第1章有理数 1.1-1.2正数和负数、有理数讲义2023-2024学年人教版数学七年级上册

课 题 第1章有理数 1.1-1.2正数和负数、有理数 教学目标 1．掌握用正负数、有理数的概念； 2．掌握有理数的分类方法 3. 掌握数轴、相反数、倒数、绝对值的意义 教学过程 【学生定位】 问题1 正数和负数 1.某粮店出售三种品牌的大米，袋上分别标有质量为（25±0.1）kg，（25±0.2）kg，（25±0.3）kg的字样，其中任意拿出两袋，它们最多相差　0.6　kg． 【考点】11：正数和负数． 【解答】解：这几种大米的质量标准都为25千克，误差的最值分别为：±0.1，±0.2，±0.3． 根据题意其中任意拿出两袋，它们最多相差（25+0.3）﹣（25﹣0.3）=0.6kg． 2.阅览室某一书架上原有图书20本，规定每天归还图书为正，借出图书为负，经过两天借阅情况如下：（﹣3，+1），（﹣1，+2），则该书架上现有图书　19　本． 【考点】11：正数和负数． 【解答】解：20﹣3+1﹣1+2=19（本）故答案为：19 问题2有理数的意义 1.把下列各数分别填在题后相应的集合中： ﹣，0，﹣1，0.73，2，﹣5，，﹣29.52，+28． （1）正数集合：{　 　…} （2）负数集合：{　 　…} （3）整数集合：{　 　…} （4）分数集合：{　 　…} （5）正整数集合：{　 　…} （6）负整数集合：{　 　…} （7）正分数集合：{　 　…} （8）负分数集合：{　 　…}． 【考点】12：有理数． 【解答】解：（1）正数集合：0.73，2，，+28 （2）负数集合：﹣，﹣1，﹣5，﹣29.52 （3）整数集合：0，﹣1，2，﹣5，+28 （4）分数集合：﹣，0.73，，﹣29.52 （5）正整数集合：2，+28 （6）负整数集合：﹣1，﹣5 （7）正分数集合：0.73， （8）负分数集合：﹣，﹣29.52 2.数轴上到点﹣3的距离为3的点表示的数为（　　） A．0 B．﹣6 C．﹣6或1 D．﹣6或0 【考点】13：数轴． 【解答】解：根据题意，作出数轴： 根据图示，知数轴上到点﹣3的距离为3的点表示的数为﹣6或0．故选：D． 3.如果a表示有理数，那么下列说法中正确的是（　　） A．+a和﹣（﹣a）互为相反数 B．+a和﹣a一定不相等 C．﹣a一定是负数 D．﹣（+a）和+（﹣a）一定相等 【考点】14：相反数． 【解答】解：A、+a和﹣（﹣a）互为相反数；错误，二者相等；B、+a和﹣a一定不相等；错误，当a=0时二者相等；C、﹣a一定是负数；错误，当a=0时不符合；D、﹣（+a）和+（﹣a）一定相等；正确．故选：D． 4.数轴上有A、B、C、D四个点，其中绝对值等于2的点是（　　） A．点A B．点B C．点C D．点D 【考点】15：绝对值；13：数轴． 【解答】解：∵绝对值等于2的数是﹣2和2，∴绝对值等于2的点是点A．故选：A． 【问题考点】 问题1 正数和负数 对应知识点：1.正数； 2.负数； 3.有理数的分类 问题2有理数的意义 对应知识点：1．数轴；2．相反数；3．绝对值； 【精准突破】 【精准突破1】正数和负数 知识点一、正数与负数 像+3、+1.5、、+584等大于0的数，叫做正数； 像－3、－1.5、、－584等在正数前面加“－”号的数，叫做负数． 要点诠释： （1）一个数前面的“+”“-”是这个数的性质符号， “+”常省略，但 “-”不能省略. （2）用正数和负数表示具有相反意义的量时，哪种为正可任意选择，但习惯把“前进、上升”等规定为正，而把“后退、下降”等规定为负． （3）0既不是正数也不是负数，它是正数和负数的“分水岭”． 【例题精讲】 【例题1-1】下列数﹣91，1.5，，﹣，7，0中，负数的个数是（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 【考点】11：正数和负数． 【解答】解：数﹣91，1.5，，﹣，7，0中，负数有﹣91，﹣，一共2个．故选：B． 【例题1-2】在下列选项中，具有相反意义的量是（　　） A．胜二局与负三局 B．盈利3万元与支出3万元 C．气温升高3℃与气温为﹣3℃ D．向东行20米和向南行20米 【考点】11：正数和负数． 【解答】解：A、胜二局与负三局，符合相反意义的量，故选项正确；B、盈利与亏损才符合相反意义的量，而盈利与支出不是相反意义，应为盈利3万元与亏损3万元，故选项错误；C、升高与下降才符合相反意义的量，而升高3℃与气温本身为﹣3℃不是相反意义的量，应为气温升高3℃与气温下降3℃，故选项错误；D、东行和西行才符合相反意义的量，而东行和南行则不是相反意义量，应为向东行20米和向西行20米，故选项错误．故选：A． 【例题1-3】某种品牌的洗面奶，外包装标明净含量为500±10g，表明了这种洗面奶的净含量x的范围是（　　） A．490＜x＜510 B．490≤x≤510 C．490＜x≤510 D．490≤x＜510 【考点】11：正数和负数． 【解答】解：根据题意得：500﹣1≤x≤500+10，即490≤x≤510，故选：B． 【例题1-4】一辆公交车上原有16人，经过3个站点时乘客上、下车情况如下（上车人数记为正，下车人数记为负，单位：人）：﹣3，+4；﹣5，+7；+5，﹣11．此时公交车上有　13　人． 【考点】11：正数和负数． 【解答】解：16﹣3+4﹣5+7+5﹣11=13（人）故答案为：13 知识点二、有理数的分类 （1）按整数、分数的关系分类： （2）按正数、负数与0的关系分类：　 　　　 　　 要点诠释： （1）有理数都可以写成分数的形式，整数也可以看作是分母为1的数. （2）分数与有限小数、无限循环小数可以互化，所以有限小数和无限循环小数可看作分数，但无限不循环小数不是分数，例如． （3）正数和零统称为非负数；负数和零统称为非正数；正整数、0、负整数统称整数． 【例题精讲】 【例题2-1】下列说法中，正确的是（　　） A．正数、负数统称为有理数 B．小数﹣3.14不是分数 C．正整数和负整数统称为整数 D．整数和分数统称为有理数 【考点】12：有理数． 【解答】解：A、正有理数、0、负有理数统称为有理数，故本选项错误；B、小数﹣3.14是分数，故本选项错误；C、正整数，负整数和0统称为整数，故本选项错误；D、整数和分数统称为有理数，故本选项正确；故选：D． 【例题2-2】下列说法中，正确的是（　　） A．0是最小的有理数 B．0是最小的整数 C．0的倒数和相反数都是0 D．0是最小的非负数 【考点】12：有理数． 【解答】解：A、没有最小的有理数，故A错误；B、没有最小的整数，故B错误； C、0没有倒数，故C错误；D、0是最小的非负数，故D正确；故选：D． 【例题2-3】下列八个有理数：﹣2、35、﹣0.2、、0、﹣、3.14、2；其中分数共有（　　） A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 【考点】12：有理数． 【解答】解：八个有理数：﹣2、35、﹣0.2、、0、﹣、3.14、2中，分数有﹣0.2、、﹣、3.14、2，共有5个．故选：C． 【精准突破2】有理数的意义 知识点三、数轴 1.定义：规定了原点、正方向和单位长度的直线叫做数轴. 要点诠释： （1）原点、正方向和单位长度是数轴的三要素，三者缺一不可. （2）长度单位与单位长度是不同的，单位长度是根据需要选取的代表“1”的线段，而长度单位是为度量线段的长度而制定的单位．有km、m、dm、cm等． （3）原点、正方向、单位长度可以根据实际灵活选定，但一经选定就不能改动． 2. 数轴与有理数的关系：任何一个有理数都可以用数轴上的点来表示，但数轴上的点不都表示有理教，还可以表示其他数，比如. 要点诠释： （1）一般地，数轴上原点右边的点表示正数，左边的点表示负数；反过来也对，即正数用数轴上原点右边的点表示，负数用原点左边的点表示，零用原点表示. （2）在数轴上表示的两个数，右边的数总比左边的数大. 【例题精讲】 【例题3-1】已知数轴上的A点到原点的距离是2，那么在数轴上到A点的距离是3的点所表示的数有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【考点】13：数轴． 【解答】解：∵数轴上的A点到原点的距离是2，∴点A可以表示2或﹣2． （1）当A表示的数是2时，在数轴上到A点的距离是3的点所表示的数有2﹣3=﹣1，2+3=5； （2）当A表示的数是﹣2时，在数轴上到A点的距离是3的点所表示的数有﹣2﹣3=﹣5，﹣2+3=1．选D． 【例题3-2】如图，在数轴上有六个点，且AB=BC=CD=DE=EF，则这条数轴的原点在（　　） A．在点A，B之间 B．在点B，C之间 C．在点C，D之间 D．在点D，E之间 【考点】13：数轴． 【解答】解：∵|11﹣（﹣5）|=16，AB=BC=CD=DE=EF，∴AB=BC=CD=DE=EF==3.2， ∴这条数轴的原点在B与C之间．故选：B． 【例题3-3】如图所示，有理数a、b在数轴上的位置如图，则下列说法错误的是（　　） A．b﹣a＞0 B．a+b＜0 C．ab＜0 D．b＜a 【考点】13：数轴． 【解答】解：由数轴上点的位置关系，得a＞0＞b，|a|＜|b|，A．b﹣a＜0，故此选项错误； B．a+b＜0，故此选项正确；C．ab＜0，故此选项正确；D．b＜a，故此选项正确．故选：A． 知识点四、相反数 1.定义：只有符号不同的两个数互为相反数；0的相反数是0. 要点诠释： （1）“只”字是说仅仅是符号不同，其它部分完全相同； （2）“0的相反数是0”是相反数定义的一部分，不能漏掉； （3）相反数是成对出现的，单独一个数不能说是相反数； （4）求一个数的相反数，只要在它的前面添上“-”号即可. 2.性质： （1）互为相反数的两数的点分别位于原点的两旁，且与原点的距离相等（这两个点关于原点对称）. （2）互为相反数的两数和为0. 3.多重符号的化简： 多重符号的化简，由数字前面“-”号的个数来确定，若有偶数个时，化简结果为正，如-{-[-(-4)]}=4 ；若有奇数个时，化简结果为负，如-{+[-(-4)]}=-4 . 要点诠释： （1）在一个数的前面添上一个“＋”，仍然与原数相同，如＋5＝5，＋（－5）＝－5. （2）在一个数的前面添上一个“－”，就成为原数的相反数.如－（－3）就是－3的相反数，因此，－（－3）＝3. 【例题精讲】 【例题4-1】下面说法正确的是（　　） A．﹣5和5互为相反数 B．5是相反数 C．5和﹣5都是相反数 D．﹣5是相反数 【考点】14：相反数． 【解答】解：﹣5和5互为相反数．故选：A． 【例题4-2】下列各数中，相反数等于本身的数是（　　） A．﹣1 B．0 C．1 D．2 【考点】14：相反数． 【解答】解：相反数等于本身的数是0．故选：B． 【例题4-3】如果a+b=0，那么a，b两个实数一定是（　　） A．都等于0 B．一正一负 C．互为相反数 D．不确定 【考点】14：相反数． 【解答】解：∵a+b=0，∴a，b两个实数一定是相反数．故选：C． 【例题4-4】（1）若a=2.5，则﹣a=　﹣2.5　； （2）若﹣a=，则a=　﹣　； （3）若﹣（﹣a）=16，则﹣a=　﹣16　； （4）若a=﹣（+5），则﹣a=　5　． 【考点】14：相反数． 【解答】解：（1）若a=2.5，则﹣a=﹣2.5；（2）若﹣a=，则a=﹣； （3）若﹣（﹣a）=16，则﹣a=﹣16；（4）若a=﹣（+5），则﹣a=5，故答案为：﹣2.5；﹣；﹣16；5 知识点五、绝对值 1.定义：一个数a的绝对值就是数轴上表示数a的点离开原点的距离. 数a的绝对值记作. 2.意义： （1)代数意义：一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0． 数a的绝对值记作．具体如下： （2)几何意义：一个数a的绝对值就是数轴上表示数a的点与原点的距离． 【例题精讲】 【例题5-1】绝对值最小的数是（　　） A．0.000001 B．0 C．﹣0.000001 D．﹣100000 【考点】15：绝对值． 【解答】解：|0.000001|=0.000001，|0|=0，|﹣0.000001|=0.000001，|﹣100000|=100000， 所以绝对值最小的数是0．故选：B． 【例题5-2】a，b在数轴上的位置如图，化简|a+b|的结果是（　　） A．﹣a﹣b B．a+b C．a﹣b D．b﹣a 【考点】15：绝对值；13：数轴． 【解答】解：由图形可知，a＜0，b＜0，所以a+b＜0，所以|a+b|=﹣a﹣b．故选：A． 【例题5-3】若xy＞0，则++1的值为（　　） A．﹣2 B．3或﹣2 C．3 D．﹣1或3 【考点】15：绝对值． 【解答】解：∵xy＞0，∴x＞0，y＞0，或x＜0，y＜0， ①当x＞0，y＞0时，原式=1+1+1=3，②当x＜0．y＜0时，原式=﹣1+﹣1+1=﹣1，故选：D． 【巩固练习】 【巩固一】正数和负数 1.下列一组数：﹣8，0，﹣32，﹣（﹣5.7），其中负数的个数有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【考点】11：正数和负数． 【解答】解：在﹣8，0，﹣32，﹣（﹣5.7）中负数是﹣8，﹣32，即负数的个数有2个．故选：B． 2.向东行驶3km，记作+3km，那么﹣2km表示（　　） A．向东行驶2km B．向西行驶﹣2km C．向西行驶2km D．向西行驶3km 【考点】11：正数和负数． 【解答】解：∵向东行驶3km，记作+3km，∴﹣2km表示向西行驶2km，故选：C． 3.在下列选项中，具有相反意义的量是（　　） A．收入20元与支出30元 B．上升了6米和后退了7米 C．卖出10斤米和盈利10元 D．向东行30米和向北行30米 【考点】11：正数和负数． 【解答】解：A、收入20元与支出30元是相反意义的量，故A正确；故选：A． 4.根据机器零件的设计图形（如图），用不等式表示零件长度L的合格尺寸为　39.8≤L≤40.2　． 【考点】11：正数和负数． 【解答】解：根据题意，得39.8≤L≤40.2． 5.某登山队从大本营出发，在向上攀登的过程中，测得所在位置的气温y℃与向上攀登的高度x km的几组对应值如表： 向上攀登的高度x/km 0.5 1.0 1.5 2.0 气温y/℃ 2.0 ﹣0.9 ﹣4.1 ﹣7.0 若每向上攀登1km，所在位置的气温下降幅度基本一致，则向上攀登的海拔高度为2.5km时，登山队所在位置的气温约为　﹣10　℃． 【考点】11：正数和负数． 【解答】解：由表格中的数据可知，每上升0.5km，温度大约下降3℃， ∴向上攀登的海拔高度为2.5km时，登山队所在位置的气温约为﹣10℃，故答案为：﹣10． 【巩固二】有理数的意义 1.下列说法中正确的是（　　） A．没有最大的正数，但有最大的负数 B．没有最小的负数，但有最小的正数 C．没有最小的有理数，也没有最大的有理数 D．有最小的自然数，也有最小的整数 【考点】12：有理数． 【解答】解：A、应说成“没有最大的正数，也没有最大的负数”，错误； B、应说：没有最小的负数，也没有最小的正数，错误；C、有理数可以非常小，也可以非常大，正确； D、应说：有最小的自然数为0，没有最小的整数，错误；故选：C． 2.给出下列各数：4.439，0，﹣4，3.14159，﹣1000，，其中非负数的个数为（　　） A．6 B．5 C．4 D．3 【考点】12：有理数． 【解答】解：非负数有：4.439，0，3.14159，．共4个．故选：C． 3.数轴上的点A到原点的距离是4，则点A表示的数为（　　） A．4 B．﹣4 C．4或﹣4 D．2或﹣2 【考点】13：数轴． 【解答】解：在数轴上，4和﹣4到原点的距离为4．∴点A所表示的数是4和﹣4．故选：C． 4.有理数a，b在数轴上的对应点如图所示，则下面式子中正确的是（　　） ①b＜0＜a； ②|b|＜|a|； ③ab＞0； ④a﹣b＞a+b． A．①② B．①④ C．②③ D．③④ 【考点】13：数轴． 【解答】解：∵从数轴可知：b＜0＜a，|b|＞|a|，∴①正确；②错误，∵a＞0，b＜0， ∴ab＜0，∴③错误；∵b＜0＜a，|b|＞|a|，∴a﹣b＞0，a+b＜0，∴a﹣b＞a+b，∴④正确； 即正确的有①④，故选：B． 5.相反数不大于它本身的数是（　　） A．正数 B．负数 C．非正数 D．非负数 【考点】14：相反数． 【解答】解：设这个数为a，根据题意，有﹣a≤a，所以a≥0．故选：D． 6.一个数的绝对值等于这个数本身，这样的数有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．无数个 【考点】15：绝对值． 【解答】解：绝对值等于本身的数是非负数．故这样的数有无数个．故选：D． 7.有理数a、b在数轴上的位置如图所示，则下列各式中错误的是（　　） A．b＜a B．|b|＞|a| C．a+b＞0 D．ab＜0 【考点】15：绝对值；13：数轴． 【解答】解：∵b＜﹣1，0＜a＜1，∴b＜a，∴选项A不符合题意； ∵b＜﹣1，0＜a＜1，∴|b|＞1，0＜|a|＜1，∴|b|＞|a|，∴选项B不符合题意； ∵b＜﹣1，0＜a＜1，∴a+b＜0，∴选项C符合题意； ∵b＜﹣1，0＜a＜1，∴ab＜0，∴选项D不符合题意．故选：D． 【查缺补漏】 1.在数、﹣2、0、15、130%、0.25中，正数有　4　个． 【考点】11：正数和负数． 【解答】解：∵在数、﹣2、0、15、130%、0.25中，正数是、15、130%、0.25， ∴在数、﹣2、0、15、130%、0.25中，正数有4个，故答案为：4． 2.下列说法正确的是（　　） A．正数和负数统称为有理数 B．绝对值等于它本身的数一定是正数 C．负数就是有负号的数 D．互为相反数的两数之和为零 【考点】12：有理数． 【解答】解：A、正数和负数统称为有理数，说法错误，还有0；B、绝对值等于它本身的数一定是正数，说法错误，应为绝对值等于它本身的数一定是非负数；C、负数就是有负号的数，说法错误，例如：﹣（﹣1）=1；D、互为相反数的两数之和为零，说法正确；故选：D． 3.如图，数轴上点A表示数a，则﹣a表示数的是（　　） A．2 B．1 C．﹣1 D．﹣2 【考点】13：数轴． 【解答】解：由题意a=﹣2，∴﹣a=2，∴﹣a表示数的是2，故选：A． 【举一反三】 1.中国人最先使用负数，魏晋时期的数学家刘徽在“正负术”的注文中指出，可将算筹（小棍形状的记数工具）正放表示正数，斜放表示负数．如图，根据刘徽的这种表示法，观察图①，可推算图②中所得的数值为　﹣3　． 【考点】11：正数和负数． 【解答】解：图②中表示（+2）+（﹣5）=﹣3，故答案为：﹣3． 2.已知数轴上的A、B两点所表示的数分别为﹣4和7，C为线段AB的中点，则点C所表示的数为　1.5　 【考点】13：数轴． 【解答】解：∵数轴上A，B两点所表示的数分别是﹣4和7，∴线段AB的中点所表示的数=（﹣4+7）=1.5． 故答案为：1.5． 3.若a、b、c是有理数且=﹣1，则的值是（　　） A．﹣1 B．±1 C．±3或±1 D．1 【考点】15：绝对值． 【解答】解：∵a，b，c为三个不为0的有理数，且=﹣1，∴a，b，c中负数有2个，正数有1个，∴abc＞0，则原式=1．故选：D． 【效果检验】 1.在﹣，﹣|﹣4|，﹣（﹣4），﹣22，（﹣2）2，﹣10%，0中，负数的个数有（　　） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【考点】11：正数和负数． 【解答】解：在﹣，﹣|﹣4|，﹣（﹣4），﹣22，（﹣2）2，﹣10%，0中，是负数的是：﹣，﹣|﹣4|，﹣22，﹣10%．故负数的个数是4个．故选：C． 2.某食品厂从生产的袋装食品中抽出20袋进行称重检查，检测每袋的质量是否符合标准，超过或不足的部分分别用正数、负数来表示，记录如下： 与标准质量的差值（克） ﹣5 ﹣2 0 1 3 6 袋数（袋） 1 4 3 4 5 3 若每袋标准质量为350克，则抽测的总质量是　7024　克． 【考点】11：正数和负数． 【解答】解：根据表格中的数据得：350﹣5+4×（350﹣2）+3×350+4×（350+1）+5×（350+3）+3×（350+6）=7024（克），故答案为：7024 3.下列说法中不正确的有（　　） ①1是绝对值最小的数；②0既不是正数，也不是负数；③一个有理数不是整数就是分数； ④0的绝对值是0． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【考点】12：有理数． 【解答】解：绝对值最小的数是0，所以①不正确；0既不是正负，也不是负数，所以②正确； 整数和分数统称有理数，所以一个有理数不是整数就是分数，所以③正确；0的绝对值是0，所以④正确； 所以不正确的只有①，故选：A． 4.﹣（﹣45）的相反数是　﹣45　． 【考点】14：相反数． 【解答】解：﹣（﹣45）的相反数是﹣45，故答案为：﹣45． 5.如图，在数轴上，若示有理数a的点在原点的左边，表示有理数b的点在原点的右边，则式子|a﹣b|﹣（﹣b）化简的结果是（　　） A．a﹣2b B．2a C．a D．﹣a+2b 【考点】15：绝对值；13：数轴． 【解答】解：由数轴可得：a＜0＜b，∴a﹣b＜0， ∴|a﹣b|﹣（﹣b）=﹣（a﹣b）+b=﹣a+b+b=﹣a+2b，故选：D． 【课后作业】 1.在下列有理数中﹣5，0，|﹣3|，﹣|﹣2|，﹣（﹣1）中负数有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【考点】11：正数和负数． 【解答】解：在下列有理数中﹣5，0，|﹣3|，﹣|﹣2|，﹣（﹣1）中负数有：﹣5，﹣|﹣2|， 即在下列有理数中﹣5，0，|﹣3|，﹣|﹣2|，﹣（﹣1）中负数有2个，故选：B． 2.零上23℃，记作+23℃，零下8℃，可记作（　　） A．8 B．﹣8 C．8℃ D．﹣8℃ 【考点】11：正数和负数． 【解答】解：∵零上23℃，记作+23℃，∴零下8℃记作﹣8℃，故选：D． 3.下列各组中，表示互为相反意义的量是（　　） A．上升与下降 B．篮球比赛胜5场与负2场 C．向东走3米，再向南走3米 D．增产10吨粮食与减产﹣10吨粮食 【考点】11：正数和负数． 【解答】解：上升和下降只是相反，但没有数字，故选项A错误； 篮球比赛胜5场和负两场是具有相反意义的量，故选项B正确； 向东走3米，再向南走3米中东和南不是相反的，故选项C错误； 增产10吨粮食与减产﹣10吨粮食都是表示的增长10吨粮食，故选项D错误．故选：B． 4.某班5名学生在一次数学测试中的成绩以120为标准，超过的分数记为正数，不足的分数记为负数，记录如下：﹣4，+9，﹣1，0，+6，则他们的平均成绩是　122　分． 【考点】11：正数和负数． 【解答】解：（﹣4+9﹣1+0+6）÷5=2，120+2=122（分），故答案为：122． 5.某种药品的说明书上标明保存温度是（20±2）℃，则该药品在（　　）范围内保存才合适． A．18℃～20℃ B．20℃～22℃ C．18℃～21℃ D．18℃～22℃ 【考点】11：正数和负数． 【解答】解：20﹣2=18℃，20+2=22℃，则该药品在18℃～22℃范围内．故选：D． 6.下列说法： ①两负数比较大小，绝对值大的反而小； ②数轴上，在原点左边离原点越近的数越小； ③所有的有理数都可以用数轴上的点表示； ④倒数等于它本身的数是1或0； ⑤两数相加，和一定大于任何一个加数． 其中正确的有（　　） A．①④ B．②③④ C．①③ D．①②③④ 【考点】12：有理数． 【解答】解：两负数比较大小，绝对值大的反而小，故①正确； 数轴上，在原点左边离原点越近的数越大，故②错误；所有的有理数都可以用数轴上的点表示，故③正确； 倒数等于它本身的数是1，故④错误；两数相加，和不一定大于任何一个加数，故⑤错误．故选：C． 7.﹣的相反数是（　　） A．﹣ B． C．﹣ D． 【考点】14：相反数． 【解答】解：﹣的相反数是．故选：D． 8.如果|a|=a，下列各式成立的是（　　） A．a＞0 B．a＜0 C．a≥0 D．a≤0 【考点】15：绝对值． 【解答】解：∵|a|=a，∴a为绝对值等于本身的数，∴a≥0，故选：C． 9.如图，图中数轴的单位长度为1．如果点B，C表示的数的绝对值相等，那么点A表示的数是（　　） A．﹣4 B．﹣5 C．﹣6 D．﹣2 【考点】15：绝对值；13：数轴． 【解答】解：因为点B，C表示的数的绝对值相等，即到原点的距离相等， 所以点B，C表示的数分别为﹣2，2，所以点A表示的数是﹣2﹣2=﹣4．故选A． 10.把下列各数填入相应的大括号里． ﹣2，﹣，5.2，0，，1，﹣，2005，﹣0.3 整数集合：{　﹣2、0、2005　…}； 正数集合：{　5.2、、1、2005　…}； 负分数集合：{　﹣、﹣、﹣0.3　…}； 非负有理数集合：{　5.2、0、、1、2005　…}． 【考点】12：有理数． 【解答】解：整数集合：{﹣2、0、2005…}； 正数集合：{5.2、、1、2005…}； 负分数集合：{﹣、﹣、﹣0.3…}； 非负有理数集合：{5.2、0、、1、2005…}． 故答案为：﹣2、0、2005；5.2、、1、2005；﹣、﹣、﹣0.3；5.2、0、、1、2005． 11.如图，点A、B都在数轴上，O为原点． （1）点B表示的数是　4　； （2）若点B以每秒2个单位长度的速度沿数轴向右运动，则2秒后点B表示的数是　0　； （3）若点A、B分别以每秒1个单位长度、3个单位长度的速度沿数轴向右运动，而点O不动，t秒后，A、B、O三个点中有一个点是另外两个点为端点的线段的中点，求t的值． 【考点】13：数轴． 【解答】解：（1）点B表示的数是4； （2）2秒后点B表示的数是﹣4+2×2=0； （3）①当点O是线段AB的中点时，OB=OA，4﹣3t=2+t，解得t=0.5； ②当点B是线段OA的中点时，OA=2OB，2+t=2（3t﹣4），解得t=2； ③当点A是线段OB的中点时，OB=2 OA，3t4=2（2+t），解得t=8． 综上所述，符合条件的t的值是0.5，2或8．故答案为：4；0． 3 学科网（北京）股份有限公司 $$ 课 题 第1章有理数 1.1-1.2正数和负数、有理数 教学目标 1．掌握用正负数、有理数的概念； 2．掌握有理数的分类方法 3. 掌握数轴、相反数、倒数、绝对值的意义 教学过程 【学生定位】 问题1 正数和负数 1.某粮店出售三种品牌的大米，袋上分别标有质量为（25±0.1）kg，（25±0.2）kg，（25±0.3）kg的字样，其中任意拿出两袋，它们最多相差　 　kg． 2.阅览室某一书架上原有图书20本，规定每天归还图书为正，借出图书为负，经过两天借阅情况如下：（﹣3，+1），（﹣1，+2），则该书架上现有图书　 　本． 问题2有理数的意义 1.把下列各数分别填在题后相应的集合中： ﹣，0，﹣1，0.73，2，﹣5，，﹣29.52，+28． （1）正数集合：{　 　…} （2）负数集合：{　 　…} （3）整数集合：{　 　…} （4）分数集合：{　 　…} （5）正整数集合：{　 　…} （6）负整数集合：{　 　…} （7）正分数集合：{　 　…} （8）负分数集合：{　 　…}． 2.数轴上到点﹣3的距离为3的点表示的数为（　　） A．0 B．﹣6 C．﹣6或1 D．﹣6或0 3.如果a表示有理数，那么下列说法中正确的是（　　） A．+a和﹣（﹣a）互为相反数 B．+a和﹣a一定不相等 C．﹣a一定是负数 D．﹣（+a）和+（﹣a）一定相等 4.数轴上有A、B、C、D四个点，其中绝对值等于2的点是（　　） A．点A B．点B C．点C D．点D 【精准突破】 【精准突破1】正数和负数 知识点一、正数与负数 像+3、+1.5、、+584等大于0的数，叫做正数； 像－3、－1.5、、－584等在正数前面加“－”号的数，叫做负数． 要点诠释： （1）一个数前面的“+”“-”是这个数的性质符号， “+”常省略，但 “-”不能省略. （2）用正数和负数表示具有相反意义的量时，哪种为正可任意选择，但习惯把“前进、上升”等规定为正，而把“后退、下降”等规定为负． （3）0既不是正数也不是负数，它是正数和负数的“分水岭”． 【例题精讲】 【例题1-1】下列数﹣91，1.5，，﹣，7，0中，负数的个数是（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 【例题1-2】在下列选项中，具有相反意义的量是（　　） A．胜二局与负三局 B．盈利3万元与支出3万元 C．气温升高3℃与气温为﹣3℃ D．向东行20米和向南行20米 【例题1-3】某种品牌的洗面奶，外包装标明净含量为500±10g，表明了这种洗面奶的净含量x的范围是（　　） A．490＜x＜510 B．490≤x≤510 C．490＜x≤510 D．490≤x＜510 【例题1-4】一辆公交车上原有16人，经过3个站点时乘客上、下车情况如下（上车人数记为正，下车人数记为负，单位：人）：﹣3，+4；﹣5，+7；+5，﹣11．此时公交车上有　 　人． 知识点二、有理数的分类 （1）按整数、分数的关系分类： （2）按正数、负数与0的关系分类：　 　　　 　　 要点诠释： （1）有理数都可以写成分数的形式，整数也可以看作是分母为1的数. （2）分数与有限小数、无限循环小数可以互化，所以有限小数和无限循环小数可看作分数，但无限不循环小数不是分数，例如． （3）正数和零统称为非负数；负数和零统称为非正数；正整数、0、负整数统称整数． 【例题精讲】 【例题2-1】下列说法中，正确的是（　　） A．正数、负数统称为有理数 B．小数﹣3.14不是分数 C．正整数和负整数统称为整数 D．整数和分数统称为有理数 【例题2-2】下列说法中，正确的是（　　） A．0是最小的有理数 B．0是最小的整数 C．0的倒数和相反数都是0 D．0是最小的非负数 【例题2-3】下列八个有理数：﹣2、35、﹣0.2、、0、﹣、3.14、2；其中分数共有（　　） A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 【精准突破2】有理数的意义 知识点三、数轴 1.定义：规定了原点、正方向和单位长度的直线叫做数轴. 要点诠释： （1）原点、正方向和单位长度是数轴的三要素，三者缺一不可. （2）长度单位与单位长度是不同的，单位长度是根据需要选取的代表“1”的线段，而长度单位是为度量线段的长度而制定的单位．有km、m、dm、cm等． （3）原点、正方向、单位长度可以根据实际灵活选定，但一经选定就不能改动． 2. 数轴与有理数的关系：任何一个有理数都可以用数轴上的点来表示，但数轴上的点不都表示有理教，还可以表示其他数，比如. 要点诠释： （1）一般地，数轴上原点右边的点表示正数，左边的点表示负数；反过来也对，即正数用数轴上原点右边的点表示，负数用原点左边的点表示，零用原点表示. （2）在数轴上表示的两个数，右边的数总比左边的数大. 【例题精讲】 【例题3-1】已知数轴上的A点到原点的距离是2，那么在数轴上到A点的距离是3的点所表示的数有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【例题3-2】如图，在数轴上有六个点，且AB=BC=CD=DE=EF，则这条数轴的原点在（　　） A．在点A，B之间 B．在点B，C之间 C．在点C，D之间 D．在点D，E之间 【例题3-3】如图所示，有理数a、b在数轴上的位置如图，则下列说法错误的是（　　） A．b﹣a＞0 B．a+b＜0 C．ab＜0 D．b＜a 知识点四、相反数 1.定义：只有符号不同的两个数互为相反数；0的相反数是0. 要点诠释： （1）“只”字是说仅仅是符号不同，其它部分完全相同； （2）“0的相反数是0”是相反数定义的一部分，不能漏掉； （3）相反数是成对出现的，单独一个数不能说是相反数； （4）求一个数的相反数，只要在它的前面添上“-”号即可. 2.性质： （1）互为相反数的两数的点分别位于原点的两旁，且与原点的距离相等（这两个点关于原点对称）. （2）互为相反数的两数和为0. 3.多重符号的化简： 多重符号的化简，由数字前面“-”号的个数来确定，若有偶数个时，化简结果为正，如-{-[-(-4)]}=4 ；若有奇数个时，化简结果为负，如-{+[-(-4)]}=-4 . 要点诠释： （1）在一个数的前面添上一个“＋”，仍然与原数相同，如＋5＝5，＋（－5）＝－5. （2）在一个数的前面添上一个“－”，就成为原数的相反数.如－（－3）就是－3的相反数，因此，－（－3）＝3. 【例题精讲】 【例题4-1】下面说法正确的是（　　） A．﹣5和5互为相反数 B．5是相反数 C．5和﹣5都是相反数 D．﹣5是相反数 【例题4-2】下列各数中，相反数等于本身的数是（　　） A．﹣1 B．0 C．1 D．2 【例题4-3】如果a+b=0，那么a，b两个实数一定是（　　） A．都等于0 B．一正一负 C．互为相反数 D．不确定 【例题4-4】（1）若a=2.5，则﹣a=　 　； （2）若﹣a=，则a=　 　； （3）若﹣（﹣a）=16，则﹣a=　 　； （4）若a=﹣（+5），则﹣a=　 　． 知识点五、绝对值 1.定义：一个数a的绝对值就是数轴上表示数a的点离开原点的距离. 数a的绝对值记作. 2.意义： （1)代数意义：一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0． 数a的绝对值记作．具体如下： （2)几何意义：一个数a的绝对值就是数轴上表示数a的点与原点的距离． 【例题精讲】 【例题5-1】绝对值最小的数是（　　） A．0.000001 B．0 C．﹣0.000001 D．﹣100000 【例题5-2】a，b在数轴上的位置如图，化简|a+b|的结果是（　　） A．﹣a﹣b B．a+b C．a﹣b D．b﹣a 【例题5-3】若xy＞0，则++1的值为（　　） A． ﹣2 B．3或﹣2 C．3 D．﹣1或3 【巩固练习】 【巩固一】正数和负数 1.下列一组数：﹣8，0，﹣32，﹣（﹣5.7），其中负数的个数有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 2.向东行驶3km，记作+3km，那么﹣2km表示（　　） A．向东行驶2km B．向西行驶﹣2km C．向西行驶2km D．向西行驶3km 3.在下列选项中，具有相反意义的量是（　　） A．收入20元与支出30元 B．上升了6米和后退了7米 C．卖出10斤米和盈利10元 D．向东行30米和向北行30米 4.根据机器零件的设计图形（如图），用不等式表示零件长度L的合格尺寸为　 　． 5.某登山队从大本营出发，在向上攀登的过程中，测得所在位置的气温y℃与向上攀登的高度x km的几组对应值如表： 向上攀登的高度x/km 0.5 1.0 1.5 2.0 气温y/℃ 2.0 ﹣0.9 ﹣4.1 ﹣7.0 若每向上攀登1km，所在位置的气温下降幅度基本一致，则向上攀登的海拔高度为2.5km时，登山队所在位置的气温约为　 　℃． 【巩固二】有理数的意义 1.下列说法中正确的是（　　） A．没有最大的正数，但有最大的负数 B．没有最小的负数，但有最小的正数 C．没有最小的有理数，也没有最大的有理数 D．有最小的自然数，也有最小的整数 2.给出下列各数：4.439，0，﹣4，3.14159，﹣1000，，其中非负数的个数为（　　） A．6 B．5 C．4 D．3 3.数轴上的点A到原点的距离是4，则点A表示的数为（　　） A．4 B．﹣4 C．4或﹣4 D．2或﹣2 4.有理数a，b在数轴上的对应点如图所示，则下面式子中正确的是（　　） ①b＜0＜a； ②|b|＜|a|； ③ab＞0； ④a﹣b＞a+b． A．①② B．①④ C．②③ D．③④ 5.相反数不大于它本身的数是（　　） A．正数 B．负数 C．非正数 D．非负数 6.一个数的绝对值等于这个数本身，这样的数有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．无数个 7.有理数a、b在数轴上的位置如图所示，则下列各式中错误的是（　　） A．b＜a B．|b|＞|a| C．a+b＞0 D．ab＜0 【查缺补漏】 1.在数、﹣2、0、15、130%、0.25中，正数有　 　个． 2.下列说法正确的是（　　） A．正数和负数统称为有理数 B．绝对值等于它本身的数一定是正数 C．负数就是有负号的数 D．互为相反数的两数之和为零 3.如图，数轴上点A表示数a，则﹣a表示数的是（　　） A．2 B．1 C．﹣1 D．﹣2 【举一反三】 1.中国人最先使用负数，魏晋时期的数学家刘徽在“正负术”的注文中指出，可将算筹（小棍形状的记数工具）正放表示正数，斜放表示负数．如图，根据刘徽的这种表示法，观察图①，可推算图②中所得的数值为　 　． 2.已知数轴上的A、B两点所表示的数分别为﹣4和7，C为线段AB的中点，则点C所表示的数为　 　 3.若a、b、c是有理数且=﹣1，则的值是（　　） A．﹣1 B．±1 C．±3或±1 D．1 【效果检验】 1.在﹣，﹣|﹣4|，﹣（﹣4），﹣22，（﹣2）2，﹣10%，0中，负数的个数有（　　） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 2.某食品厂从生产的袋装食品中抽出20袋进行称重检查，检测每袋的质量是否符合标准，超过或不足的部分分别用正数、负数来表示，记录如下： 与标准质量的差值（克） ﹣5 ﹣2 0 1 3 6 袋数（袋） 1 4 3 4 5 3 若每袋标准质量为350克，则抽测的总质量是　 　克． 3.下列说法中不正确的有（　　） ①1是绝对值最小的数；②0既不是正数，也不是负数；③一个有理数不是整数就是分数； ④0的绝对值是0． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 4.﹣（﹣45）的相反数是　 　． 5.如图，在数轴上，若示有理数a的点在原点的左边，表示有理数b的点在原点的右边，则式子|a﹣b|﹣（﹣b）化简的结果是（　　） A．a﹣2b B．2a C．a D．﹣a+2b 【课后作业】 1.在下列有理数中﹣5，0，|﹣3|，﹣|﹣2|，﹣（﹣1）中负数有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 2.零上23℃，记作+23℃，零下8℃，可记作（　　） A．8 B．﹣8 C．8℃ D．﹣8℃ 3.下列各组中，表示互为相反意义的量是（　　） A．上升与下降 B．篮球比赛胜5场与负2场 C．向东走3米，再向南走3米 D．增产10吨粮食与减产﹣10吨粮食 4.某班5名学生在一次数学测试中的成绩以120为标准，超过的分数记为正数，不足的分数记为负数，记录如下：﹣4，+9，﹣1，0，+6，则他们的平均成绩是　 分． 5.某种药品的说明书上标明保存温度是（20±2）℃，则该药品在（　　）范围内保存才合适． A．18℃～20℃ B．20℃～22℃ C．18℃～21℃ D．18℃～22℃ 6.下列说法： ①两负数比较大小，绝对值大的反而小； ②数轴上，在原点左边离原点越近的数越小； ③所有的有理数都可以用数轴上的点表示； ④倒数等于它本身的数是1或0； ⑤两数相加，和一定大于任何一个加数． 其中正确的有（　　） A．①④ B．②③④ C．①③ D．①②③④ 7.﹣的相反数是（　　） A．﹣ B． C．﹣ D． 8.如果|a|=a，下列各式成立的是（　　） A．a＞0 B．a＜0 C．a≥0 D．a≤0 9.如图，图中数轴的单位长度为1．如果点B，C表示的数的绝对值相等，那么点A表示的数是（　　） A．﹣4 B．﹣5 C．﹣6 D．﹣2 10.把下列各数填入相应的大括号里． ﹣2，﹣，5.2，0，，1，﹣，2005，﹣0.3 整数集合：{　 　…}； 正数集合：{　 　 …}； 负分数集合：{　 　 …}； 非负有理数集合：{ 　 　…}． 11.如图，点A、B都在数轴上，O为原点． （1）点B表示的数是　　； （2）若点B以每秒2个单位长度的速度沿数轴向右运动，则2秒后点B表示的数是　　； （3）若点A、B分别以每秒1个单位长度、3个单位长度的速度沿数轴向右运动，而点O不动，t秒后，A、B、O三个点中有一个点是另外两个点为端点的线段的中点，求t的值． 3 学科网（北京）股份有限公司 $$