60.60.40-≥C0.6+0.4t 解得5.6≤k≤6.6 所以当P(k)最大时，k=6 15分 18.(17分) 解： (D由v2 bsinC=c得2 sin BsinC=sinC,所以snB=2 因为B∈0，)，所以B=不，或B=3如 4 4 2分 (i)当B=T时，tanA=l+tanC 4 因为-tamB=tan(A+C)=an4+anC,所以am4anC-l=tanA+ianC 1-tan AtanC 化简得tan2C-tanC-2=0,所以tanC=-1,或tanC=2 ①当tanC=-1时，∠C=3亚（舍去） ②当tanC=2时，作AD⊥BC于D,易得AD=2,此时Sc=3 .5分 )当8-还时，m4=-1+mC 类似可得：-tan AtanC+I=tanA+tanC 化简得：tan2C+tanC-2=0,所以tanC=1,或者tanC=-2, ①当tanC=l,C=元，tanA无意义，舍去： 4 ②当tanC=-2,C为钝角，舍去 ….8分 综上得S△Bc=3. ()由(D可知B=,b=2√2sin亚=2 4 记△ABC内切圆半径为得r, 因为)acsin B=a+b+cr,所以r=acsinB=5 ac a+b+c 2a+c+210分 π 因为b2=a2+c2-2 ac cos-”,所以4=(a+c)2-(2+V2)ac, 即ac=a+c2-4 2+V2 .12分 宁波市九校联考高二数学参考答案第3页共4页 所以r=2ac。-巨.1a+e-4.1 2a+c+222+V2a+c+220+√2) a+c-2) 16 由4=a+or-2+2ac≥e+o-2+2a+a,得a+c≤2 4 .15分 -6--4-25-5- 1 所以=20 当且仅当a=c时取等， 17分 19.(17分) 解： (1)Ci 5分 n nk!k！k .7分 (ii) 罗-r 4+0c+…+0 、1 1 台2025-n 0 2025 c+2025c2 2025c2ma+ 3c) 2025 2024+ 2023023 2022 9分 75lc。-c+c-c++c) 1012 2aC及C+C 1012 1013 1013 由（①）得C=C, n 则有-c品c-Ca…83c-c 原式 sl。Ga+c-ca++c）(c-Ca+c-…-G】 .11分 构造数列{an},令an=C-C+C2-C,+… 则a1=C01-C+C2-C2+… 所以a1-a,=(C1-C+C2-C2,+…）-(C8-C+C,-C+…） =(C9-C)-(C-C)+(C2-C2)-(C22-C)+… =-C8+C2-C2+…=-0 所以anl=an-an’即an2=al-a,=(an-a-i)-a.=-a-, .14分 即a3=-a。,所以a6=-aa3=a,即数列{an}是周期为6的数列. 又因为a,=1,a2=0,a,=-1，a=-1，a5=0,a6=1,…a3=a=1，as=a=-1 5-Cas4w)产25%-a=7 所以： 1 2 62025-n 2025 17分 宁波市九校联考高二数学参考答案第4页共4页