陕西省西安中学2023-2024学年高二下学期期末考试数学试题

西安中学 高二年级 数学试题 第 页 共 6 页1 西安中学 2023-2024 学年度第二学期期末考试 高二数学试题 （时间：120 分钟 满分：100 分） 命题人：李珍 一、选择题(本题共 8小题，每小题 3.5分，共 28分．在每小题给出的四个选项中， 只有一项是符合题目要求的) 1.曲线 2( ) 3 e xf x x  在  0, 1 处的切线方程为（ ） A． 1 0x y   B． 1 0x y   C． 1 0x y   D． 1 0x y   2.若随机变量 ~ (3,9)N ， (1 3) 0.35P    ，则 ( 5)P    ( ) A. 0.15 B. 0.3 C. 0.35 D. 0.7 3.随机变量 X的分布列如下： X 2 1 2 P a b 1 2 若 ( ) 1E X  ，则 ( )D X  ( ) A. 0 B. 2 C. 3 D. 4 4.若 4 3 1x x      的二项展开式中常数项为( ) A. 1 B. 2 C. 4 D. 6 5.甲辰龙年春节哈尔滨火爆出圈，成为春节假期旅游城市中的“顶流”．甲、乙等 6名网红主播 在哈尔滨的中央大街、冰雪大世界、圣索菲亚教堂、音乐长廊 4个景点中选择一个打卡游玩， 若每个景点至少有一个主播去打卡游玩，每位主播都会选择一个景点打卡游玩，且甲、乙都单 独 1人去某一个景点打卡游玩，则不同游玩方法有( ) A. 96种 B. 132种 C. 168种 D. 204种 6.某高中为增强学生的海洋国防意识，组织本校 1000名学生参加了“逐梦深蓝，山河荣耀”的国 防知识竞赛，从中随机抽取 200名学生的竞赛成绩（单位：分），成绩的频率分布直方图如图 1 所示，则下列说法正确的是（ ） 西安中学 高二年级 数学试题 第 页 共 6 页2 图 1 ①频率分布直方图中 a的值为 0.005 ②估计这 200名学生竞赛成绩的第 60百分位数为 80 ③估计这 200名学生竞赛成绩的众数为 78④估计总体中成绩落在 60,70 内的学生人数为 150 A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②④ 7.质数 ( )prime number 又称素数，一个大于 1的自然数，除了 1和它本身外，不能被其他自然 数整除，则这个数为质数，数学上把相差为 2的两个素数叫做“孪生素数”，在不超过 30的自然 数中，随机选取两个不同的数，记事件 A  “这两个数都是素数”；事件 B  “这两个数不是孪生 素数”，则  |P B A  ( ) A. 11 15 B. 37 45 C. 43 45 D. 41 45 8.“杨辉三角”是我国数学史上的一个伟大成就，是二项式系数在三角形中的一种几何排列.如 图2所示，去除所有为1的项，依此构成数列 2,3,3,4,6,4,5,10,10,5,，则此数列的前45项的 和为（ ） 图 2 A.2026 B.2025 C.2024 D.2023 西安中学 高二年级 数学试题 第 页 共 6 页3 二、选择题(本题共 3小题，每小题 4分，共 12分．在每小题给出的四个选项中， 有多项符合题目要求．全部选对得 4分，有选错的得 0分，部分选对得 2分.) 9.某车间加工同一型号零件，第一、二台车床加工的零件分别占总数的 30%， 70%，各自产 品中的次品率分别为 6%，5%.记“任取一个零件为第 i台车床加工 ( 1, 2)i  ”为事件 iA，“任取 一个零件是次品”为事件 B，则( ) A. ( ) 0.053P B  B. 1( | ) 0.05P B A  C. 2( ) 0.035P A B  D. 2 35( | ) 53 P A B  10.2024年 6月 18日，很多商场都在搞促销活动．西安市物价局派人对 5个商场某商品同一天 的销售量及其价格进行调查，得到该商品的售价 x元和销售量 y件之间的一组数据如下表所示： x 90 95 100 105 110 y 11 10 8 6 5 用最小二乘法求得 y关于 x的经验回归直线是 ˆ ˆ0.32y x a   ，相关系数 0.9923r   ，则下列说 法正确的有( ) A. 变量 x与 y负相关且相关性较强 B. ˆ 40a  C. 当 85x  时，y的估计值为 13 D. 相应于点 (105,6)的残差为 0.4 11.关于函数 2( ) lnf x x x   ，下列判断正确的是（ ）． A. 2x  是 ( )f x 的极小值点 B. 函数 ( )y f xx  有且只有 1个零点 C. 存在正实数 ，使得 ( )f x kx 恒成立 D. 对任意两个正实数 1 2,x x ，且 1 2x x ，若 1 2( ) ( )f x f x ，则 1 2 4x x  三、填空题(本题共 3小题，每小题 4分，共 12分．把答案填在答题卡上的相应位 置.) 12.五行是中国古代的一种物质观，多用于哲学、中医学和占卜方面，五行指金、木、水、火、 土． 现将“金、木、水、火、土”排成一排，则“木、土”相邻的排法种数是__________种. 西安中学 高二年级 数学试题 第 页 共 6 页4 13.若函数 2( ) lnf x x x a x   在 (1, ) 上单调递增，则实数 a的取值范围为__________. 14.已知二项式 (1 2 )nx 的二项式系数和为 32.给出下列四个结论： ① 5n  ②展开式中只有第三项的二项式系数最大 ③展开式各项系数之和是 243 ④展开式中的有理项有 3项 其中，所有正确结论的序号是__________. 四、解答题(本题共 5小题，共 48分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．) 15.（本小题满分 8分）当前，以 ChatGPT为代表的 (AIGC 利用 AI技术自动生成内容的生产方 式 )领域一系列创新技术有了革命性突破.全球各大科技企业都在积极拥抱 AIGC，我国的 (BAT 百度、阿里、腾讯 3个企业的简称 )、字节跳动、万兴科技、蓝色光标、华为等领头企业已纷 纷加码布局 AIGC赛道，某传媒公司准备发布《2023年中国 AIGC发展研究报告》，先期准备 从上面 7个科技企业中随机选取 3个进行采访.记选取的 3个科技企业中 BAT中的个数为 X，求 X的分布列与期望. 16.（本小题满分 8分）下表是某单位在 2024年1~ 5月份用水量 (单位：百吨 )的一组数据： 月份 x 1 2 3 4 5 用水量 y 2.5 3 4 4.5 5.2 (1)从这 5个月中任取 2个月的用水量，求所取 2个月的用水量之和不超过 7(单位：百吨 )的概 率； (2)若由经验回归方程得到的预测数据与实际数据的误差不超过 0.05，视为“预测可靠”，那么 由该单位前 4个月的数据所得到的经验回归方程预测 5月份的用水量是否可靠?说明理由． 参考公式：对于一组数据  1 1,x y ，  2 2,x y ，   ，  ,n nx y ，其回归直线 ˆˆ ˆy bx a  的斜率和截 距的最小二乘估计公式分别为：      1 1 2 2 2 1 1 ˆ n n i i i i i i n n i i i i x x y y x y nxy b x x x nx                ， ˆˆ .a y bx  西安中学 高二年级 数学试题 第 页 共 6 页5 17.（本小题满分 10分）2024年两会期间民生问题一直是百姓最关心的热点，某调查组利用网 站从参与调查者中随机选出 200人，数据显示关注此问题的约占 4 5 ，并将这 200人按年龄分组， 第 1组  15,25 ,第 2组  25,35 ,第 3组  35,45 ,第 4组  45,55 ,第 5组  55,65 ，得到的频率分布 直方图如图 3 所示． 图 3 (1)估计参与调查者的平均年龄； (2)把年龄在第 1，2，3组的居民称为青少年组， 年龄在第 4，5组的居民称为中老年组，若选 出的这 200人中不关注民生问题的中老年人有 10人，得到如下 2 2 列联表。请将列联表补充 完整填入答题卡，并回答：依据小概率值 0.050  的独立性检验，能否认为是否关注民生与 年龄有关？ 关注民生问题 不关注民生问题 合计 青少年 中老年 10 合计 200 (3)将此样本频率视为总体的概率，从网站随机抽取 4名青少年，记这 4人中“不关注民生问题” 的人数为 Y，求随机变量 2Y  时的概率和随机变量 Y的数学期望 ( ).E Y 附：      2 2 ( ) , .n ad bc n a b c d a b c d a c b d            0.050 0.010 0.005 0.001 x 3.841 6.635 7.879 10.828 西安中学 高二年级 数学试题 第 页 共 6 页6 18.（本小题满分 10分）已知函数 2( ) ln ( ).f x x a x a R   (1)若 2a  ，求 ( )f x 的极值; (2)若函数 ( ) ( ) (1 2 )g x f x a x   恰有两个零点，求 a的取值范围. 19.（本小题满分 12 分）某品牌女装专卖店设计摸球抽奖促销活动，每位顾客只用一个会员号 登陆，每次消费都有一次随机摸球的机会.已知顾客第一次摸球抽中奖品的概率为 2 7 ；从第二次 摸球开始，若前一次没抽中奖品，则这次抽中的概率为 1 2 ，若前一次抽中奖品，则这次抽中的 概率为 1 3 .记该顾客第 n次摸球抽中奖品的概率为 nP . （1）求 2P 、 3P的值； （2）探究数列 nP 的通项公式，并求该顾客第几次摸球抽中奖品的概率最大，请给出证明过 程. 西安中学 高二年级 数学试题 第 页 共 5 页1 西安中学 2023-2024 学年度第二学期期末考试 高二数学答案 选择题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 A A B C C B D A ACD ABD ABD 填空题 12.48 13．  1,  14． ①③④. 解答题 15.解：易知 X的所有可能取值为 0，1，2，3， 此 时 3 4 3 7 4( 0) 35 CP X C    ， 1 2 3 4 3 7 18( 1) 35 C C P X C    ， 2 1 3 4 3 7 12( 2) 35 C C P X C    ， 3 3 3 7 1( 3) 35 C P X C    ，----------4分 则 X的分布列为： X 0 1 2 3 P 4 35 18 35 12 35 1 35 ---------6分 此时 4 18 12 1 9( ) 0 1 2 3 . 35 35 35 35 7 E X          ----------8分 16.解： (1)从这 5个月中任取 2个月，包含的可能的情况有 25 10C  个， 其中所取 2个月的用水量之和不超过 7(百吨 )的可能情况有以下 4个：  2.5,3 ，  2.5,4 ，  2.5,4.5 ，  3,4 ， 故所求概率 4 2 10 5 P   . --------------4 分 (2)由该单位前 4个月的数据所得到的经验回归方程， 西安中学 高二年级 数学试题 第 页 共 5 页2 则由数据得 1 2 3 4 2.5 4 x     ， 2.5 3 4 4.5 3.5 4 y     由公式计算得 4 1 4 2 2 1 4 2.5 6 12 18 35ˆ 0.7 1 4 9 16 254 i i i i i x y xy b x x                 ˆˆ 1.75a y bx   ，所以 y关于 x的经验回归方程为 ˆ 0.7 1.75y x  ， 当 5x  时，得估计值 ˆ 0.7 5 1.75 5.25y     ，而 5.2 5.25 0.05 0.05  „ 所以得到的经验回归方程是“预测可靠”的． ----------8分 17.解： 0.01 10 20 0.015 10 30 0.035 10 40 0.03 10 50 0.010 10 60x                41.5 ， 估计参与调查者的平均年龄为： 41.5岁. ----------3分 (2)选出的 200人中，各组的人数分别为： 第 1组： 200 0.010 10 20   人，第 2组： 200 0.015 10 30   人， 第 3组： 200 0.035 10 70   人，第 4组： 200 0.030 10 60   人， 第 5组： 200 0.010 10 20   人， 青少年组有 20 30 70 120   人，中老年组有 200 120 80  人， 参与调查者中关注此问题的约占80%，有 200 (1 80%) 40   人不关心民生问题， 选出的 200人中不关注民生问题的青少年有 30人， 2 2  列联表如下： ----------5分 零假设 H0:假设关注民生问题与性别相互独立， 2 2 200(90 10 70 30) 4.6875 3.841 160 40 80 120          ， 根据独立性检验，可以认为零假设 0H 不成立， ----------7分 西安中学 高二年级 数学试题 第 页 共 5 页3 即能依据小概率值 0.050  的独立性检验，认为是否关注民生与年龄有关. (3)由题意，青少年“不关注民生问题”的频率为 30 1 120 4  ，将频率视为概率，每个青少 年“不关注民生间题”的概率为 1 4 ， 因为每次抽取的结果是相互独立的，所以 Y∽ 1(4, ) 4 B ， 4 1( ) ( ) 4 kP Y k C  k 1(1 ) 4  4 k ， 0k  ，1，2，3，4 所以 2 4 1( 2) ( ) 4 P Y C  2 4 21 27(1 ) 4 128   ， 1( ) 4 1. 4 E Y    ----------10分 18.解： (1) ( )f x 的定义域为 (0, ) ， 当 2a  时， 2( ) 2lnf x x x  ， 2( ) 2f x x x    ，令 ( ) 0f x  ，得 1x  ， 当 (0,1)x 时， ( ) 0;f x  当 (1, )x  时， ( ) 0f x  ， 所以 ( )f x 在 (0,1)上单调递减，在 (1, ) 上单调递增， 所以 1x  是 ( )f x 的极小值点， 又 (1) 1 2ln1 1f    ，故 ( )f x 的极小值为 1，无极大值； ----------4分 (2)由 2( ) ( ) (1 2 ) ln (1 2 )g x f x a x x a x a x       得， (2 1)( )( ) 2 (1 2 )a x x ag x x a x x         ， 当 0a„ 时， ( ) 0g x  ，所以 ( )g x 在 (0, ) 上单调递增， 则 ( )g x 最多有一个零点，不合题意; ----------6分 当 0a  时，当 (0, )x a 时， ( ) 0g x  ，当 ( , )x a  时， ( ) 0g x  ， 所以 ( )g x 在 (0, )a 上单调递减，在 ( , )a  上单调递增， 0, ( )x g x  ， , ( )x g x    所以： ( )g x 的极小值为 2 2( ) ln (1 2 ) ln (1 ln ) 0g a a a a a a a a a a a a a           ， ---8 分 西安中学 高二年级 数学试题 第 页 共 5 页4 令 ( ) 1 lnu a a a   ， 0a  ，则 ( ) 1 ln 0u a a a    1( ) 1 0u a a      ，所以 ( )u a 在 (0, ) 上单调递减， 又 (1) 1 ln1 1 0u     ， 当 0 1a „ 时， ( ) 0u a … ，所以 ( )g x 最多有一个零点，不合题意; 当 1a  时， ( ) 0u a  ， 所以当 1a  时，函数 ( )g x 恰有两个零点， ----------10分 综上，a的取值范围是 (1, ). 19.（1）记该顾客第  *Ni i 次摸球抽中奖品为事件 A，依题意， 1 27P  ，          2 2 1 2 1 1 2 1 2 1 2 1 19| | 17 3 7 2 42P P A P A P A A P A P A A              . 3 107 252 P  ----------6分 （2）因为  1 1| 3n n P A A   ，  1 1| 2n nP A A   ，  n nP P A ， 所以          1 1 1 1| |n n n n n n nP A P A P A A P A P A A     ， 所以  1 1 1 1 1 1 11 3 2 6 2n n n n P P P P        ， 所以 1 3 1 3 7 6 7n n P P          ， ----------8分 又因为 1 2 7 P  ，则 1 3 1 0 7 7 P     ， 所以数列 3 7n P     是首项为 1 7  ，公比为 1 6  的等比数列， 故 13 1 1 7 7 6 n nP         .…………………………………10分 西安中学 高二年级 数学试题 第 页 共 5 页5 证明：当 n为奇数时， 1 3 1 3 19 7 7 6 7 42n n P     ， 当 n为偶数时， 1 3 1 7 7 6n n P    ，则 nP随着 n的增大而减小， 所以， 2 19 42n P P  . 综上，该顾客第二次摸球抽中奖品的概率最大.…………………………………12分