5.5一次函数的简单应用 自主学案2023-2024学年浙教版数学八年级上册

浙教版数学八年级上册自主学案 第5章　一次函数 5.5　一次函数的简单应用 第1课时　判定一次函数关系及其应用 教材的地位 和作用 　本节是一次函数简单应用的第一课时,是函数应用问题解答的基础.准确读取图象信息,对解答应用题起着重要作用 教 学 目 标 知识与技能 　1.了解通过实验获得数据,然后根据数据建立一次函数模型的一般过程. 　2.会综合运用一次函数的表达式、函数图象以及结合方程(组)等其他数学模型,解决实际问题 过程与方法 　经历将实际问题转化为数学问题的过程,学会与人合作,并体会与他人交流思维的过程和结果 情感、态度 与价值观 　初步认识数学与实际生活的密切联系,发展应用意识,获得成功体验,增强对数学的兴趣 教学 重点 难点 重点 　利用数据画出图象、写出函数表达式的基本方法和步骤 难点 　用建模思想获得函数表达式的过程 易错点 　分段时各段中自变量取值范围的界定易出错,建模时对已知数据的处理和函数类型的判断易出错 知识点　构建一次函数模型解决实际问题 　　(1)先根据所给出的各点画图象确定函数关系; (2)利用待定系数法求出函数表达式; (3)根据函数表达式对实际问题做出判断. 1.为了研究某合金材料的体积V(cm3)随温度t(℃)变化的规律,对一个用这种合金制成的圆球测得相关数据如下: t(℃) -40 -20 -10 0 10 20 40 60 V(cm3) 998.3 999.2 ? 1000 1000.3 1000.7 1001.6 1002.3 根据此表格求出V关于t的函数表达式(不要求写自变量的取值范围),并估算-10 ℃时圆球的体积. 解:(答案不唯一,合理即可)将这些数值所对应的点在平面直角坐标系中描出,如图.观察发现V与t的函数关系近似于一次函数关系,这是因为其图象近似于一条直线,且和直线较近的点是A(10,1000.3)和B(60,1002.3),故设函数表达式为V=kt+b(k≠0),并将A,B两点的坐标分别代入函数表达式,得解得 ∴V关于t的函数表达式为V=0.04t+999.9. 当t=-10时,V=999.5,即当温度为-10 ℃时,圆球的体积近似为999.5 cm3. 【例题探究】 类型一　一次函数的简单应用 例1 (教材补充例题)某商场销售A,B两种智能手机,这两种手机的进价和售价如下表所示: A种手机 B种手机 进价(元/部) 2000 4400 售价(元/部) 2500 5000 　　该商场原计划A,B两种手机分别购进30部、20部,通过市场调研,商场决定减少B种手机的购进数量,增加A种手机的购进数量,已知A种手机增加的数量是B种手机减少的数量的3倍,而且用于购进这两种手机的总资金不超过15.6万元. (1)B种手机至少购进多少部? (2)该商场应该怎样进货,才能使全部销售后获得的总利润最大?并求出最大总利润. 解:(1)设B种手机购进数量减少x部,则A种手机购进数量增加3x部. 　　由题意得0.44(20-x)+0.2(30+3x)≤15.6,解得x≤5. ∵20-5=15(部),∴B种手机至少购进15部. (2)设全部销售后获得的总利润为W元. 由题意,得 W=0.06(20-x)+0.05(30+3x)=0.09x+2.7. ∵k=0.09>0,∴W随x的增大而增大, ∴当x=5时,w最大=3.15. ∵A种手机增加的数量是B种手机减少的数量的3倍, ∴A种手机购进3×5+30=45(部), ∴当该商场购进A种手机45部,B种手机15部时,全部销售后获得的总利润最大,最大总利润为3.15万元. 类型二　实际问题中的分段函数探究 例2 (教材补充例题)某班同学探究弹簧的长度与物体质量的关系,实验记录得到的相应数据如下表: 砝码的质 量x(克) 0 50 100 150 200 250 300 400 500 600 指针位置 y(厘米) 2 3 4 5 6 7 7.5 7.5 7.5 7.5 试写出在这次实验中指针位置y(厘米)随砝码的质量x(克)(x≤600)变化的函数表达式,并画出函数的图象. 解:由表中数据,可知此函数的第一段为一次函数,设此函数的表达式为y=kx+b(k≠0). 取(0,2),(50,3)分别代入函数表达式,得 解得 ∴y=0.02x+2. 当y=7.5时,有7.5=0.02x+2,解得x=275, ∴第一部分中自变量x的取值范围为0≤x≤275. ∴函数表达式为y= 这个函数的图象如图所示. 【归纳总结】 用分段函数解决实际问题时的注意事项: (1)求分段函数表达式的基本方法是先分求,再整合.分求某段表达式的方法与求一次函数表达式的方法相同,在整合时要用“{”联立,并在各函数表达式后注明自变量的取值范围. (2)对于分段函数问题,要特别注意相应的自变量的变化范围,在表达式和图象上都要反映出自变量相应的取值范围. 【学以致用】 1．现代物流的高速发展，为乡村振兴提供了良好条件．某物流公司的汽车行驶30 km后进入高速路，在高速路上匀速行驶一段时间后，再在乡村道路上行驶1 h到达目的地．汽车行驶的时间x(h)与行驶的路程y(km)之间的关系如图所示．请结合图象，判断以下说法正确的是(　D　) 第1题图 A．汽车在高速路上行驶了2.5 h B．汽车在高速路上行驶的路程是180 km C．汽车在高速路上行驶的平均速度是 72 km/h D．汽车在乡村道路上行驶的平均速度是 40 km/h 【解析】 ∵3.5 h到达目的地，在乡村道路上行驶1 h， ∴汽车下高速公路的时间是2.5 h， ∴汽车在高速路上行驶了2.5－0.5＝2(h)，A错误． 由图象知，汽车在高速路上行驶的路程是180－30＝150(km)，B错误． 汽车在高速路上行驶的平均速度是150÷2＝75(km/h)，C错误． 汽车在乡村道路上行驶的平均速度是(220－180)÷1＝40(km/h)，D正确． 2．某销售商准备采购一批儿童玩具，有A，B两种品牌可供选择，其进价和售价如下表所示： A品牌 B品牌 进价(元/件) 120 150 售价(元/件) 150 200 已知购进A，B两种品牌的儿童玩具共30件． (1)若销售商购进A品牌的儿童玩具x(件)，求销售商售完这30件儿童玩具获得的总利润y(元)与x之间的函数表达式． (2)若想使销售完这些玩具获得的总利润为1 300元，则应购进多少件A品牌的儿童玩具． (3)若购进A品牌的儿童玩具不能少于20件，则所获总利润最多为多少元． 解：(1)y＝(150－120)x＋(200－150)(30－x)＝－20x＋1 500(0≤x≤30)． (2)令y＝1 300，则－20x＋1 500＝1 300， 解得x＝10. 答：应购进10件A品牌的儿童玩具． (3)由题意，得20≤x≤30. ∵y＝－20x＋1 500，且k＝－20<0， ∴y随x的增大而减小， ∴当x＝20时，所获总利润最多，利润最多为－20×20＋1 500＝1 100(元)． 3．[应用意识]在“看图说故事”活动中，某学习小组结合图象设计了一个问题情境． 已知学生公寓、阅览室、超市依次在同一条直线上，阅览室离学生公寓1.2 km，超市离学生公寓2 km.小琪从学生公寓出发，匀速步行了12 min到阅览室．在阅览室停留70 min后，匀速步行了10 min到超市．在超市停留20 min后，匀速骑行了8 min返回学生公寓．给出的图象反映了这个过程中小琪离学生公寓的距离y(km)与离开学生公寓的时间x(min)之间的对应关系． 请根据相关信息，解答下列问题： (1)填表： 离开学生公寓的时间(min) 5 8 50 87 112 离学生公寓的距离(km) 0.5 0.8 1.2 1.6 2 (2)填空： ①阅览室到超市的距离为__0.8__km. ②小琪从超市返回学生公寓的速度为__0.25__km/min. ③当小琪离学生公寓的距离为1 km时，他离开学生公寓的时间为__10或116__min. (3)当0≤x≤92时，求y关于x的函数表达式． 第3题图 解：(2)③当小琪从学生公寓出发，离学生公寓的距离为1 km时，他离开学生公寓的时间为＝10(min)； 当小琪从超市出发，离学生公寓的距离为1 km时，他离开学生公寓的时间为112＋＝116(min)． (3)当82＜x≤92时，设y＝kx＋b(k≠0)，代入点(82，1.2)，(92，2)，易得y＝0.08x－5.36， ∴y＝ 第2课时　两个一次函数的应用 教材的地位 和作用 　本节是本章最后一个知识点,要求会解答两个以上一次函数综合的问题,它是后面各种函数综合问题学习的基础,也是中考常考题型之一 教 学 目 标 知识与技能 　1.了解直角坐标系中两条直线(不平行于坐标轴)的交点坐标与两条直线的函数表达式所组成的二元一次方程组的解之间的关系. 　2.会综合运用一次函数的表达式和图象解决简单的实际问题. 　3.会用一次函数的图象求二元一次方程组的解(包括近似解) 过程与方法 　通过画出一次函数的图象来求二元一次方程组的解,用数形结合的思想解决代数问题 情感、态度 与价值观 　通过画一次函数的图象求二元一次方程组的近似解,进一步体会一次函数的用途,培养学生的估算能力 教学 重点 难点 重点 　综合运用一次函数的表达式和图象等解决简单的实际问题 难点 　理解数学模型(包括函数表达式和图象)与实际问题情境之间的对应关系 易错点 　两直线的交点坐标与相关二元一次方程组的解之间的关系理解不清;在给定两函数值大小关系的条件下求自变量的取值范围时易出错 知识点一　两直线交点坐标与二元一次方程组的解的关系 　　两个函数图象的交点坐标即为联立两个函数表达式组成的方程组的解. 1.直线y=ax+b(a≠0)和直线y=mx+n(m≠0)交于点(2,-1),则关于x,y的方程组的解是 　.  知识点二　函数值大小比较的方法 　　图象法:在自变量取值相同的情况下,函数图象在上方的函数值大于图象在下方的函数值. 　　代数法:解不等式求解. 　 图1 2.如图1,直线y1=x+1与y2=-x+3的交点坐标为(1,2),则使y1<y2的x的取值范围为　x<1　.  【例题探究】 类型一　用图象法解二元一次方程组 例1 (教材补充例题)用图象法解方程组: 解:画出函数y=-x+和y=2x-1的图象(图略),由图象知它们的交点坐标是(1,1),所以方程组的解是 【归纳总结】 用图象法解二元一次方程组的“三步法”: (1)将两个方程都化为y=kx+b(k≠0)的形式; (2)在同一直角坐标系中画出两个函数的图象; (3)写出两个函数图象的交点坐标,此即方程组的解. 类型二　用图象法解一元一次不等式 例2 (教材补充例题)已知关于x的一次函数y=kx+b的图象如图2所示,不求k,b的值,直接解决下列问题: 图2 (1)关于x的不等式kx+b>0的解是　x>-3　;  (2)关于x的不等式kx+b<0的解是　x<-3　;  (3)关于x的不等式kx+b>4的解是　x>3　;  (4)关于x的不等式kx+b<4的解是　x<3　;  (5)关于x的不等式0≤kx+b≤4的解是　-3≤x≤3　.  【归纳总结】 用图象法解一元一次不等式的“三步法”: (1)化:化不等式为kx+b>0(<0)(k,b为常数,且k≠0)的形式; (2)画:画出一次函数y=kx+b的图象; (3)找:找出图象与横轴交点的横坐标,不等式的解就是比交点横坐标大或小的x的值的全体. 类型三　综合运用一次函数表达式与图象解决简单的实际问题 　　例3 (教材补充例题)下面是某地移动通信业务的两种计费方式: 通信业务 全球通 神州行 月租费 50元/月 0 通话费 0.4元/分 0.6元/分 (1)分别写出这两种通信业务每月应缴费用y(元)与通话时间x(分)之间的函数表达式; (2)在同一平面直角坐标系内作出它们的图象; (3)若每月通话时间为300分钟,选择哪种通信业务更合算? (4)当每月通话多长时间时,按这两种通信业务标准缴费,所缴话费相同? 解:(1)使用“神州行”,每月应缴费用与通话时间的函数表达式为y1=0.6x(x≥0);使用“全球通”,每月应缴费用与通话时间的函数表达式为y2=0.4x+50(x≥0). (2)图象如图所示. (3)当x=300时,y1=0.6×300=180, y2=50+0.4×300=170. ∵y2<y1,∴若每月通话时间为300分钟,则选择“全球通”业务更合算. (4)由(1)知,y1=0.6x,y2=0.4x+50,令y1=y2, 则0.6x=0.4x+50,解得x=250. 即当每月通话250分钟时,按这两种通信业务标准缴费,所缴话费相同. 【归纳总结】 利用一次函数与二元一次方程组的关系解决实际问题的步骤: (1)结合实际问题,建立两个一次函数表达式,将两个一次函数表达式联立,得到二元一次方程组; (2)通过解二元一次方程组,求出两函数图象的交点坐标; (3)结合交点坐标的实际意义解决问题. 类型四　选择最优方案 例4 (教材补充例题)如图3,x轴表示托运行李的质量,y轴表示托运行李的费用.射线AB,CD分别表示甲、乙两航空公司(在相同里程的情况下)托运行李的费用与托运行李的质量之间的函数关系. (1)设甲、乙两航空公司托运行李的费用分别为y甲元,y乙元,请写出y甲,y乙与托运行李质量x之间的函数表达式(不用写x的取值范围); (2)甲、乙两航空公司可以免费托运行李各多少千克? (3)如果你托运行李80千克,应该选择哪一家航空公司,可节省多少费用? (4)如果你出差时要托运行李80千克,甲航空公司的票价(不包括行李托运费)比乙航空公司的票价(不包括行李托运费)要贵10%,你认为乘坐哪家航空公司的飞机划算? 图3 解:(1)y甲=x-50,y乙=5x-150. (2)甲航空公司可以免费托运行李20千克,乙航空公司可以免费托运行李30千克. (3)由图可知,若托运行李80千克,则y甲=150,y乙=250,250-150=100(元), 所以应该选择甲航空公司,可节省100元. (4)设乙航空公司的票价为m元,则甲航空公司的票价为1.1m元,可得 y'甲=1.1m+150,y'乙=m+250. 当y'甲=y'乙,即m=1000时,选甲航空公司或乙航空公司都可以; 当y'甲>y'乙,即m>1000时,选择乙航空公司划算; 当y'甲<y'乙,即0<m<1000时,选择甲航空公司划算. 例5 (教材补充例题)京东商城的智能手机销售异常火爆,已知销售10部A型手机和20部B型手机的利润共4000元,每部B型手机的利润比每部A型手机多50元. (1)分别求每部A型手机和B型手机的销售利润; (2)商城计划一次性购进两种型号的手机共100部,其中B型手机的进货量不超过A型手机进货量的2倍,则商城购进A型、B型手机各多少部,才能使销售利润最大?最大利润是多少? 解:(1)设每部A型手机的销售利润为a元,则每部B型手机的销售利润为(a+50)元. 根据题意,得10a+20(a+50)=4000, 解得a=100.则a+50=150. 答:每部A型手机和B型手机的销售利润分别是100元和150元. (2)设购进A型手机x部,销售利润为y元. 根据题意,得y=100x+150(100-x), 即y=-50x+15000. ∵100-x≤2x,∴x≥33. ∵y=-50x+15000中,k=-50<0, ∴y随x的增大而减小. ∵x为正整数, ∴当x=34时,y取最大值,为-50×34+15000=13300,则100-x=66, 即商城购进34部A型手机和66部B型手机时销售利润最大,最大利润是13300元. 【反思】 已知直线l1:y=k1x+b1(k1≠0)和直线l2:y=k2x+b2(k2≠0),判断下列说法是否正确(若不正确,请说明理由): (1)当直线l1与l2相交于一点时,k1与k2不相等; (2)当k1=k2时,方程组的解的情况是无解. 解:(1)正确.(2)不正确.理由如下:当k1=k2时,方程组的解的情况有两种:当b1与b2不相等时,直线l1与l2是两条平行的直线,此时方程组无解;当b1与b2相等时,直线l1与l2表示同一条直线,此时方程组本质上是一个二元一次方程,它有无数个解,即方程组有无数个解. 【学以致用】 1．如图，直线y＝x＋b和y＝kx＋2分别与x轴相交于点A(－2，0)，B(3，0)，则不等式组的解为(　D　) 第1题图 A．x＜－2 B．x＞3 C．x＜－2或x＞3 D．－2＜x＜3 【解析】 由图象可知，不等式x＋b＞0的解为x＞－2， 不等式kx＋2＞0的解为x＜3， ∴不等式组的解为－2＜x＜3. 2．A，B两地相距300 km，甲、乙两人分别开车从A地出发前往B地，其中甲先出发1 h．如图是甲，乙行驶路程y甲(km)，y乙(km)随行驶时间x(h)变化的图象，则下列说法正确的是(　C　) 第2题图 A．y甲与x之间的函数表达式为y甲＝60x(0≤x≤4) B．y乙与x之间的函数表达式为y乙＝100x－80(1≤x≤4) C．甲车与乙车相遇时，两车行驶了150 km D．甲车到达B地时，乙车距离B地还有60 km 3．已知直线y1＝ax－2a＋1(a≠0)，y2＝bx－b－1(b≠0)，若对任意实数x，y1＜y2都成立，求a，b需满足的数量关系及a的取值范围． 解：∵对任意实数x，y1＜y2都成立， ∴直线y1与直线y2平行， 即a＝b且－2a＋1＜－b－1， ∴－2a＋1＜－a－1，解得a＞2， 故a，b需满足的数量关系是a＝b，a的取值范围是a＞2. 4．[应用意识]某地发生地震，省政府接到上级通知，立即派出甲、乙两个抗震救灾小组乘车沿同一路线赶赴距出发点480千米的灾区．乙组由于要携带一些救灾物资，比甲组迟出发1.25小时(从甲组出发时开始计时)．图中的折线、线段分别表示甲、乙两组的所走路程y甲(千米)、y乙(千米)与时间x(时)之间的函数关系对应的图象．请根据图象提供的信息，解决下列问题： 第4题图 (1)由于汽车发生故障，甲组在途中停留了__1.9__小时． (2)甲组的汽车排除故障后，立即提速赶往灾区．请问甲组的汽车在排除故障时，距出发点的路程是多少千米？ (3)为了保证及时联络，甲、乙两组在第一次相遇时约定此后两车之间的路程不超过25千米，请通过计算说明，按图象所表示的走法是否符合约定？ 解：(2)设直线EF的函数表达式为y乙＝kx＋b(k≠0)． ∵点E(1.25，0)，F(7.25，480)均在直线EF上， ∴ 解得 ∴直线EF的函数表达式为y乙＝80x－100. ∵点C在直线EF上，且点C的横坐标为6， ∴点C的纵坐标为80×6－100＝380， ∴点C的坐标为(6，380)． 设直线BD的函数表达式为y甲＝mx＋n(m≠0)． ∵点C(6，380)，D(7，480)均在直线BD上， ∴解得 ∴直线BD的函数表达式为y甲＝100x－220. ∵点B在直线BD上，且点B的横坐标为4.9，代入y甲＝100x－220，得y甲＝270， ∴甲组在排除故障时，距出发点的路程是270千米． (3)由图象可知，甲、乙两组第一次相遇后在点B或D处相距最远． 在点B处有y乙－y甲＝80×4.9－100－270＝22(千米)＜25千米； 在点D处有y甲－y乙＝480－(80×7－100)＝20(千米)＜25千米， ∴按图象所表示的走法符合约定． 学科网（北京）股份有限公司 $$